专题9.2 《矩形、菱形、正方形》专项训练60题(每日打卡·天天练系列)(苏科版)(原卷版)
一．选择题（共10小题）
1．能判定四边形为平行四边形的条件是
A．， B．， C．， D．，
2．如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是
A． B． C． D．
3．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
4．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④．
正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点和，若，则
A．6 B．8 C．10 D．13
6．在中，对角线、的长分别为4、6，则边的长可能为
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，已知平行四边形，要求利用所学知识在平行四边形内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接，作的中垂线交、于、，则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线、，分别交于点，交于点，则四边形是菱形．
下列判断正确的是
A．甲、乙均正确 B．甲错误，乙正确
C．甲正确，乙错误 D．甲，乙均错误
8．在矩形中，，，，分别是边，，，上的点（不与端点重合），对于任意矩形，以下结论：
①存在且仅有一个四边形是菱形．
②存在无数个四边形是平行四边形．
③存在无数个四边形是矩形．
④除非矩形为正方形，否则不存在四边形是正方形．
其中正确的是
A．③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
9．如图，在中，，点是的中点，连接，分别以点，为圆心，的长为半径在外画弧，两弧交于点，连接，，过点作于点．若，，则的长为
A． B．4 C． D．5
10．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点．若，，求菱形的面积为
A．20 B．22 C．24 D．40
二．填空题（共10小题）
11．如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）．
12．如图，四边形中，，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，直线截原四边形为两个新四边形．则当、同时出发 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
13．已知：如图，四边形中，，，与相交于点，则图中全等的三角形共有 对．
14．如图，在四边形中，，，，，，则的长为 ．
15．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，交于点．若的周长为14，则平行四边形的周长为 ．
16．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 ．
17．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值是 ．
18．如图，在平行四边形中，，，以为底边向右作腰长为10的等腰，为边上一点，，连接，则的最小值为 ．
19．如图，中，，，点为外一点，且，连接，若，则的度数为 ．
20．已知平面图形，点、是上任意两点，我们把线段的长度的最大值称为平面图形的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．如图，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”，此图形的“宽距”为 ．
三．解答题（共40小题）
21．如图，，，垂足分别为、，且，．
（1）求证：；
（2）证明：四边形是平行四边形．
22．已知在中，，点在上，以、为腰做等腰三角形，且，连接，过作交延长线于，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）求证：四边形是平行四边形．
23．如图，四边形中，，相交于点，是的中点，．
求证：四边形是平行四边形．
24．如图，点，，，在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
25．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．
26．数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在中，是边上的高，如果，那么吗？
悦悦的思考：
①如图，延长至点，使，延长至点，使，连接、．
②由是的垂直平分线，易证．
③由，易证．
④得到．
如图②，在四边形中，，．
求证：四边形是平行四边形．
27．如图：在平行四边形中，点、分别在、上，，，垂足分别为、，且．求证：四边形是平行四边形．
28．如图，点、、、在一条直线上，，，，交于点．
（1）求证：与互相平分；
（2）若，，，，求的长．
29．如图，在中，、分别在、的延长线上，且．
求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
30．如图所示，，点在上．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的度数．
31．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图，的对角线和相交于点． 求证：，．
请根据教材中的分析，结合图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程．
证明：
【性质应用】
如图②，的对角线、相交于点，过点且与、分别相交于点、，
（1）求证：
（2）连结，若，周长是15，则的周长是 ．
32．如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的点，．求证：四边形是平行四边形．
33．已知点、为平行四边形对角线上的两点，，
（1）求证：；
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
34．如图，在中，、分别平分、，交于点、．
（1）求证：，；
（2）过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
35．如图，在中，的平分线交于点，点在边上，，连接．判断四边形的形状，并说明理由．
36．如图，平行四边形的对角线、相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由．
37．已知：如图，在中，点、是对角线上的两点，且．求证：．
38．如图，中，平分．
（1）若，，求的周长；
（2）连接，若平分，求的度数．
39．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，连接BE、BD、DE．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠BAD＝ °时，△BED是等边三角形．
40．如图，在和中，，，是的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求．
41．如图，已知中，，是的中点，垂直平分．
求证：（1）；
（2）若，求的度数．
42．如图，在中，于点，于点，点，分别是，的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
