【解析版】山东省烟台市2014届高三上学期期末考试 数学理科试题

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山东省烟台市2014届高三上学期期末考试
数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为( )
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A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：图中阴影部分表示的集合为.
因为，
所以，，，选D.
考点：集合的运算，简单不等式解法
2.在递减等差数列中，若，则取最大值时n等于( )
A．2　　　　　 B．3 　　　　　C．4　　　　D．2或3
3.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )21教育网
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A．　　　　　B． 　　　　C．　　　　　D．
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4.设，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
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5.设m、n是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：
①． ②．
③． ④．，其中正确的命题是( )
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】
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6.在ABC中，若、的对边长分别为b、c，，，则( )
A． B． C． D．或
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7.函数的图像可能是( )
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【答案】B
【解析】
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8.若点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 为圆的弦 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的中点，则弦 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 所在直线方程为( )
A． B．
C． D．
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9.若点P是函数图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由导数的几何意义，函数图象上任意一点P处切线的斜率，等于该点的导函数值.而，当且仅当时等号成立，即，所以的最小值是，故选B.21cnjy.com
考点：导数的几何意义，导数的计算，基本不等式，直线的斜率、倾斜角..
10.已知直线l过抛物线的焦点F，交抛物线于A、B两点，且点A、B到y轴的距离分别为m、n，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的最小值为( )www.21-cn-jy.com
A． B． C．4 D．6
( http: / / www.21cnjy.com )11.如图，O为线段外一点，若中任意相邻两点的距离相等，a，b用a，b表示其结果为( )
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设的中点为，则也是的中点，
由向量的中点公式可得
，同理可得
，
故，选B.
考点：平面向量的线性运算，向量的中点公式.
12.定义在R上的函数，如果存在函数(k,b为常数），使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数．现有如下命题：
①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个．
②函数为函数的一个承托函数．
③定义域和值域都是R的函数不存在承托函数．
其中正确命题的序号是：( )
A．①　　　　　B．②　　　　　C．①③　　　　D．②③
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第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13.已知，且，则______________.
【答案】
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14.若x，y满足约束条件，则目标函数的最大值是_____________．
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15.已知，不等式成立，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
【解析】
试题分析：由绝对值的几何意义，，所以恒成立，须恒成立.所以，故答案为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 .
考点：绝对值的几何意义，对数函数的性质.
16.已知函数R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=____________．
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三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com )18.（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD中，，平面ABCD，平面ABCD，
(1)求证：平面BDE；
(2)求锐二面角的大小．
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确定得到 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，由<,>及二面角——为锐二面角，得解.
“向量法”往往能将复杂的证明问题，转化成计算问题，达到化繁为简，化难为易的目的.
试题解析：（1）证明：连接、，设，
∵为菱形，∴，以为原点，，为、轴正向，轴过且平行于，建立空间直角坐标系（图1），………… 2分21·cn·jy·com
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19.（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为Sn，对一切正整数n，点在函数的图像上，且过点的切线的斜率为kn．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和Tn．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ………9分 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．……………………… 12分
考点：导数的几何意义，数列的通项公式，“错位相减法”.
20.（本小题满分12分）
近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足(其中，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本10+2P万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元／件．2·1·c·n·j·y
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
21.（本小题满分13分）
已知函数．
(1)若曲线在x=l和x=3处的切线互相平行，求a的值及函数的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com )问题进一步转化成确定 ( http: / / www.21cnjy.com )的最大值，注意到 ( http: / / www.21cnjy.com )，
分 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )时，分别讨论.
( http: / / www.21cnjy.com )
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，令，
，所以递减，所以，满足题意，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )满足题意；……………10分
②当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )得 ( http: / / www.21cnjy.com ) ，……12分
综上所述， ( http: / / www.21cnjy.com ).…………… 13分
考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值.
22.（本小题满分13分）
椭圆与双曲线有公共的焦点，过椭圆E的右顶点作任意直线l，设直线l交抛物线于M、N两点，且．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设P是椭圆E上第一象限内的点，点P ( http: / / www.21cnjy.com )关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴相交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否相互垂直？并证明你的结论．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )由得证.
试题解析：(1)设点,
设直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,代入并整理得
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