不等式恒成立、能成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，
方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．
【技巧目录】
一、“Δ”法解决恒成立问题
二、数形结合法解决恒成立问题
三、分离参数法解决恒成立问题
四、主参换位法解决恒成立问题
五、利用图象解决能成立问题
六、转化为函数的最值解决能成立问题
【例题详解】
一、“Δ”法解决恒成立问题
例 1 若关于 x 的不等式 ax2 2ax 2 0恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 2,0 B． 2,0 C． 2,0 D． , 2 0,
【小结】(1)如图①一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)在 R 上恒成立 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集
为 R 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在 x 轴上方 ymin>0 Error!
(2)如图②一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0(a≠0)在 R 上恒成立 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为 R 二
次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在 x 轴下方 ymax<0 Error!
二、数形结合法解决恒成立问题
例 2 当 1≤x≤2 时，不等式 x2＋mx＋4<0 恒成立，求 m 的取值范围．
【小结】结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于 x
轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．
三、分离参数法解决恒成立问题
例 3 若不等式 x2+ax+1≥0 在 x∈[－2，0）时恒成立，则实数 a 的最大值为（ ）
5
A．0 B．2 C． D．3
2
【小结】通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．
四、主参换位法解决恒成立问题
例 4 已知 a 1,1 2，不等式 x a 4 x 4 2a 0恒成立，则 x 的取值范围为___________.
【小结】转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．
五、利用图象解决能成立问题
例 5 当 10 有解，则实数 m 的取值范围为________．
【小结】结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．
六、转化为函数的最值解决能成立问题
4x m
例 6 若存在 x∈R，使得 ＋ ≥2 成立，求实数 m 的取值范围．
x2－2x＋3
【小结】能成立问题可以转化为 m>ymin 或 m围．
【过关训练】
1．若关于 x 的不等式mx2 2x m 0的解集是 R，则 m 的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（ 1，1） D．[1，+∞）
2．若集合 A {x | ax2 ax 1 0} ，则实数 a的取值集合为（ ）
A．{a | 0 a 4} B．{a | 0 a 4} C．{a | 0 a 4} D．{a | 0 a 4}
3．若 x R ， ax2 ax 1 0，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 4,0 B． 4,0 C． 4,0 D． 4,0
4．“ x R ， x2 2ax 3a 0 ”的充要条件是（ ）
A． 1 a 2 B． 0 < a < 3 C．1 a 3 D．3 a 5
5．已知关于 x 的不等式 kx 2 6kx k 8 0 对任意 x R 恒成立，则 k 的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0,1
C． ,0 1, D． ,0 1,
6．已知关于 x 的不等式 x 4x m 对任意 x 0,3 恒成立，则有（ ）
A．m 4 B．m 3 C． 3 m 0 D． 4 m 0
7．若对任意的 x [ 1,0], 2x2 4x 2 m 0恒成立，则 m 的取值范围是（ ）
A．[4, ) B．[2, ) C． ( ,4] D． ( , 2]
1 2
8．若两个正实数 x, y满足 + 1
y 2
，且不等式 x m +3mx y 有解，则实数
m 的取值范围是（ ）
2
A． ( 4,1) B． ( 1,4)
C． , 4 1, D． , 1 4,
9．已知命题 p：“ 1 x 5， x2 ax 5 0 ”为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a 4 B． a 4 C． a 4 D． a 4
10．若关于 x 的不等式 x2 4x 2 a 0在区间 (1, 4)内有解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． ( , 2) B． ( , 2) C． ( 6, ) D． ( , 6)
11．已知关于 x 的不等式 ax2 2x 4a 0在 (0, 2]上有解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A ． ,
1 1
B． ,
C． ( , 2) D． (2, )
