专题9.1 《平行四边形的判定及性质》专项训练40题（每日打卡·天天练系列）（苏科版）（解析版）
一．选择题（共5小题）
1．已知四边形，下列条件能判断它是平行四边形的是
A．， B．， C．， D．，
【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断．
【解答】解：、由，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
、由，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
、，，
四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
、由，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：．
2．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【解答】解：只有①③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：．
3．下列说法不正确的是
A．平行四边形两组对边分别平行
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
【分析】根据平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：、平行四边形两组对边分别平行，说法正确，不符合题意；
、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；
、平行四边形的对角相等，邻角互补，说法错误，符合题意；
、平行四边形的两组对边分别平行且相等，说法正确，不符合题意；
故选：．
4．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形是平行四边形；③；④．错误的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③正确；最后求出，故④错误；即可得出答案．
【解答】解：，，，，
，
是直角三角形，，
，故①正确；
，都是等边三角形，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
，
，
同理可证：，
，
四边形是平行四边形，故②正确；
，故③正确；
过作于，如图所示：
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，故④错误；
错误的个数是1个，
故选：．
5．已知的周长为56，，则
A．4 B．12 C．24 D．28
【分析】根据平行四边形的性质可得，，进而可得，然后可得的长．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
的周长为56，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共5小题）
6．在平面直角坐标系里，，，，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 或或 ．
【分析】根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形结合平行四边形的判定和平移的性质，分别求出即可．
【解答】解：如图，有三种情况：
①四边形是平行四边形时，时，
，，，
由平移的性质得：的坐标是；
②四边形是平行四边形时，，
由平移的性质得：的坐标是；
③四边形是平行四边形时，，
由平移的性质得：的坐标是；
综上所述，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
7．在四边形中，分别给出四个条件：①；②；③；④．以其中的两个条件能判定四边形为平行四边形的有 3 种不同的选择．
【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
【解答】解：①③组合能根据平行线的性质得到，从而利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；
①④组合能利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；
②④组合能利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定，
故答案为：3．
8．如图，在中，为斜边的中线，过点作于点，延长至点，使，连接，，点在线段上，连接，且，，．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的是 ①②③④ ．（填序号）
【分析】①证出是的中位线，则，①正确；
②证出，则四边形是平行四边形，故②正确；
③由直角三角形斜边上的中线性质得出，则，得出，证，则，得出，③正确；
④过作于，由等腰三角形的性质得出，证，求出，由勾股定理的进而得出，④正确；即可得出结论．
【解答】解：①为斜边的中线，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，，故①正确；
②，
，
四边形是平行四边形，故②正确；
③，，
，为斜边的中线，
，
，
，
，，
，
，
，③正确；
④过作于，如图所示：
则，，，
，，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②③④．
9．定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为，与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”， 为平行四边形的伴侣三角形．，，连接并延长交直线于点，若点落在线段上（包括端点、，则的取值范围 ．
【分析】根据平行四边形的性质可得，当点与点重合时，当点与点重合时，分别作图，根据全等三角形的性质求出的值，即可确定的取值范围．
【解答】解：在平行四边形中，，
平分，平分，
，，
，
，
当点与点重合时，如图所示：
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，如图所示：
延长交的延长线于点，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
综上所述：当点落在线段上时，的取值范围是，
故答案为：．
10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是、、，则顶点的坐标是 ．
【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求得顶点的坐标．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，，
的顶点、、的坐标分别是、、，
轴，，
顶点的坐标为．
故答案为：．
三．解答题（共30小题）
11．如图，四边形中，，，，垂足为、，，求证：四边形是平行四边形．
【分析】求出，根据证，推出，得到，根据平行四边形的判定判断即可．
【解答】证明：，，
，
在和中
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
12．如图，已知：，，垂足为点，，垂足为点，并且．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【分析】（1）通过全等三角形的对应边相等证得；
（2）由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得．易得四边形是平行四边形．
【解答】证明：（1），，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（2），，
，
，
四边形是平行四边形．
13．已知：如图，点，，，在同一条直线上，，且，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【分析】（1）根据等式的性质得出，进而利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，，进而利用平行四边形的判定解答即可．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
即，
在与中，
，
；
（2）证明：，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
14．如图，四边形中，，点，对角线上，且．连接，，若．
证明：四边形是平行四边形．
【分析】证，得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：在和中，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
15．如图，四边形中，，平分，交的延长线于点，，求证：四边形是平行四边形．
【分析】根据平行线的性质和平行四边形的判定解答即可．
【解答】证明：，
，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形．