43．同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于．”请应用该性质，解决下列问题：
学校有一块三角形的绿地，，，求绿地的面积？
44．如图，中，是高，、分别是、的中点．
（1）若，，求四边形的周长；
（2）求证：垂直平分．
45．在中，，是的中点，过点作，且，连结．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
46．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求线段的长．
47．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，．
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）求点到边的距离．
48．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求菱形的周长．
49．如图，四边形中，，．分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．画射线交于，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）连接，当时，求的长．
50．如图，在四边形中，，，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，过点作，交的延长线于点，若，，求的长．
51．如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，为垂足．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，则四边形的面积为 平方单位．
52．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为3，，求的长．
53．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接，
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
54．如图，已知在中，，小明想做一个以、为边的矩形，于是进行了以下操作：
（1）测量得出的中点；
（2）连接并延长到，使得；
（3）连接和．请说明四边形为矩形的理由．
55．如图，中，，和的外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，点，为垂足．
（1） （直接写结果）．
（2）①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
56．如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，．
（1）如图1，当时，求证：菱形是正方形．
（2）如图2，连接，当的面积等于1时，求线段的长度．
57．在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．
（1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形、相遇时除外）？
答： ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值；
（3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值．
58．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）探究：①与有怎样的位置关系？请说明理由．
②的值为 ．
59．如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
（1）求证：四边形是正方形．
（2）已知的长为6，求的值．
（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形中，，一条高是，长度为6，，求长度．
60．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）如图，求证：矩形是正方形；
（2）若，，求的长；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
第1页（共1页）专题9.2 《矩形、菱形、正方形》专项训练60题（每日打卡·天天练系列）（苏科版）（解析版）
一．选择题（共10小题）
1．能判定四边形为平行四边形的条件是
A．， B．， C．， D．，
【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故选项符合题意；
、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，
不能判定四边形为平行四边形，故选项不符合题意；
、由，，不能判定四边形为平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项不符合题意；
、，，
四边形是筝形，不是平行四边形，故选项不符合题意；
故选：．
2．如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
【解答】解：、当，时，四边形可能为等腰梯形，所以不能证明四边形为平行四边形；
、，，一组对边分别平行且相等，可证明四边形为平行四边形；
、，，两组对边分别平行，可证明四边形为平行四边形；
、，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
故选：．
3．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，
选项不符合题意；
、有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
选项不符合题意；
、有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
选项符合题意；
、有两组对角相等的四边形是平行四边形，
选项不符合题意；
故选：．
4．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④．
正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③正确；最后求出，故④错误；即可得出答案．
【解答】解：，，，，
，
是直角三角形，，
，故①正确；
，都是等边三角形，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
，
，
同理可证：，
，
四边形是平行四边形，故②正确；
，故③正确；
过作于，如图所示：
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，故④错误；
正确的个数是3个，
故选：．
5．如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点和，若，则
A．6 B．8 C．10 D．13
【分析】过点作，交与点，由平行线的性质和角平分线的性质可证，由平行线的性质可求，由平行线的性质和角平分线的性质可证，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得，通过证明四边形是平行四边形，可得．
【解答】解：如图，设与的交点为，过点作，交与点，