2 2
12．设函数 f (x) ax2 ax 2，若对任意的 x [1,3]， f (x) 2x a 2 恒成立，则实数 a 的取值范围为
_____________.
13．已知关于 x 的不等式 x2 mx 4x m 4．
(1)若对任意实数 x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若对于0 m 4，不等式恒成立，求实数 x 的取值范围．
14．设 y ax2 (1 a)x a 2， 若不等式 y 2对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；
19．设函数 f x mx2 mx 1．
(1)若对于 x 2,2 ， f x m 5恒成立，求m 的取值范围；
(2)若对于m 2,2 ， f x m 5恒成立，求 x 的取值范围．
20．已知函数 y＝mx2－mx－6＋m，若对于 1≤m≤3，y<0 恒成立，求实数 x 的取值范围．不等式恒成立、能成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，
方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．
【技巧目录】
一、“Δ”法解决恒成立问题
二、数形结合法解决恒成立问题
三、分离参数法解决恒成立问题
四、主参换位法解决恒成立问题
五、利用图象解决能成立问题
六、转化为函数的最值解决能成立问题
【例题详解】
一、“Δ”法解决恒成立问题
例 1 若关于 x 的不等式 ax2 2ax 2 0恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 2,0 B． 2,0 C． 2,0 D． , 2 0,
【答案】B
【分析】讨论 a 0和 a 0两种情况，即可求解.
【详解】当 a 0时，不等式成立；当 a 0时，不等式 ax2 2ax 2 0恒成立，
a 0,
等价于 2 a 0 ．
2a
2 4a 2 0,
综上，实数 a的取值范围为 2,0 ．
故选：B．
【小结】(1)如图①一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)在 R 上恒成立 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集
为 R 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在 x 轴上方 ymin>0 Error!
(2)如图②一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0(a≠0)在 R 上恒成立 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为 R 二
次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在 x 轴下方 ymax<0 Error!
二、数形结合法解决恒成立问题
例 2 当 1≤x≤2 时，不等式 x2＋mx＋4<0 恒成立，求 m 的取值范围．
【详解】令 y＝x2＋mx＋4.
∵y<0 在[1,2]上恒成立．
∴x2＋mx＋4＝0 的根一个小于 1 上，另一个大于 2.
如图，得Error!
∴Error!
∴m 的取值范围是{m|m<－5}．
【小结】结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于 x 轴)关系
求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．
三、分离参数法解决恒成立问题
例 3 若不等式 x2+ax+1≥0 在 x∈[－2，0）时恒成立，则实数 a 的最大值为（ ）
5
A．0 B．2 C． D．3
2
【答案】B
【分析】用分离参数法分离参数，然后用基本不等式求最值后可得结论．
2
【详解】不等式 x2+ax+1≥0 在 x [ 2,0) x 1 1时恒成立，即不等式 a x 在 x [ 2,0) 时恒成立.
x x
- x 1 2 x 1 2
1
，当且仅当 x ，即 x=－1 时，等号成立，所以 a≤2，所以实数 a 的最大值为
x x x
2.
故选：B．
【小结】通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．
四、主参换位法解决恒成立问题
例 4 已知 a 1,1 2，不等式 x a 4 x 4 2a 0恒成立，则 x 的取值范围为___________.
【答案】 ( ,1) (3, )
2 f 1 0
【分析】设 f a x 2 a x 4x 4 ，即当 a 1,1 时， f a 0，则满足
f 1 0
解不等式组可得 x 的取值范围．
2
【详解】 a 1,1 ，不等式 x a 4 x 4 2a 0恒成立
即 a 1,1 2，不等式 x 2 a x 4x 4 0恒成立
设 f a x 2 a x2 4x 4 ，即当 a 1,1 时， f a 0
f 1 0 x2 3x 2 0
所以 f 1 0 ，即 2 ，解得 x 3或 x 1 x 5x 6 0
故答案为： ( ,1) (3, )
【小结】转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．
五、利用图象解决能成立问题
例 5 当 10 有解，则实数 m 的取值范围为________．
【答案】{m|m>－5}
【详解】记 y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象知，不等式 x2＋mx＋4>0(10 或 2m＋
8>0，解得 m>－5.
