黑龙江省哈尔滨市名校2022-2023学年高三下学期开学检测数学试卷（含解析）

哈尔滨市名校2022-2023学年高三下学期开学检测数学试卷
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{－1,0,1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．sin α＋cos α
2．若复数1－2i是关于x的方程x2－ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则|a＋bi|＝(　　)
A．3 B． C． D．29
3某地气象局统计，当地某日刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则该地在刮风天里，下雨的概率为(　　)
A． B． C． D．
4已知ABCD A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F，G分别为AA1，D1C1，BC的中点，过E，F，G的平面截正方体的截面面积为(　　)
A． B． C．3 D．3
5一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1,2,3,4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为(　　)
一百零八塔全景
A．第5行，呈葫芦状 B．第6行，呈葫芦状
C．第7行，呈宝瓶状 D．第8行，呈宝瓶状
6一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为(　　)
A．24 B．12 C．120 D．60
7为了得到函数f(x)＝sinx＋cosx的图象，可以将函数g(x)＝cosx的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
8 △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)·g(x)是偶函数 B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数 D．|f(x)·g(x)|是偶函数
10 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是(　　)
A．MN⊥A1M B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥C1 A1D1M体积不变
11 已知曲线C的方程为x2＋＝1(0＜x≤1)，A(0，－3)，B(0,3)，D(－1,0)，点P是C上的动点，直线AP与直线x＝5交于点M，直线BP与直线x＝5交于点N，则△DMN的面积可能为(　　)
A．73 B．76 C．68 D．72
12 若(x＋3)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a8(x＋1)8，x∈R，则下列结论中正确的有(　　)
A．a0＝28 B．a3＝8C
C．a1＋a2＋…＋a8＝38 D．(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝38
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13 设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
14 已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集为________．
15 已知向量a＝(m,2)，b＝(1，－3)．若a⊥b，则|a|＝________．
16 早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也．已知O为坐标原点，P(－1，)．若⊙O，⊙P的“长”分别为1，r，且两圆相切，则r＝________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足3＝与·＝0．
(1)若b＝c，求A的值；
(2)求B的最大值．
18（12分）已知数列{an}中，a1＝2，n(an＋1－an)＝an＋1．
(1)求证：数列是常数列；
(2)令bn＝(－1)nan，Sn为数列{bn}的前n项和，求使得Sn≤－99的n的最小值．
19（12分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
20（12分）如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P AC E的余弦值为，求a的值；
(3)在(2)的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
21（12分）已知椭圆C的方程为＋＝1，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于－1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D．
(1)证明：直线BD的斜率为定值；
(2)求△ABD面积的最大值．
22（12分）已知函数f(x)＝ln x－，g(x)＝(1－k)x＋k．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若存在x0＞1，当x∈(1，x0)时，f(x)＋g(x)＞，求实数k的取值范围．
答案及解析
1定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{－1,0,1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．sin α＋cos α
B　解析：因为x∈A，所以x的可能取值为－1,0,1．同理，y的可能取值为sin α，cos α，所以xy的所有可能取值为(重复的只列举一次)－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0．
2．若复数1－2i是关于x的方程x2－ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则|a＋bi|＝(　　)
A．3 B．
C． D．29
C　解析：由题意可知，(1－2i)2－a(1－2i)＋b＝0，所以b－a－3＋(2a－4)i＝0，故a＝2，b＝5．则|a＋bi|＝|2＋5i|＝．
3某地气象局统计，当地某日刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则该地在刮风天里，下雨的概率为(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：由题意，记“该地区刮风”为事件A，“该地区下雨”为事件B，
