开学考试理科数学答案
1.A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.A 7.B 8.D 9．C 10．A 11.B 12.D
13． 14． 15． 16.
17.【解析】（1）设数列的公差为，则，，，
由得，，∴，或.
当时，，；
当时，，.
（2）若，即，∴，，又，
∴，∴.
18．(1)4 (2)
【详解】（1）解：在中，，且，所以.
因为，，所以.
在，由正弦定理可得，
所以.
（2）因为，所以，
所以，即：，可得.
在中，由余弦定理可得，
所以，解得或（舍去）.
因为，所以.
在中，由余弦定理可得
所以的周长为.
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为底面ABCD为矩形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，
所以平面平面PAB，
又平面CDE，所以平面PAB．
（2）
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，．
因为在上的投影为3，所以F的坐标为．
设平面ACF的法向量为，，，
则，即令，得．
设平面ACE的法向量为，，，
则，即，令，得．
由，得平面ACF和平面ACE所成锐二面角的余弦值为．
20．(1)；(2)选①和②答案都是.
【详解】（1）解：因为，，
所以
，
当时，，
所以或.
所以或.
当，时，；
当时，.
综合得.
（2）解：若选①，
由正弦定理可得，
即，
即，
由于，所以，解得，
由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范围是.
若选②，
由正弦定理可得，
即，
由于，所以，由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范围是.
21．(1)
(2)是，直线l恒过定点．
【详解】（1）由过F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为3，可得此时线段RS垂直于轴，
设椭圆的半焦距为，
将代入可得，所以，
所以根据题意可得，解得，
所以C的方程为；
（2）由（1）可知，当直线l斜率存在时，设直线l方程为，
联立消去y，整理得，，
所以，，
因为，
所以，
所以，即，
所以，即，所以或，均符合．
当时，直线恒过定点，因为直线不过点A，所以舍去；
当时，直线恒过定点．
当直线斜率不存在时，设直线，不妨设，则，
则，且，
解得或(舍去)；
此时直线l过定点，
综上，直线l恒过定点．
22.【解析】（1）当时，，
，，，
曲线在处的切线方程为，即.
（2），，
当时，，在上递增，至多一个零点，不合题意；
当时，在上递增，在上递减，须有，∴，
又时，；时，，
∴有两个零点，的取值范围为，
要证，只要证，
不妨设，由，则
构造函数（），
，
∵，∴，∴在是递增，又，∴，∴，∴，又，∴，
而，，在上递减，∴，即，∴.丰城九中 2023 届高三下学期开学考试理科数学（满 x y 1 0, 2 2
分 150 分，考试用时 120 分钟） 7.若 x， y满足约束条件 x y 1 0, 则 z x 4 y 1 的取值范围是（ ）
2x y 2 0,
A. 10,25 B. 5,16 C. 10,4 D. 5,4 一、单选题（每道题只有一个符合题意的答案，每小题 5分，共 60 分）
1.定义集合 A B x y x A且y B .已知集合 A 2,4,6 ，B 1,1 ，则 A B中元素 8．2020 年 1 月 11 日，被誉为“中国天眼”的 500 米口径球面射电望远镜（简称 FAST）开放运行. FAST
的反射面的形状近似为球冠.球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圆为球冠的底，垂直于截
的个数为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7 面的直径被截得的一段为球冠的高.某科技馆制作了一个 FAST 模型，其口径为2 6米，反射面总
1 4i
2. 的实部与虚部之和为（ ）
2 4i 面积为8π平方米，若模型的厚度忽略不计，则截出该球冠模型的球的体积为（ ）（注：球冠表
1 1 13 13
A. B. C. D. 面积 S 2πRh，其中 R 是球的半径，h 是球冠的高）
10 10 10 10
a a
3.在数列 an 中， a1 14， n 1 n2n 1 2n 1 3，则（ ） 32 2π 64 2π
A．16 2π B．32π C． 3 D． 3
A.
an a n 3 是等比数列 B.