【小结】结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．
六、转化为函数的最值解决能成立问题
4x m
例 6 若存在 x∈R，使得 ＋ ≥2 成立，求实数 m 的取值范围．
x2－2x＋3
【详解】∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6 能成立，
令 y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，∴m 的取值范围为{m|m≥－2}．
【小结】能成立问题可以转化为 m>ymin 或 m围．
【过关训练】
1．若关于 x 的不等式mx2 2x m 0的解集是 R，则 m 的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（ 1，1） D．[1，+∞）
【答案】A
【分析】分m 0和m 0 两种情况求解
【详解】当m 0时， 2x 0，得 x 0，不合题意，
当m 0 时，因为关于 x 的不等式mx2 2x m 0的解集是 R，
m 0
所以 Δ 4 4m2 0，解得
m 1，
综上，m 的取值范围是（1，+∞），
故选：A
2．若集合 A {x | ax2 ax 1 0} ，则实数 a的取值集合为（ ）
A．{a | 0 a 4} B．{a | 0 a 4} C．{a | 0 a 4} D．{a | 0 a 4}
【答案】B
【分析】分 a 0，a 0，两种情况求解即可
【详解】当 a 0时，不等式等价于1 0，此时不等式无解；
a 0
当 a 0时，要使原不等式无解，应满足 Δ a2 4a 0，解得
0 a 4 ；
综上， a的取值范围是 0, 4 ．
故选：B．
3．若 x R ， ax2 ax 1 0，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 4,0 B． 4,0 C． 4,0 D． 4,0
【答案】B
a 0
【分析】分两种情况讨论： a 0和 aΔ 0，解出实数 的取值范围，即得.
【详解】对 x R ， ax2 ax 1 0，
当 a 0时，则有 1 0恒成立；
a 0
当 a 0时，则 ，解得 4 a 0
Δ
.
a2 4a 0
综上所述，实数 a的取值范围是 4,0 .
故选：B.
4．“ x R ， x2 2ax 3a 0 ”的充要条件是（ ）
A． 1 a 2 B． 0 < a < 3 C．1 a 3 D．3 a 5
【答案】B
【分析】“ x R ， x2 2ax 3a 0 ”等价于 4a2 12a 0 ,解不等式求得答案.
【详解】“ x R ， x2 2ax 3a 0 ”等价于 4a2 12a 0 ，
即 0 < a < 3，
故“ x R ， x2 2ax 3a 0 ”的充要条件是 0 < a <
故选：B
5．已知关于 x 的不等式 kx 2 6kx k 8 0 对任意 x R 恒成立，则 k 的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0,1
C． ,0 1, D． ,0 1,
【答案】A
【分析】当 k 0时，该不等式成立，当 k 0时，根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二次不等式恒成立
问题.
【详解】当 k 0时，该不等式为8 0 ，成立；
k 0
当 k 0时，要满足关于 x 的不等式 kx 2 6kx k 8 0 对任意 x R 恒成立，只需
36k
2 4k k 8 0，解得
0 k 1，
综上所述， k 的取值范围是 0,1 ，
故选：A.
6．已知关于 x 的不等式 x 4x m 对任意 x 0,3 恒成立，则有（ ）
A．m 4 B．m 3 C． 3 m 0 D． 4 m 0
【答案】A
2
【分析】由题意可得m (x 4x)min ，由二次函数的性质求出 y x2 4x 在 0,3 上的最小值即可
【详解】因为关于 x 的不等式 x 4x m 对任意 x 0,3 恒成立，
所以m (x2 4x)min ，
令 y x2 4x (x 2)2 4， x 0,3 ，
所以当 x 2时， y x2 4x 取得最小值 4，
所以m 4
故选：A
7．若对任意的 x [ 1,0], 2x2 4x 2 m 0恒成立，则 m 的取值范围是（ ）
A．[4, ) B．[2, ) C． ( ,4] D． ( , 2]
【答案】A
x [ 1,0],m 2x2 4x 2 x [ 1,0] y 2 x 1 2【分析】由题知对任意的 恒成立，进而求 ， 4最值即可得答案.
