不等式恒成立、能成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时,常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决,
方法灵活,能提升学生的逻辑推理,数学运算等素养.
【技巧目录】
一、“Δ”法解决恒成立问题
二、数形结合法解决恒成立问题
三、分离参数法解决恒成立问题
四、主参换位法解决恒成立问题
五、利用图象解决能成立问题
六、转化为函数的最值解决能成立问题
【例题详解】
一、“Δ”法解决恒成立问题
例 1 若关于 x 的不等式 ax2 2ax 2 0恒成立,则实数 a的取值范围为( )
A. 2,0 B. 2,0 C. 2,0 D. , 2 0,
【小结】(1)如图①一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)在 R 上恒成立 一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集
为 R 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在 x 轴上方 ymin>0 Error!
(2)如图②一元二次不等式 ax2+bx+c<0(a≠0)在 R 上恒成立 一元二次不等式 ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为 R 二
次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在 x 轴下方 ymax<0 Error!
二、数形结合法解决恒成立问题
例 2 当 1≤x≤2 时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,求 m 的取值范围.
【小结】结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴,区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于 x
轴)关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
三、分离参数法解决恒成立问题
例 3 若不等式 x2+ax+1≥0 在 x∈[-2,0)时恒成立,则实数 a 的最大值为( )
5
A.0 B.2 C. D.3
2
【小结】通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.
四、主参换位法解决恒成立问题
例 4 已知 a 1,1 2,不等式 x a 4 x 4 2a 0恒成立,则 x 的取值范围为___________.
【小结】转换思维角度,即把变元与参数变换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围求解.
五、利用图象解决能成立问题
例 5 当 10 有解,则实数 m 的取值范围为________.
【小结】结合二次函数的图象,将问题转化为端点值的问题解决.
六、转化为函数的最值解决能成立问题
4x m
例 6 若存在 x∈R,使得 + ≥2 成立,求实数 m 的取值范围.
x2-2x+3
【小结】能成立问题可以转化为 m>ymin 或 m围.
【过关训练】
1.若关于 x 的不等式mx2 2x m 0的解集是 R,则 m 的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(0,1) C.( 1,1) D.[1,+∞)
2.若集合 A {x | ax2 ax 1 0} ,则实数 a的取值集合为( )
A.{a | 0 a 4} B.{a | 0 a 4} C.{a | 0 a 4} D.{a | 0 a 4}
3.若 x R , ax2 ax 1 0,则实数 a 的取值范围是( )
A. 4,0 B. 4,0 C. 4,0 D. 4,0
4.“ x R , x2 2ax 3a 0 ”的充要条件是( )
A. 1 a 2 B. 0 < a < 3 C.1 a 3 D.3 a 5
5.已知关于 x 的不等式 kx 2 6kx k 8 0 对任意 x R 恒成立,则 k 的取值范围是( )
A. 0,1 B. 0,1
C. ,0 1, D. ,0 1,
6.已知关于 x 的不等式 x 4x m 对任意 x 0,3 恒成立,则有( )
A.m 4 B.m 3 C. 3 m 0 D. 4 m 0
7.若对任意的 x [ 1,0], 2x2 4x 2 m 0恒成立,则 m 的取值范围是( )
A.[4, ) B.[2, ) C. ( ,4] D. ( , 2]
1 2
8.若两个正实数 x, y满足 + 1
y 2
,且不等式 x m +3mx y 有解,则实数
m 的取值范围是( )
2
A. ( 4,1) B. ( 1,4)
C. , 4 1, D. , 1 4,
9.已知命题 p:“ 1 x 5, x2 ax 5 0 ”为真命题,则实数 a 的取值范围是( )
A. a 4 B. a 4 C. a 4 D. a 4
10.若关于 x 的不等式 x2 4x 2 a 0在区间 (1, 4)内有解,则实数 a 的取值范围是( )
A. ( , 2) B. ( , 2) C. ( 6, ) D. ( , 6)
11.已知关于 x 的不等式 ax2 2x 4a 0在 (0, 2]上有解,则实数 a 的取值范围是( )
A . ,
1 1
B. ,
C. ( , 2) D. (2, )
2 2
12.设函数 f (x) ax2 ax 2,若对任意的 x [1,3], f (x) 2x a 2 恒成立,则实数 a 的取值范围为
_____________.
13.已知关于 x 的不等式 x2 mx 4x m 4.