四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
6．在中，对角线、的长分别为4、6，则边的长可能为
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】首先由的对角线和相交于点，若，，根据平四边形的性质，可求得与的长，再由三角形的三边关系，求得答案．
【解答】解：的对角线和相交于点，，，
，，
边的长的取值范围是：．
故选：．
7．如图，已知平行四边形，要求利用所学知识在平行四边形内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接，作的中垂线交、于、，则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线、，分别交于点，交于点，则四边形是菱形．
下列判断正确的是
A．甲、乙均正确 B．甲错误，乙正确
C．甲正确，乙错误 D．甲，乙均错误
【分析】根据甲、乙的作法，再由菱形的判定方法分别判断，即可得出结论．
【解答】解：甲的作法如图所示，
四边形是平行四边形，
，
，，
又垂直平分，
，，
又，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形，故甲的作法正确．
乙的作法如图所示：
，
，
平分，
，
，
，
同理可得，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形．故乙的作法正确．
故选：．
8．在矩形中，，，，分别是边，，，上的点（不与端点重合），对于任意矩形，以下结论：
①存在且仅有一个四边形是菱形．
②存在无数个四边形是平行四边形．
③存在无数个四边形是矩形．
④除非矩形为正方形，否则不存在四边形是正方形．
其中正确的是
A．③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：如图，
四边形是矩形，连接，交于，
过点直线和，分别交，，，于，，，，
则四边形是平行四边形，
故存在无数个四边形是平行四边形；故②正确；
当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是矩形；故③正确；
当时，存在无数个四边形是菱形；故①错误；
当四边形是正方形时，，
则，
，，
，
，
四边形是正方形，
当四边形为正方形时，四边形是正方形，故④正确；
故选：．
9．如图，在中，，点是的中点，连接，分别以点，为圆心，的长为半径在外画弧，两弧交于点，连接，，过点作于点．若，，则的长为
A． B．4 C． D．5
【分析】证明四边形是菱形，根据菱形的面积即可以求出的长．
【解答】解：在中，，点是的中点，
，
，，
四边形是菱形，
如图，过点作于点，
，，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
10．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点．若，，求菱形的面积为
A．20 B．22 C．24 D．40
【分析】先证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，从而可得四边形是矩形；根据勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
【解答】解：，
四边形是平行四边形．
又菱形对角线交于点
，即．
四边形是矩形；
四边形是菱形，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
菱形的面积．
故选：．
二．填空题（共10小题）
11．如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 （答案不唯一） ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）．
【分析】由平行四边形的判定方法即可得出结论．
【解答】解：添加条件，可得四边形为平行四边形，理由如下：
，，
四边形为平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）．
12．如图，四边形中，，，，点自点向以的速度运动，到点即停止．点自点向以的速度运动，到点即停止，直线截原四边形为两个新四边形．则当、同时出发 2或3 秒后其中一个新四边形为平行四边形．
【分析】当时，四边形是平行四边形，建立关于的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的值即可；
当时，四边形是平行四边形，建立关于的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的值即可．
【解答】解：根据题意有，，，．
①，
当时，四边形是平行四边形．
．
解得．
时四边形是平行四边形．
②，，
，，
．
，
当时，四边形是平行四边形．
即：，
解得．
当时，四边形是平行四边形．
综上所述，当，同时出发3或2秒后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案为：2或3．
13．已知：如图，四边形中，，，与相交于点，则图中全等的三角形共有 4 对．
【分析】证四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质可分别证明，，，，可求得答案．
【解答】解：，，
四边形为平行四边形，
，，，
在和中，
，
，
同理可得；
在和中，
，
，
同理可得；
全等三角形有4对，
故答案为：4．
14．如图，在四边形中，，，，，，则的长为 5 ．
【分析】平移一腰，得到平行四边形和的直角三角形，根据它们的性质进行计算．
【解答】解：作交于点，则四边形是平行四边形．
，，，
，
．
．
．
故答案是：5．
15．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，交于点．若的周长为14，则平行四边形的周长为 28 ．
【分析】根据平行四边形的性质及证明，再根据已知周长求出值，则平行四边形周长可求．
【解答】解：四边形是平行四边形，
点为中点．
，
．
的周长．
平行四边形周长为．
故答案为：28．
16．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 ．
【分析】过作于，于，先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，然后由锐角三角函数定义得出的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，过作于，于，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
重叠部分（图中阴影部分）的面积，
故答案为：．
17．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值是 ．
【分析】根据矩形的性质就可以得出，互相平分，且，根据垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，由勾股定理求出，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【解答】解：，，，
，
四边形是矩形，
，互相平分．且，
，的交点就是点，
当的值最小时，的值就最小，
当时，的值最小，即的值最小．
，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
，
，
故答案为：．
