第4讲 边角互化
边角互化求值
在解三角形题目中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则有以下几类:
(1)若式子含有“”的齐次式,优先考虑正弦定理,“角化边”.
(2)若式子含有“”的齐次式,优先考虑正弦定理,“边化角”.
(3)若式子含有“”的单个式子,考虑余弦定理,直接“角化边”.
(4)若是含有面积公式的问题,要考虑结合正弦定理使用.
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到来消角,即.
(6)如果出现,通常去凑余弦定理.
注意:我们在解决边角关系式问题时通常就是两种思路,要么化为边,要么化为角.以下的例题基本上两种思路都可以,我只写了-种思路的解析,大家思考一下另外一种思路.
化边求值
【例1】在中,分别为角,的对边,且,求角.
【例2】在中,内角的对边的边长分别是.已知,求角的大小.
化角求值
【例1】△ABC的内角A,B,C的对边分
别为,已知,求角.
【例2】在中,内角所对的边分别为,已知,求角的大小.
【例3】在中,内角对应的边分别为,且满足,求.
第5讲 判定形状
所谓判定形状就是给出一个式子,通过化边、化角之后判定出三角形的形状,常用的结论如下.
（1）若或者,则三角形为等腰三角形.
（2）若或者且,则三角形为等边三角形.
（3）若或者,则三角形为直角三角形.(4)若或者,则三角形为钝角三角形.
(5)若则三角形为锐角角形.
(6)若,可得或,即或,则三角形为等腰三角形或直角三角形.
化边判定形状
【例1】在中,分别是的对边,已知,试判断的形状.
【例2】在中,若,试判断该三角形的形状.
【例3】在中,,判断的形状.
化角判定形状
【例1】试判断下列三角形的形状,在中,已知,.
【例2】在中,若,试判断三角形的形状.第4讲 边角互化
边角互化求值
在解三角形题目中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则有以下几类:
(1)若式子含有“”的齐次式,优先考虑正弦定理,“角化边”.
(2)若式子含有“”的齐次式,优先考虑正弦定理,“边化角”.
(3)若式子含有“”的单个式子,考虑余弦定理,直接“角化边”.
(4)若是含有面积公式的问题,要考虑结合正弦定理使用.
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到来消角,即.
(6)如果出现,通常去凑余弦定理.
注意:我们在解决边角关系式问题时通常就是两种思路,要么化为边,要么化为角.以下的例题基本上两种思路都可以,我只写了-种思路的解析,大家思考一下另外一种思路.
化边求值
典型例题
【例1】在中,分别为角,的对边,且,求角.
【解析】
.
,即.
由余弦定理可得.
.
【例2】在中,内角的对边的边长分别是.已知,求角的大小.
【解析】已知,化简得
,
由正弦定理得.
由余弦定理得.
.
化角求值
典型例题
【例1】△ABC的内角A,B,C的对边分
别为,已知,求角.
【解析】已知,由正弦定理得,
整理得,
在中,.化简后得,
【例2】在中,内角所对的边分别为,已知,求角的大小.
【解析】
由余弦定理得.即.
由正弦定理得,
即,
,
,
即.
.化简得.
.
【例3】在中,内角对应的边分别为,且满足,求.
【解析】由题意得.
由正弦定理得 ,
.
.
,
,
.
.
,
.
化简得.
第5讲 判定形状
所谓判定形状就是给出一个式子,通过化边、化角之后判定出三角形的形状,常用的结论如下.
（1）若或者,则三角形为等腰三角形.
（2）若或者且,则三角形为等边三角形.
（3）若或者,则三角形为直角三角形.(4)若或者,则三角形为钝角三角形.
(5)若则三角形为锐角角形.
(6)若,可得或,即或,则三角形为等腰三角形或直角三角形.
化边判定形状
典型例题
【例1】在中,分别是的对边,已知,试判断的形状.
【解析】将余弦定理代入得
,即.
是等腰三角形.
【例2】在中,若,试判断该三角形的形状.
【解析】由及余弦定理可得
整理得.
.
.
.
.
由于,所以,所以,所以为直角三角形.
【例3】在中,,判断的形状.
【解析】由题意得 .
由正弦定理知 .再根据余弦定理有。
.
化简得0,即或.
所以是等腰三角形或直角三角形.
化角判定形状
典型例题
【例1】试判断下列三角形的形状,在中,已知,.
【解析】由得.整理得,
,
.
由,得,即
,
,
.
为三角形的内角,.
综上所述,为等边三角形.
【例2】在中,若,试判断三角形的形状.
【解析】,
.
由正弦定理可知,.
即,
,或,
即或.
故是等腰三角形或直角三角形.
