章末复习
【考点目录】
考点一、集合的综合运算
考点二、充分条件、必要条件与充要条件
考点三、全称量词命题与存在量词命题
考点一、集合的综合运算
1．已知全集 U=R， A x | 4 x 2 ，B x | 1 x 3 5，P={x|x≤0 或 x }，求
2
(1) U B P
(2) A B U P
2．已知集合M {x∣ 2 x 3}， N {x∣x a}．
(1)当 a 1时，求M N ，M N ，M R N ；
(2)当M N 时，求 a 的取值范围．
3．设集合 A＝{x R | x2 4x 0}，B＝{x R | x2 +2(a＋1)x+a2 - 1 0，a R} .
(1)若 a 0，试求 A B；
(2)若B A，求实数 a的取值范围．
考点二、充分条件、必要条件与充要条件
1．设全集U R ，集合 A x |1 x 5 ，集合 B {x | 1 2a x a 2} .
(1)若“ x A”是“ x B ”的充分条件，求实数 a的取值范围；
(2)若命题“ x B，则 x A”是真命题，求实数 a的取值范围.
2．已知 p : x M ，且 ， q : x N ，且 N x x 4或 x 0 .
(1)若M N ，M N R ，求实数m 的值；
(2)若 p 是q的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
3．已知集合 A＝{x|－4≤x≤4，x∈R}，B＝{x|x
5”是“A B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．“不等式 x2－2x＋m≥0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2
5．命题“ x 1,2 ,3x2 a 0，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． a 3 B． a 2 C． a 4 D． a 2
考点三、全称量词命题与存在量词命题
1．命题“ x R ， x2 x 1 3x ”的否定为（ ）
A． x R ， x2 x 1 3x B． x R ， x2 x 1 3x
C． x R ， x2 x 1 3x D． x R ， x2 x 1 3x
2．若命题“ x0 R ， x 20 (a 1)x0 1 0 ”的否定是假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
3．已知命题 p： x∈R，x2+x﹣a＞0 为假命题，则实数 a 的取值范围是 __.
4．已知命题 p : x R ， ax2 2x 1 0， q : x R， ax2 ax 1 0 .若 p 与 q 均为假命题，求实数 a 的取值范围.
5．命题 p : x R, x2 2mx 3m 0 2成立；命题 q : x0 R, x0 4mx0 1 0成立.
(1)若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；
(2)若命题 q 为假命题，求实数 m 的取值范围；
(3)若命题 p，q 至少有一个为真命题，求实数 m 的取值范围.
6．已知集合 A x 1 x m ；命题 p ： x 1,2 ， x2 2x a 0 .
(1)若命题 p 为真命题，求实数 a的取值范围；
(2)若命题 p 中 a的取值构成集合 B ，且B A，求实数m 的取值范围.
1．设集合U x x 4 ， A x 1 x 2 ，B x 1 x 3 .求：
(1) A B；
(2) U A B ；
(3) CU A CU B .
2．已知集合 A x 2 x 5 ， B x m 1 x 2m 1 ，U R ．
(1)若 A U B U ，求实数m 的取值范围；
(2)若 A B ，求实数m 的取值范围．
3．设 p ： 2x 1 3，q： x 2a 1 0 .
(1)若 a 1，且 p 、q均为真命题，求满足条件的实数 x 构成的集合；
(2)若 p 是q的充分条件，求实数 a的取值范围.
4．设 p : x 1或 x 3 2， q : x a 1 x a 0．
(1)若 a 3时，p 是 q 的什么条件？
(2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围．
5．已知 p : x 2 0,q : ax 4 0 其中 a R .
(1)若 p 是q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围；
(2)若 p 是q的必要不充分条件，求实数 a的取值范围.
6 “ x R 2x2．已知命题 ，使 (a 1)x
1
0 ”是假命题，则实数 a的取值范围是（ ）
2
A． ( , 1) B． ( 1,3) C． ( 3, ) D． ( 3,1)
7．命题 x 0, x2 2x 3 0的否定是__.
8 2．若命题“ x R ，使得 x a 1 x 1 0 ”是真命题，则实数 a 的取值范围是_______．
9．已知命题 p : x R，使ax2 2x a 0，当 a A时， p 为假命题，求集合A ．
1
10．设 a R ，命题 p： x 1， ，x
2 a 0 ，命题 q： x R，x22 ax 1 0
.
（1）若命题 p 是真命题，求 a的取值范围；
（2）若命题 p 与 q 至少有一个为假命题，求 a的取值范围.章末复习
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考点一、集合的综合运算
考点二、充分条件、必要条件与充要条件
考点三、全称量词命题与存在量词命题
考点一、集合的综合运算
1．已知全集 U=R， A x | 4 x 2 ，B x | 1 x 3 5，P={x|x≤0 或 x }，求
2
(1) U B P
(2) A B U P
5
【详解】(1)因为B x | 1 x 3 ，P { x | x 0或 x }，
2
所以 UB { x 1或 x 3}，
所以 U B P { x | x 0或 x 5 }.2
(2)因为 A x | 4 x 2 ，B x | 1 x 3 ，P { x | x 0或 x 5 }
2
5
所以 A B x 1 x 2 ， U P x 0 x 2 ，
所以 A B U P x 0 x 2 .
