【解析版】山东省淄博市2014届高三上学期期末考试 数学（理）试题

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山东省淄博市2014届高三上学期期末考试
数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
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2.复数z满足，则复数（ ）
A．1+3i B． l-3i C．3+ i D．3-i
( http: / / www.21cnjy.com )3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：判定函数的奇偶性，首先关注函数的定义域是否关于原点对称，其次，研究的关系.显然，定义域不符合奇偶性要求；而在均是增函数，但不能说其在定义域上是增函数，故选A.
考点：函数的奇偶性、单调性.
4.执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
( http: / / www.21cnjy.com )5.已知实数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 则“ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
试题分析：由不一定得到，如时，不成立；反之，时，也不一定有，故选D.
考点：不等式的性质，充要条件.
6.已知，等比数列的公比为正数，且，，则（ ）
A． B． C． D．2
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7.如图所示的三棱柱，其正视图是一个边长为2的正方形，其俯视图是一个正三角形，该三棱柱侧视图的面积为（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．4
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8.已知函数①，②，则下列结论正确的是（ ）
A．两个函数的图象均关于点成中心对称
B．两个函数的图象均关于直线对称
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．可以将函数②的图像向左平移个单位得到函数①的图像
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9.函数的图象大致为（ ）
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10.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足，则△ABC的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
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11.下列四个命题：
①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；
②某只股票经历了10个跌停（下跌10%）后需再经过10个涨停（上涨10%）就可以回到原来的净值；
③某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a、b，则这两个级部的数学平均分为；www.21-cn-jy.com
④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级 ( http: / / www.21cnjy.com )全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从l到800进行编号．已知从497～513这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组1～16中随机抽到的学生编号是7．2·1·c·n·j·y
其中真命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
( http: / / www.21cnjy.com )假定第一组抽到，则，所以④是真命题.故选C.
考点：方差，系统抽样，平均数.
12.已知A、B、P是双曲线上的不同三点，且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 关于坐标原点对称，若直线PA、PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
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第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13.计算定积分____________.
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14.已知函数，函数零点的个数是________．
【答案】2
( http: / / www.21cnjy.com )15.设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，其中 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 满足，若z的最大值为2014，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的值为_______．
【答案】 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
【解析】
试题分析：画出满足约束条件的平面区域（如图）及直线，平移直线可知，当其经过点时，取到最大值.由得.
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考点：简单线性规划的应用
16.若实数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 满足 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的最大值是________．
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三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且．
（I）求A的大小；
（Ⅱ）若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，试求内角B、C的大小．
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18.（本小题满分12分）四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形；侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．21教育网
（I）证明：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C平面角的余弦值．
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( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )所以， ……………10分
故二面角B―DE―C平面角的余弦值为． ……………12分
考点：直线与平面垂直，二面角的计算，空间向量的应用.
19.（本小题满分12分）请你设计一个包装 ( http: / / www.21cnjy.com )盒，如图所示ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个四棱柱形状的包装盒，其中E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB= xcm．21cnjy.com
（I）某广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值；
（II）某广告商要求包装盒容积V(cm 3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．21·世纪*教育网
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( http: / / www.21cnjy.com )（Ⅰ） ( http: / / www.21cnjy.com ) …………4分
所以当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，S取得最大值． …………6分
（Ⅱ）． …………8分
由 ( http: / / www.21cnjy.com )由得：（舍）或x=20．
当时，；
当时，；
所以当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，V取得极大值，也是最小值． …………10分
此时 ( http: / / www.21cnjy.com )，装盒的高与底面边长的比值为 ( http: / / www.21cnjy.com ) …………12分
考点：几何体的体积与表面积，二次函数，应用导数研究函数的单调性、最值.
20.（本小题满分12分）等差数列中，，其前n项和为，等比数列中各项均为正数，b1 =1，且，数列{bn}的公比．www-2-1-cnjy-com
（I）求数列与的通项公式；
（Ⅱ）证明： ．
【答案】（Ⅰ） ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ).（Ⅱ）证明：见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设分别为数列的公差、数列的公比．
由题意知，建立的方程组即得解.
（Ⅱ）利用“裂项相消法”求得 ( http: / / www.21cnjy.com ),
根据 ( http: / / www.21cnjy.com ).
从而得到 ( http: / / www.21cnjy.com ).
试题解析：（Ⅰ）由于，可得，………………2分
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )（舍去）， ………………………3分
，， ………………………4分
( http: / / www.21cnjy.com ) ………………………5分
( http: / / www.21cnjy.com ) ………………………6分
（Ⅱ）证明：由，得 ( http: / / www.21cnjy.com ) ………………………7分
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )…………9分
( http: / / www.21cnjy.com ) …………11分
故 ( http: / / www.21cnjy.com ) …………12分
考点：等差数列、等比数列，“裂项相消法”，不等式证明.
21.（本小题满分13分）
已知动圆C与圆相外切，与圆相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A．
（I）求轨迹T的方程；
(Ⅱ)已知直线l：y=kx+m与轨迹为T相 ( http: / / www.21cnjy.com )交于M、N两点（M、N不在x轴上）．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21·cn·jy·com
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线：恒过定点．
试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义可知点C的轨迹T是椭圆，其方程是.
（Ⅱ）将代入椭圆方程得：．
( http: / / www.21cnjy.com )代入（*式）得：，
或都满足， ……………………12分
由于直线：与x轴的交点为（），
当时，直线恒过定点，不合题意舍去，
，直线：恒过定点．………………………13分
考点：椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算.
22.（本小题满分13分）
已知函数（a为非零常数）图像上点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 处的切线与直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 平行（其中 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ）．
（I）求函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 解析式；
（Ⅱ）求函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 上的最小值；
（Ⅲ）若斜率为k的直线与曲线交于A(x1，y1)、（）两点，求证：．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )（II）,
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
单调递减 极小值(最小值) 单调递增
( http: / / www.21cnjy.com )①设，则，
故在上是增函数，
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