第6章　实数（平方根、算术平方根、立方根、无理数）练习（含答案）　2022-2023学年人教版数学七年级下册

实 数
平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
平方根的表示：一个非负数a的平方根可用符号表示为“”，正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
1、2的平方根是（　　）
A．± B． C．±1.414 D．4
2、16的平方根是（　　）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．±8
3、的平方根是（　　）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
4、（﹣6）2的平方根是（　　）
A．﹣6 B．36 C．±6 D．±
5、下列说法错误的是（　　）
A．﹣6是36的一个平方根
B．任何正数都有两个平方根
C．（﹣8）2的平方根是8
D．正数的两个平方根是一对相反数
6、若一个正数的平方根分别为3a+1和4﹣2a，求这个正数．
7、一个正数的两个平方根分别为a+3和2a+3，则a=　 　．
8、某数的平方根为和．
（1）求a的值；
（2）求这个数的平方根．
9、m的平方根是n+1和n﹣5，那么mn=　 　．
算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a 本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
1、25的算术平方根是（　　）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
2、=（　　）
A．±2 B．2 C．±4 D．4
3、下列式子正确的是（　　）
A．=﹣3 B．14 C．=13 D．﹣=﹣1.2
4、下列说法中，正确的是（　　）
A．﹣1的算术平方根是1 B．﹣0.1是0.01的平方根
C．=±9 D．的平方根是
5、下列语句写成数学式子正确的是（ ）
A．9是81的算术平方根：
B．5是（﹣5）2的算术平方根：
C．±6是36的平方根：
D．﹣2是4的负的平方根：
非负数的性质：
算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
1、若|a﹣3|+=0，则a+b的值是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
2、已知，则a+b=　 　．
3.已知|a+1|+=0，则a﹣b=　 　．
4、已知+|y+5|=0，则x+y=　 　．
立 方 根
立方根概念：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根，也就是说，若则就叫做的立方根.
表示：一个数的立方根可用符号表示，读作“三次根号”.，其中a是被开方数，3是指数.
总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根. 正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为.
计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算.
1、（﹣8）2的立方根是（　　）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
2、若a是（﹣3）2的平方根，则等于（　　）
A．﹣3 B． C．或﹣ D．3或﹣3
3、下列计算或说法：①±3都是27的立方根；②=a；③的立方根是2；④=±4，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、x是9的平方根，y是64的立方根，则x+y的值为　 　．
5、下列说法中，正确的是（　　）
A．任何一个数都有平方根 B．任何正数都有两个平方根
C．算术平方根一定大于0 D．一个数不一定有立方根
6、计算下列各式：
（1）； （2）﹣； （3）； （4）．
7、求下列各式中的x值：
（1）x3﹣4=；
（2）27（x﹣1）3+8=0．
8、已知x+2的算术平方根是3，x﹣4y的立方根是﹣1，求x+y的平方根．
计算
无理数
（1）定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
　　比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
1、下列各数中为有理数的是（　　）
A． B． C． D．
2、下列各个数中，是无理数的是（　　）
，，π，﹣3.1416，，，0.030 030 003…，0.571，．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3、下列说法中正确的是（　　）
A．带根号的数都是无理数 B．不带根号的数一定是有理数
C．无理数是无限不循环小数 D．无限小数都是无理数
4、关于的叙述，错误的是（　　）
A．是有理数
B．面积为12的正方形边长是
C．=2
D．在数轴上可以找到表示的点
5、下列说法正确的有（　　）个
①﹣是负分数；
②若m是有理数，n是无理数，则mn一定是无理数；
③若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是0或1；
④无理数包括正无理数、零、负无理数．
A．2 B．3 C．4 D．1
答案
1、2的平方根是（　　）
A．± B． C．±1.414 D．4
【解答】解：2的平方根是±． 故选：A．
2、16的平方根是（　　）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．±8
【解答】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．故选A．
3、的平方根是（　　）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
【解答】解：∵=9，∴的平方根是±3，故选D．
4、（﹣6）2的平方根是（　　）
A．﹣6 B．36 C．±6 D．±
【解答】解：∵（﹣6）2=36，∴±=±6，∴（﹣6）2的平方根是±6．故选C．
5、下列说法错误的是（　　）
A．﹣6是36的一个平方根
B．任何正数都有两个平方根
C．（﹣8）2的平方根是8
D．正数的两个平方根是一对相反数
【解答】解：A、﹣6是36的一个平方根是正确的，不符合题意；
B、任何正数都有两个平方根是正确的，不符合题意；
C、（﹣8）2的平方根是±8，原来的说法是错误的，符合题意；
D、正数的两个平方根是一对相反数是正确的，不符合题意． 故选：C．
6、若一个正数的平方根分别为3a+1和4﹣2a，求这个正数．
【解答】解：3a+1+4﹣2a=0， 解得a=﹣5，
3a+1=3×（﹣5）+1=﹣14， 则这个正数为（﹣14）2=196．
7、一个正数的两个平方根分别为a+3和2a+3，则a=　 　．
【解答】解：根据题意，得a+3+2a+3=0，即3a=﹣6，解得，a=﹣2．故答案是：﹣2．
8、某数的平方根为和．
（1）求a的值；
（2）求这个数的平方根．