【详解】解：因为对任意的 x [ 1,0], 2x2 4x 2 m 0恒成立，
所以对任意的 x [ 1,0],m 2x2 4x 2恒成立，
因为当 x [ 1,0]， y 2 x 1 2 4 2,4 ，
所以m 2x2 4x 2 4， x [ 1,0]max ，
即 m 的取值范围是[4, )
故选：A
x, y 1 28．若两个正实数 满足 + 1
y 2
，且不等式 x m +3m 有解，则实数mx y 的取值范围是（ ）2
A． ( 4,1) B． ( 1,4)
C． , 4 1, D． , 1 4,
【答案】C
y y 2
【分析】根据题意，结合基本不等式求得 x 2 的最小值为 4，把不等式 x m +3m 有解，转化为m
2 +3m 4，即
2
可求得实数m 的取值范围.
1 2
【详解】由题意，正实数 x, y满足 + 1x y ，
x y (x y )(1 2) 2 y 2x 2 2 y 2x则 4，
2 2 x y 2x y 2x y
y 2x
当且仅当 时，即 x 2, y 4
y
时，等号成立，即 x 2x y 2 的最小值为 4，
y 2
又由不等式 x m +3m 有解，可得m2 +3m 4，即m2 +3m 4 0 ，
2
解得m 4或m 1，即实数m 的取值范围为 , 4 1, .
故选：C.
9．已知命题 p：“ 1 x 5， x2 ax 5 0 ”为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a 4 B． a 4 C． a 4 D． a 4
【答案】A
【分析】依据题意可将题目转换为非 p 命题为真的补集，即“ 1 x 5， x2 ax 5 0恒成立”对应 a 取值集合的补
集，进一步只需限制端点小于等于 0 即可求解
【详解】由题意，当1≤x≤5时，不等式 x2 ax 5 0有解，
等价于“ 1 x 5， x2 ax 5 0恒成立”为真时对应 a 取值集合的补集
若 1 x 5， x2 ax 5 0恒成立为真命题，需满足，
25 5a 5 0 且1 a 5 0，解得 a 4．
因此 p 命题成立时 a 的范围时 a 4
故选：A．
10．若关于 x 的不等式 x2 4x 2 a 0在区间 (1, 4)内有解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． ( , 2) B． ( , 2) C． ( 6, ) D． ( , 6)
【答案】B
【分析】构造函数 f (x) x2 4x 2 a ，若不等式 x2 4x 2 a 0在区间 (1, 4)内有解，可得函数
f (x) x2 4x 2 a 在区间 (1, 4)内的最大值大于 0 即可，根据二次函数的图象和性质可得答案．
【详解】令 f (x) x2 4x 2 a ，
则函数的图象为开口朝上且以直线 x 2为对称轴的抛物线，
故在区间 (1, 4)上， f (x) f （4） 2 a ，
若不等式 x2 4x 2 a 0在区间 (1, 4)内有解，
则 2 a 0，解得 a 2 ，
即实数 a的取值范围是 ( , 2) .