18．如图，在平行四边形中，，，以为底边向右作腰长为10的等腰，为边上一点，，连接，则的最小值为 ．
【分析】过点作交于点，交于点，当点与点重合时，的值最小，过点作交于点，由题意可求，，则的最小值为．
【解答】解：过点作交于点，交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
当点与点重合时，的值最小，
过点作交于点，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
19．如图，中，，，点为外一点，且，连接，若，则的度数为 ．
【分析】设边的中点为，连接，，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：设边的中点为，连接，，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，，
，
．
故答案为：．
20．已知平面图形，点、是上任意两点，我们把线段的长度的最大值称为平面图形的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．如图，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”，此图形的“宽距”为 ．
【分析】正方形的边长为2，设半圆的圆心为，点是上一点，连接，，．求出的最大值即可解决问题．
【解答】解：正方形的边长为2，设半圆的圆心为，点是上一点，连接，，．
在中，，
，
，
这个“窗户形“的宽距为．
故答案为．
三．解答题（共40小题）
21．如图，，，垂足分别为、，且，．
（1）求证：；
（2）证明：四边形是平行四边形．
【分析】（1）证，由证即可；
（2）由全等三角形的性质得，再证，即可得出结论．
【解答】证明：（1），
，
即，
，，
，
和均为直角三角形，
在和中，
，
；
（2）如图，由（1）得：，
，
，，
，
四边形是平行四边形．
22．已知在中，，点在上，以、为腰做等腰三角形，且，连接，过作交延长线于，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）求证：四边形是平行四边形．
【分析】（1）证明，得出，由即可得出结论；
（2）求出，由平行线的性质得出，即可得出结果；
（3）由，得出，再证明，得出，推出，即可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
，
以、为腰做等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
23．如图，四边形中，，相交于点，是的中点，．
求证：四边形是平行四边形．
【分析】由已知条件易证，由此可得，进而可证明四边形是平行四边形．
【解答】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，，
，
，
四边形是平行四边形．
24．如图，点，，，在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
【分析】（1）证出，由即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出，证出，由，即可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
，
在和中，，
；
（2）证明：由（1）得：，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
25．如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据平行线的判定推出，，根据平行四边形的判定推出即可．
【解答】证明：，，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
26．数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在中，是边上的高，如果，那么吗？
悦悦的思考：
①如图，延长至点，使，延长至点，使，连接、．
②由是的垂直平分线，易证．
③由，易证．
④得到．
如图②，在四边形中，，．
求证：四边形是平行四边形．
【分析】如图①，延长至点，使，延长至点，使，连接、．则，，证出是的垂直平分线，则，由等腰三角形的性质得，证出，即可得出．
如图②，在的延长线上取点，使，在的延长线上取点，使，连接、，先证四边形是平行四边形，得，，再证，得，证出，即可得出结论．
【解答】如图①，
解：，理由如下：延长至点，使，延长至点，使，连接、．
则，，
，
，
即，
是的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
．
如图②，
证明：在的延长线上取点，使，在的延长线上取点，使，连接、，
则，，
，且，，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形．
27．如图：在平行四边形中，点、分别在、上，，，垂足分别为、，且．求证：四边形是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，进而利用证明与全等，进而利用平行四边形的判定解答即可．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
28．如图，点、、、在一条直线上，，，，交于点．
（1）求证：与互相平分；
（2）若，，，，求的长．
【分析】（1）先证，得，再证四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）先求出，则，，然后由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接、，
，
，
又，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
与互相平分；
（2）解：，
，
，
，，
，
由勾股定理得：．
29．如图，在中，、分别在、的延长线上，且．
求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【分析】（1）由证明即可；
（2）由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形．
30．如图所示，，点在上．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，，根据平行线的判定定理得到，于是得到四边形是平行四边形；
（2）设，，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，求得，，于是得到．
【解答】（1）证明：，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
31．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图，的对角线和相交于点． 求证：，．
请根据教材中的分析，结合图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程．
证明：
【性质应用】
如图②，的对角线、相交于点，过点且与、分别相交于点、，
（1）求证：
（2）连结，若，周长是15，则的周长是 30 ．
【分析】【教材呈现】证，即可得出，；
【性质应用】
（1）证，即可得出；
（2）由线段垂直平分线的性质得，再由三角形的周长得，即可求解．
【解答】【教材呈现】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
，；
【性质应用】