(1)若对任意实数 x ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围;
(2)若对于0 m 4,不等式恒成立,求实数 x 的取值范围.
14.设 y ax2 (1 a)x a 2, 若不等式 y 2对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
19.设函数 f x mx2 mx 1.
(1)若对于 x 2,2 , f x m 5恒成立,求m 的取值范围;
(2)若对于m 2,2 , f x m 5恒成立,求 x 的取值范围.
20.已知函数 y=mx2-mx-6+m,若对于 1≤m≤3,y<0 恒成立,求实数 x 的取值范围.不等式恒成立、能成立问题
在解决不等式恒成立、能成立的问题时,常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决,
方法灵活,能提升学生的逻辑推理,数学运算等素养.
【技巧目录】
一、“Δ”法解决恒成立问题
二、数形结合法解决恒成立问题
三、分离参数法解决恒成立问题
四、主参换位法解决恒成立问题
五、利用图象解决能成立问题
六、转化为函数的最值解决能成立问题
【例题详解】
一、“Δ”法解决恒成立问题
例 1 若关于 x 的不等式 ax2 2ax 2 0恒成立,则实数 a的取值范围为( )
A. 2,0 B. 2,0 C. 2,0 D. , 2 0,
【答案】B
【分析】讨论 a 0和 a 0两种情况,即可求解.
【详解】当 a 0时,不等式成立;当 a 0时,不等式 ax2 2ax 2 0恒成立,
a 0,
等价于 2 a 0 .
2a
2 4a 2 0,
综上,实数 a的取值范围为 2,0 .
故选:B.
【小结】(1)如图①一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)在 R 上恒成立 一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集
为 R 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在 x 轴上方 ymin>0 Error!
(2)如图②一元二次不等式 ax2+bx+c<0(a≠0)在 R 上恒成立 一元二次不等式 ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为 R 二
次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在 x 轴下方 ymax<0 Error!
二、数形结合法解决恒成立问题
例 2 当 1≤x≤2 时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,求 m 的取值范围.
【详解】令 y=x2+mx+4.
∵y<0 在[1,2]上恒成立.
∴x2+mx+4=0 的根一个小于 1 上,另一个大于 2.
如图,得Error!
∴Error!
∴m 的取值范围是{m|m<-5}.
【小结】结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴,区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于 x 轴)关系
求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
三、分离参数法解决恒成立问题
例 3 若不等式 x2+ax+1≥0 在 x∈[-2,0)时恒成立,则实数 a 的最大值为( )
5
A.0 B.2 C. D.3
2
【答案】B
【分析】用分离参数法分离参数,然后用基本不等式求最值后可得结论.
2
【详解】不等式 x2+ax+1≥0 在 x [ 2,0) x 1 1时恒成立,即不等式 a x 在 x [ 2,0) 时恒成立.
x x
- x 1 2 x 1 2
1
,当且仅当 x ,即 x=-1 时,等号成立,所以 a≤2,所以实数 a 的最大值为
x x x
2.
故选:B.
【小结】通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.
四、主参换位法解决恒成立问题
例 4 已知 a 1,1 2,不等式 x a 4 x 4 2a 0恒成立,则 x 的取值范围为___________.
【答案】 ( ,1) (3, )
2 f 1 0
【分析】设 f a x 2 a x 4x 4 ,即当 a 1,1 时, f a 0,则满足
f 1 0
解不等式组可得 x 的取值范围.
2
【详解】 a 1,1 ,不等式 x a 4 x 4 2a 0恒成立
即 a 1,1 2,不等式 x 2 a x 4x 4 0恒成立
设 f a x 2 a x2 4x 4 ,即当 a 1,1 时, f a 0
f 1 0 x2 3x 2 0
所以 f 1 0 ,即 2 ,解得 x 3或 x 1 x 5x 6 0
故答案为: ( ,1) (3, )
【小结】转换思维角度,即把变元与参数变换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围求解.
