【解析版】吉林省吉林市普通高中2014届高三上学期摸底测试数学（理）试题

吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班摸底测试
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1．已知，则=
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以=。
2. 复数等于A. B. C. D.
【答案】B
【解析】。
3. ，若，则
A. 0 B. 3 C. -1 D. -2
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，所以。
4. 如图. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填
A. i≥10?
B. i≥11?
C. i≤11?
D. i≥12?
【答案】B
【解析】第一次循环：，不满足条件，继续循环；
第二次循环：，此时应输出，结束循环，因此判断框中应填i≥11?。
5. 某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为
A. 600 B. 288 C. 480 D. 504
【答案】D
【解析】学校安排六节课程可看做是用6个不同的元素填6个空的问题，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课的排法可分两类．一类是体育课排在第四节，则满足了体育课不在第一节，同时满足了数学课不在第四节，排法种数是种；一类是体育课不排第四节，数学课也不排在第四节，则第四节课只能从语文、英语、物理、化学课中任取1节来安排，有4种安排方法，然后安排第一节课，第一节课可从语文、英语、物理、化学课中剩下的3各科目及数学科目4个科目中任选1节，有4种安排方法，最后剩余的4各科目和4节课可全排列有A 种排法，由分步计数原理，第二类安排方法共有4424=384种．
所以这天课表的不同排法种数为120+384=504种．
6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：
① 若； ② 若；
③ 若； ④ 若其中正确命题的序号是
A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ②③
【答案】D
【解析】① 若；,错误，可能平行、相交、或者在平面内；
② 若；正确，此为面面平行的性质定理；
③ 若；，正确；
④ 若，错误，可能平行、相交。
7. 平行四边形中，=（1，0），=（2，2），则等于
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】A
【解析】,所以=4.
8. 已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2
【答案】C
【解析】因为二项式展开式的二项式系数之和为32，所以，，所以，
9. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由三视图知：原几何体为一个正方体和正四棱锥的组合体，其中正方体的棱长为2，正四棱锥的底面边长为2，侧面的斜高为2，所以正四棱锥的高为，所以该几何体的体积为。
10. 已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为与，则
A．的最小正周期为，且在上为单调递增函数
B．的最小正周期为，且在上为单调递减函数
C．的最小正周期为， 且在上为单调递增函数
D．的最小正周期为， 且在上为单调递减函数
【答案】C
【解析】，因为其图象相邻的两条对称轴方程为与，则,所以，当xx=0时得，所以，在在上为单调递减函数。
11. 已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B
两点，且△为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是A. （） B. （1，）
C. （） D. （1，）
【答案】D
【解析】设直线与x轴的交点为C，A为第一象限的点，则：，若满足△为钝角三角形，需满足∠AFC>450,即，化简，得e∈（1，）.
12. 已知定义在R上的函数对任意的都满足，当
时，，若函数至少6个零点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数对任意的都满足，所以函数的周期为2，又因为当时，，，所以画出函数的图像，如图，函数的零点个数，即函数y=f（x）与y=loga|x|的交点的个数；y=loga|x|是偶函数，当x＞0时，y=logax，则当x＜0时，y=loga（-x），做出y=loga|x|的图象，结合图象分析可得：要使函数y=f（x）与y=loga|x|至少有6个交点，则 。
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．在△中，角所对的边分别为，已知，，．
则=
【答案】
【解析】由余弦定理得：。
14. 设变量满足约束条件，则的最大值是
【答案】5
【解析】画出约束条件的可行域，由可行域知：目标函数过点（2,3）时取最大值，最大值为5.
15. 下列说法：
① “，使>3”的否定是“，使3”；
② 函数的最小正周期是；
③ “在中，若，则”的逆命题是真命题；
④ “”是“直线和直线垂直”的充要
条件；其中正确的说法是 （只填序号）.
