第四章 因式分解 专项训练题（含解析）

八年级数学下册因式分解
一、单选题
1．下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．3 B．7或－1 C．7 D．－5
5．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则M与N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
8．计算所得的结果是（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
9．已知：，则____．
10．若实数a，b满足，则代数式的值为_______________．
11．已知x2+mx+16能用完全平方公式因式分解，则m的值为 ___．
12．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：______．
13．a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a、b满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则△ABC的周长为 _____．
14．多项式的最小值为________．
15．=_______．
16．化简：________.
17．已知(2019－a)(2017－a) ＝1000，请猜想(2019－a)2＋(2017－a)2＝______
三、解答题
18．因式分解：
（1） （2）
19．若，，求下列代数式的值．
(1)；
(2)．
20．分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）．
21．因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
22．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
23．分解因式
(1)
(2)
(3)
(4)
24．已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
25．阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　 　；
（2）错误的原因为：　 　；
（3）本题正确的结论为：　 　．
26．阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则a＝ ，b＝ ．
(2)已知，求xy的值．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长．
27．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．
(1)上述分解因式的方法是　 　，共应用了　 　次；
(2)若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，则需应用上述方法　 　次，结果是　 　；
(3)分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n为正整数）结果是　 　．
(4)请利用以上规律计算：（1+2x）3．
28．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
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参考答案：
1．C
【详解】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．
【详解】A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. =（x-2）2，故D选项错误，
故选C.
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．
2．D
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【详解】解：A、等式的右边不是整式的积的形式，故A错误；
B、等式右边分母含有字母不是因式分解，故B错误；
C、等式的右边不是整式的积的形式，故C错误；
D、是因式分解，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式．
3．B
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B．，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意；
C．，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不合题意；
D．，可写成，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不合题意．
故选B．
【点睛】本题考查平方差公式分解因式．熟记平方差公式结构是解题的关键．
4．B
【分析】根据完全平方公式的特征解答即可．
【详解】解：∵多项式是完全平方式，
∴，
∴，
∴解得：m=7或-1，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要查了完全平方公式的应用，完全平方公式的特征为：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．
5．C
【分析】将等号右侧展开得，根据对应项系数相等列等式计算求解即可．
【详解】解：∵
∴，
解得，
故选C．
【点睛】本题考查了多项式的乘法运算．解题的关键在于根据对应项系数相等列等式．
6．B
【分析】利用完全平方公式把N-M变形，根据偶次方的非负性解答．
【详解】解：N-M=（m2-3m）-（m-4）
=m2-3m-m+4
=m2-4m+4
=（m-2）2≥0，
∴N-M≥0，即M≤N，
故选：B．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
7．C
【详解】a2-2ab+b2-c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0．
∴a2-2ab+b2-c2＜0．
故选：C．
8．D
【分析】根据有理数的乘方的意义可知表示100个（-2）的乘积，所以，，再乘法对加法的分配律的逆运算计算即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，在运算中应注意各种运算法则和运算顺序．
9．7
【分析】两边同时平方，再运用完全平方公式计算即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了完全平方公式的运算，解题关键是熟练运用完全平方公式进行运算．
10．6．
【分析】将所求代数式中的因式分解，再把代入，化简即可．
【详解】解：，
把代入得，
再把代入得；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值．
11．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，确定出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵要使得能用完全平方公式分解因式，
∴应满足，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法、完全平方公式是解本题的关键．
12．．
【分析】根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式．
【详解】解：由面积可得：．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键．
13．12
【分析】先利用完全平方公式把a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0化为再利用非负数的性质求解 再分两种情况讨论：当为腰时，当为底时，结合三角形的三边关系，从而可得答案.
【详解】解： a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，
a、b、c是等腰△ABC的三边长，
当为腰时，则另一腰 此时 三角形不存在，舍去，
当为底时，则腰 此时 三角形存在，
△ABC的周长为
故答案为：12
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，三角形三边的关系，等腰三角形的定义，掌握以上基础知识是解题的关键.