n
n 3 是等比数列2 2 9．设 sin cos x sin
3 cos3，且 a3x
3 a2x
2 a1x a0，则 a0 a1 a2 a （ ） 3
A 1 B 1a 3 a 3 ．－ ． 2 C．1 D． 2
C. n
是等比数列 D. n
2n 2
2n
是等比数列2
10 C : x
2 y2
．已知椭圆 1 a b 0 上存在两点M ,N关于直线3x 3y 1 02 2 对称，且线段MN中a b
4.过点 1,2 2作直线，使它与抛物线 y 4x仅有一个公共点，这样的直线有（ ） 5
点的纵坐标为 ，则椭圆C的离心率是（ ）
3
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2
A 6 2 6 2 2． B． C． D．
5.将 y 2sin 2x的图象向右平移 个单位长度得到 f x 的图象，则（ ） 6 6 3 3
6
3
f x 2sin 2x 11.已知 ln 2 0.69
27 3.1 109
，设 a ，b
A. B. f x 的图象关于直线 x 对称 10lg8 23.1
， c ，则（ ）
3 33 12
A. a c b B. b a c C. a b c D. b c a
C. f x 的图象关于点 ,0 对称 D. f x
0, 在 内是增函数 12.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，平面 PAD 平面 ABCD， AB 1，
6 2 AP PD BC 2，E为 BC的中点，M为 PE上的动点，N为平面 APD内的动点，则 BM MN
1
6.已知三个单位向量 a，b， c满足 a b ，则 a b c 的最小值为（ ）的最大值为（ ）4
10 5 11
A. B.2 C. D. 2 5 2 5 2 3
2 2 2 A. 1 2 B. C. D.3 3 2
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二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） x x x
20 m 3 sin ,1 n cos ,sin 2．已知向量 ， ，设函数 f x m n .
2 2 2
13．在正六边形 ABCDEF 中，向量EF在向量CD上的投影向量是m CD，则m _________．
(1)若 f x 0，求 sin 2x
π
的值；
14．设等差数列 an
a5 9 6
的前 n 项和为 Sn ,a1 0且 S na 11，当 n取最大值时， 的值为____________．4 (2)设 ABC的内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，且________，求 f B 的取值范围.从下面
2
15.设 P是椭圆M : x y2 1上的任一点，EF为圆 N : x2 y 2 y 0 的任一条直径，则
2 PE PF
的
两个条件中任选一个，补充在上面的空隔中作答.
最大值为__________．
① 3c tan A tan B 0；② 2c b cos A acosB 0；注：若选择多个条件分别解答，则按
16. a cos B已知函数 f x ex 1 ， x1 0 x2 2，函数 f x 的图象在点 A x1, f x1 和点
第一个解答计分.
B x2 , f x2 处的两条切线互相垂直，且分別交 y轴于M ，N 两点，则 MN 的取值范围是
_______.
x2 y2
三、解答题（需给出必要的过程及文字说明，共 70 分） 21．已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 的右焦点为 F，过 F作一条直线交 C于 R，S两点，线段a b
17.设等差数列 an 的前 n项和为 Sn，a2 1，数列bn 为等比数列，其中b1 a2，b2 a3，b3 a6 . RS 1长度的最小值为 3，C的离心率为 2 ．
（1）求 an ， bn 的通项公式； (1)求 C的方程；
1
S (2)不过C的左顶点A的直线 l与C相交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积恰好等于 ．试
（2）若b3 a
n
3 ，求 b
n n
的前 n项和Tn . 2
问直线 l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
18．某农户有一个三角形地块 ABC，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域 ABD（点D在 BC
1
上）用来养一些家禽，经专业测量得到 AB 3,cosB .
3 22.已知函数 f x 3alnx a 3 x， a R .
(1) cos ADC 2若 ，求 AD的长；
2 a 1 g x f x 3lnx sinx x π（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
BD 2DC, sin BAD
2
(2)若 4 2，求△ADC的周长.
sin CAD
（2）设 x1， x2是 h x f x 3a 2 lnx 3x的两个不同零点，证明：a x1 x2 4 .
19．如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面 ABCD，DE 平面 ABCD，底面 ABCD
为矩形，点 F在棱 PD上，且 P与 E位于平面 ABCD的两侧．
(1)证明：CE //平面 PAB．
(2)若 PA AD 5， AB 2， DE 3，且 AF在 AD上的投影为 3，求平面 ACF与
平面 ACE所成锐二面角的余弦值．
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