2．已知集合M {x∣ 2 x 3}， N {x∣x a}．
(1)当 a 1时，求M N ，M N ，M R N ；
(2)当M N 时，求 a 的取值范围．
【详解】(1)当 a 1时， N x | x 1 ，又M x | 2 x ≤ 3 ，
所以M N x | 2 x 1 ，M N x | x 3 ；
R N 1, ，则M R N 1,3
(2)当M N 时，则需 a 2，所以 a的取值范围 ， 2 .
3．设集合 A＝{x R | x2 4x 0}，B＝{x R | x2 +2(a＋1)x+a2 - 1 0，a R} .
(1)若 a 0，试求 A B；
(2)若B A，求实数 a的取值范围．
【详解】(1)由 x2 4x 0，解得 x 0或 x 4， A 4,0 .
当 a 0时，得 x2 2x 1＝0，解得 x 1 2 或 x - 1 2 ，B 1 2， 1 2 ；
∴ A B 0， 4， 1 2， 1 2 .
(2)由（1）知， A 4,0 ，B A，
于是可分为以下几种情况．
当 A B 时，B 4,0 ，此时方程 x2 +2(a＋1)x+a2 - 1 0有两根为 0 ， 4，则
4(a 1)2 4(a2 1) 0
a2 - 1 0 ，解得 a 1 .
2 a 1 4
当B A时，又可分为两种情况．
当B 时，即B 0 或B＝{ 4}，
当B 0 时，此时方程 x2 +2(a＋1)x+a2 - 1 0有且只有一个根为 0 ，则
4(a 1)2 4(a2 1) 0
2 ，解得 a 1，
a 1 0
当B＝{ 4}时，此时方程 x2 +2(a＋1)x+a2 - 1 0有且只有一个根为 4，则
4(a 1)
2 4(a2 1) 0
2 2 ，此时方程组无解，
4 8(a＋1)+a -1 0
当B 时，此时方程 x2 +2(a＋1)x+a2 - 1 0无实数根，则
4(a 1)2 4(a2 1) 0，解得 a 1 .
综上所述，实数 a 的取值为 a a 1或a 1 .
考点二、充分条件、必要条件与充要条件
1．设全集U R ，集合 A x |1 x 5 ，集合 B {x | 1 2a x a 2} .
(1)若“ x A”是“ x B ”的充分条件，求实数 a的取值范围；
(2)若命题“ x B，则 x A”是真命题，求实数 a的取值范围.
【详解】(1) x A是 x B的充分条件， A B ，
又 B {x | 1 2a x a 2}，
1 2a 1 2a 2
， ， a 7a 2 5 a 7 ，
实数 a的取值范围为 a 7 .
1
(2) 命题“ x B，则 x A”是真命题，①当B= 时， 1 2a a 2 ， 3a 1， a ；
3
②当B 时， A x |1 x 5 ，B {x | 1 2a x a 2}，且 B 是A 的子集.
1 2a 1 a 1
a 2 5 ， a 7 ， a ;
1 2a a 2 a 1
3
1
综上所述：实数 a的取值范围 a .
3
2．已知 p : x M ，且 ， q : x N ，且 N x x 4或 x 0 .
(1)若M N ，M N R ，求实数m 的值；
(2)若 p 是q的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
【详解】(1)因为 ， N x x 4或 x 0 ，且M N ，M N R ，
m 2 0
所以， ，解得m 2 .
m 2 4
(2)因为 p 是q的充分不必要条件，则M N ，则m 2 0或m 2 4 ，解得m 2或m 6 .
3．已知集合 A＝{x|－4≤x≤4，x∈R}，B＝{x|x5”是“A B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】 A B a>4，而 a>5 a>4，且 a>4 a>5，所以“a>5”是“A B”的充分不必要条件．
4．“不等式 x2－2x＋m≥0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2
【答案】D
【详解】“不等式 x2－2x＋m≥0 在 R 上恒成立”的充要条件为：“(－2)2－4m≤0”即“m≥1”，
又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件，
即“不等式 x2－2x＋m≥0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是“m≥2”，
故选 D.
5 “ x 1,2 ,3x2．命题 a 0，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． a 3 B． a 2 C． a 4 D． a 2
【答案】D
2
【详解】 x 1,2 , 3x [3,12]，
因为命题“ x 1,2 ,3x2 a 0，”为真命题，
所以有 a 3，显然选项 A 是充要条件， 由 a 2不一定能推出 a 3，
由 a 4不一定能推出 a 3，由 a 2一定能推出 a 3，
故选：D
考点三、全称量词命题与存在量词命题
1．命题“ x R ， x2 x 1 3x ”的否定为（ ）
A． x R ， x2 x 1 3x B． x R ， x2 x 1 3x
C． x R ， x2 x 1 3x D． x R ， x2 x 1 3x
【答案】D
【详解】命题“ x R ， x2 x 1 3x ”为全称量词命题，其否定为“ x R ， x2 x 1 3x ”．
故选：D
2．若命题“ x0 R ， x 20 (a 1)x0 1 0 ”的否定是假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【答案】D
【详解】命题“ x R ， x 20 0 (a 1)x0 1 0 ”的否定是假命题，
则命题“ x0 R ， x 20 (a 1)x0 1 0 ”是真命题，
即 (a 1)2 4 0，
解得 a＞3 或 a＜﹣1，
∴实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
故选：D
3．已知命题 p： x∈R，x2+x﹣a＞0 为假命题，则实数 a 的取值范围是 __.
