8.6.3平面与平面垂直 第2课时 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
8.6.3平面与平面垂直
第2课时
b
a
O
l
1、直线与平面垂直的性质
(1)垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言:
b
α
a
一、复习回顾
a//b
a⊥α
b⊥α
(2)两直线平行，其中一条垂直于一个平面，
则另一条直线也垂直于这个平面.
(3)垂直于同一条直线的
两个平面平行.
α
β
l
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
2、面面垂直的定义
3、面面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
作用： 线面垂直 面面垂直
b
a
a
b
^



ü

^
l
l
b
a
O
l
下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论.
如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系.
探究！如图，设平面α⊥平面β， α∩β=a，则β内任意一条直线b与a是什么位置
关系？相应地，b与α是什么位置
关系？为什么？
α
β
a
b
显然b与a平行或相交．
当b//a时， b//α.
当b与a相交时，b与α也相交．
探究！如图，设平面α⊥平面β， α∩β=a，则β内任意一条直线b与a是什么位置关系？相应地，b与α是什么位置关系？为什么？
α
β
a
b
c
过点A在α内作直线c⊥a．
则b，c所成的角就是二
面角α-a-β的平面角．
∵b⊥a, a∩c＝A，
特别地，当b⊥a时，如图.
设b∩a＝A，
由α⊥β知, b⊥c．
∴b⊥α．
由此我们得到平面与平面垂直的性质定理:
A
线面垂直
面面垂直
作用:
二、平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
a
b
b
l
a I b ＝ l
b ^ b
a ^ b
b ^ l
b a
这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.
这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题.例如，装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线 ，只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可.
探究！设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，则直线a与平面α具有什么位置关系？
我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直，因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合.
所以直线a与直线b重合，因此a α．
设α∩β＝c．
过点P在平面α内作直线b⊥c．
由面与面垂直的性质定理可知，b⊥β．
因为过一点有且仅有一条直线与平面β垂直.
假设a不在平面α内．
a
α
β
P
.
c
a
.
β
α
P
c
对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.
如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论
若两平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
a

β
γ

β
例9 如图 , 已知平面 ⊥平面β , 直线a⊥β, a ,判断直线a与平面 的位置关系.
a

β
解: 在α内作垂直于α与β的交线的直线b．
∴b⊥β．
∵a⊥β，
∵ a α ，b α ．
b
∴a∥b．
即直线a与平面 平行.
分析： 要证明BC⊥平面PAB，需要证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线.
P
A
B
C
E
例10 如右图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥
平面PBC. 求证：BC⊥平面PAB .
由已知条件易得BC⊥PA .
再利用平面PAB⊥平面PBC，
过点A作PB垂线AE，
由两个平面垂直性质可得BC⊥AE.
例10 如右图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥
平面PBC. 求证：BC⊥平面PAB .
证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E.
∵平面PAB⊥平面PBC,
平面PAB∩平PBC=PB，
∴ AE⊥平面PBC.
∴ BC⊥平面PAB.
∵ BC 平面PBC，
∴ AE⊥BC.
∵ PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴ PA⊥BC.
又 PA∩AD=A，
P
A
B
C
E
从本节的讨论可以看到，由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直；
直线与直
线垂直
直线与平
面垂直
平面与平
面垂直
判定
性质
判定
定义
由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直；
由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直;
而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直 .
这进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化.
三、归纳小结
2、面面垂直的性质推论：
1、平面与平面垂直的性质定理：
1、已知两平面互相垂直,下列命题中正确 的有__个
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内
的任意直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面
内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个
平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线,则此
垂线必垂直于另一个平面。
A 3; B 2 ; C 1 ; D 0.
B
课堂练习
2．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．
（1）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β．
（2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面 β．
（3）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β．
3．若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是（ ）．
(1)平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条
直线．
(2)平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条
直线．
(3)平面α内的任一条直线必垂直于平面β．
(4)过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线
必垂直于平面β．
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
4．已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）．
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
在γ 内任取一点A(不在m, n上) ,
证法1：
a
b
在γ内过A点作直线 a ⊥n，
在γ 内过A点作直线 b⊥m，
在α 内作直线 a ⊥n
证法2：
在β内作直线 b⊥m
7. 如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，
B
O
P
A
C
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
∴ BC⊥平面PAC
∴平面PBC⊥平面PAC