第六章 计数原理-高二年级数学人教版(2019)选择性必修三单元练习(含解析)

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名称 第六章 计数原理-高二年级数学人教版(2019)选择性必修三单元练习(含解析)
格式 docx
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-03-01 16:54:13

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文档简介

计数原理
1. 江夏一中高一年级共16个班,高二年级共15个班,从中选出一个班级担任学校星期一早晨升旗任务,共有的安排方法种数是( )
A. 16 B. 15 C. 31 D. 240
2. 在端午小长假期间,某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位,每天只需1人值班,则不同的排班方法有( )
A. 12种 B. 24种 C. 64种 D. 81种
3. 有9名歌舞演员,其中7名会唱歌,5名会跳舞,从中选出2人,并指派一人唱歌,另一个跳舞,则不同的选派方法有( )
A. 19种 B. 32种 C. 72种 D. 30种
4. 某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )
A. 45种 B. 56种 C. 90种 D. 120种
5. 3名男生和2名女生排成一队照相,要求女生相邻,共有排法.( )
A. 120 B. 24 C. 48 D. 96
6. 我省高中学校自实施素质教育以来,学生社团得到迅猛发展.某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团,且同学甲不参加“围棋苑”,则不同的参加方法的种数为( )
A. 72 B. 108 C. 180 D. 216
7. 从包含甲在内的5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为( )
A. 48 B. 72 C. 90 D. 96
8. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”.现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案共有( )
A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种
9. 如图,标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传递消息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示他们有网线相连,则单位时间内传递的信息量可以为.( )
A. 18 B. 19 C. 24 D. 26
10. 下列说法正确的是( )
A. 可表示为
B. 若把英文“hero”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有23种
C. 10个朋友聚会,见面后每两个人握手一次,一共握手45次
D. 老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人,则分法有种
11. 已知的展开式共有13项,则下列说法中正确的有( )
A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为
C. 二项式系数最大的项为第6项或第7项 D. 有理项共5项
12. 现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是( )
A. 所有可能的方法有种
B. 若工厂甲必须有同学去,则不同的安排方法有37种
C. 若同学A必须去工厂甲,则不同的安排方法有16种
D. 若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种
13. 从0,1,2,3这4个数字中选出3个不同数字能组成__________个三位数.
14. 已知二项式的展开式中常数项为,则含的项为__________.
15. 已知集合,,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是__________.
16. 有红、黄、蓝旗各3面,每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示不同的信号,顺序不同也表示不同的信号,共可以组成__________种不同的信号.
17. 某大学组织学生无偿献血.在一个班级体检合格的学生中,O型血有11人,A型血有7人,B型血有6人,AB型血有5人.
从中任选1名学生去献血,有多少种不同的选法?
从四种血型的学生中各选1名学生去献血,有多少种不同的选法?
从中任选2名具有不同血型的学生去献血,有多少种不同的选法?
18. 从2位女生,4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.
共有多少种不同的选择方法?
如果至少有1位女生入选,共有多少种不同的选择方法?
19. 设集合,是坐标平面上的点,a,求:
可以表示多少个平面上的不同的点?
可以表示多少个第二象限的点?
可以表示多少个不在直线上的点?
20. 如图,要给地图上A、B、C、D四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?
将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,求有多少种不同的种植方法.
21. 设,且已知展开式中所有二项式系数之和为
求n的值以及二项式系数最大的项;
求的值.
22. 毕业季有6位好友欲合影留念,现排成一排,如果:
、B两人不排在一起,有几种排法?
、B两人必须排在一起,有几种排法?
不在排头,B不在排尾,有几种排法?
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查分类加法原理的应用,考查运算求解能力,属于基础题.
直接利用分类加法原理计算,即可得答案.
【解答】
解:根据分类加法原理计算,
故选:

2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查分步乘法计数原理的应用,属于基础题.
根据题意,分析可得每天都有4种排班方法,由分步乘法计数原理计算可得答案.
【解答】
解:根据题意,第一天值班可以安排4名职员中任意一人,有4种排班方法,
同理,第二天和第三天也有4种排班方法,
则有种不同的排班方法.
故选

3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用,属于基础题.
按元素的性质进行分类处理,即可解决问题.
【解答】
解:既会唱歌又会跳舞的有人,只会唱歌的有人,只会跳舞的有人,
若选出2人,没有既会唱歌又会跳舞,有种,
若选出2人只有1人既会唱歌又会跳舞,有种,
若选出2人全部既会唱歌又会跳舞,有种,
则共有种.
故选

4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查分类与分步计数原理,以及组合与组合数公式,属于基础题.
用分类计数原理来解,符合条件的包含两种结果,一是两女一男,二是两男一女,分别写出这两种结果,再用分类加法计数原理求出总和.
【解答】
解:要求3人中既有男生,又有女生,
符合条件的包含两种结果:一是两女一男,二是两男一女.
由分类加法、分步乘法计数原理和组合可得:
共有种结果,
故选