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
的周长是15，
，
的周长，
故答案为：30．
32．如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的点，．求证：四边形是平行四边形．
【分析】连接对角线交对角线于点，由，，即可得出结论．
【解答】证明：连接对角线交对角线于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，是对角线上的点，，
，
即，
四边形是平行四边形．
33．已知点、为平行四边形对角线上的两点，，
（1）求证：；
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形性质可判断出，，再结合题目条件即可求证；
（2）根据平行四边形性质可判断出，，接着证明，得出，再结合（1）的结论，得出，即可证明结果．
【解答】（1）证明：，
，
又是平行四边形，
，
，
，
；
（2）解：结论：四边形是平行四边形．
理由：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
四边形是平行四边形．
34．如图，在中，、分别平分、，交于点、．
（1）求证：，；
（2）过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，，由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而可证明；利用证明可得；
（2）过点作于，由角平分线的性质可求解，根据平行四边形的性质可求解，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】（1）证明：在中，，，
，，，
、分别平分、，
，
，，
，
；
在和中，
，
，
；
（2）解：过点作于，
平分，，
，
的周长为56，
，
．
35．如图，在中，的平分线交于点，点在边上，，连接．判断四边形的形状，并说明理由．
【分析】证，得，再证，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】解：四边形是菱形．理由如下：
平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形．
36．如图，平行四边形的对角线、相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由．
【分析】（1）只要证明，，即可根据证明；
（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明；
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
（2）解：四边形是菱形．
理由如下：连接、．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
37．已知：如图，在中，点、是对角线上的两点，且．求证：．
【分析】可由题中条件求解，得出，即，进而可求证与平行．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又，
在与中
，
，
，
，
38．如图，中，平分．
（1）若，，求的周长；
（2）连接，若平分，求的度数．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线定义证明，进而可以解决问题；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线定义证明，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
的周长；
（2）四边形是平行四边形，
，
，
平分，平分，
，，
，
．
39．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，连接BE、BD、DE．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）当∠BAD＝ 30 °时，△BED是等边三角形．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，进而得出答案；
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出∠DEB＝∠DAB，即可得出答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵∠ABC＝90°，点E是AC的中点（已知），
∴BE＝AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
同理，DE＝AC，
∴BE＝DE（等量代换），
∴△BED是等腰三角形（等腰三角形的定义）；
（2）∵AE＝ED，
∴∠DAE＝∠EDA，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，
∠EAB+∠EBA＝∠BEC，
∴∠DAB＝∠DEB，
∵△BED是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠BAD＝30°．
故答案为：30．
40．如图，在和中，，，是的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出和即可；
（2）求出，，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，，求出，，根据三角形内角和定理求出和，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：在和中，，，是的中点，
，，
；
（2）解：在和中，，，，，
，，
在和中，，，是的中点，
，，
，，
，，
．
41．如图，已知中，，是的中点，垂直平分．
求证：（1）；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线可得，利用线段垂直平分线的性质可得，进而可证明结论；
（2）设，由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得，即可得，结合，可求解的值，即可求解．
【解答】（1）证明：，点是的中点，
，
是中点，且，
，
；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
42．如图，在中，于点，于点，点，分别是，的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得到，，由三角形外角定理及得到，即，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．
【解答】（1）证明：连接、，
，，
，
在中和中，是的中点，
，，
，
是的中点，
；
（2）解：在中，是的中点，
，
，
同理，
，
，
，
是的中点，，
．
43．同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于．”请应用该性质，解决下列问题：
学校有一块三角形的绿地，，，求绿地的面积？
【分析】过点作交的延长线于点，由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求解，利用含角的直角三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：过点作交的延长线于点，
，，
，
，
．
．
