【解析版】江西省赣州市四所重点中学2014届高三上学期期末联考 数学（理）试题

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第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知x, y∈R, i为虚数单位，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，则(1＋i)x＋y的值为（ ）
A．4 B．－4 C．4＋4i D．2i
( http: / / www.21cnjy.com )2.下列命题中正确的是（ ）
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题
B．“sinα＝ ( http: / / www.21cnjy.com )”是“α＝ ( http: / / www.21cnjy.com )”的充分不必要条件
C．l为直线，α,β为两个不同的平面，若l⊥β,α⊥β, 则l∥α
D．命题“x∈R, 2x＞0”的否定是“x0∈R, ( http: / / www.21cnjy.com )≤0”
( http: / / www.21cnjy.com )3.平面α∥平面β，点A, C∈α, B, D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（ ）
A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交 D．A, B, C, D四点共面
( http: / / www.21cnjy.com )4.已知向量a, b的夹角为60°，且|a|＝2, |b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于（ ）
A．150° B．90° C．60° D．30°
( http: / / www.21cnjy.com )5.一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )＋6 C．11π D． ( http: / / www.21cnjy.com )＋3 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )6.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A, B两点，O为坐标原点。若|AF|＝3，则△AOB的面积为（ ）21cnjy.com
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．2 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )7.已知函数f(x)＝ax3＋ ( http: / / www.21cnjy.com )x2在x＝－1处取得极大值，记g(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )。程序框图如图所示，若输出的结果S＝ ( http: / / www.21cnjy.com )，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（ ）www.21-cn-jy.com
A．n≤2013 B．n≤2014 C．n＞2013 D．n＞2014
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )8.已知双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上情况都有可能
( http: / / www.21cnjy.com )9.已知函数f(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )－1的定义域是[a, b](a, b∈Z)，值域是[0, 1]，则满足条件的整数对(a, b)共有（ ）21·世纪*教育网
A．2个 B．5个 C．6个 D．无数个
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )10.设D＝{(x, y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为S，则函数S＝f(t)的图象的大致形状为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com )
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x, y)满足
( http: / / www.21cnjy.com )· ( http: / / www.21cnjy.com )＝0，则 ( http: / / www.21cnjy.com )＝ 。
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【解析】
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12.已知f(n)＝1+ ( http: / / www.21cnjy.com )(n∈N*)，经计算得f(4)＞2, f(8)＞ ( http: / / www.21cnjy.com ), f(16)＞3, f(32)＞ ( http: / / www.21cnjy.com ),
……，观察上述结果，则可归纳出一般结论为 。
( http: / / www.21cnjy.com )13.给出下列四个命题：①函数y＝2cos2(x＋ ( http: / / www.21cnjy.com ))的图像可由曲线y＝1＋cos2x向左平移 ( http: / / www.21cnjy.com )个单位得到；②函数y＝sin(x＋ ( http: / / www.21cnjy.com ))＋cos(x＋ ( http: / / www.21cnjy.com ))是偶函数；③直线x＝ ( http: / / www.21cnjy.com )是曲线y＝sin(2x＋ ( http: / / www.21cnjy.com ))的一条对称轴；④函数y＝2sin2(x＋ ( http: / / www.21cnjy.com ))的最小正周期是2π.21世纪教育网版权所有
其中不正确命题的序号是 。
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )14.随机地向区域 ( http: / / www.21cnjy.com )内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该点连线的倾斜角小于 ( http: / / www.21cnjy.com )的概率为 。
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【解析】
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考点：几何概型
(注意：请在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)
15.（1）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )
（0≤θ＜π）和 ( http: / / www.21cnjy.com )(t∈R)，它们的交点坐标为 。
( http: / / www.21cnjy.com )（2）设函数f(x)＝|x―a|―2，若不等式|f(x)|＜1的解为x∈(－2, 0)∪(2, 4)，则实数a＝ 。
( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. (12分)已知函数f(x)＝2cos2x―sin(2x― ( http: / / www.21cnjy.com )).
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（Ⅱ）已知△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，若f(A)＝ ( http: / / www.21cnjy.com ), b＋c＝2，求实数a的最小值。
( http: / / www.21cnjy.com )【解析】
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17. (12分)某足球俱乐部2013年10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加。若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为 ( http: / / www.21cnjy.com )的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过 ( http: / / www.21cnjy.com )，且他直到第二次测试才合格的概率为 ( http: / / www.21cnjy.com )。
（Ⅰ）求小李第一次参加测试就合格的概率P1；
（2）求小李10月份参加测试的次数的分布列和数学期望。
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【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )解得 ( http: / / www.21cnjy.com )(舍)， …………(5分)
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18. (12分)已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )( ( http: / / www.21cnjy.com )为常数， ( http: / / www.21cnjy.com )且 ( http: / / www.21cnjy.com ))，且数列 ( http: / / www.21cnjy.com )是首项为4，公差为2的等差数列。
（Ⅰ）求证：数列 ( http: / / www.21cnjy.com )是等比数列；
（Ⅱ）若 ( http: / / www.21cnjy.com )，当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，求数列 ( http: / / www.21cnjy.com )的前n项和 ( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )试题解析：（Ⅰ）由题意知f(an)＝4＋(n－1)2＝2n＋2， …………(2分)
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19. (12分)如图，已知平行六面体A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O。21·cn·jy·com
（Ⅰ）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠A1AB＝60°，求平面BAA1与平面CAA1的夹角的余弦值。
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20. (13分)如图，设F(－c, 0)是椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的左焦点，直线l：x＝－ ( http: / / www.21cnjy.com )与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。2·1·c·n·j·y
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A, B。
①证明：∠AFM＝∠BFN；
②求△ABF面积的最大值。
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21. (14分)已知函数f(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )在x＝0，x＝ ( http: / / www.21cnjy.com )处存在极值。
（Ⅰ）求实数a, b的值；
（Ⅱ）函数y＝f(x)的图象上存在两点A, ( http: / / www.21cnjy.com ) B使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围；21教育网
(Ⅲ）当c＝e时，讨论关于x的方程f(x)＝kx (k∈R)的实根个数。
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