【答案】①②
【解析】① “，使>3”的否定是“，使3”，正确；
② 因为，所以 函数的最小正周期是；
③“在中，若，则”的逆命题是“在中，若，则”,在△ABC中，若A＞B?a＞b?2rsinA＞2rsinB?sinA＞sinB，故③正确；
④ 由 ，所以“”是“直线和直线垂直”的充要错误。
16. 四面体中，共顶点的三条棱两两相互垂直，且其长别分为1、、3，若四
面体的四个项点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。
【答案】 16π
【解析】把四面体的顶点A看成一个棱长分别为1、、3的长方体的一个顶点，则长方体的外接球即为四面体的外接球，易知长方体外接球的半径，所以外接球的表面积为。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在锐角中，，，。
（I） 求角的大小
（II）求的取值范围
18．（本小题满分12分）
公差不为零的等差数列{}中，，又成等比数列.（I） 求数列{}的通项公式.（II）设，求数列{}的前n项和.
19．（本小题满分12分）
其市有小型超市72个，中型超市24个，大型超市12个，现采用分层抽样方法抽取9个超市对其销售商品质量进行调查，
（I） 求应从小型、中型、大型超市分别抽取的个数
（II） 若从抽取的9个超市中随机抽取3个做进一步跟踪分析，记随机变量X为抽取的
小型超市的个数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X).
20．（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面
底面．
（I） 证明：平面；
（II）求二面角的余弦值。
21．（本小题满分12分）
已知椭圆（）右顶点与右焦点的距离为，短轴长为.
（I）求椭圆的方程；
（II）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形的面积为，
求直线的方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数，其中且．
（I）求函数的单调区间；
（II）当时，若存在，使成立，求实数的取值范围．
命题、校对：孙长青
吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班摸底测试
数 学（理科）参考答案及评分标准
一、CBABD DACAC DA
二、13． 14. 5 15. ①② 16. 16π
三、
17．解（1）由题意：
∴即 -------------3分
∵ ∴ ∴即 --------------5分
（2）由（1）知：
∴ （7分）
∵为锐角三角形。
∴
∴ 又 ∴
∴ ……………………………（8分）
∴ ……………………………（10分）
18．解（1）设公差为d（d）
由已知得：， ，又因为，所以
， 所以 --------------------------------------6分
（2）由（1）得，因为
所以是以为首项，以8为公比的等比数列，所以----12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）抽取大型超市个数：（个）
抽取中型超市个数：（个）
抽取小型超市个数：（个） -------------------------------------6分
（2） ;
; -------------------------------10分
分布列为
X
0
1
2
3
P
--------------------------------11分
所以 --------------------------------12分
20．（Ⅰ）因为平面VAD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，
又AB在平面ABCD内，AD⊥AB，所以AB⊥平面VAD．…………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥AB，AB⊥AV．依题意设AB=AD=AV=1，所以BV=BD=．…6分
设VD的中点为E,连结AE、BE，则AE⊥VD，BE⊥VD，
所以∠AEB是面VDA与面VDB所成二面角的平面角． …………9分
又AE=，BE=，所以cos∠AEB==．
…………12分
（方法二）
（Ⅰ）同方法一．…………3分
（Ⅱ）设AD的中点为O，连结VO，则VO⊥底面ABCD．
又设正方形边长为1，建立空间直角坐标系如图所示．…………4分
则，A（，0，0）， B（，1，0），
D（-，0，0）， V（0，0，）；
…………7分
由（Ⅰ）知是平面VAD的法向量．设是平面VDB的法向量，则
…………10分
∴，
21．解：（Ⅰ）由题意，
解得即：椭圆方程为 -----3分
（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，
此时不符合题意故舍掉； -----------4分
当直线与轴不垂直时，设直线 的方程为：，
代入消去得：. ------------6分
设 ，则， -----------7分
所以 . ------------9分
原点到直线的距离，
所以三角形的面积.
由， ------------12分
所以直线或. ---------13分
22．解（1）定义域为R， --------------------------------------------2分
当时， 时，；时，
当时， 时，；时， -----------4分
所以当时,的增区间是，减区间是
当时,的ug减区间是，增区间是 ---------------6分
（II）时，，由得：
设，， --------------------------------------8分
所以当时，；当时，，
所以在上递增， 在上递减， -----------------------------10分
所以的取值范围是 ----------------------------12分