第一单元《直角三角形的边角关系》（困难）单元测试卷（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版初中数学九年级下册第一单元《直角三角形的边角关系》（困难）（含答案解析）
考试范围：第一单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在中，，，是的中点，点在上，，连接，则的值为( )
A. B. C. D.
2. 如图，矩形纸片中，，将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，折痕为，点、分别在边和边上．连接，交于点，交于点给出以下结论：
；；和的面积相等；当点与点重合时，，
其中正确的结论共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 是锐角三角形，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点给出下列结论：∽；∽；；其中正确的是( )
A. B. C. D.
5. 为线段上一点，在线段的同侧分别作等边、，连接、相交于，连接若，则( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在中，，点是边上一动点不与、重合，，交于点，且下列结论：当时，与全等；∽；为直角三角形时，为或；其中正确的结论有几个：( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 如图，等边的边长为，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
与可能相等；
与可能相似；
四边形面积的最大值为；
四边形周长的最小值为．
其中，正确结论的序号为( )
A. B. C. D.
8. 学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境．预计花园每平方米造价为元，学校建这个花园需要投资精确到元，参考数据( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
9. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高米数为结果精确到米，参考数据：，( )
A. B. C. D.
10. 某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为( )
A. B. C. D.
11. 某通信公司准备逐步在歌乐山上建设基站．如图，某处斜坡的坡度或坡比为：，通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长米，则通讯塔的高度为参考数据：，，( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
12. 时代，万物互联互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活网络公司在改造时，把某一信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为：身高米的小明站在处测得塔顶的仰角是，向前步行米到达处，再沿斜坡步行米至平台点处，测得塔顶的仰角是，若、、、、、在同一平面内，且、和、、分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为( )
结果精确到米，参考数据：，，，，，
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，在中，，，，是边上一点连接，将沿直线折叠，点落在处，当点在的内部不含边界时，长度的取值范围是_____．
14. 如图，在菱形中，，，分别在边，上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值为______．
15. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了，此时他与水平地面的垂直距离为，则这个坡面的坡度为__________．
16. 在四边形中，，，，，，则的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在中，，，把这个直角三角形绕顶点旋转后得到，其中点正好落在上，与相交于点，求的值．
18. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，点在轴上，点在轴上，，，的角平分线与的垂直平分线的交点在上．
求直线的解析式；
求点的坐标；
轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19. 本小题分
如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点，点是线段上的动点，连结并延长分别交，于点、．
求的长；
若点是线段的中点，求的值．
20. 本小题分
如图，在中，，点在边上，平分交边于，是线段的垂直平分线．
求证：；
若，，求的长．
21. 本小题分
如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形，米，米，车厢底部距离地面米．卸货时，车厢倾斜的角度，问此时车厢的最高点距离地面多少米？精确到
22. 本小题分
某校初三年级“数学兴趣小组”实地测量操场旗杆的高度．旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上，如图所示，测得在操场上的影长，斜坡上的影长，已知斜坡与操场平面的夹角为，同时测得身高的学生在操场 上的影长为求旗杆的高度．结果精确到
提示：同一时刻物高与影长成正比．参考数据：．．
23. 本小题分
如图，某校数学兴趣小组要测量大楼的高度．他们在点处测得楼顶的仰角为，再往大楼方向前进至点处测得楼顶的仰角为，，其中点、、在同一直线上．求的长和大楼的高度结果精确到参考数据：，，．．
24. 本小题分
如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域．
市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
25. 本小题分
如图，分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为米，篮板顶端点到篮筐的距离米，篮板底部支架与支架所成的角，求篮筐到地面的距离精确到米参考数据：，，，，
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，