5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查计数原理及排列法的应用,考查相邻问题捆绑法,属于基础题.
先将2名女生作为一个元素,再与3名男生构成4个元素进行全排列即可求解.
【解答】
解:先将2名女生排列有种方法,
再将2名女生作为一个元素与3名男生构成4个元素进行全排列,有种方法,
由分步乘法原理得,所求方法数为
故答案为:

6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查排列、组合的综合应用,涉及计数原理的应用,注意要全面分析,做到有条理并且不重不漏,属于中档题.
根据题意,分析可得,必有2人参加同一个社团,分2步讨论,首先分析甲,因为甲不参加“围棋苑”,则其有3种情况,再分析其他4人,此时分甲单独参加一个社团与甲与另外1人参加同一个社团,2种情况讨论,由加法原理,可得第二步的情况数目,进而由乘法原理,计算可得答案.
【解答】
解:根据题意,分析可得,必有2人参加同一个社团,
首先分析甲,甲不参加“围棋苑”,则其有3种情况,
再分析其他4人,
若甲与另外1人参加同一个社团,则有种情况,
若甲是1个人参加一个社团,则有种情况,
则除甲外的4人有种情况;
故不同的参加方法的种数为种.
故选

7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查排列和计数原理的实际应用,注意优先考虑特殊元素,属于中档题.
根据题意,分两种情况讨论选出参加竞赛的4人,①选出的4人没有甲,②选出的4人有甲,分别求出每一种情况下的参赛方案种数,由分类计数原理计算可得答案.
【解答】
解:根据题意,从5名学生中选出4名分别参加竞赛,分2种情况讨论:
①选出的4人没有甲,即选出其他4人即可,有种情况;
②选出的4人有甲,由于甲不能参加生物竞赛,则甲有3种选法;
在剩余4人中任选3人,参加剩下的三科竞赛,有种选法,
此时共有种选法,
则有种不同的参赛方案.
故本题选

8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查分类加法及分步乘法两个计数原理的综合应用,注意分析图形的结构特点.
根据题意,假设5个区域依次为A、B、C、D、E,分步分析涂色方法数,由两个计数原理计算可得答案.
【解答】
解:根据题意,如图,假设5个区域依次为A、B、C、D、E,
①,对于A区域,有4种涂法,
②,对于B区域,与A相邻,有3种涂法,
③,对于C区域,与A、B相邻,有2种涂法,
④,对于D区域,若其与B区域同色,则E有2种涂法,
若D区域与B区域不同色,则E有1种涂法,
则D、E区域有种涂色方法,
则不同的涂色方案共有种;
故选:

9.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查了逻辑推理与分类相加原理的应用问题,属于基础题.
根据图中数字,计算每条路线的最大传递信息量,按分类相加即可.
【解答】
解:第一条线路单位时间内传递的最大信息量为 3;
第二条线路单位时间内传递的最大信息量为 4;
第三条线路单位时间内传递的最大信息量为 6;
第四条线路单位时间内传递的最大信息量为 6,
因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为
因此A,B正确.
故本题选:

10.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题主要考查了排列组合的综合运用,属于基础题.
根据排列组合知识结合排列数公式逐个判断即可.
【解答】
解:A项,,正确;
B项,h,e,r,o的全排列为种,正确的有1种,故可能出现的错误共有种,正确;
C项,10个朋友,两个人握手一次,共握手次,正确;
D项,3张门票属于相同元素,故应有种分法,D不正确.
所以本题选择

11.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数,二项式定理的应用.
利用所有奇数项的二项式系数和为可判断A;令可得所有项的系数和可判断B;由二项展开式的通项公式可判断C、
【解答】
解:因为,所以
所有奇数项的二项式系数和为,故A错误,
令,得所有项的系数和为,故B正确,
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项,故C错误,
因为展开式通项为,
当为整数时,,3,6,9,12,共有5项,故D正确.
故本题选

12.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查分步乘法计数原理,属于中档题.
结合分步乘法计数原理和间接解法,逐一分析求解即可.
【解答】
解:对于A,分3步,依次让3名同学分别选择工厂,
每一个同学都有4种方法,所以共有种方法,故A错;
对于B,考虑反面,即3名同学去乙、丙、丁三个工厂,共有种方法,
故工厂甲必须有同学去,共有种方法,故B对;
对于C,只需安排两人,共有种方法,故C对;
对于D,由分步乘法计数原理知,共有种,故D对.
故选

13.【答案】18
【解析】
【分析】
本题考查分步乘法计数原理及排列组合问题,属于中档题.
【解答】
解:当0不选时,可组成个三位数.
当0选时,0不能做百位,第一步从1,2,3中选个百位数,第二步再排十位和个位,根据分步计数原理得有12个三位数.
由分类加法计数原理得共有18个三位数.