则P(A)＝，P(AB)＝，所以该地在刮风天里，下雨的概率为P(B|A)＝＝＝．
4．已知ABCD A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F，G分别为AA1，D1C1，BC的中点，过E，F，G的平面截正方体的截面面积为(　　)
A． B．
C．3 D．3
C　解析：如图，分析正方体结构可以得知，该截面为一个边长为的正六边形，此正六边形分成6个全等的三角形，所以其面积为6××××＝3．故选C．
5一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1,2,3,4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为(　　)
一百零八塔全景
A．第5行，呈葫芦状 B．第6行，呈葫芦状
C．第7行，呈宝瓶状 D．第8行，呈宝瓶状
C　解析：因为1＋3＋3＋5＋5＋7＝24，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状．故选C．
6一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为(　　)
A．24 B．12 C．120 D．60
A　解析：根据题意，要求不使同类的书分开，即同类的书相邻，先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个整体，最后将两个整体全排列，有AAA＝24种不同放法．故选A．
7为了得到函数f(x)＝sinx＋cosx的图象，可以将函数g(x)＝cosx的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
A　解析：因为f(x)＝sinx＋cosx＝cos＝cos，
所以将函数g(x)＝cosx的图象向右平移个单位长度，可得f(x)的图象．
8 △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)
A． B． C． D．
C　解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A＝2b2(1－cos A)．因为a2＝2b2(1－sin A)，所以cos A＝sin A．因为cos A≠0，所以tan A＝1．因为A∈(0，π)，所以A＝．故选C．
9设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)·g(x)是偶函数 B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数 D．|f(x)·g(x)|是偶函数
CD　解析：对于A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误；对于B，|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误；对于C，f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确；对于D，|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．
10 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是(　　)
A．MN⊥A1M B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥C1 A1D1M体积不变
ACD　解析：在正方体ABCD A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)．设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，＝(3，y，－3)，＝(0,3－y，z)，而D1M⊥MN，则·＝y(3－y)－3z＝0 z＝y(3－y)．对于A选项，＝(0，y，－3)，则·＝y(3－y)－3z＝0 ⊥，MN⊥A1M，A正确；
对于B选项，＝(3，y－3,0)，·＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；
对于C选项：＝(0,0，z)，则线段BN长度||＝z＝≤，当且仅当y＝时等号成立，C正确；
对于D选项，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而VC1 A1D1M＝VM A1D1C1＝·3·S△A1D1C1＝，
三棱锥C1 A1D1M体积为定值，即D正确．故选ACD．
11 已知曲线C的方程为x2＋＝1(0＜x≤1)，A(0，－3)，B(0,3)，D(－1,0)，点P是C上的动点，直线AP与直线x＝5交于点M，直线BP与直线x＝5交于点N，则△DMN的面积可能为(　　)
A．73 B．76 C．68 D．72
ABD　解析：设P(x0，y0)，则kPA·kPB＝＝＝－9．设kPA＝k(k＞0)，则kPB＝－．
直线AP的方程为y＝kx－3，则点M的坐标为(5,5k－3)，
直线BP的方程为y＝－x＋3，则点N的坐标为．
所以|MN|＝＝≥＝24，
当且仅当5k＝，即k＝3时等号成立．从而△DMN面积的最小值为×24×6＝72．故选ABD．
12 若(x＋3)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a8(x＋1)8，x∈R，则下列结论中正确的有(　　)
A．a0＝28 B．a3＝8C
C．a1＋a2＋…＋a8＝38 D．(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝38
AD　解析：(x＋3)8＝[2＋(x＋1)]8＝28＋27C(x＋1)＋26C(x＋1)2＋25C(x＋1)3＋…＋(x＋1)8．
对于A，令x＝－1，则(－1＋3)8＝28＝a0，故A正确．
对于B，a3＝25C＝1 792，而8C＝960，故B错误．
对于C，令x＝0，则38＝a0＋a1＋a2＋…＋a8，于是a1＋a2＋…＋a8＝38－a0＝38－28，故C错误．
对于D，令x＝－2，则1＝a0－a1＋a2－…＋a8．因为a0＋a1＋a2＋…＋a8＝38，所以(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a8)(a0－a1＋a2－…＋a8)＝38，故D正确．故选AD．
13 设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
[0,1)　解析：由题意知g(x)＝
函数的图象为如图所示的实线部分．根据图象，g(x)的单调递减区间是[0,1)．
14 已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集为________．
(2,3)　解析：由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根．所以，由根与系数的关系得