先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出，，再证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，求出，然后在中利用余弦函数定义求出的值．
【解答】
解：中，，，
，，
是中点，，
，，
，
，
，
，
，
．
设，则，．
在与中，
，，
∽，
，即，
解得
经检验都是方程的解，但由于，负值舍去，
．
在中，，
．
故选C．

2.【答案】
【解析】解：如图，连接，设与交于点，
将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，
垂直平分，
，，，，故正确，
，
，
又，
，
，
又，
，故正确，
，
四边形是菱形，
当点与点重合时，则，
，
，
，即，故正确，
过点作于点，
四边形是菱形，
平分，
，
又为公共边
，即
和的面积不相等，故错误；
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值的有关知识，因为为锐角三角形所以，，得，由在递减，
所以，得，进行求解即可．
【解答】
解：因为为锐角三角形
所以，
得，
由在递减，
所以，
得，
即，
，
，
即，
，
的取值范围是：．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，特殊角的锐角三角函数值，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出及的长．利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质和特殊角的锐角三角函数值等知识，逐一判断，即可得出结论．
【解答】
解：是等边三角形，
，，
在正方形中，
，
，
，
，
，
，
，
∽．
故正确；
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
故正确；
在中，
，
，
，
，
，
∽，
，
故正确；
如图，过作，，
设正方形的边长是，为正三角形，
，，

，
，
，
，
，
故正确．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：如图，作于，设与交于点，
，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
如图，作于首先证明，再证明∽，推出，推出，由，推出，可得，由此即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时，通过相似比计算相应边的长．也考查了解直角三角形．根据等腰三角形的性质，由得，而，则，所以∽，于是可对进行判断；作于，如图，先证明∽，再利用余弦定义计算出，则，当时，可得，则可判断≌，于是可对进行判断；由于为直角三角形，分类讨论：当时，利用∽得到，即，易得，当，如图，利用∽得到，然后在中，根据余弦的定义可计算出，于是可对进行判断；由于，而不是的平分线，可判断与不一定相等，因此与不一定相似，这样得不到，则可对进行判断．
【解答】
解：，
，
而，
，
而，
∽，所以正确；
作于，如图，
，
，
而，
∽，
，
，
在中，
，
，
，
当时，，
，
≌，所以正确；
当时，
∽，
，即，
点与点重合，此时，
当，如图，
∽，
，
在中，，
，
为直角三角形时，为或，所以正确；
，
而不是的平分线，
与不一定相等，
与不一定相似，
不成立，所以错误．
故正确的为，共个．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：在中可知恒大于，大于等于，
，故错误
，
当时，∽，
设，则，
则，
整理得，，故方程有解，故正确
设，
则．
的最大值为，
当时，四边形的面积最大，最大值为，故正确
如图，作点关于的对称点，作，且，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长最小过点作交的延长线于点，交于点．
由题意得，，，
，
，
，
四边形的周长的最小值为，故错误，
所以正确的有，
故选D．
根据三角形的边角关系即可判断．
当时，∽，整理得到一元二次方程，根据根的判别式判断方程有解，即可判断．
设，则，当取最大值时，可得结论，即可判断．
如图，作点关于的对称点，作，且，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长最小求出的长即可判断．
本题考查相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．延长，过作的延长线于点，再根据补角的定义求出的度数，由锐角三角函数的定义接可求出的长，再根据三角形的面积公式求出此三角形的面积，再根据每平方米造价为元计算出所需投资即可．
【解答】
解：延长，过作的延长线于点，
，
，
米，
，
，
米，
，
，
平方米，
所需投资元．
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题中考常考题型．在中求出，在中求出即可解决问题．
【解答】
解：在中，，米，，
，
在中，，，
，
米，
米，
故选B．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了坡度，坡角的概念和特殊角的三角函数值．解题关键是理解坡度的定义．解题时，设坡角为，运用坡度的定义，求出的值，再利用特殊角的三角形函数值求出的度数即可．
【解答】
解：斜坡的坡度，设坡角为，
，
．
故选B．

11.【答案】
【解析】如图，延长与水平线交于，过作，为垂足，过作，为垂足，连接，，
斜坡的坡度为：，
，
设米，则米，
在中，米，由勾股定理得，
，
即，
解得，
米，米，
斜坡的坡度为：，
设米，则米，
，
米，
米，
在中，米，米，
，
，
解得，
米，米，
米，
米，
答：基站塔的高为米．
故选：．
通过作辅助线，利用斜坡的坡度为：，，由勾股定理可求出的长，设出的长，根据坡度表示，进而表示出，由于是等腰直角三角形，可表示，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出．
本题考查解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用，设点处垂线与视线交点为，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于，延长交的延长线于，设，，由的坡度结合勾股定理可得，，通过解直角三角形可得，，两式联立解方程组即可求解值，即求得的值．
【解答】
解：设点处垂线与视线交点为，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于，延长交的延长线于，
设，，
由题意得，
由山坡的坡度为：可得，
，
，
，
，，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
，
联立可得