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题.
由题意利用二项展开式得出通项公式,令x的系数为0,得出r,由常数项为得出a,再令x的系数为2,得出r,可得项.
【解答】
解:二项式的展开式的通项公式为,
令,求得,可得展开式中常数项为,
再令,可得,可得展开式中项系数为,
即含的项为
故答案为:

15.【答案】6
【解析】
【分析】
本题考查加法原理,属基础题.
根据题意,可得所取的横坐标为负数,纵坐标为正数,结合所给集合列举分析即可得答案
【解答】
解:因为两个集合中各取一个元素作为点的坐标,且该点表示第二象限内的点,
所以所取的横坐标为负数,纵坐标为正数,
若横坐标为,则纵坐标可为5、6,即点为,
若横坐标为,则纵坐标可为1、3,即点为,
若横坐标为,则纵坐标可为1、3,即点为,所以点的个数为
故答案为:6

16.【答案】39
【解析】
【分析】
本题考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理,属于简单题.
【解答】
解:每次升1面旗可组成3种不同的信号;每次升2面旗可组成种不同的信号;每次升3面旗可组成种不同的信号.根据分类加法计数原理,共可组成种不同的信号.

17.【答案】解:在一个班级体检合格的学生中,O型血有11人,A型血有7人,B型血有6人,AB型血有5人,
从中任选1名学生去献血,有种不同的选法;
从四种血型的学生中各选1名学生去献血,有种不同的选法;
从中任选2名具有不同血型的学生去献血,有种不同的选法.

【解析】此题考查分类加法计数原理,考查分步乘法计数原理,注意分类要不重不漏.
由分类加法计数原理,有种不同的选法;
由分步乘法计数原理,有种不同的选法;
由分类加法计数原理及分步乘法计数原理,有种不同的选法.
18.【答案】解:根据题意,从2位女生,4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动,
是组合问题,其选择方法数为
根据题意,从6人中选出3人,其中没有女生入选的选择方法数为,
所以至少有1位女生入选的选择方法数为
【解析】本题考查排列组合的应用,注意间接法的使用,属于基础题.
根据题意,利用组合数公式计算可得答案;
根据题意,利用间接法分析,计算“选出的3人中没有女生”的数目,分析可得答案.
19.【答案】解:分两步,第一步确定a,有6种方法,第二步确定b也有6种方法,根据分步乘法计数原理共有个不同的点.
分两步,第一步确定a,有3种方法,第2步确定b,有2种方法,根据分步乘法计数原理,第二象限的点共有个
分两步,第一步确定a,有6种方法,第二步确定b,有5种方法,根据分步乘法计数原理不在直线上的点共有个

【解析】此题考查分步乘法计数原理,属于基础题.
分两步,第一步确定a,有6种方法,第二步确定b也有6种方法,即可求解;
分两步,第一步确定a,有3种方法,第2步确定b,有2种方法,从而求解;
分两步,第一步确定a,有6种方法,第二步确定b,有5种方法,进而求解.
20.【答案】解:法一:按的顺序分步涂色.
第一步:涂A区域,有4种不同的涂法;
第二步:涂B区域,从剩下的3种颜色中任选1种颜色,有3种不同的涂法;
第三步:涂C区域,再从剩下的2种不同颜色中任选1种颜色,有2种不同的涂法;
第四步:涂D区域,从与B、C区域不同的2种不同颜色中任选1种,有2种不同的涂法.
根据分步乘法计数原理,共有种不同的涂法.
法二:按所用颜色的多少分类涂色.
第一类:用三种颜色,有种不同的涂法;
第二类:用四种颜色,有种不同的涂法.
根据分类加法计数原理,共有种不同的涂法.
分别用a、b、c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或
若第三块田放c:
a b c
第四、五块田分别有2种方法,共有种方法.
若第三块田放a:
a b a
第四块有b或c两种方法:
①若第四块放c:
a b a c
第五块有2种方法;
②若第四块放b:
a b a b
第五块只能种作物c,共1种方法.
综上,共有种方法.

【解析】本题考查两个计数原理的综合应用,属于中档题.
法一:按的顺序分步涂色.分为四步,再运用乘法公式计算,即可得到答案;
法二:按所用颜色的多少分类涂色.第一类:用三种颜色,有种不同的涂法;第二类:用四种颜色,有种不同的涂法.
根据分类加法计数原理计算,即可得到答案;
分别用a、b、c代表3种作物,先安排第一块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或运用乘法和加法原理计算,即可得到答案.
21.【答案】解:展开式中所有二项式系数之和为1024,即,,
故二项式系数最大的项为

令,可得

令,可得,

【解析】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于中档题.
由题意利用二项式系数的性质求得n,从而求得二项式系数最大的项.
分别给x赋值,即可得出结论.
22.【答案】解:将A、B插入到其余4人所形成的5个空中,因此,排法种数为;
将A、B两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他4人去安排,
因此,排法种数为;
分以下两种情况讨论:
①若A在排尾,则剩下的5人全排列,故有种排法;
②若A不在排尾,则A有4个位置可选,B有4个位置可选,将剩下的4人全排列,安排在其它4个位置即可,此时,共有种排法.
综上所述,共有种不同的排法种数.

【解析】本题考查了排列、组合的应用,同时也考查了插空法、捆绑法以及分类计数原理的应用,考查计算能力,属于中档题.
利用插空法可求出排法种数;
利用捆绑法可求出排法种数;
分两种情况讨论:①若A在排尾;②若A不在排尾.分别求出每一种情况的排法种数,由加法原理计算可得出答案.
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