【解析版】甘肃省会宁县第二中学2014届高三上学期12月月考数学试题

注:题前标(文)者为文科试题,标(理)者为理科试题,请文理科学生根据自己情况,做各自所属试题.
一．选择题（每小题5分共60分；每题只有一个正确选项）
1.已知集合且,若，则( )
A.－3≤m≤4 B.－3C.2【答案】D
【解析】因为，所以，又因为且，所以，解得。
2.复数( )．
A.0 B.2 C.－2i D.2 i
【答案】B
【解析】。
3. “a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分条件也不是必要条件
【答案】A
【解析】y=cos2ax－sin2ax，若，所以“a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的充分不必要条件。
4.已知是等差数列,,则该数列前10项和等于（ ）
A.64 B.100 C.110 D.120
【答案】B
【解析】因为，所以，所以。
5.已知△ABC中，?=a，=b，a·b<0，S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是( )
A.30° B.－150° C.150° D.30°或150°
【答案】C
【解析】因为S△ABC=，所以，又因为a·b<0，所以a与b的夹角是150°。
6.已知函数对任意x∈［,+∞］都有意义，则实数的取值范围是( )
A.(0, B.(0,) C.[,1 D.(,）
【答案】A
【解析】因为函数对任意x∈［,+∞］都有意义，所以在x∈［,+∞］内恒成立，解得实数的取值范围是(0, 。
7.在?ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=,则?=( )
A. B. C. - D. -
【答案】A
【解析】因为A、D、B三点共线，所以。
8.在中，已知前项和则（ ）
A. 69200 B. 1400 C. 1415 D. 1385
【答案】D
【解析】因为，所以数列是首项为-1，公差为14 的等差数列，所以，所以1385.
9.函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为所以函数的零点所在的一个区间是。
10.将函数y＝sinx－cosx的图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称，则a的最小值是(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
【答案】C
【解析】y＝sinx－cosx，向右平移平移a(a>0)个单位长度得到函数的图像，因为其为偶函数，所以，所以a的最小值是。
11.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设
，则的大小关系是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,，因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以函数在单调递减，又，所以，即。
12.已知函数 若则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵||=，∴由||≥得，且，由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D.
一．选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
文科
C
B
A
B
C
A
B
B
C
C
D
理科
D
A
B
C
A
A
D
C
A
B
D
二.填空题(将你所做答案写在答题卡相应的位置上每题5分,共20分)
13.在等差数列中，若则
【答案】.-1
【解析】因为所以，所以2.
14.(文)已知向量和向量的夹角为，，则和的数量积=
【答案】3
【解析】==3.
15.如图（1），在四边形中，，
，
则的值为
【答案】4
【解析】因为，，，设，则，所以，所以。
16.若在上是减函数，则b的取值范围是
【答案】
【解析】因为在上是减函数，所以在内恒成立，且不恒为0，即在内恒成立，且不恒为0，又，所以b的取值范围是。
三.解答题（6小题共70分，将过程写在答题卡相应的位置上，要有必要的推演步骤）
17.(本题10分)
(文)已知函数的最小正周期为4π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
(理)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,
.
(1)求角A的度数；
(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.
18.(本题12分)
设、是两个不共线的非零向量（）
（1）记那么当实数t为何值时,A、B、C三点共线？
（2）若,那么实数x为何值时的值最小？
19.(本题12分)
设数列的前项和为 已知
(1)设,证明数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式.
20.(本题12分)
数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;
(3)设 (n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有成立？若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
注：本题文科生只做前（1）（2)，理科生做（1）（2）（3）
21.(本题12分)
已知平面向量a=(–1),b=().
（1）证明a⊥b;
（2）若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+ (t2–3)b，y=–ka+tb，且x⊥y,试求函数关系式k=f(t);
（3）据(2)的结论,讨论关于t的方程f(t)–k=0的解的情况.
22.(本题12分)
已知，．
(1)求在上的最小值；
(2)若对一切，成立，求实数的取值范围．

数学试题答案
一．选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
文科
C
B
A
B
C
A
B
B
C
C
D
理科
D
A
B
C
A
A
D
C
A
B
D
二．填空题答案
13.-1; 14.文：3；理：；15:4； 16：
三．解答题答案
17. (文)[解析]　(1)f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx－
＝sin2ωx＋cos2ωx＋－＝sin
∵T＝＝4π，∴ω＝.
(2)∵f(x)＝sin
∵－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z
∴－π＋4kπ≤x≤π＋4kπ，k∈Z
∴f(x)的单调递增区间为[－＋4kπ，＋4kπ](k∈Z)．
(理)

18.解：（1）A、B、C三点共线知存在实数
即，…………………………………………………4分
则………………………………………………………………6分
（2）
……………………………9分
当…………………………………………12分
:20..解：(1）由an+2=2an+1－anan+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差数列，?
d==－2,∴an=10－2n.
(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=－n2+9n，当n＞5时，Sn=n2－9n+40，故Sn=
(3)bn=
；要使Tn＞总成立，需＜T1=成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7.
21.(1)证明：∵a·b==0，∴a⊥b
(2)解：∵x⊥y,∴x·y=0
即［a+（t2–3)b］·(–ka+tb)=0，整理后得
–ka2+［t–k(t2–3)］a·b+t(t2–3)·b2=0
∵a·b=0,a2=4,b2=1
∴上式化为–4k+t(t2–3)=0，∴k=t(t2–3).
(3)解：讨论方程t(t2–3)–k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=t(t2–3)与直线y=k的交点个数?
于是f′(t)=(t2–1)=(t+1)(t–1).
令f′(t)=0,解得t1=–1,t2=1.当t变化时，f′(t),f(t)的变化情况如下表：
t
(–∞,–1)
–1
(–1,1)
1
(1,+∞)
f′(t)
+
0
–
0
+
f(t)
↗
极大值
↘
极小值
↗
当t=–1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=；
当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=–.
而f(t)=(t2–3)t=0时，得t=–,0,.
所以f(t)的图象大致如右：
于是当k>或k<–时，直线y=k与曲线y=f(t)仅有一个交点，则方程有一解；
当k=或k=–时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k=0，直线与曲线有三个交点，但k、t不同时为零，故此时也有两解；当–