16．如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【分析】（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得，，则，再证，即可得出结论．
【解答】证明：（1），
，
即，
，
，
在与中，
，
；
（2）由（1）得：，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
17．，是四边形对角线上的两点，，，．
（1）根据题意，画出图形；
（2）求证：①；
②四边形是平行四边形．
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）①根据全等三角形的判定定理证得；
②利用①中的全等三角形的对应边相等得到，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”即可证得结论．
【解答】（1）解：如图，即为所画的图形；
（2）证明：①如图，，，
，，
又，
，
即，
在与中，
，
；
②由①知，，
则，
又，
四边形是平行四边形．
18．如图，在平行四边形中，、分别是，上的点，且，求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的对边相等得，已知，再作线段的差可得；
（2）利用与平行且相等，可证四边形是平行四边形．
【解答】证明：（1）四边形为平行四边形，
．
又，
．
即．
（2），，
四边形是平行四边形．
19．如图，在中，是边的中点，，分别是及其延长线上的点，，连接，．试判断四边形是何种特殊四边形，并说明理由．
【分析】根据，，，可以判定，即，又，即可证明四边形为平行四边形．
【解答】解：四边形为平行四边形．
证明：连接．
，，，
，
，
又，
四边形为平行四边形．
20．如图，点，，，在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
【分析】（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得，，则，即可得出结论．
【解答】证明：（1），
，
，
，
即，
在和中，
，
；
（2）由（1）得：，
，，
，
四边形是平行四边形．
21．如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
【分析】（1）证，得，再由，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得，则平行四边形是菱形，再由勾股定理求出，则，即可得出答案．
【解答】（1）证明：在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，
，
平行四边形是菱形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积．
22．在中，点、分别是、边上的点，且满足连接、．
（1）求证：；
（2）求证：四边形为平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，又已知，然后由即可证得；
（2）由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，即，
四边形是平行四边形．
23．已知，如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得出，，推出，即可得出结论．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
24．【教材定义】我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
【问题探究】请根据以上平行四边形的定义证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【分析】根据命题的证明过程进行证明即可．
【解答】解：已知：四边形的对角线，交于点，，，
求证：四边形是平行四边形．
证明：在和中，
，
，
，
，
同理：，
，
，
四边形是平行四边形．
25．如图，在中，点、为对角线的三等分点，连结，，，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形为平行四边形．
【分析】（1）先由证明，再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
点、为对角线的三等分点，
，
在和中，
，
；
（2）由（1）得：，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
26．如图，在四边形中，，对角线、交于点，且，过点作，交于点，交于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接，若，，求的度数．
【分析】（1）证，得，再由，即可得出结论；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得，则，再证，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：设，则，
由（1）得：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
即．
27．在中，、分别是，边上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，若平分，，，，求的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
在中，，，，
，
是直角三角形，
，
，
在中，．
28．已知点、分别为平行四边形的边、的中点，求证：四边形为平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得，，再由中点的定义得，，则，，即可得出结论．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别为平行四边形的边、的中点，
，，
，，
四边形为平行四边形．
29．如图，平行四边形的对角线，相交于点，于点，于．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
于点，于，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
在中，，
在中，，
即，
解得：，
，，
的面积．
30．平行四边形中，设、分别是、上的一点，与相交于，且．求证：．（初二）
【分析】过作，，由，可得：，又，可得，可得（角平分线逆定理）．
【解答】证明：过作，，并连接和，如右图所示：
则，
，
又，
，
为的角平分线，
（角平分线逆定理）．
31．如图，在中，点、分别在、上，且，．求证：．
【分析】根据是平行四边形，得出，，从而可得到，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出是平行四边形，从而不难得到结论．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
32．已知：如图，是平行四边形的对角线，过点作，交于点，过点作，交于点．
求证：．
【分析】通过证明推知．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
又，，
．
在与中，
．
．
．
33．如图，在中，点、分别在边、上，且，直线与、的延长线分别交于点，．
求证：
（1）；
（2）线段与关系是 ．
【分析】（1）依据四边形是平行四边形，即可得到，，，进而得出；
（2）依据，即可得到，再根据，即可得出．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
又，
，
．
故答案为：．
34．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，，，．
（1）判断四边形的形状，证明你的结论；
（2）若，则四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
【解答】（1）解：四边形是平行四边形，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，
证明：，，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．
35．已知：如图，在中，、的平分线分别交、于点、．求证：．
【分析】根据平行四边形的性质得出，，求出，，根据角平分线的定义求出，求出，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
、的平分线分别交、于点、，
，，
，
，
．
36．如图，在中，平分交于点，，，求的长．
【分析】首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
37．已知，如图在中，对角线和相交于点，点，分别在，上，且，连接，．
（1）如图1，求证：
（2）如图2，延长交于点，延长
交于点．求证：．
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得，，，可证，，然后通过即可证得；
（2）证出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