14．18．
【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值．
【详解】解：，
=，
=，
∵，
∴的最小值为18；
故答案为：18．
【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值．
15．
【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．
【详解】解：
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键．
16．##
【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．
【详解】解：原式=（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）2021]
=（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）2020]
=（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）2019]
=…
=（a+1）2023．
故答案为：（a+1）2023．
【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
17．2004
【分析】根据已知，将(2019－a)2＋(2017－a)2进行配方，配方后，将已知代入便可求解.
【详解】解: (2019－a)2＋(2017－a)2
=
=
=2004
【点睛】本题考查公式的灵活运用，将求得适当配方，便可找到答案了，熟悉公式的应用是解题关键.
18．（1）；（2）
【分析】（1）直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可；
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的加减法法则分别求出，，再根据平方差公式计算；
（2）根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
；
（2），，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解本题的关键．
20．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）
【分析】（1）先提取公因式y，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式2x，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先去括号，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（5）先提取公因式x，然后利用平方差公式分解因式即可；
（6）先把原式变为，再利用平方差公式分解因式即可；
（7）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（8）利用十字相乘的方程分解因式即可；
（9）利用十字相乘的方程分解因式即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）利用完全平方公式进行分解因式．
（2）含有公因式2，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
（3）含有公因式2xy，因此先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式．
（4）含有公因式（a-b），因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：（1）
（2）．
（3）原式
（4）原式=
【点睛】本题主要考查提公因式法与公式法因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
22．(1)y（x+2）（x-2）；
(2)-2（x-2y）2；
(3)（x-6）（x+1）．
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先计算多项式的乘法，再利用十字相乘法因式分解即可．
(1)
解：
=y（x2-4）
=y（x+2）（x-2）；
(2)
解：
=-2（x2-4xy+4y2）
=-2（x-2y）2；
(3)
解：
=x2+x-6-6x
=x2-5x-6
=（x-6）（x+1）．
【点睛】此题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解决此题关键．
23．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式分解因式；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式分解因式；
（4）利用十字相乘法分解因式．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）、因式分解法是解题的关键．
24．△ABC是等边三角形．证明见解析
【分析】直接利用因式分解法将原式变形进而分解因式即可.
【详解】△ABC是等边三角形，
理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0
∴a2+b2+c2﹣2ba﹣2bc+b2=0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，
则a=b，b=c，
故a=b=c，
则△ABC是等边三角形．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．
25．（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【分析】（1）根据等式的性质进行判断即可；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据a=b，写出正确的结论即可．
【详解】解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为C；
（2）错误的原因为：等式两边同时除以一个整式时，没有考虑除数不为0，即没有考虑a=b的情况，
故答案为没有考虑a=b的情况；
（3）由（2）可知，本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
26．(1)-3；1
(2)
(3)
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果；
（2）由得，然后由非负数性质求得结果；
（3）把方程通过变式得，然后由非负数性质求得a、b，根据三角形三边关系进而得c，便可求得三角形的周长．
【详解】（1）解：由得，
，
∵≥0，，
∴a+3=0，b-1=0，
∴a=-3，b=1．
故答案为：-3；1；
（2）由，得，
，
，
∴，
∴；
（3）由得，
∴，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC的周长为．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．
27．(1)提公因式法，2
(2)2019，（1+x）2020
(3)（1+x）n+1
(4)8x3+12x2+6x+1
【分析】(1 )根据阅读因式分解的过程即可得结论；
(2)结合(1)和阅读材料即可得结论；
(3 )根据阅读材料的计算过程进行解答即可；
(4)利用规律进而得出答案即可．
(1)
阅读因式分解的过程可知：
上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
(2)
原式＝（1+x）2020，则需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020，
故答案为：2019，（1+x）2020；
(3)
原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1]
＝（1+x）2[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2]
＝（1+x）n+1．
故答案为：（1+x）n+1；
(4)
（1+2x）3＝1+2x+2x（2x+1）+2x（2x+1）2＝8x3+12x2+6x+1．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法．
28．(1)25；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；
（2）原式常数项35分为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；
（3）配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出，，的值，代入原式计算即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：25；
（2）解：
；
（3）解：
，
当，即时，取最小值，最小值为；
故答案为：；
（4）解：，
，
即，
，，，
，，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．
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