【解析版】江西省赣州市四所重点中学2014届高三上学期期末联考 数学（文）试题

第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.复数的虚部是（ ）
A． B．i C．1 D．i
2.下列命题中的假命题是（ ）
A．任意x∈R, ＋1＞0 B．任意x∈R, ex＞0 C．存在x∈R, lnx＝0 D．存在x∈R, tanx＝－1
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，a6＝11，则S7＝（ ）
A．91 B． C．98 D．49
．
4.执行右图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.若两个非零向量, 满足|＋|＝|－|＝||，则向量＋与－的夹角为（ ）
A． B． C． D．
考点：向量的夹角．
6.定义在R上的函数在(6, ＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋6)为偶函数，则（ ）
A．f(4)＞f(5) B．f(4)＞f(7) C．f(5)＞f(7) D．f(5)＞f(8)
7.一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为（ ）
A．54cm2 B．91cm2 C．75＋4cm2 D．75＋2cm2
8.设函数f(x)＝sin(wx＋)＋sin(wx－)(w＞0)的最小正周期为π，则（ ）
A．f(x)在(0, )上单调递增 B．f(x)在(0, )上单调递减
C．f(x)在(0, )上单调递增 D．f(x)在(0, )上单调递减
【解析】
9.设点P是双曲线与圆x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，F1, F2分别是双曲线的左、右焦点，且||＝||，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．＋1 C． D．2
10.已知正方形OABC的四个顶点O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1)，设u＝2xy, v＝x2－y2，是一个由平面xOy到平面uOv上的变换，则正方形OABC在这个变换下的图形是（ ）
【解析】
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.如图是容量为200的样本的频率分布直方图，则样本数据落在[10, 14]内的频数为 。
12.函数f(x)＝2＋logax(a＞0, a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－3＝0上，其中mn＞0，则的最小值为 。
13.设a∈{1, 2, 3}, b∈{2, 4, 6}，则函数y＝是减函数的概率为 。
14.过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜, 则椭圆的离心率的取值范围是 。
15.定义在R上的函数f(x)及其导函数f ' (x)的图像都是连续不断的曲线，且对于实数a, b (a＜b)有f ' (a)＞0, f ' (b)＜0，现给出如下结论：
①(x0∈[a, b], f(x0)＝0；②(x0∈[a, b], f(x0)＞f(b)；
③(x0∈[a, b], f(x0)＞f(a)；④(x0∈[a, b], f(a)－f(b)＞f ' (x0)(a－b).
其中结论正确的有 。
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. (12分)在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，且1＋＝.
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）已知，求的值。
【解析】
17. (12分)某园艺师用两种不同的方法培育了一批珍贵树苗，在树苗3个月大的时候，随机抽取甲、乙两种方法培育的树苗各10株，测量其高度，得到的茎叶图如图所示（单位：cm）.
（Ⅰ）依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大？
（Ⅱ）现从用两种方法培育的高度不低于80cm的树苗中随机抽取两株，求至少有一株是甲方法培育的概率。
【解析】
18. (12分)如图所示，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，
AD＝PD＝2EA＝2，F, G, H分别为BP, BE, PC的中点。
（Ⅰ）求证：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅱ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．
【解析】
19. (12分)已知函数f(x)＝x2－(a－1)x－b－1，当x∈[b, a]时，函数f(x)的图像关于y轴对称，数列的前n项和为Sn，且Sn＝f(n).
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设, Tn＝b1＋b2＋…＋bn，若Tn＞2m，求m的取值范围。
【解析】
20. (13分)已知椭圆C：的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA, MB交椭圆于A, B两点，设两直线的斜率分别为k1, k2, 且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点(―1, ―1).
【解析】
21. (14分)已知函数f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0).
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）当a＞0时，讨论的单调性；
(Ⅲ）若对任意的a∈(2, 3)，x1, x2∈[1, 3]，恒有成立，求实数m的取值范围。
【解析】