2022-2023学年京改版九年级数学下册 23.3 轴对称变换同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年京改版九年级数学下册 23.3 轴对称变换同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 504.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北京课改版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-03 15:16:42 | ||
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文档简介
北京课改版九下 23.3 轴对称变换
一、选择题（共9小题）
1. 如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 、 分别为线段 、 的中点， 为 上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为
A. B. C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
3. 已知：，那么点 关于 轴的对称点，在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 【课后测 】如图，已知 ，点 为其内一定点，分别在 的两边上找点 ，，使 周长最小的是
A. B.
C. D.
5. 【课后测 】如图，直线 表示铁路，， 两点表示某工厂两个生产区，若要在铁路旁修建一个货仓 ，使货仓 到两个生产区 ， 的距离之和最短，则这样的点 的位置
A. 有 处 B. 有 处 C. 有 处 D. 不存在
6. 将一矩形纸片按如图方式折叠，， 为折痕，折叠后 与 在同一条直线上，那么 的度数
A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 不能确定
7. 如图，边长为 的等边 中， 是 上中线且 ，点 在 上，连接 ，在 的右侧作等边 ，连接 ，则 周长的最小值是
A. B. C. D.
8. 如图，在四边形 中，，，， 分别是 ， 上的点，当 的周长最小时， 的度数为
A. B. C. D.
9. 如图，在矩形 中，，，把边 沿对角线 平移，点 ， 分别对应点 ，．给出下列结论：
①顺次连接点 ，，， 的图形是平行四边形；
②点 到它关于直线 的对称点的距离为 ；
③ 的最大值为 ；
④ 的最小值为 ．
其中正确结论的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（共5小题）
10. 对称轴是 ．
11. 已知，如图 为等边三角形，高 ， 为 上一动点， 为 的中点，则 的最小值为 ．
12. 已知点 关于原点对称的点为 ，点 关于 轴对称的点为 ，点 在第四象限，那么 的取值范围是 ．
13. 如图，菱形 中，，，， 分别是边 和对角线 上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
14. 如图，在平行四边形 中，，， 是 的中点， 是对角线 上的一个动点，则 的最小值为 ．
三、解答题（共5小题）
15. 如图，草原上两个居民点 、 ，在河流 的同侧，一辆汽车从 出发到 ，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短 （保留作图痕迹）
16. 画出图中图形关于已知直线 的轴对称的图形．
17. 在下图中，画出 关于 轴， 轴，原点对称的 ，，，再写出各个三角形的顶点坐标，并说明 与 的位置关系．
， ， ， ；
， ， ， ；
， ， ， ；
与 的位置关系是 ．
18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点 ， 在 轴上，抛物线 经过点 ， 两点，且与直线 交于另一点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为抛物线对称轴上一点， 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 ，，， 为顶点的四边形是以 为边的菱形．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 为 轴上一点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，连接 ，，探究 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 的坐标；若不存在，请说明理由．
19. 如图是 的正方形网格，格点 ，格点 和直线 的位置如图所示，点 在直线 上．
（1）请分别在图①和图②中作出点 ，使 最短；
（2）请分别在图③和图④中作出点 ，使 最长．
答案
1. C
【解析】作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 值最小，如图．
令 中 ，则 ，
点 的坐标为 ；
令 中 ，则 ，解得：，
点 的坐标为 ．
点 、 分别为线段 、 的中点，
点 ，点 ，
点 和点 关于 轴对称，
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
直线 过点 ，，
解得：
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，解得：，
点 的坐标为 ．
故选：C．
2. D
3. C
4. D
【解析】分别作点 关于 的两边的对称点 ，，连接 交 的两边于 ，，连接 ，，此时 的周长最小．
故选：D．
5. A
【解析】如图所示：
画出点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
， 关于直线 对称，
，
，
由两点之间线段最短可知，线段 的长即为 的最小值，故 点即为所求点，
故选：A．
6. B
7. B
【解析】如图，
， 都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，，
点 在射线 上运动（），
作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，此时 的值最小，
，，
是等边三角形，
，
，
，
周长的最小值 ，
故选：B．
8. B
【解析】作 关于 和 的对称点 ，，连接 ，交 于 ，交 于 ，则 即为 的周长最小值．作 延长线 ．
，
，
，
，
，，
，
．
故选B．
9. C
10. 一条直线
11.
【解析】连接 ，
为等边三角形， 为 的中点，
的最小值为：．
12.
13.
【解析】如图，在 的下方作 ，在 上截取 ，使得 ，连接 ，．
四边形 是菱形，，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为 ．
14. ．
15. 图略，作点 （或者 ）关于直线 的对称点 （或 ），连接 （或 ），与直线 的交点即为所求．
16. 略
17.
，，，；
，，，；
，，，；
关于 轴对称
18. （1） 由点 的纵坐标知，正方形 的边长为 ，
则 ，故点 的坐标为 ，
则 解得
故抛物线的表达式为 ；
（2） 存在，理由：
因为点 ， 关于抛物线对称轴对称，故点 的坐标为 ，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 ，故设点 的坐标为 ，
由点 ， 的坐标得，，
设点 的坐标为 ，
因为以点 ，，， 为顶点的四边形是以 为边的菱形，
故点 向右平移 个单位向上平移 个单位得到点 ，则 向右平移 个单位向上平移
个单位得到点 ，且 ，
则 或
解得 或
（3） 存在，理由：
设抛物线的对称轴交 轴于点 ，将点 向左平移 个单位得到点 ，连接 ，交函数的对称轴于点 ，过点 作 ，
则点 ， 为所求点，此时 为最小，
理由：因为 ，且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
则 为最小，
由点 ， 的坐标得，直线 的表达式为 ，
当 时，，故点 的坐标为 ，
则 的最小值 ．
19. （1） 点 的位置如图所示．
（2） 点 的位置如图所示．
一、选择题（共9小题）
1. 如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 、 分别为线段 、 的中点， 为 上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为
A. B. C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
3. 已知：，那么点 关于 轴的对称点，在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 【课后测 】如图，已知 ，点 为其内一定点，分别在 的两边上找点 ，，使 周长最小的是