38．如图，在平行四边形中，，点、分别在边、上，且，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平行四边形的周长为26，面积为，且，当平分时，则四边形的周长为 18 ．
【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，，从而可得，然后利用平行四边形的判定方法，即可解答；
（2）过点作，垂足为，根据平行四边形的周长和面积可得，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，进而可得，，然后利用角平分线和平行的性质证明是等腰三角形，从而求出，的长，再证明是等边三角形，从而求出的长，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）过点作，垂足为，
平行四边形的周长为26，面积为，
，
在中，，
，
，
化简得：，
解得：或，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
四边形的周长，
故答案为：18．
39．如图，四边形是平行四边形，，与的延长线交于点，交于．
（1）求证：；
（2）连接，若，判断四边形的形状并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得：，，又由平行四边形的判定得：四边形是平行四边形，又由平行四边形的对边相等可得结论；
（2）利用“有一内角为直角的平行四边形是矩形”推知四边形是矩形．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，
四边形是平行四边形．
．
；
（2）四边形是矩形．理由如下：
，
．
，
，
．
又，
，即．
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
40．如图，在中，、分别为、边上两点，平分．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，，，若为上一点，且，求证：．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，结合角平分线的定义可求得，即可求，进而可求解；
（2）在上截取，连接，利用证明可得，结合三角形的内角和定理可得，结合等腰直角三角形的性质利用证明可得，进而可证明结论．
【解答】（1）解：在中，，，
，
平分，
，
，
，，
，
；
（2）证明：在上截取，连接，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
即．
第2页（共2页）专题9.1 《平行四边形的判定及性质》专项训练40题(每日打卡·天天练系列)(苏科版)(原卷版)
一．选择题（共5小题）
1．已知四边形，下列条件能判断它是平行四边形的是
A．， B．， C．， D．，
2．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
3．下列说法不正确的是
A．平行四边形两组对边分别平行
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
4．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形是平行四边形；③；④．错误的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知的周长为56，，则
A．4 B．12 C．24 D．28
二．填空题（共5小题）
6．在平面直角坐标系里，，，，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ．
7．在四边形中，分别给出四个条件：①；②；③；④．以其中的两个条件能判定四边形为平行四边形的有 种不同的选择．
8．如图，在中，为斜边的中线，过点作于点，延长至点，使，连接，，点在线段上，连接，且，，．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的是 ．（填序号）
9．定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为，与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”， 为平行四边形的伴侣三角形．，，连接并延长交直线于点，若点落在线段上（包括端点、，则的取值范围 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是、、，则顶点的坐标是 ．
三．解答题（共30小题）
11．如图，四边形中，，，，垂足为、，，求证：四边形是平行四边形．
12．如图，已知：，，垂足为点，，垂足为点，并且．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．
13．已知：如图，点，，，在同一条直线上，，且，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
14．如图，四边形中，，点，对角线上，且．连接，，若．
证明：四边形是平行四边形．
15．如图，四边形中，，平分，交的延长线于点，，求证：四边形是平行四边形．
16．如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．
17．，是四边形对角线上的两点，，，．
（1）根据题意，画出图形；
（2）求证：①；
②四边形是平行四边形．
18．如图，在平行四边形中，、分别是，上的点，且，求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
19．如图，在中，是边的中点，，分别是及其延长线上的点，，连接，．试判断四边形是何种特殊四边形，并说明理由．
20．如图，点，，，在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
21．如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
22．在中，点、分别是、边上的点，且满足连接、．
（1）求证：；
（2）求证：四边形为平行四边形．
23．已知，如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形．
24．【教材定义】我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
【问题探究】请根据以上平行四边形的定义证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
25．如图，在中，点、为对角线的三等分点，连结，，，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形为平行四边形．
26．如图，在四边形中，，对角线、交于点，且，过点作，交于点，交于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接，若，，求的度数．
27．在中，、分别是，边上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，若平分，，，，求的长．
28．已知点、分别为平行四边形的边、的中点，求证：四边形为平行四边形．
29．如图，平行四边形的对角线，相交于点，于点，于．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的面积．
30．平行四边形中，设、分别是、上的一点，与相交于，且．求证：．（初二）
31．如图，在中，点、分别在、上，且，．求证：．
32．已知：如图，是平行四边形的对角线，过点作，交于点，过点作，交于点．
求证：．
33．如图，在中，点、分别在边、上，且，直线与、的延长线分别交于点，．
求证：
（1）；
（2）线段与关系是 ．
34．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，，，．
（1）判断四边形的形状，证明你的结论；
（2）若，则四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．
35．已知：如图，在中，、的平分线分别交、于点、．求证：．
36．如图，在中，平分交于点，，，求的长．
37．已知，如图在中，对角线和相交于点，点，分别在，上，且，连接，．
（1）如图1，求证：
（2）如图2，延长交于点，延长
交于点．求证：．
38．如图，在平行四边形中，，点、分别在边、上，且，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平行四边形的周长为26，面积为，且，当平分时，则四边形的周长为 ．
39．如图，四边形是平行四边形，，与的延长线交于点，交于．
（1）求证：；
（2）连接，若，判断四边形的形状并说明理由．
40．如图，在中，、分别为、边上两点，平分．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，，，若为上一点，且，求证：．
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