2022-2023学年北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 培优训练（含答案）

第一章 三角形的证明 培优训练
一、单选题
1．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，3， B．9，，
C．2，2，4 D．，，
2．已知△ABC的周长为，且于D, △ABD的周长为，则的长为（　　）
A．6 B．8 C．1 D．2
3．已知等腰三角形的顶角为，则底角为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，，的垂直平分线交于点D，于点M，以下结论：①是等腰三角形；②是的角平分线；③的周长；④．正确的有（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．③④
5．如图，在△ABC中，，，则与互为余角的角有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．如图，是△ABC的平分线，于点E，，则的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．如图，已知，且，，则的度数是（ ）
A．20° B．30° C．50° D．80°
8．在直角坐标系中，等边△ABC顶点坐标，，则顶点C坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
9．如图A，B，C三点在同一条直线上，和都是等边三角形，与相交于点M，与相交于点有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
10．如图，已知，点、、…在射线ON上，点、、，…在射线OM上；、、…均为等边三角形．若，则的边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，△ABC中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，若，则__________．
12．如图，在△ABC中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交于、于点E、F；②分别以点E、F为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接交边于点D，则长为______．
13．△ABC是等腰三角形，，，在腰上取一点D，，垂足为E，另一腰上的高交于点G，垂足为F，若，则长_____．
14．如图，在等腰中，为直角．若，且，则的长为__________cm．
15．如图，△ABC的周长为16，角平分线、相交于点O，过点O作于点D，，则的面积是__________．
16．如图，中，，，，的外角平分线与边的垂直平分线交于点，则___________．
17．如图，在中，，AE平分，若，，则的面积为___________．
18．如图，等腰的底边的长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交边、于点、．若点为边中点，为线段上一动点，则的最小值为_______．
三、解答题
19．在直角坐标系中，四边形顶点坐标分别为，，，．
(1)求直线的表达式；
(2)线段与相等吗？请说明理由；
(3)求四边形的面积；
(4)已知点M在x轴上，且是等腰三角形，求点M的坐标．
20．如图，在与中，，为直角，与相交于点E，．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
21．如图，是等边三角形，点D，E分别在，的延长线上，且．求证：．
22．如图，中，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为秒，设点P运动的时间为t秒．
(1)当△PBC是以为斜边的直角三角形时，求t的值．
(2)当△PBC为等腰三角形时，求t的值．
23．如图，在△ABC中，，是的垂直平分线，交于点E，交于点F．
(1)按要求作图：作的平分线，交于点D，交于点O，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)求证：点O在的垂直平分线上；
(3)若，求的度数．
参考答案：
一、选择1．A2．C3．C4．C5．A6．B7．B8．B9．A10．B
二、填空11．712．313．614．12
15．2416．17．218．5
三、解答
19．（1）设直线的表达式为，
把点，代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）与相等，理由如下：
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴
（3）过点C作轴于点E，如图，
∵，，，．
∴，
∴，
∴
=
=9
（4）要使得是等腰三角形，则有两种可能：
①以为腰：
∵的最小值应为，
∴另一个腰应为：
∴当时，是等腰三角形，
设，则
由勾股定理得，，
∴，解得，，
∴点M的坐标为或
②以为底，为腰：
i）当点M在内时，设，则有：
，
∵
∴
∴
解得，，
∴
ii）当点M在x轴的负半轴上时，设，则有：，，
由i）可知，（不符合题意，舍去）
iii）当点M在外x轴的正半轴上时，设，则有：，，
由i）可知，（不符合题意，舍去）
∴以为底，为腰时，点M的坐标为，
综上，点M的坐标为或或
20．（1）在和中，
又
在中，
∴
即，
（2）由（1）知
∴
在中，
在中，
21．证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
22．（1）解：是以为斜边的直角三角形，
∴P在上，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴秒；
（2）①若P在边上时，，如图1，
∵为等腰三角形；
∴，
∴，
∴，
∴秒时，为等腰三角形；
②若P在边上时，如图2，
∵，
∴，
1）若，
则，
解得：，
∴秒时，为等腰三角形；
2）．若，过C作斜边的高，如图3，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴秒，为等腰三角形；
3）若时，如图4．
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴秒时，为等腰三角形；
综上所述，t为3秒或秒或秒或6秒时，为等腰三角形．
23．（1）解：如图所示:
（2）证明：∵，平分
∴
∴是的垂直平分线
∴
∵是的垂直平分线
∴
∴
∴点O在的垂直平分线上．
（3）解：∵、
∴
∵平分
∴
∵是的垂直平分线
∴
∴
∵
∴．