五、利用图象解决能成立问题
例 5 当 10 有解,则实数 m 的取值范围为________.
【答案】{m|m>-5}
【详解】记 y=x2+mx+4,则由二次函数的图象知,不等式 x2+mx+4>0(10 或 2m+
8>0,解得 m>-5.
【小结】结合二次函数的图象,将问题转化为端点值的问题解决.
六、转化为函数的最值解决能成立问题
4x m
例 6 若存在 x∈R,使得 + ≥2 成立,求实数 m 的取值范围.
x2-2x+3
【详解】∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
∴4x+m≥2(x2-2x+3)能成立,
∴m≥2x2-8x+6 能成立,
令 y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2,
∴m≥-2,∴m 的取值范围为{m|m≥-2}.
【小结】能成立问题可以转化为 m>ymin 或 m围.
【过关训练】
1.若关于 x 的不等式mx2 2x m 0的解集是 R,则 m 的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(0,1) C.( 1,1) D.[1,+∞)
【答案】A
【分析】分m 0和m 0 两种情况求解
【详解】当m 0时, 2x 0,得 x 0,不合题意,
当m 0 时,因为关于 x 的不等式mx2 2x m 0的解集是 R,
m 0
所以 Δ 4 4m2 0,解得
m 1,
综上,m 的取值范围是(1,+∞),
故选:A
2.若集合 A {x | ax2 ax 1 0} ,则实数 a的取值集合为( )
A.{a | 0 a 4} B.{a | 0 a 4} C.{a | 0 a 4} D.{a | 0 a 4}
【答案】B
【分析】分 a 0,a 0,两种情况求解即可
【详解】当 a 0时,不等式等价于1 0,此时不等式无解;
a 0
当 a 0时,要使原不等式无解,应满足 Δ a2 4a 0,解得
0 a 4 ;
综上, a的取值范围是 0, 4 .
故选:B.
3.若 x R , ax2 ax 1 0,则实数 a 的取值范围是( )
A. 4,0 B. 4,0 C. 4,0 D. 4,0
【答案】B
a 0
【分析】分两种情况讨论: a 0和 aΔ 0,解出实数 的取值范围,即得.
【详解】对 x R , ax2 ax 1 0,
当 a 0时,则有 1 0恒成立;
a 0
当 a 0时,则 ,解得 4 a 0
Δ
.
a2 4a 0
综上所述,实数 a的取值范围是 4,0 .
故选:B.
4.“ x R , x2 2ax 3a 0 ”的充要条件是( )
A. 1 a 2 B. 0 < a < 3 C.1 a 3 D.3 a 5
【答案】B
【分析】“ x R , x2 2ax 3a 0 ”等价于 4a2 12a 0 ,解不等式求得答案.
【详解】“ x R , x2 2ax 3a 0 ”等价于 4a2 12a 0 ,
即 0 < a < 3,
故“ x R , x2 2ax 3a 0 ”的充要条件是 0 < a <
故选:B
5.已知关于 x 的不等式 kx 2 6kx k 8 0 对任意 x R 恒成立,则 k 的取值范围是( )
A. 0,1 B. 0,1
C. ,0 1, D. ,0 1,
【答案】A
【分析】当 k 0时,该不等式成立,当 k 0时,根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二次不等式恒成立
问题.
【详解】当 k 0时,该不等式为8 0 ,成立;
k 0
当 k 0时,要满足关于 x 的不等式 kx 2 6kx k 8 0 对任意 x R 恒成立,只需
36k
2 4k k 8 0,解得
0 k 1,
综上所述, k 的取值范围是 0,1 ,
故选:A.