【解答】解：（1）依题意得+=0，解得a=3；
（2）==1，==﹣1．故答案为：（1）3，（2）1、﹣1．
9、m的平方根是n+1和n﹣5，那么mn=　 　．
【解答】解：∵m的平方根是n+1和n﹣5，
∴n+1+n﹣5=0， 解得：n=2， 则n+1=3，故m=9， 则mn=18．故答案为：18．
算数平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a 本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
1、25的算术平方根是（　　）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
【解答】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5． 故选：A．
2、=（　　）
A．±2 B．2 C．±4 D．4
【解答】解：=4．故选：D．
3、下列式子正确的是（　　）
A．=﹣3 B．14 C．=13 D．﹣=﹣1.2
【解答】解：A、==3，故A错误；
B、=14，故B错误； C、=13，故C正确；
D、1.22=1.44，故D错误． 故选：C．
4、下列说法中，正确的是（　　）
A．﹣1的算术平方根是1 B．﹣0.1是0.01的平方根
C．=±9 D．的平方根是
【解答】解：A、﹣1的算术平方根是1，说法错误；
B、﹣0.1是0.01的平方根，说法正确；
C、=±9，计算错误； D、的平方根是，说法错误； 故选：B．
5、下列语句写成数学式子正确的是（ ）
A．9是81的算术平方根：
B．5是（﹣5）2的算术平方根：
C．±6是36的平方根：
D．﹣2是4的负的平方根：
【解答】解：A、9是81的算术平方根，即=9，错误；
B、5是（﹣5）2的算术平方根，即=5，正确；
C、±6是36的平方根，即±=±6，错误；
D、﹣2是4的负平方根，即﹣=﹣2，错误，故选B
非负数的性质：
算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
1、若|a﹣3|+=0，则a+b的值是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【解答】解：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1， 故选B．
2、已知，则a+b=　 　．
【解答】解：由题意得：，解得b=2，a=﹣2， ∴a+b=0． 故答案为0．
3.已知|a+1|+=0，则a﹣b=　 　．
【解答】解：∵|a+1|+=0， ∴|a+1|=0，8﹣b=0，
∴a=﹣1，b=8． 则a﹣b=﹣1﹣8=﹣9． 故答案为：﹣9．
4、已知+|y+5|=0，则x+y=　 　．
【解答】解：∵+|y+5|=0， ∴， 解得，1
∴x+y=2+（﹣5）=﹣3．
（﹣8）2的立方根是（　　）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【解答】解：∵（﹣8）2=64，64的立方根是4，
∴（﹣8）2的立方根是4．故选：A．
若a是（﹣3）2的平方根，则等于（　　）
A．﹣3 B． C．或﹣ D．3或﹣3
【解答】∵（﹣3）2=（±3）2=9，∴a=±3，∴=，或=，故选C．
下列计算或说法：①±3都是27的立方根；②=a；③的立方根是2；④=±4，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：﹣3是27的立方根，所以①错误； 由于=a，所以②正确；
=8，8的立方根为2，所以③正确；
==4，所以④错误． 故选B．
x是9的平方根，y是64的立方根，则x+y的值为　 　．
【解答】解：由题意得：x=±3，y=4， ∴当x=3，y=4时，x+y=3+4=7，
当x=﹣3，y=4时，x+y=﹣3+4=1， ∴x+y的值为1或7，故答案为：1或7．
下列说法中，正确的是（　　）
A．任何一个数都有平方根 B．任何正数都有两个平方根
C．算术平方根一定大于0 D．一个数不一定有立方根
【解答】解：A、任何一个数都有平方根，错误，负数没有平方根；
B、任何正数都有两个平方根，正确；
C、算术平方根一定大于0，错误，0的算术平方根是0；
D、任何数都有立方根，故错误；故选：B．
计算下列各式：
（1）； （2）﹣； （3）； （4）．
【解答】解：（1）=﹣； （2）﹣=﹣0.9；
（3）±=±； （4）=2．
求下列各式中的x值：
（1）x3﹣4=；
（2）27（x﹣1）3+8=0．
【解答】解：（1）方程变形得：x3=，开立方得：x=；
（2）方程整理得：（x﹣1）3=﹣，开立方得：x﹣1=﹣，
解得：x=．
已知x+2的算术平方根是3，x﹣4y的立方根是﹣1，求x+y的平方根．
【解答】解：根据题意得：，解得：x=7，y=2，
则x+y=9，9的平方根为±3，故x+y的平方根为±3．
计算
【解答】解：原式=﹣1﹣（2﹣4）÷6=﹣1+=﹣．
无理数
下列各数中为有理数的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、=2，是整数，是有理数，选项正确；
B、是无理数，选项错误；C、是无理数，选项错误；
D、是无理数，选项错误．故选A．
下列各个数中，是无理数的是（　　）
，，π，﹣3.1416，，，0.030 030 003…，0.571，．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：∵=3，=﹣1，3，1均为有理数，
∴这一组数中的无理数有：，π，0.030 030 003…共3个．故选D．
下列说法中正确的是（　　）
A．带根号的数都是无理数 B．不带根号的数一定是有理数
C．无理数是无限不循环小数 D．无限小数都是无理数
【解答】解：A、带根号的数不一定都是无理数，如=2是有理数，故选项错误；
B、不带根号的数不一定是有理数，如π，故选项错误；
C、无理数是无限不循环小数，故选项正确；
D、无限循环小数都是有理数，故选项错误．故选C．
关于的叙述，错误的是（　　）
A．是有理数
B．面积为12的正方形边长是
C．=2
D．在数轴上可以找到表示的点
【解答】解：A、是无理数，原来的说法错误，符合题意；
B、面积为12的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意；
C、=2，原来的说法正确，不符合题意；
D、在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意．
故选：A．
下列说法正确的有（　　）个
①﹣是负分数；
②若m是有理数，n是无理数，则mn一定是无理数；
③若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是0或1；
④无理数包括正无理数、零、负无理数．
A．2 B．3 C．4 D．1
【解答】解：①﹣不是负分数，是负无理数，错误；
②若m是有理数，n是无理数，则mn不一定是无理数，例如m=0，n=，mn=0是有理数，错误；
③若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是0或1，正确；
④无理数包括正无理数、负无理数，错误．故选D