答：绿地的面积为．
44．如图，中，是高，、分别是、的中点．
（1）若，，求四边形的周长；
（2）求证：垂直平分．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据四边形的周长的定义计算即可得解；
（2）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可．
【解答】（1）解：是高，、分别是、的中点，
，，
四边形的周长；
（2）证明：，，
垂直平分．
45．在中，，是的中点，过点作，且，连结．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，然后再证明，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（3）根据菱形的性质可得，根据是的中点，可得，所以菱形的面积三角形的面积，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：，且是中点，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：平行四边形是菱形，
，
是的中点，
，
菱形的面积三角形的面积．
46．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求线段的长．
【分析】（1）证，则，再由，得，则四边形是平行四边形，然后由，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，根据，由直角三角形斜边上的中线性质可得，然后根据勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
在中，，由勾股定理得：．
线段的长为．
47．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，．
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）求点到边的距离．
【分析】（1）首先由勾股定理的逆定理证明为直角三角形，从而得到，然后根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形判定即可．
（2）根据菱形的面积解答即可．
【解答】（1）证明：，，，
．
是直角三角形．
．
又四边形为平行四边形，
四边形为菱形．
（2）解：设边上的高为，
四边形是菱形，
，
，
即点到边的距离为．
48．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求菱形的周长．
【分析】（1）证，得出，再由，则四边形是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得出，设，则，再在中，由勾股定理得出方程，求出，即可求解．
【解答】（1）证明：，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
菱形的周长．
49．如图，四边形中，，．分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．画射线交于，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）连接，当时，求的长．
【分析】（1）连接，根据题意得出为的线段垂直平分线，进而利用菱形的判定解答即可．
（2）根据含的直角三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）连接，
根据题意得出为的线段垂直平分线，
即，
，，
，，
，
，
，
，
四边形为菱形；
方法二：设与的交点为，
为的线段垂直平分线，
，
由平行可得，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2），，
是的中点，
，
是直角三角形，
，
是含的直角三角形，
．
50．如图，在四边形中，，，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，过点作，交的延长线于点，若，，求的长．
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由邻边相等证明四边形为菱形．
（2）先通过平行四边形的性质证明为直角三角形，再由勾股定理求解．
【解答】解：（1）平分，
，
，
，
，
又，
，且，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形．
（2）四边形是菱形，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
在中，由勾股定理得：
．
51．如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，为垂足．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，则四边形的面积为 180 平方单位．
【分析】（1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形；
（2）根据菱形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：，
，
，
四边形是平行四边形．
又四边形是菱形，
，即，
四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，
．
，
，
，
四边形的面积，
故答案为：180．
52．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为3，，求的长．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
（2）先证是等边三角形，得，再由勾股定理得，求得，然后由矩形的性质得，，最后由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
由（1）得：四边形为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
故的长为：．
53．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接，
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证出，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得，，，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，，然后由勾股定理求出，则，最后由菱形的面积，即可求解．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，，
，，，，
，
，
，，
，
，
菱形的面积，
即，
解得：．
54．如图，已知在中，，小明想做一个以、为边的矩形，于是进行了以下操作：
（1）测量得出的中点；
（2）连接并延长到，使得；
（3）连接和．请说明四边形为矩形的理由．
【分析】先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论．
【解答】解：是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为矩形．
55．如图，中，，和的外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，点，为垂足．