6.已知关于 x 的不等式 x 4x m 对任意 x 0,3 恒成立,则有( )
A.m 4 B.m 3 C. 3 m 0 D. 4 m 0
【答案】A
2
【分析】由题意可得m (x 4x)min ,由二次函数的性质求出 y x2 4x 在 0,3 上的最小值即可
【详解】因为关于 x 的不等式 x 4x m 对任意 x 0,3 恒成立,
所以m (x2 4x)min ,
令 y x2 4x (x 2)2 4, x 0,3 ,
所以当 x 2时, y x2 4x 取得最小值 4,
所以m 4
故选:A
7.若对任意的 x [ 1,0], 2x2 4x 2 m 0恒成立,则 m 的取值范围是( )
A.[4, ) B.[2, ) C. ( ,4] D. ( , 2]
【答案】A
x [ 1,0],m 2x2 4x 2 x [ 1,0] y 2 x 1 2【分析】由题知对任意的 恒成立,进而求 , 4最值即可得答案.
【详解】解:因为对任意的 x [ 1,0], 2x2 4x 2 m 0恒成立,
所以对任意的 x [ 1,0],m 2x2 4x 2恒成立,
因为当 x [ 1,0], y 2 x 1 2 4 2,4 ,
所以m 2x2 4x 2 4, x [ 1,0]max ,
即 m 的取值范围是[4, )
故选:A
x, y 1 28.若两个正实数 满足 + 1
y 2
,且不等式 x m +3m 有解,则实数mx y 的取值范围是( )2
A. ( 4,1) B. ( 1,4)
C. , 4 1, D. , 1 4,
【答案】C
y y 2
【分析】根据题意,结合基本不等式求得 x 2 的最小值为 4,把不等式 x m +3m 有解,转化为m
2 +3m 4,即
2
可求得实数m 的取值范围.
1 2
【详解】由题意,正实数 x, y满足 + 1x y ,
x y (x y )(1 2) 2 y 2x 2 2 y 2x则 4,
2 2 x y 2x y 2x y
y 2x
当且仅当 时,即 x 2, y 4
y
时,等号成立,即 x 2x y 2 的最小值为 4,
y 2
又由不等式 x m +3m 有解,可得m2 +3m 4,即m2 +3m 4 0 ,
2
解得m 4或m 1,即实数m 的取值范围为 , 4 1, .
故选:C.
9.已知命题 p:“ 1 x 5, x2 ax 5 0 ”为真命题,则实数 a 的取值范围是( )
A. a 4 B. a 4 C. a 4 D. a 4
【答案】A
【分析】依据题意可将题目转换为非 p 命题为真的补集,即“ 1 x 5, x2 ax 5 0恒成立”对应 a 取值集合的补
集,进一步只需限制端点小于等于 0 即可求解
【详解】由题意,当1≤x≤5时,不等式 x2 ax 5 0有解,
等价于“ 1 x 5, x2 ax 5 0恒成立”为真时对应 a 取值集合的补集
若 1 x 5, x2 ax 5 0恒成立为真命题,需满足,
25 5a 5 0 且1 a 5 0,解得 a 4.
因此 p 命题成立时 a 的范围时 a 4
故选:A.
10.若关于 x 的不等式 x2 4x 2 a 0在区间 (1, 4)内有解,则实数 a 的取值范围是( )
A. ( , 2) B. ( , 2) C. ( 6, ) D. ( , 6)
【答案】B
【分析】构造函数 f (x) x2 4x 2 a ,若不等式 x2 4x 2 a 0在区间 (1, 4)内有解,可得函数
f (x) x2 4x 2 a 在区间 (1, 4)内的最大值大于 0 即可,根据二次函数的图象和性质可得答案.
【详解】令 f (x) x2 4x 2 a ,
则函数的图象为开口朝上且以直线 x 2为对称轴的抛物线,
故在区间 (1, 4)上, f (x) f (4) 2 a ,
若不等式 x2 4x 2 a 0在区间 (1, 4)内有解,
则 2 a 0,解得 a 2 ,
即实数 a的取值范围是 ( , 2) .
故选:B.
