广东省广州市番禺区2022-2023学年高一下学期开学考数学试题（含解析）

广州市番禺区2022-2023学年高一下学期开学考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
2.已知角的终边与单位圆交点坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件为（ ）
A. B. C. D.
4.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
5.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.下列函数的最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
7.若定义在R的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若，，，为实数，且，则下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.周期为
B.直线是图像的一条对称轴
C.点是图像的一个对称中心
D.将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像
11.如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（ ）
A.的值为3
B.浮萍每月的增长面积相同
C.第3个月时，浮萍面积超过
D.若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则
12.若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.______.
14.已知函数，则______；______.
15.命题“，”的否定是______.
16.设满足，满足，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知，且______，求的值.
请从下列①②③中任选两个补充在空格上，并给予解答。
三个条件分别是：①；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.
18.（12分）
已知幂函数经过.
（1）求的值；
（2）若，试判断在的单调性并用定义法证明.
19.（12分）
已知函数，
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的最小值.
20.（12分）
若函数.
（1）写出当时，的解析式；
（2）在给定的坐标轴上，画出的图象；
（3）试讨论函数的图象与直线的交点个数.
21.（12分）
已知函数
（1）证明：为奇函数；
（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
22.（12分）
Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.已知目前疫情在该地区发生第53天，累计确诊病例数达最大确诊病例数的一半.
（1）求的值；
（2）为了切实保障人民群众的基本生活需要，目前政府需要根据疫情发展部署进一步强化生活必需品市场供应保障的工作。请你根据上述Logistic模型预测：
①第54天单日新增确诊病例数；（结果用含的代数式表示）
②约多少天后累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%？请说明理由.
参考数据：，.
广州市番禺区2022-2023学年高一下学期开学考
数学试题
答案
说明：
1.参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数。
2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.C 2.D 3.A 4.A 5.C 6.В 7.D 8.B
1.解：集合，，故选C.
2.解：三角函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标为该角的余弦值，故选D.
3.解：因为方程有实数解，所以，解得，所以方程有实数解的一个必要不充分条件为，故选A.
4.解：选项A满足题意，其中选项B不满足定义域和值域，选项C的定义域为，选项D根据函数定义知，对于每一个都有唯一确定的对应，所以不是函数的图象；故选A.
5.解：因为即，所以，故选C.
6.解：选项A为对勾函数，无最小值；选项B，当时，取最小值，成立；选项C，，而当时，才能取最小值；选项D，，故选B.
7.解：依题意可得如下示意图，观察图象可得的解集为，故选D.
8.解：本题为《必修一》课本141页第13题改编.
法①构造函数比较大小：参考《必修一（教师用书）》P196提供答案
，的图象在函数图象的上方，且随着的增大，两条曲线越来越接近.这说明，随着的增大，两个函数的值越来越接近.∵所以随着的增大，比值越来越小，且趋向1.∴是上的减函数；∴，故答案选B.
法②作差法比较大：∵在是凸函数，，，，，，由图可知，∴.
∴即；
同理可得，故选B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.BCD 10.AC 11.ACD 12.ABD
9.解：对于选项A：因为，由不等式性质可知，，故A错误；对于选项B：因为，由不等式性质可知：，，故B正确；对于选项C：因为，由不等式性质可知，，故C正确；对于选项D：因为，显然，由不等式可知，，故D正确.故选：BCD.
10.对于选项A：由函数图像可知，最小正周期为，故A正确；对于选项B：由函数图像可知，为其一条对称轴，因此其对称轴可表示为，，无论取何值，，故B不正确；对于选项C：由函数图像可知，点是图像的一个对称中心，故C正确；对于选项D：由函数图像可知，向右平移个单位长度或向左平移个单位长度，可得到一个关于轴对称的图象，故D不正确；故选AC.
11.解：对于A选项，图象可知，函数过点，∴，∴函数解析式为，选项A正确；对于B选项，∵函数是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，选项B错误，对于C选项，当时，，故选项C正确，对于D选项，∵，，，∴，，，又∵，∴，选项D正确；故选ACD.
12.解：由已知可得函数的定义域为，满足①，且，对于选项A，可令，代入①式，得，得，所以A选项是正确的；对于选项B，可令，代入①式，得，得，所以B选项是正确的；对于选项C，可令，代入①式，得，而得，可令代入①式，得，整理得，所以C选项是错误的，D选项是正确的，故选ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.. 14.2，. 15.，. 16.1.