解得所以不等式x2－bx－a＜0，即为x2－5x＋6＜0，易得解集为(2,3)．
15 已知向量a＝(m,2)，b＝(1，－3)．若a⊥b，则|a|＝________．
2　解析：因为a⊥b，a＝(m,2)，b＝(1，－3)，所以a·b＝m－6＝0，解得m＝6，所以|a|＝＝2．
16 早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也．已知O为坐标原点，P(－1，)．若⊙O，⊙P的“长”分别为1，r，且两圆相切，则r＝________．
1或3　解析：由题意，O为坐标原点，P(－1，)，
根据圆的定义可知，⊙O的圆心为O(0,0)，半径为1，⊙P的圆心为P(－1，)，半径为r，因为两圆相切，则有|PO|＝r＋1或|PO|＝r－1，
则有r＋1＝2或r－1＝2，
解得r＝1或3．
17（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足3＝与·＝0．
(1)若b＝c，求A的值；
(2)求B的最大值．
解：(1)因为·＝0，所以·＝0，即·＝0，所以bccos A＋b2＝0．
因为b＝c，所以cos A＝－．
因为0(2)因为·＝·＝bc·cos A＋b2＝0，所以b2＋c2－a2＋b2＝0，即2b2＋c2－a2＝0，
cos B＝＝＝≥，当且仅当a2＝3c2时，等号成立．
因为018（12分）已知数列{an}中，a1＝2，n(an＋1－an)＝an＋1．
(1)求证：数列是常数列；
(2)令bn＝(－1)nan，Sn为数列{bn}的前n项和，求使得Sn≤－99的n的最小值．
(1)证明：由n(an＋1－an)＝an＋1得：nan＋1＝(n＋1)·an＋1，即＝＋．
所以＝＋－，即有＝，
所以数列是常数列．
(2)解：由(1)知：＝a1＋1＝3，所以an＝3n－1，所以bn＝(－1)n(3n－1)，
即bn＝
所以当n为偶数时，Sn＝(－2＋5)＋(－8＋11)＋…＋[－(3n－4)＋(3n－1)]＝，显然Sn≤－99无解；
当n为奇数时，Sn＝Sn＋1－an＋1＝－[3(n＋1)－1]＝－，令Sn≤－99，解得n≥66．
结合n为奇数得n的最小值为67．
所以n的最小值为67．
19（12分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝．
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
＝×＋×＝．
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为．
20（12分）如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P AC E的余弦值为，求a的值；
(3)在(2)的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以AC⊥PC．
因为AB＝4，AD＝CD＝2，所以AC＝2，
取AB的中点为N，则可得CN∥AD，则CN⊥AB，
所以BC＝＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC．
又BC∩PC＝C，所以AC⊥平面PBC．
因为AC 平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC．
(2)解：以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(2,2,0)，B(2，－2,0)，设P(0,0,2a)(a>0)，则E(1，－1，a)，＝(2,2,0)，＝(0,0,2a)，＝(1，－1，a)．
设m＝(x0，y0，z0)为平面PAC的法向量，
则m·＝m·＝0，即
取m＝(1，－1,0)．
设n＝(x，y，z)为平面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即
取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)．
依题意|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2．
21（12分）已知椭圆C的方程为＋＝1，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于－1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D．
(1)证明：直线BD的斜率为定值；
(2)求△ABD面积的最大值．
(1)证明：设D(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A(－x1，－y1)，直线BD的斜率k＝，由两式相减得＝－×．
因为kAB＝＝－1，
所以k＝＝，
故直线BD的斜率为定值．
(2)解：连接OB(图略)，因为A，D关于原点对称，
所以S△ABD＝2S△OBD，由(1)可知BD的斜率k＝，设BD的方程为y＝x＋t．因为D在第三象限，
所以－＜t＜1且t≠0，
O到BD的距离d＝＝．
由整理得3x2＋4tx＋4t2－8＝0，
Δ＝(4t)2－4×3×(4t2－8)>0(－所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以S△ABD＝2S△OBD＝2××|BD|×d
＝×
＝|t|×
＝|t|·＝·≤2．
所以当且仅当t＝时，S△ABD取得最大值2．
22（12分）已知函数f(x)＝ln x－，g(x)＝(1－k)x＋k．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若存在x0＞1，当x∈(1，x0)时，f(x)＋g(x)＞，求实数k的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝ln x－的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝－x＝≤0，解得x≥1．
所以函数f(x)的单调递减区间为[1，＋∞)．
(2)由(1)可知，当x＞1时，f(x)＜f(1)＝－，
所以当k＝1时，f(x)＋g(x)＜－＋1＝，即不存在x0＞1满足题意；
当k＞1时，由f(x)＋g(x)＞，得f(x)＞(k－1)x－k＋，
对于x＞1，有(k－1)x－k＋＝(k－1)(x－1)－＞－．又f(x)<－，所以不存在x0＞1满足题意；
当k＜1时，令F(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x－＋(1－k)x＋k(x＞1)，
则F′(x)＝－x＋1－k＝，
令F′(x)＝0，得x1＝<0，x2＝>1，
当x∈(1，x2)时，F′(x)＞0，所以F(x)在(1，x2)内单调递增，
此时F(x)＞F(1)＝，即f(x)＋g(x)＞，
所以存在x0＞1满足题意．
综上，实数k的取值范围是(－∞，1)．