【解析版】甘肃省天水一中2014届高三上学期第三阶段考试数学（理）试题

天水一中2011级（高三）2013-2014学年第一学期第三阶段考试
理科数学
命题人：高玲玲　　　　　审题人：蔡恒录
第I卷 选择题 （共60分）
一．选择题（每小题5分共60分；每题只有一个正确答案）
1．集合，集合为函数的定义域，则（ ）
A． B. C. D.
【答案】D
【解析】易知集合，集合，所以。
2．是等差数列的前项和，,则（ ）
错误！不能通过编辑域代码创建对象。 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 错误！不能通过编辑域代码创建对象。
【答案】B
【解析】因为，所以，所以。
3．已知命题，命题，则( 　)
A.命题是假命题 B.命题是真命题
C.命题是真命题 D.命题是假命题
【答案】C
【解析】命题为真命题，例如成立；命题为假命题，例如，所以命题是真命题，选C。
4．已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线PA的斜率，直线PB的斜率，结合图象可得直线的斜率k的取值范围是。
5. 若当时，函数取得最小值，则函数是（ ）
A．奇函数且图像关于点对称 B．偶函数且图像关于点对称
C．奇函数且图像关于直线对称 D．偶函数且图像关于点对称
【答案】C
【解析】因为当时，函数取得最小值，所以，所以，所以函数是奇函数且图像关于直线对称。
6.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为( )
A . B. C. D.
【答案】A
【解析】因为过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，-1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．
7．在ΔABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，A、B、C成等差数列，且，则角C=（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】因为A、B、C成等差数列，所以A+C=2B，所以B=。又因为，所以由正弦定理，得：，所以C=或。
8．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm),
则此几何体的表面积是( )
A． B．21
C． D．24
【答案】A
【解析】由三视图可知，原几何体为正方体和一个四棱锥的组合体。其中正方体的棱长为2，正四棱锥侧面上的高为。所以表面积为：。
9．能够把圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若函数是圆O的“和谐函数”，则函数的图象经过圆心且关于圆心对称，由圆:的圆心为坐标原点，故函数是奇函数。由于A中，B中，C中均为奇函数，而D中为偶函数，不满足要求。
10．已知是单位向量，.若向量c满足,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是单位向量，所以，的模为1，可以在单位圆中解得。选A
11．椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，因为F1F2=F1P，所以点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上，因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，此时a-c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e＞。
当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠。
同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e＞且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P，这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形。
综上所述，离心率的取值范围是：e∈。
12．已知可导函数，则当时，大小关系为 （ ）
A． B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知：设函数，则，显然成立。当时，，显然。
第II卷（非选择题共90分）
二．填空题（每小题5分共20分；将所做答案写在答题卡上）
13．直线被圆截得弦长为__________。
【答案】
【解析】圆心到直线的距离，所以直线被圆截得弦长。
14．曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 ；
【答案】4－2ln2
【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为。
15.设满足约束条件 ，若目标函数的最大值为10，则的最小值为
【答案】
【解析】画出约束条件的可行域，因为，所以目标函数在点（1,4）处取的最大值10，代入，得，所以，当且仅当时取等号。
16. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则
【答案】 4
【解析】因为△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，
所以。
三．（本大题共70分；将过程写在答题卡相应的位置，要有必要的推演步骤）
17.（本题满分10分）在中，角所对的边分别为，
已知，
（1）求的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
18．（本题满分12分）命题：不等式对一切实数都成立；命题：函数在上单调递减。若命题或为真，求实数的取值范围。
19．（本题满分12分）已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且 的等比中项.
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列的前n项和.
20．（本题满分12分） 设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.
21．（本题满分12分）已知，，且直线与曲线相切．
（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求最大的正整数，使得任意个实数（是自然对数的底数）都有成立；
22．（本题满分12分）如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；
（Ⅲ）若直线在轴上的截距为，求的最小值．
天水一中2011级（高三）2013-2014学年第一学期第三阶段考试
理科数学答案
一．DBCAC ADADA DB
二．13. 14. 4－2ln2 15. 16. 4
三．17.解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，
从而，
∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
从而的周长的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
由已知：，
由余弦定理得：
∴（，又，
∴，从而的周长的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18.。a<2
19.解：（1）设数列的公差是，则，即①
，即 ②
由①②解得
累加，得
20.解析：（Ⅰ）设F,由,?a=,过点F且与x轴垂直的直线为x=?c，代入椭圆方程得
?y=±??b=，a=，c=1?
（Ⅱ）设点， CD方程为y=k联立方程?，?，又所以
=6?2=6+ ?6+=8?k=±
21.解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有
． （*）
，． （**）
由（*）、（**）两式，解得，． 1分
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必须恒成立． 2分
设，，
，当时，，则是增函数，
，是增函数，，．
因此，实数的取值范围是． 4分
（2）当时，，
，在上是增函数，在上的最大值为．
要对内的任意个实数都有
成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．
，解得．因此，的最大值为． 8分
22、解（1）∵点到抛物线准线的距离为，
∴，即抛物线的方程为．----------------------------------------------2分
（2）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，
设，，
∴， ∴ ，
∴． ．---------------------------6分
法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，
联立方程组，得，
∵ ∴，．
同理可得，，∴．---------------------------6分
（3）法一：设，∵，∴，
可得，直线的方程为，
同理，直线的方程为，
∴，，
∴直线的方程为，
令，可得，
∵关于的函数在单调递增， ∴．------------------------------12分
法二：设点，，．
以为圆心，为半径的圆方程为， ①
⊙方程：． ②
①-②得：
直线的方程为．
当时，直线在轴上的截距，
∵关于的函数在单调递增， ∴． ------------------------12