故选：B．
11．已知关于 x 的不等式 ax2 2x 4a 0在 (0, 2]上有解，则实数 a 的取值范围是（ ）
, 1 1 A． B． , C． ( , 2) D． (2, )
2 2
【答案】A
a 2x 2
【分析】用分离参数法变形为 x2 4 x 4 ，然后利用基本不等式求得函数的最值，得参数范围．
x
a 2x 2
【详解】 x (0, 2]时，不等式可化为 x2
4 x 4 ；
x
f (x) 2 2 1
令 x 4 ，则a f (x)max ，当且仅当 x 2时，等号成立，
x 2 4 2
1
综上所述，实数 a 的取值范围是 , 2
．
故选：A．
12．设函数 f (x) ax2 ax 2，若对任意的 x [1,3]， f (x) 2x a 2 恒成立，则实数 a 的取值范围为
_____________.
【答案】 (2, )
a 2 2
【分析】整理可得 x 1,3x 1 1在 上恒成立，根据 x 的范围，可求得 x 1 1最值，分析即可得答案.
x x
【详解】解：由题意， f (x) 2x a 2 可得 ax2 ax 2 2x a 2，即 a x2 x 1 2x ，
2
当 x 1,3 2时， x x 1 1,7 ，所以 a 2x a> 2 ，即 x 1,3x x 1 x 1 1在 上恒成立，x
a 2
故需 ，
x 1 1
x max
t x 1 1 1
2
令 ，则 t x 在 1,3 上单调递增，所以当 x 1时， t x 有最小值为 2，则
x x x x
1
1有最大值为
x
2
2，
2 1
则 a 3，实数 a的取值范围是 2, ，
故答案为： 2, .
13．已知关于 x 的不等式 x2 mx 4x m 4．
(1)若对任意实数 x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若对于0 m 4，不等式恒成立，求实数 x 的取值范围．
【详解】（1）若对任意实数 x ，不等式恒成立，即 x2 mx 4x m 4 0 恒成立
则关于 x 的方程 x2 mx 4x m 4 0 的判别式 m 4 2 4 m 4 0，
即m2 4m 0，解得0 m 4，所以实数m 的取值范围为 (0, 4) ．
（2）不等式 x2 mx 4x m 4，
2
可看成关于m 的一次不等式m x 1 x 4x 4 0，又0 m 4，
x2 4x 4 0
所以 2 ，解得 x 2且 x 0，所以实数 x 的取值范围是 ,0 0,2 2, ．
4(x 1) x 4x 4 0
14．设 y ax2 (1 a)x a 2， 若不等式 y 2对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；
【详解】（1）由题意可得 ax2 (1 a)x a 2 2 ax2 (1 a)x a 0 对一切实数成立，
a 0 1
当 a 0时， x 0 不满足题意；当 a 0时，得 (1 a)2 4a2
a
0
.
3
1
所以实数 a 的取值范围为 a a .
3
19 f x mx2．设函数 mx 1．
(1)若对于 x 2,2 ， f x m 5恒成立，求m 的取值范围；
(2)若对于m 2,2 ， f x m 5恒成立，求 x 的取值范围．
【详解】（1）对于 x 2,2 ， f x m 5恒成立，即mx2 mx m 6 0对于 x 2,2 恒成立，
m 6即 对于 x 2,22 恒成立．x x 1
h x 6 6 6 6
x2 x 1 1 2 x h x h( 2) 6令 3 ， 2,2 ，则 min 25 3x 7 ，故m ， 2
4 4 4
7
6
所以m 的取值范围为 , ．
7
（2）对于m 2,2 ， f x m 5恒成立，即mx2 mx 1 m 5恒成立，故m x2 x 1 6 0 恒成立，
g 2 2 x2 x 1 6 0
令 g m m x2 x 1 6 ，则 ，解得 1 x 2，
g 2 2 x2 x 1 6 0
所以 x 的取值范围为 1, 2 ．
20．已知函数 y＝mx2－mx－6＋m，若对于 1≤m≤3，y<0 恒成立，求实数 x 的取值范围．
【详解】y<0 mx2－mx－6＋m<0 (x2－x＋1)m－6<0.
∵1≤m≤3，
6
∴x2－x＋1< 恒成立，
m
6 1 5 1 5
∴x2－x＋1< x2－x－1<0 － 3 2 2
∴x 的取值范围为Error!.