（1） （直接写结果）．
（2）①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
【分析】（1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）①作于，如图1所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形；
②设，根据已知条件得到，由①得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质得到，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：；
（2）①证明：作于，如图1所示：
则，
，，
，
四边形是矩形，
，外角平分线交于点，
，，
，
四边形是正方形；
②解：设，
，
，
由①得四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
，
同理，，
在中，，
即，
解得：，
的长为．
56．如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，．
（1）如图1，当时，求证：菱形是正方形．
（2）如图2，连接，当的面积等于1时，求线段的长度．
【分析】（1）由于四边形为正方形，四边形为菱形，那么，，而，易证，从而有，等量代换可得，易证四边形为正方形；
（2）过作，垂足为，连接，由与平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由为菱形的对角线，利用菱形的性质得到一对内错角相等，通过证明可得．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，
四边形是菱形，
，
在和中，
，
，
，
，
菱形为正方形；
（2）解：过作，交的延长线于点，连接，
，
，
，
，
；
在和中，
，
，
，
设，
，
，
，
即．
故线段的长度为5．
57．在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．
（1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形、相遇时除外）？
答： 四边形是平行四边形 ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值；
（3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值．
【分析】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明；
（2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解；
（3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下：
由题意得：，
四边形是矩形，
，，
，
，分别是，中点，
，，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
故答案为：四边形是平行四边形；
（2）如图1，连接，
由（1）得，，，
四边形是矩形，
，
①如图1，当四边形是矩形时，
，
，
，
；
②如图2，当四边形是矩形时，
，，
，
；
综上，四边形为矩形时或；
（3）如图3，和分别是和的中点，连接，，，与交于，
四边形为菱形，
，，，
，，
四边形为菱形，
，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：，
，即，
当时，四边形为菱形．
58．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）探究：①与有怎样的位置关系？请说明理由．
②的值为 2 ．
【分析】（1）作于，于，得到，然后证得，得到，则有，根据正方形的判定即可证得矩形是正方形；
（2）①根据正方形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据垂直的定义即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得的结论．
【解答】解：（1）如图，作于，于，
，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
（2）①，理由如下：
正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
；
②由①知，，
，
，
故答案为：2．
59．如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
（1）求证：四边形是正方形．
（2）已知的长为6，求的值．
（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形中，，一条高是，长度为6，，求长度．
【分析】（1）作于，如图1所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形；
（2）证明，得出，同理：，得出，证出，设，，则，，，在中，由勾股定理得出方程，整理得：，即可得出答案；
（3）当是锐角三角形时，如图2中，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由（1）（2）得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．当是钝角三角形时，如图3中，过作交延长线于，构建方程组求解即可．
【解答】（1）证明：作于，如图1，
则，
，，
，
四边形是矩形，
，外角平分线交于点，
，，
，
四边形是正方形；
（2）解：四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，
同理：，
，，
设，，则，，，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
；
（3）解：如图2所示：
把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，
由（1）（2）得：四边形是正方形，，，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，即．
当是钝角三角形时，过作交延长线于，如图3所示：
则，
由①得：，
，
设，，则，
的面积，
，
①，
在中，由勾股定理得：②，
由①②得：，
，
即；
综上所述，为3或12，
60．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）如图，求证：矩形是正方形；
（2）若，，求的长；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
【分析】（1）作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现是中点，点与重合，是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形考虑问题即可；
【解答】（1）证明：作于，于，
，
，
，，
，
在和中，，
，
，
矩形是正方形；
（2）如图2中，在中，，
，
，
点与重合，此时是等腰直角三角形，易知；
（3）①如图3，当与的夹角为时，
，
，
，
，
，
②如图4，当与的夹角为时，
，
，
综上所述，或．
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