【解析版】上海市徐汇区2014届高三上学期期末（一模）考试数学（文）试题

一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）
1.计算：= .
2.函数的最小正周期是 .
3.计算：= .
【答案】
【解析】
试题分析：本题是矩阵的运算，涉及到矩阵的数乘与矩阵的加法，因此的数乘与
考点：矩阵的运算．
4.已知集合则集合＝____________．
5．已知，，则x= .（结果用反三角函数表示）
6.直线与直线，若的方向向量是的法向量，则实数a= .
【答案】
【解析】
试题分析：直线的方向向量是，直线的法向量是，题意告诉我们这两个向量是平行向量，故，即．
考点：直线的方向向量与法向量．
7.如果()那么共有 项.
8.若函数的图像经过(0,1)点，则函数的反函数的图像必经过点 .
9.某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为 .（结论用数值表示）
10.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m= .
11.函数图像的对称轴方程_____________．
12.在平面直角坐标系中，动点P和点M(-2,0)、N(2,0)满足，则动点P(x,y)的轨迹方程为 .
13.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为 .
【答案】4
【解析】
试题分析：一列数的
平均数，方差为，把已知的数代入平均数公式可得，，代入方差公式得，由此有
，从而．
考点：平均数，方差．
14.一个五位数满足且(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律”.
二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
15.对于集合和，“”是“”的-----------( )
（Ａ）充分不必要条件 （Ｂ）必要不充分条件
（Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：这题主要要理解集合的交集与并集的含义，交集是两个集合的公共元素组成的，而并集是把两个集合的元素都放在一起，因此交集中的元素一定属于并集，而并集中的元素不一定属于交集，故应该选B．
考点：集合的交集与并集，充要条件．
16.直线的倾斜角是-----------------------（ ）
(A) (B) (C) (D)
17.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点----------------------------------------------------------------------------------------------（ ）
(A) 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
(C) 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
(D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
18.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①； ②；
则以下选项正确的是（）
?(A) ①是“垂直对点集” ，②不是“垂直对点集”
(B) ①不是“垂直对点集”，②是“垂直对点集”
(C) ①②都是“垂直对点集”
(D) ①②都不是“垂直对点集”
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（本题满分12分）
在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程的两个根，且，求△ABC的面积及AB的长.
【答案】，．
【解析】
试题分析：这题属于解三角形的问题，
试题解析：，………………………2分
20.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）
某种海洋生物身体的长度（单位：米）与生长年限t（单位：年）
满足如下的函数关系：.（设该生物出生时t=0）
（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；
（2）该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪一年长得更快．
（2）由于
，-------------------------------12分
所以，第3年长了米，第4年长了米，因为，
?所以第4年长得快。-----------------------------------14分
考点：（1）解不等式；（2）函数值计算．
21.（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）
已知函数.
（1）若，求实数x的取值范围；
（2）求的最大值.
试题解析：（1）当时，---------------------------------------1分
由，得，
整理得，所以；------------------------------3分
当时，，--------------------------------------------4分
23.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）
给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是.
（1）若椭圆C上一动点满足，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，求P点的坐标；
（3）已知，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
由直线截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，可得
，得------②------------------------------8分
?由①②得，又，故，所以点坐标为．-----10分
考点：
22.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）
称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：
①；②.
（1）若数列的通项公式是，
试判断数列是否为2014阶“期待数列”，并说明理由；
（2）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；
（3）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
试题解析：（1）因为，----------------------------2分
?所以
，
所以数列为2014阶“期待数列”---------------------------------4分
两式相减得，， ∴，
又，得，