【解析版】吉林省吉林市普通高中2013-2014学年高二上学期期中教学质量检测数学（理）试题

吉林市普通中学2013-2014学年度上学期期中教学质量检测
高二数学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共10页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，
2、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3、保持卡面清洁，不折叠、不破损。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）
1. 按数列的排列规律猜想数列的第10项是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】观察数列规律得通项公式为，所以数列的第10项是。
2. 等差数列中，时，则序号等于
A. 99 B. 100 C. 96 D. 101
【答案】B
【解析】因为，所以。
3. 数列中，“”是“数列是递增数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由得不出“数列是递增数列”；但若“数列是递增数列”，则一定有，所以“”是“数列是递增数列”的必要而不充分条件。
4. 若，则的最小值是
A． 0 B． 2
C. D． 3
【答案】D
【解析】因为，所以由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，所以的最小值是3.
5. 在中,分别是角的对边，,则此三角形解
的情况是
A. 一解 B. 两解
C. 一解或两解 D. 无解
【答案】B
【解析】因为，所以此三角形有两解。
6. 若关于的不等式的解集是，则对任意实常数，总有
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方法1：把点x=2、x=0分别代入不等式中，判断关于k的不等式的解集是否为R即可。
方法2：由得：，因为，所以，所以，因此选A。
7. 对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，则数列的通项公式＝
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意易知，所以
，
，
，
……
，
以上n-1个式子相加，得：，所以。
8. 如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为
A. 海里/时
B. 海里/时
C. 海里/时
D. 海里/时
【答案】B
【解析】由题意知：SM=20，∠NMS=450，所以SM与正东方向的夹角为750，MN与正东方向的夹角为600，所以∠SNM=1050，∠NSM=300，在?MNS中利用正弦定理得：海里。所以货轮的速度为。
9. 过圆内一点有条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列首项，最大弦长为数列的末项，若公差，则的取值不可能是
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】因为圆的半径长为5，圆心坐标为（5,0），所以过点（5,3）的弦与过点（5,3）的直径垂直时，弦长最小，最小为，过点（5,3）的弦中直径最大，最大为。所以，若公差，则，因此选A。
10. 设是等差数列，是的前项和，且，下列四个结论：
① ； ② ； ③ ； ④ 均为的最大值.
其中正确结论的个数是
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】因为，所以① 正确； ② 正确； ③ 错误，因为； ④ 均为的最大值正确。
11. 给出命题：关于的不等式的解集为;
命题：函数的定义域为。
若“”为假命题，“”为真命题，则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】若关于的不等式的解集为，则；若函数的定义域为，则。所以若“”为假命题，“”为真命题，应满足一真一假，即，所以的取值范围是。
12. 的内角对边分别为，若，则等于
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【答案】A
【解析】因为，所以由正弦定理得：，又因为所以由余弦定理得：所以等于30°。
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．命题：“若，则”的逆否命题是
【答案】若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【解析】命题：“若，则”的逆否命题是若x≥1或x≤－1，则x2≥1。
14. 的内角对边分别为，且b＝1，c＝2，如果是锐角三角形，则a的取值范围是
【答案】【解析】因为是锐角三角形且b15. 已知的可行域如图阴影部分,其中,
在该区域内取得最小值的最优解有无数个，
则=
【答案】2
【解析】若使目标函数在该区域内取得最小值的最优解有无数个，
需满足直线与直线AC重合，又，所以，所以。
16. 研究问题：“已知关于x的不等式的解集为（1，2），解关于x的不等
式”. 有如下解法：
解：由且，所以，得，
设,得,由已知得：,即，
所以不等式的解集是.
参考上述解法，解决如下问题：已知关于x的不等式的解集是:
，则不等式的解集是
【答案】
【解析】因为关于x的不等式的解集是:，用，不等式可化为：，可得。
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
设锐角的内角的对边分别为，.
（I）求角的大小； （II）若，求.
18．（本题满分12分）
若关于的不等式的解集是，
（I）求的值；
（II）求不等式的解集.
19. （本题满分12分）
等比数列中，已知
?? （I）求数列的通项公式；
? ?（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前 项和
20．（本题满分12分）
如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架(阴影部分)的材料为铝合金，宽均为6cm,上栏与下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为1:2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为cm和cm，铝合金窗的透光部分的面积为cm2.（I）试用表示；
（Ⅱ）若要使最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
21．（本题满分12分）
的内角对边分别为，已知成等差数列，的面积为.
（I） 求证：、、成等比数列；
（II）求的周长的最小值，并说明此时的形状.
22. （本题满分12分）
设数列的前项和为，其中，为常数，且成等差数列．
（Ⅰ）当时，求的通项公式；
（Ⅱ）当时，设，若对于，
恒成立，求实数的取值范围
（Ⅲ）设，问：是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
命题、校对：孙长青
吉林市普通高中2013-2014学年度数学模块教学质量检测
高二数学（理）参考答案与评分标准
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
B
D
B
A
C
B
A
C
D
A
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．若x≥1或x≤－1，则x2≥1 14. 三、解答题
17．（本题满分10分）
解：（I）由正弦定理得： -----------4分
-----------5分
（II） -----10分
18．（本题满分12分）
解（I）依题意，可知方程的两个实数根为和1， ┄┄┄┄┄┄2分
+1= 解得：=－2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（II）， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
因为有两根为
所以解集为 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
19. （本题满分12分）
解：（I）设公比为，由题意 ----------------------------------------1分
由得： （1）
由得： （2） --------------4分
（2）÷（1）得：，代入（1）得
所以 ----------------------------------------6分
（I）设的公差为，
， ----------------------------------------10分
----------------------------------------11分
， ---------12分
20．（本题满分12分）
解（1）∵铝合金窗宽为acm，高为bcm，a>0,b>0.ab=28800,
又设上栏框内高度为hcm，下栏框内高度为2hcm,则3h＋18=b,∴h=
∴透光部分的面积S=（a－18）＋（a－12）=（a－16）（b－18）
=ab－2（9a＋8b）＋288=29088－18a-16b ------------------------------------6分
（2）9a＋8b2=2880, S=29088－18a-16b=29088－2(9a+8b) 29088-22880
当且仅当9a=8b,即a=160,b=180时S取得最大值。
∴铝合金窗宽为160cm，高为180cm时透光部分面积最大。 ---------------------------12分
21．（本题满分12分）
解（1）证明：∵A、B、C成等差数列，∴B=600， -----------------------------------2分
又(ABC的面积为，∴，∴ac=4 -----------------------------5分
∴a、2、c成等比数列 ----------------------------------6分
（2）在(ABC中，根据余弦定理，得
b2=a2+c2-2accos600
=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4，∴b≥2, 当且仅当a=c时，等号成立 -------------------------------9分
∴(ABC的周长L=a+b+c≥=.当且仅当a=c时，等号成立
∴, 当且仅当a=c时，等号成立
∴(ABC周长的最小值为6，
因为a=c，B=600，此时(ABC为等边三角形. -----------------12分
22. （本题满分12分）
解：（I）
当时，，两式相减得： ------2分
当时，，，适合 ------------3分
所以是以为首项，以2为公比的等比数列，因为
所以 ---------------------------------------------------4分
（II）由（1）得，所以=
因为，所以，所以 -----------------8分
（III）由（1）得是以为首项，以2为公比的等比数列
所以= --------------------------10分
要使为等比数列，当且仅当
所以存在，使为等比数列 --------------------------------12分