A. B.
C. D.
5. 【课后测 】如图，直线 表示铁路，， 两点表示某工厂两个生产区，若要在铁路旁修建一个货仓 ，使货仓 到两个生产区 ， 的距离之和最短，则这样的点 的位置
A. 有 处 B. 有 处 C. 有 处 D. 不存在
6. 将一矩形纸片按如图方式折叠，， 为折痕，折叠后 与 在同一条直线上，那么 的度数
A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 不能确定
7. 如图，边长为 的等边 中， 是 上中线且 ，点 在 上，连接 ，在 的右侧作等边 ，连接 ，则 周长的最小值是
A. B. C. D.
8. 如图，在四边形 中，，，， 分别是 ， 上的点，当 的周长最小时， 的度数为
A. B. C. D.
9. 如图，在矩形 中，，，把边 沿对角线 平移，点 ， 分别对应点 ，．给出下列结论：
①顺次连接点 ，，， 的图形是平行四边形；
②点 到它关于直线 的对称点的距离为 ；
③ 的最大值为 ；
④ 的最小值为 ．
其中正确结论的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（共5小题）
10. 对称轴是 ．
11. 已知，如图 为等边三角形，高 ， 为 上一动点， 为 的中点，则 的最小值为 ．
12. 已知点 关于原点对称的点为 ，点 关于 轴对称的点为 ，点 在第四象限，那么 的取值范围是 ．
13. 如图，菱形 中，，，， 分别是边 和对角线 上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
14. 如图，在平行四边形 中，，， 是 的中点， 是对角线 上的一个动点，则 的最小值为 ．
三、解答题（共5小题）
15. 如图，草原上两个居民点 、 ，在河流 的同侧，一辆汽车从 出发到 ，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短 （保留作图痕迹）
16. 画出图中图形关于已知直线 的轴对称的图形．
17. 在下图中，画出 关于 轴， 轴，原点对称的 ，，，再写出各个三角形的顶点坐标，并说明 与 的位置关系．
， ， ， ；
， ， ， ；
， ， ， ；
与 的位置关系是 ．
18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点 ， 在 轴上，抛物线 经过点 ， 两点，且与直线 交于另一点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为抛物线对称轴上一点， 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 ，，， 为顶点的四边形是以 为边的菱形．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 为 轴上一点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，连接 ，，探究 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 的坐标；若不存在，请说明理由．
19. 如图是 的正方形网格，格点 ，格点 和直线 的位置如图所示，点 在直线 上．
（1）请分别在图①和图②中作出点 ，使 最短；
（2）请分别在图③和图④中作出点 ，使 最长．
答案
1. C
【解析】作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 值最小，如图．
令 中 ，则 ，
点 的坐标为 ；
令 中 ，则 ，解得：，
点 的坐标为 ．
点 、 分别为线段 、 的中点，
点 ，点 ，
点 和点 关于 轴对称，
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
直线 过点 ，，
解得：
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，解得：，
点 的坐标为 ．
故选：C．
2. D
3. C
4. D
【解析】分别作点 关于 的两边的对称点 ，，连接 交 的两边于 ，，连接 ，，此时 的周长最小．
故选：D．
5. A
【解析】如图所示：
画出点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
， 关于直线 对称，
，
，
由两点之间线段最短可知，线段 的长即为 的最小值，故 点即为所求点，
故选：A．
6. B
7. B
【解析】如图，
， 都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，，
点 在射线 上运动（），
作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，此时 的值最小，
，，
是等边三角形，
，
，
，
周长的最小值 ，
故选：B．
8. B
【解析】作 关于 和 的对称点 ，，连接 ，交 于 ，交 于 ，则 即为 的周长最小值．作 延长线 ．
，
，
，
，
，，
，
．
故选B．
9. C
10. 一条直线
11.
【解析】连接 ，
为等边三角形， 为 的中点，
的最小值为：．
12.
13.
【解析】如图，在 的下方作 ，在 上截取 ，使得 ，连接 ，．
四边形 是菱形，，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为 ．
14. ．
15. 图略，作点 （或者 ）关于直线 的对称点 （或 ），连接 （或 ），与直线 的交点即为所求．
16. 略
17.
，，，；
，，，；
，，，；
关于 轴对称
18. （1） 由点 的纵坐标知，正方形 的边长为 ，
则 ，故点 的坐标为 ，
则 解得
故抛物线的表达式为 ；
（2） 存在，理由：
因为点 ， 关于抛物线对称轴对称，故点 的坐标为 ，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 ，故设点 的坐标为 ，
由点 ， 的坐标得，，
设点 的坐标为 ，
因为以点 ，，， 为顶点的四边形是以 为边的菱形，
故点 向右平移 个单位向上平移 个单位得到点 ，则 向右平移 个单位向上平移
个单位得到点 ，且 ，
则 或
解得 或
（3） 存在，理由：
设抛物线的对称轴交 轴于点 ，将点 向左平移 个单位得到点 ，连接 ，交函数的对称轴于点 ，过点 作 ，
则点 ， 为所求点，此时 为最小，
理由：因为 ，且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
则 为最小，
由点 ， 的坐标得，直线 的表达式为 ，
当 时，，故点 的坐标为 ，
则 的最小值 ．
19. （1） 点 的位置如图所示．
（2） 点 的位置如图所示．