【解析版】吉林省吉林市普通高中2013-2014学年高二上学期期中教学质量检测数学（文）试题

吉林市普通中学2013-2014学年度上学期期中教学质量检测
高二数学（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共10页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上，
2、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3、保持卡面清洁，不折叠、不破损。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）
1. 按数列的排列规律猜想数列的第10项是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】观察数列规律得通项公式为，所以数列的第10项是。
2. 等差数列中，时，则序号等于
A. 99 B. 100 C. 96 D. 101
【答案】B
【解析】因为，所以。
3. 若，则下列不等式成立的是
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】A. 不成立,例如a>0>b;B．不成立，例如1>-5;
C. 成立，在不等式的两边同时乘以即可得到（因为）；
D．不成立，例如c=0时。
4. 已知数列中，，则
A. 3 B. 7
C. 15 D. 18
【答案】C
【解析】因为，所以。
5. 若，则函数的最小值是
A. 3 B. 4
C. 2 D. 8
【答案】A
【解析】因为，所以由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，所以的最小值是3.
6. 在中,分别是角的对边，,则此三角形解
的情况是
A. 一解 B. 两解
C. 一解或两解 D. 无解
【答案】B
【解析】因为，所以此三角形有两解。
7. 若关于不等式的解集为，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，原不等式为，满足题意；
当时，要满足题意须，解得。
综上知：实数的取值范围是。
8. 在中,分别是角的对边，若
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由余弦定理得，所以。
9. 已知成等差数列，成等比数列，则=
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为成等差数列，所以，因为成等比数列，所以，所以=。
10. 如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为
A. 海里/时
B. 海里/时
C. 海里/时
D. 海里/时
【答案】B
【解析】由题意知：SM=20，∠NMS=450，所以SM与正东方向的夹角为750，MN与正东方向的夹角为600，所以∠SNM=1050，∠NSM=300，在?MNS中利用正弦定理得：海里。所以货轮的速度为。
11. 设是等差数列，是其前项和，且，下列结论：
① ； ② ； ③ ④ 均为的最大值.
其中正确结论的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】因为，所以① 正确； ② 正确； ③ 错误，因为； ④ 均为的最大值正确。
12. △ABC中，, 则△ABC周长的最大值为
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】由正弦定理，得：，所以△ABC的周长，因为，所以，即△ABC周长的最大值为。
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．若实数满足，则的最小值为_______
【答案】- 6
【解析】画出约束条件的可行域，由可行域知：目标函数过点（4，-2）时取最小值，且最小值为-6.
14. 的内角对边分别为，且满足，则
【答案】
【解析】因为，所以由正弦定理，得：，不妨设，所以。
15. 对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，则数列的通项公式＝________
【答案】
【解析】因为的“差数列”的通项公式为，所以，所以
，
，
，
……
，
以上n-1个式子相加，得：，所以。
16. 研究问题：“已知关于x的不等式的解集为（1，2），解关于x的不等
式”. 有如下解法：
解：由且，所以，得，
设,得,由已知得：,即，
所以不等式的解集是.
参考上述解法，解决如下问题：已知关于x的不等式的解集是:
，则不等式的解集是
【答案】
【解析】因为关于x的不等式的解集是:，用，不等式可化为：，可得。
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
在中，已知，求边的长及的面积.
18．（本题满分12分）
若关于的不等式的解集是，
（I）求的值；
（II）求不等式的解集.
19．（本题满分12分）
等比数列中，已知
?? （I）求数列的通项公式；
? ?（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前 项和
20．（本题满分12分）
在锐角△中，分别为角所对的边，且.
（I） 求角的大小；
（II） 若，且△的面积为，求的值
21．（本题满分12分）
如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架(阴影部分)的材料为铝合金，宽均为6cm,上栏与下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为1:2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为cm和cm，铝合金窗的透光部分的面积为cm2. （I）试用表示；
（Ⅱ）若要使最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
22. （本题满分12分）
设数列的前项和为，其中，为常数，且成等差数列．
（Ⅰ）当时，求的通项公式；
（Ⅱ）当时，设，若对于，
恒成立，求实数的取值范围
（Ⅲ）设，问：是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
命题、校对：孙长青
吉林市普通高中2013-2014学年度数学模块教学质量检测
高二数学（文）参考答案与评分标准
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
C
C
A
B
D
C
A
B
C
D
二、填空题
13． - 6 14. 15. 16.
三、17．（本题满分10分）
解：在中,由余弦定理得: …………………3分

∴ ………………………………………………………………………………5分
由三角形的面积公式得： …………………………………………8分
…………………………………………………………10分
18．（本题满分12分）
解（I）依题意，可知方程的两个实数根为和1， ┄┄┄┄┄┄2分
+1= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
解得：=－2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（II）， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
因为有两根为
所以解集为 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
19．（本题满分12分）
解：（I）设公比为，由题意 ----------------------------------------1分
由得： （1）
由得： （2） -------------4分
（2）÷（1）得：，代入（1）得
所以 ----------------------------------------6分
（I）设的公差为，
， ----------------------------------------10分
----------------------------------------11分
----------------------12分
20．（本题满分12分）
解：（I）由已知得
------------------6分
（II）（1） ------------------8分
------------------10分
（2）
由（1）（2）得 ------------------12分
21．（本题满分12分）
解（1）∵铝合金窗宽为acm，高为bcm，a>0,b>0.ab=28800,
又设上栏框内高度为hcm，下栏框内高度为2hcm,则3h＋18=b,∴h=
∴透光部分的面积S=（a－18）＋（a－12）=（a－16）（b－18）
=ab－2（9a＋8b）＋288=29088－18a-16b ------------------------------------6分
（2）9a＋8b2=2880, S=29088－18a-16b=29088－2(9a+8b) 29088-22880
当且仅当9a=8b,即a=160,b=180时S取得最大值。
∴铝合金窗宽为160cm，高为180cm时透光部分面积最大。 ---------------------------12分
22. （本题满分12分）
解：（I）
当时，，两式相减得： ------2分
当时，，，适合 ------------3分
所以是以为首项，以2为公比的等比数列，因为
所以 ---------------------------------------------------4分
（II）由（1）得，所以=
因为，所以，所以 -----------------8分
（III）由（1）得是以为首项，以2为公比的等比数列
所以= --------------------------10分
要使为等比数列，当且仅当
所以存在，使为等比数列 --------------------------------12分