11.已知关于 x 的不等式 ax2 2x 4a 0在 (0, 2]上有解,则实数 a 的取值范围是( )
, 1 1 A. B. , C. ( , 2) D. (2, )
2 2
【答案】A
a 2x 2
【分析】用分离参数法变形为 x2 4 x 4 ,然后利用基本不等式求得函数的最值,得参数范围.
x
a 2x 2
【详解】 x (0, 2]时,不等式可化为 x2
4 x 4 ;
x
f (x) 2 2 1
令 x 4 ,则a f (x)max ,当且仅当 x 2时,等号成立,
x 2 4 2
1
综上所述,实数 a 的取值范围是 , 2
.
故选:A.
12.设函数 f (x) ax2 ax 2,若对任意的 x [1,3], f (x) 2x a 2 恒成立,则实数 a 的取值范围为
_____________.
【答案】 (2, )
a 2 2
【分析】整理可得 x 1,3x 1 1在 上恒成立,根据 x 的范围,可求得 x 1 1最值,分析即可得答案.
x x
【详解】解:由题意, f (x) 2x a 2 可得 ax2 ax 2 2x a 2,即 a x2 x 1 2x ,
2
当 x 1,3 2时, x x 1 1,7 ,所以 a 2x a> 2 ,即 x 1,3x x 1 x 1 1在 上恒成立,x
a 2
故需 ,
x 1 1
x max
t x 1 1 1
2
令 ,则 t x 在 1,3 上单调递增,所以当 x 1时, t x 有最小值为 2,则
x x x x
1
1有最大值为
x
2
2,
2 1
则 a 3,实数 a的取值范围是 2, ,
故答案为: 2, .
13.已知关于 x 的不等式 x2 mx 4x m 4.
(1)若对任意实数 x ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围;
(2)若对于0 m 4,不等式恒成立,求实数 x 的取值范围.
【详解】(1)若对任意实数 x ,不等式恒成立,即 x2 mx 4x m 4 0 恒成立
则关于 x 的方程 x2 mx 4x m 4 0 的判别式 m 4 2 4 m 4 0,
即m2 4m 0,解得0 m 4,所以实数m 的取值范围为 (0, 4) .
(2)不等式 x2 mx 4x m 4,
2
可看成关于m 的一次不等式m x 1 x 4x 4 0,又0 m 4,
x2 4x 4 0
所以 2 ,解得 x 2且 x 0,所以实数 x 的取值范围是 ,0 0,2 2, .
4(x 1) x 4x 4 0
14.设 y ax2 (1 a)x a 2, 若不等式 y 2对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
【详解】(1)由题意可得 ax2 (1 a)x a 2 2 ax2 (1 a)x a 0 对一切实数成立,
a 0 1
当 a 0时, x 0 不满足题意;当 a 0时,得 (1 a)2 4a2
a
0
.
3
1
所以实数 a 的取值范围为 a a .
3
19 f x mx2.设函数 mx 1.
(1)若对于 x 2,2 , f x m 5恒成立,求m 的取值范围;
(2)若对于m 2,2 , f x m 5恒成立,求 x 的取值范围.
【详解】(1)对于 x 2,2 , f x m 5恒成立,即mx2 mx m 6 0对于 x 2,2 恒成立,
m 6即 对于 x 2,22 恒成立.x x 1
h x 6 6 6 6
x2 x 1 1 2 x h x h( 2) 6令 3 , 2,2 ,则 min 25 3x 7 ,故m , 2
4 4 4
7
6
所以m 的取值范围为 , .
7
(2)对于m 2,2 , f x m 5恒成立,即mx2 mx 1 m 5恒成立,故m x2 x 1 6 0 恒成立,
g 2 2 x2 x 1 6 0
令 g m m x2 x 1 6 ,则 ,解得 1 x 2,
g 2 2 x2 x 1 6 0
所以 x 的取值范围为 1, 2 .
20.已知函数 y=mx2-mx-6+m,若对于 1≤m≤3,y<0 恒成立,求实数 x 的取值范围.
【详解】y<0 mx2-mx-6+m<0 (x2-x+1)m-6<0.
∵1≤m≤3,
6
∴x2-x+1< 恒成立,
m
6 1 5 1 5
∴x2-x+1< x2-x-1<0 - 3 2 2
∴x 的取值范围为Error!.