解得
即为．
故选B．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点落在和上时的值是本题的关键．
由勾股定理可而且的长，分别求出当点落在上时和当点落在上时，的长，即可求解．
【解析】
解：，，，
，
当点落在上时，如图，
将沿折叠，点落在处，
，
，
，
当点落在上时，如图，过点作于，
将沿折叠，点落在处，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
当点在内部不含边界时，长度的取值范围为．
14.【答案】
【解析】解：
延长与交于点，
，
，
，，，
，
，
，
设，，，
，，
，
则，
，
，
，
，
，
．
首先延长与交于点，进而利用翻折变换的性质得出，再利用边角关系得出，的长进而得出答案．
此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出的长是解题关键．
15.【答案】：
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，先画出示意图，求出水平距离，再由坡度的定义即可求解．
【解答】
解：如图所示：
米，米，
在中，，
坡度．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，
，，
，
，
，，
，
又，，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
即是的平分线，
，
是等腰三角形，
．
故答案为：．
利用，可以构造等腰直角三角形，过点作，可得，利用可证≌，可得，则利用线段的和差关系可得，再过点作，可证，则，又利用，可得是的平分线，利用等腰三角形的三线合一的逆定理可得是等腰三角形，则．
本题考查了勾股定理定理，解直角三角形的应用，解题的关键是利用角构造等腰三角形，得到全等三角形．
17.【答案】解：如图，过点作于点，
，，
设，则，
由勾股定理得，
，，
∽，
，
由旋转变换的性质得：
，，而，
，，
，，
∽，
，
【解析】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
如图，作辅助线根据∽，首先求出的长度，进而求出的长度证明∽，得，即可解决问题．
18.【答案】解：，，
，点的坐标为，
，
，
，
的角平分线与的垂直平分线的交点在上，
，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
，得，
即直线的解析式为；
，，的角平分线与的垂直平分线的交点在上，
点，点，
点的坐标为；
点的坐标为，或，．
【解析】
【分析】
本题是一道一次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的数学思想和分类讨论的数学思想解答，注意第问，一定考虑全面，不要漏点．根据题意可以求得点和点的坐标，从而可以求得直线的解析式；
根据点和点的坐标，由点为点和点的中点，即可求得点的坐标；
根据题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的方法可以求得点的坐标．
【解答】
解：见答案；
见答案；
点的坐标为，或，，
理由：当时，
点为的中点，，
，
，
点的坐标为，；
当时，
，
，
点，点，
点的坐标为；
当点在的垂直平分线上时，与轴交于点，
点，点，，，
，
点的坐标为，
由上可得，点的坐标为，或，．
19.【答案】解：平分，，
，
在中，；
，，，
，
，
，
，
点是线段的中点，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
．
【解析】求出，在中，由三角函数得出；
由三角函数得出，得出，证明≌，得出，由平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】证明：是线段的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
，
∽，
，
，
；
解：，，，
，，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
即，
，
．
【解析】由是线段的垂直平分线，可证得，又由平分，可证得，继而可证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
由，，，可求得，，又由，则可求得，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
21.【答案】解：如图，过作于点，延长交的延长线于点，
，，
，
米，
在中，，
那么，
在中，，
点距离地面为．
【解析】要算出点距离地面的距离，只需算出点距离车厢的距离加上米即可．如下图，过作于点，延长交的延长线于点，在中，根据已知条件可以求出，然后可以求出，也就求出了，最后可以求出，加上就是点距离地面．
解决本题的难点是构造所求线段所在的直角三角形，然后利用三角函数的定义得到关于所求线段的关系求出其结果．
22.【答案】解：过作垂直的延长线于，且过作于，
在中，米，
米，米，
米，米，
身高的学生在操场 上的影长为．
，
则米，
米．
电线杆的高度为米．
【解析】根据已知条件，过分别作、的垂线，设垂足为、；在中，已知斜边的长，和的度数，满足解直角三角形的条件，可求出、的长．即可求得、的长；在中，根据同一时刻物高与影长成正比求出的长，即可求得的长，进而可求出．
本题考查了把实际问题转化为数学问题的能力，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．
23.【答案】解：设大楼的高度为，
在中，，，
，
在中，，
，
，，
，
解得：，
．
答：的长为，大楼的高度约为．
【解析】首先设大楼的高度为，在中利用正切函数的定义可求得，然后根据的正切求得的长，又由，可得方程，解此方程即可，再根据正切函数的定义求得答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角、俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想与方程思想的应用．
24.【答案】解：市会受到台风的影响．
理由：过点作于，
中，，
，
市会受到台风的影响；
以为圆心，为半径画弧交于点、，
在中，
，
，
市受这次台风影响的时间为：小时．

【解析】是否会受到影响，需要求得点到台风所走路线的最短距离，根据垂线段最短，即作于，再根据直角三角形的性质进行计算比较；
需要计算出受影响的总路程，再根据时间路程速度进行计算．
25.【答案】解：延长交的延长线于，过作于，
在中，，
，
，
在中，，，
，
，
米．
答：篮筐到地面的距离是米．
【解析】延长交的延长线于，过作于，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)