【解析版】上海市徐汇区2014届高三上学期期末（一模）考试数学（理）试题

一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）
1.计算：= .
2.函数的最小正周期是 .
3.计算：= .
【答案】
【解析】
试题分析：本题是矩阵的运算，涉及到矩阵的数乘与矩阵的加法，因此的数乘与
考点：矩阵的运算．
4.已知，，则x= .（结果用反三角函数表示）
5.直线与直线，若的方向向量是的法向量，则实数a= .
6.如果()那么共有 项.
【答案】
【解析】
试题分析： 是一个数列的和，我们要弄清它到底是多少项的和，观察每项的特征，每项都是一个分数，分子都是1，分母依次为，因此有共项，从而中共有项数为．
考点：数列的项数．
7.若函数的图像经过(0,1)点，则函数的反函数的图像必经过点 .
8.某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为 .（结论用数值表示）
9.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m= .
10.在平面直角坐标系中，动点P和点M(-2,0)、N(2,0)满足，则动点P(x,y)的轨迹方程为 .
11.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为 .
12.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为 .
【答案】
【解析】
13.一个五位数满足且(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律”.
14.定义区间、、、的长度均为.已知实数.则满足的x构成的区间的长度之和为 .
【答案】2
【解析】
试题分析：本题实质上就是解分式不等式，把不等式变形为，即，且，，其中，因此不等式的解为或，因此所求长度之和为2．
考点：解含参数的分式不等式．
二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
15.直线的倾斜角是-----------------------（ ）
(A) (B) (C) (D)
16.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点----------------------------------------------------------------------------------------------（ ）
(A) 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
(C) 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
(D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
【答案】B
【解析】
试题分析：这题考查函数图象的两个变换，平移变换，周期变换，当把函数图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，则得函数的图象，故本题选B.
考点：三角函数的图象变换.
17.函数是奇函数的充要条件是--------------------------------------------（ ）
(A) (B) (C) (D)
18.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①； ②；
③； ④.
其中是“垂直对点集”的序号是----------------------------------------------------（ ）
(A) ①② (B) ②③ (C) ①④ (D) ②④
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（本题满分12分）
在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程的两个根，且，求△ABC的面积及AB的长.
20.（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）
已知函数.
（1）若，求实数x的取值范围；
（2）求的最大值.
大值中取最大的一个就是我们所要求的最大值；当然这题我们可以借助于（1）的结论，最大值一定在（1）中解集区间里取得，从而可以避免再去分类讨论，从而简化它的过程．
21.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）
某种海洋生物身体的长度（单位：米）与生长年限t（单位：年）
满足如下的函数关系：.（设该生物出生时t=0）
（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；
（2）设出生后第年，该生物长得最快，求的值.
由知，所求有年份为第4年和第5年，两年内各生长了米．………14分
考点：（1）解不等式；（2）换元法与函数的最值．
22.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）
给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是.
（1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标；
（3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
，又有，可解得，故存在．
试题解析：（1）由题意：，则，所以椭圆的方程为，------2分
其“伴随圆”的方程为．-----------------------4分
（3）过的直线的方程为：，
即，得------------------------12分
?由于圆心到直线的距离为
，---------------------------------------14分
考点：
23.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）
称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：
①；②.
（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；
（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”的前k项和为：
（i）求证：；
（ii）若存在使，试问数列能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.
【答案】（1）．或；
（2）；
（3）（i）证明见解析；（ii）不能，证明见解析．
如果是阶“期待数列”，
记数列的前项和为，