评分说明：第15题写为，给5分.
16.《必修一（教师用书）》P218第5题.解：∵满足，∴，令，即，，化简得.又∵满足，即和均满足方程.而函数为上的连续函数且单调递增，，，∴在上存在唯一零点，方程有且只有一个根，∴，即.故.
四、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。
17.（10分）
解答一选择①② 按题意选择两个序号，给1分……1分
∵，∴公式和计算结果正确，各1分……3分
∵∴，……4分
∴，公式和计算结果正确，各1分……6分
∴……7分……8分
……9分. ……10分
解答二①③ 按题意选择两个序号，给1分……1分
∵，∴，公式和计算结果正确，各1分……3分
∵，∴，……4分
∴，公式和计算结果正确，各1分……6分
∴……7分……8分
……9分. ……10分
解答三②③ 按题意选择两个序号，给1分……1分
∵，∴，，……2分
∴，公式和计算结果正确，各1分……3分
，公式和计算结果正确，各1分……5分
∴……6分
……7分
……8分.……9分
∴，
∵，∴，只要结果正确，给1分……10分
18.（12分）
解：（1）∵幂函数经过，∴，……2分∴解得. ……4分
（2），，……5分任取，……6分
，……7分，……8分
∵，，，写错一个范围，扣1分……10分
∴，即，……11分
∴在上单调递增. ……12分
19.（本小题满分12分）
解：（1）解法一：∵，∴，……1分
∴，……2分∵，……3分∴. ……4分
解法二：∵，∴，……1分
∵，∴，……2分
∴，……3分∴. ……4分
（2），令，……5分
得，.即，，……6分
所以，的单调递增区间为，. ……8分
评分说明：
①区间和“”，各给1分.
②在第（2）问论述中，只要出现一次，即可.
（3）∵，∴，……10分
∴当，即时，……11分∴. ……12分
20.（12分）
解：（1）当时，的解析式为.……2分
（2）由（1）知，当时，.没有，扣1分……3分
如图所示，为所求函数图象……6分
评分说明：
①图象做出左图或右图均可给3分，字母标记不一样或没标记均给分；
②在左图中，能体现，，各给1分，字母标记不一样或没标记均给分；其中，用于说明当时二次函数的图象，用于说明当时二次函数的图象，其他条件能发挥同等作用，均可给分；
③在右图中，能体现，，各给1分，字母标记不一样或没标记均给分；其中，用于说明当时二次函数的图象，用于说明当时二次函数的图象，其他条件能发挥同等作用，均可给分；
④只是坐标正确，函数图象形状不正确（如：用线段把关键点连接）的情况给0分.
（3）由（2）可得，当时，.
结合（2）所画图象，函数图象与直线的交点个数情况如下：
①当时，，函数图象与直线有1个交点. ……8分
②当时，，函数图象与直线有2个交点.……10分
③当时，，函数图象与直线有3个交点.……12分
综上所述，函数图象与直线的交点个数情况是当时，两个图象有1个交点；当时，两个图象有2个交点；当时，两个图象有3个交点.
评分说明：
第（3）问分类讨论情况①中分类标准“”给1分，判断“有1个交点”给1分，只要分类标准错误，给0分；其他分类讨论情况的给分方式参照情况①；不作“综上所述”不扣分.
21.（12分）
解：（1）函数定义域为，……1分，……2分
，……3分，……4分所以函数为奇函数. ……5分
（2）由题知：当，恒成立，……6分则，……7分
令，，……9分所以，……10分
即，又，当且仅当时等号成立，……11分
而，所以，则. ……12分
22.（12分）
解：（1）∵，……1分∴，……2分
∴即，写出两个等式中的一个，即可……3分∴. ……4分
（2）由（1）知，，……5分
∵，……6分
∵，……7分∴，……8分
故第54天单日新增确诊病例数为.
（3）依题意得：，……9分
∴，∴，∴，……10分
∴，……11分∴，……12分
故约20天后，累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%.
评分说明：
第（3）问分类讨论情况①中分类标准“”给1分，判断“有1个交点”给1分，其他分类讨论情况给分相同；不作“综上所述”不扣分