【解析版】上海市黄浦区2014届高三上学期期末（一模）考试数学（理）试题

考试试卷黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研
数学试卷（理科） 2014.1.9
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．
2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）
1.函数的定义域是 ．
2.己知全集，集合，，
则 .
3.已知幂函数存在反函数，且反函数过点（2，4），则的解析式是 .
【答案】
【解析】
试题分析：首先要弄清幂函数的形式，其次要弄懂反函数的性质，反函数图象过点，说明原函数图象过点，设，则，则，故.
考点：幂函数，反函数的性质.
4.方程的解是 .
5.己知数列是公差为2的等差数列，若是和的等比中项，则=________.
6.已知向量，,若∥，则代数式的值是　　　　　．
【答案】5
【解析】
试题分析：利用向量平行的充要条件，由∥得，即，代入求值式即得．
考点：向量平行．
7.三阶行列式中元素4的代数余子式的值记为，则函数的最小值为
8.各项都为正数的无穷等比数列，满足且是增广矩阵的线性方程组的解，则无穷等比数列各项和的数值是 _________.
9.的二项展开式的常数项的值是__________．
【答案】5005
【解析】
试题分析：其二项展开式的通项公式为，令，即，所以常数项为第7项．
考点：二项展开式的通项公式．
10.把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里 ．则恰好有一个盒子空的概率是 （结果用最简分数表示）
11.将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图是一个圆和扇形，己知该扇形的半径为24cm，圆心角为，则圆锥的体积是________.
12.从某项有400人参加的群众性运动的达标测试中，随机地抽取50人的成绩统计成如下表，则400人的成绩的标准差的点估计值是 ．
分数
5
4
3
2
1
人数
5
15
20
5
5
【答案】
【解析】
试题分析：在统计学中，一般用样本来估计总体，即本题中我们用样本的标准差来估计总体的标准差，对容量为的样本，其方差为，本题中样本容量为50，计算出，因此标准差为，此即为总体400人的成绩的标准差．
考点：方差与标准差，总体与样本．
13.设向量，，其中，由不等式 恒成立，可以证明（柯西）不等式（当且仅当∥，即时等号成立），己知，若恒成立，利用可西不等式可求得实数的取值范围是
14.．己知数列满足，则数列的前2016项的和的值是___________．
【答案】1017072
【解析】
试题分析：这个数列既不是等差数列也不是等比数列，因此我们要研究数列的各项之间有什么关系，与它们的和有什么联系？把已知条件具体化，有，，，，…，，，我们的目的是求，因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和，可能首先想到把出现“＋”的式子相加（即为偶数的式子相加），将会得到，好像离目标很近了，但少，而与分布在首尾两个式子中，那么能否把首尾两个式子相减呢？相减后得到
二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
15.己知实数满足,则“成立”是“成立”的（ ）.
充分非必要条件． 　 必要非充分条件．
充要条件． 　 　 既非充分又非必要条件．
【答案】C
【解析】
试题分析：这是考查不等式的性质，由于，因此不等式两边同乘以可得，即，
16.已知空间两条直线，两个平面，给出下面四个命题：
① ②，；
③ ④
其中正确命题的序号是（ ）.
①④ ②③ ①②④ ①③④
17.某程序框图如图所示，现在输入下列四个函数，则可以输出函数是（　）

　　
18.己知，下列结论正确的是　　　　　　　　（　　　）
若，则
若，则
若 ，则
若（为复数的共轭复数），则纯虚数．
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．
已知三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示：
（1）联结，求异面直线与所成角的大小；
（2）联结、，求三棱锥C1－BCA1的体积．
【答案】（1）；（2）．
∴即四边形为正方形．
∴异面直线与所成角的大小为．
20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分 ．
已知函数（，c是实数常数）的图像上的一个最高点，与该最高点最近的一个最低点是，
(1)求函数的解析式及其单调增区间；
(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，角A的取值范围是区间M，当时，试求函数的取值范围.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分10分 ．
我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元）．
求该村的第x天的旅游收入（单位千元，1≤x≤30，）的函数关系；
若以最低日收入的20％作为每一天的计量依据，并以纯收入的5％的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？
【答案】（1）；（2）能收回投资．
【解析】
试题解析：(1)依据题意，有
=
所以，日最低收入为1116千元.
该村两年可收回的投资资金为=8035.2(千元)=803.52(万元) .
因803.52万元800万元，
所以，该村两年内能收回全部投资资金.
考点：（1）分段函数解析式；（2）分段函数的最值问题．
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分6分，第（2）满分6分,第（3）小题满分6分.
已知函数（其中是实数常数，）
若，函数的图像关于点（—1，3）成中心对称，求的值；
若函数满足条件（1），且对任意，总有，求的取值范围；
若b=0，函数是奇函数，，，且对任意时，不等式恒成立，求负实数的取值范围．
　类比函数的图像，可知函数的图像的对称中心是．
　又函数的图像的对称中心是，

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.
已知数列，满足，，
（1）已知，求数列所满足的通项公式；
（2）求数列 的通项公式；
（3）己知，设＝，常数,若数列是等差数列，记，求.
由（1）得，
　又，可求得．
　当时，，符合公式．
数列的通项公式．
(3)由(2)知，，．又是等差数列，
因此，当且仅当是关于的一次函数或常值函数，即()．
于是，，