2022-2023学年北师大版七年级数学下册1.6完全平方公式 知识点分类练习题（含答案）

2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1.6完全平方公式》知识点分类练习题（附答案）
一．完全平方公式
1．下列计算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x5 B．x6÷x3＝x2
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．（﹣2xy）2＝﹣4x2y2
2．已知关于x的多项式16x2+mx+1是一个完全平方式，则常数m的值是 　 　．
3．若4x2﹣12x+k是完全平方式，则k的值为 　 　．
4．计算：9992＝　 　．
5．若a+b＝﹣3，ab＝﹣10，则a2+b2的值为 　 　．
6．小明将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小红将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值是 　 　．
7．用若干个边长为1的小正方形拼成一个边长为x的大正方形，如果要使这个大正方形的边长增加1，则需要增加这样的小正方形25个，则x的值为　 　．
8．已知x﹣y＝1，x2+y2＝25，则xy＝　 　，x+y＝　 　．
9．若实数x、y满足x﹣2＝y，则代数式x2﹣2xy+y2的值为 　 　．
10．若（2022﹣a）（2021﹣a）＝2020，则（2022﹣a）2+（2021﹣a）2＝　 　．
11．已知（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，则a2+b2的值为 　 　．
12．化简：（x﹣2）2+（x+3）（x+1）．
13．计算：（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）．
14．已知多项式A＝（x+2）2+（1﹣x）（2+x）﹣3．
（1）化简多项式A；
（2）若（x+1）2＝36，求A的值．
15．已知a+b＝6，ab＝3，求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2；
（3）（a﹣2）（b﹣2）．
16．利用乘法公式解决下列问题：
（1）若x﹣y＝8，xy＝40．则x2+y2＝　 　；
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2值．
二．完全平方公式的几何背景
17．小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
18．如图，根据正方形ABCD的面积，写出一个正确的等式 　 　．
19．【教材呈现】图①、图②、图③分别是华东师大版八年级上册数学教材第33页、第34页和第52页的图形，结合图形解决下列问题：
（1）分别写出能够表示图①、图②中图形的面积关系的乘法公式：　 　，　 　．
（2）图③是用四个长和宽分别为a、b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之间的等量关系：　 　．
【结论应用】根据上面（2）中探索的结论，回答下列问题：
（3）当m+n＝5，mn＝4时，求m﹣n的值．
（4）当A＝，B＝m﹣3时，化简（A+B）2﹣（A﹣B）2．
20．（1）在数学中，完全平方公式是比较熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．若a﹣b＝3，ab＝2，则a2+b2＝　 　；
（2）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和CBF，已知，EF＝2，△ACF的面积为6，设AC＝a，BC＝b，求△ACE与△CBF的面积之和；
（3）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知AM＝7，CN＝3，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为60，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为 　 　．
21．如图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长为 　 　．
（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝28，求图中阴影部分面积．
参考答案
一．完全平方公式
1．解：A、x2 x3＝x5，原计算正确，故此选项符合题意；
B、x6÷x3＝x3，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（﹣2xy）2＝4x2y2，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．解：∵关于x的多项式16x2+mx+1是一个完全平方式，
∴mx＝±2 4x 1，
∴m＝±8，
故答案为：±8．
3．解：∵4x2﹣12x+k是完全平方式，
∴4x2﹣12x+k＝4x2﹣2 2x 3+32，
∴k＝32＝9．
故答案为：9．
4．解：9992
＝（1000﹣1）2
＝10002﹣2000+1
＝998001．
故答案为：998001．
5．解：∵，a+b＝﹣3，ab＝﹣10，
∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣3）2﹣2×（﹣10）＝9+20＝29．
故答案为：29．
6．解：∵（2020x+2021）2＝（2020x）2+2×2021×2020x+20212，
∴c1＝20212，
∵（2021x﹣2020）2＝（2021x）2﹣2×2020×2021x+20202，
∴c2＝20202，
∴c1﹣c2＝20212﹣20202＝（2021+2020）×（2021﹣2020）＝4041，
故答案为：4041．
7．解：根据题意，得
x2+25＝（x+1）2
x2+25＝x2+2x+1
2x＝24
x＝12．
故答案为12．
8．解：∵x﹣y＝1，
∴x2﹣2xy+y2＝1，
∵x2+y2＝25，
∴xy＝12；
设x+y＝a，
∴x2+2xy+y2＝a2，
∴49＝a2，
∴a＝±7
∴x+y＝±7；
故答案为：12；±7．
9．解：由x﹣2＝y可得x﹣y＝2，
∴x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝22
＝4．
故答案为：4．
10．解：设x＝2022﹣a，y＝2021﹣a，
∴xy＝2020，x﹣y＝2022﹣a﹣2021+a＝1，
∴（2022﹣a）2+（2021﹣a）2
＝x2+y2
＝（x﹣y）2+2xy
＝1+2×2020
＝4041．
故答案为：4041．
11．解：∵（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，
∴a2﹣2ab+b2＝6①，a2+2ab+b2＝4②，
①+②，得2a2+2b2＝10，
∴a2+b2＝5．
故答案为：5．
12．解：原式＝x2﹣4x+4+（x2+x+3x+3）
＝x2﹣4x+4+x2+x+3x+3
＝2x2+7．
13．解：原式＝4x2﹣12x+9﹣2x2﹣x+6x+3
＝2x2﹣7x+12．
14．解：（1）A＝（x+2）2+（1﹣x）（2+x）﹣3
＝x2+4x+4+2+x﹣2x﹣x2﹣3
＝3x+3．
（2）∵（x+1）2＝36
∴x+1＝±6，
∴A＝3x+3＝3（x+1）
＝±18．
15．解：（1）原式＝（a+b）2﹣2ab
＝62﹣2×3
＝36﹣6
＝30；
（2）原式＝（a+b）2﹣4ab
＝62﹣4×3
＝36﹣12
＝24；
（3）原式＝ab﹣2a﹣2b+4
＝ab﹣2（a+b）+4
＝3﹣2×6+4
＝﹣5．
16．解：（1）∵x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，
把x﹣y＝8，xy＝40，代入上式，得x2+y2＝82+2×40＝144．
故答案是：144；
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝152﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255．
二．完全平方公式的几何背景
17．解：∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，
∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故选：C．
18．解：该图形面积从整体来表示为（x+a）2，从各部分求和表示为x2+xa+xa+a2＝x2+2xa+a2，
即：（x+a）2＝x2+2xa+a2．
故答案为：（x+a）2＝x2+2xa+a2．
19．解：（1）∵图①的面积可表示为（a+b）2或a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∵图②的面积可表示为（a﹣b）2或a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（2）∵图③的面积可表示为（a+b）2或（a﹣b）2+4ab，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）由（2）题结果（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab可得，
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴a﹣b＝±，
∴当m+n＝5，mn＝4时
m﹣n＝±＝±＝±＝±＝±3，
∴m﹣n的值为±3；
（4）由（2）题结果（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab可得，
（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
∴（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4AB，
∴当A＝，B＝m﹣3时，
（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4AB＝．
20．解：（1）a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝9+4＝13．
故答案为：13．
（2）∵等腰直角三角形ACE和CBF．
∴AC＝CE＝a，BC＝CF＝b．
∵EF＝2．
∴a﹣b＝2．
∵△ACF的面积为6．
∴ab＝6．
∴ab＝12．
∴△ACE与△CBF的面积之和为：
a2+b2
＝（a2+b2）
＝[（a﹣b）2+2ab]
＝×（4+24）
＝14．
（3）设BM＝b，BN＝a，则AB＝b+7，BC＝a+3．
∵四边形ABCD是正方形．
∴AB＝BC．
∴b+7＝a+3．
∴a﹣b＝4．
∵阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为60，
∴a2+b2＝60．
∴（a﹣b）2+2ab＝60．
∴16+2ab＝60．
∴ab＝22．
∴长方形BMHN的面积为：ab＝22．
故答案为：22．
21．解：（1）由题意得：图2中阴影部分的正方形边长为：a﹣b．
故答案为：a﹣b．
（2）图2中阴影部分面积为：（a﹣b）2，还可以表示为：（a+b）2﹣4ab．
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（3）设AC＝x，BC＝y，由题意得：x+y＝8，x2+y2＝S1+S2＝28．
∵（x+y）2＝x2+y2+2xy．
∴64＝28+2xy．
∴xy＝18．
∴S阴影＝AC CF＝xy＝9．