1
【答案】a
4
【详解】因为命题 p： x∈R，x2+x﹣a＞0 为假命题，
所以它的否定￢p： x∈R，x2+x﹣a≤0 为真命题，
1
所以 ＝12﹣4×（﹣a）≥0，解得 a .
4
1
故答案为：a
4
4．已知命题 p : x R ， ax2 2x 1 0， q : x R， ax2 ax 1 0 .若 p 与 q 均为假命题，求实数 a 的取值范围.
【详解】 p : x R， ax2 2x 1 0，
q : x R， ax2 ax 1 0，
p : x R ， ax2 2x 1 0，
q : x R ，ax2 ax 1 0 .
因为 p 与 q 均为假命题，
所以 p 与 q 都是真命题.
p a 0,由 为真命题得 a 0或 ，故a 1 .
4 4a 0,
a 0,
由 q 为真命题得 a 0或 2 ，故0 a 4
a 4a 0,
a 1
∴ ，解得0 a 1.
0 a＜4
故实数 a 的取值范围是[0,1] .
5．命题 p : x R, x2 2mx 3m 0 2成立；命题 q : x0 R, x0 4mx0 1 0成立.
(1)若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；
(2)若命题 q 为假命题，求实数 m 的取值范围；
(3)若命题 p，q 至少有一个为真命题，求实数 m 的取值范围.
【详解】(1)若命题 p 为真命题，则 4m2 12m 0 ，解得 3 m 0，
所以实数m 的取值范围是 ( 3,0)；
(2)若命题q为假命题，
2 1 1则 16m 4 0，解得 m ，2 2
1 1
所以实数m 的取值范围是 ,
2 2
；
(3)由（1）（2）可知命题 p 与命题q均为假命题时，则
m 3 m 0
1
1 或 ，解得0 m ，
m
1 1 1
m 2 2 2 2 2
故命题 p 与命题q中至少有一个为真命题，
1
则m 0或m
2
1
所以实数m 的取值范围是 ,0 , 2 .
6．已知集合 A x 1 x m ；命题 p ： x 1,2 ， x2 2x a 0 .
(1)若命题 p 为真命题，求实数 a的取值范围；
(2)若命题 p 中 a的取值构成集合 B ，且B A，求实数m 的取值范围.
【详解】(1) 2对于命题 p ，令函数 g x x 2x a，则函数 g x x2 2x a在 1,2 上单调递增，
g 1 0 1 2 a 0
因为命题 p 为真命题，所以 g 2 0，即 ，解得 1 a 04 4 a 0 .
(2)依题意可得B 1,0 ，因为B A， A 1,m ，所以m 0 .
1．设集合U x x 4 ， A x 1 x 2 ，B x 1 x 3 .求：
(1) A B；
(2) U A B ；
(3) CU A CU B .
【详解】(1)∵ A {x | 1 x 2}，B {x |1 x 3}，
∴ A B {x |1 x 2}；
(2)U {x | x 4}， A x 1 x 2 ，所以 U A {x | x 1或 2 x 4}．
又∵ B {x |1 x 3}，∴ U A B {x | x 1或1 x 4}．
(3)∵U {x | x 4}，B {x |1 x 3}，∴ U B {x | x 1或3 x 4}，
∴ CU A CU B x x＜-1或3＜x 4 .
2．已知集合 A x 2 x 5 ， B x m 1 x 2m 1 ，U R ．
(1)若 A U B U ，求实数m 的取值范围；
(2)若 A B ，求实数m 的取值范围．
【详解】(1)因为 A U B U ，所以B A，
当B 时，m 1 2m 1，即m 2，
2m 1 m 1
当B 时， m 1 2 ，解得 2 m 3，
2m 1 5
综上，m 的取值范围为 m m 3 ；
(2)当 A B 时，
当B 时，m 1 2m 1，即m 2，
2m 1 m 1 2m 1 m 1
当B 时， 或 ，解得m 4 ，
2m 1＜- 2 m 1＞5
综上， A B 时，m 4 或m 2，
故当 A B 时，实数m 的取值范围为 2,4 ．
3．设 p ： 2x 1 3，q： x 2a 1 0 .
(1)若 a 1，且 p 、q均为真命题，求满足条件的实数 x 构成的集合；
(2)若 p 是q的充分条件，求实数 a的取值范围.
【详解】(1)因为 p ： 2 x 1，q： x 3 0，即 x 3，
所以 p 、q均为真命题，
则取公共部分得实数 x 构成的集合为 x 2 x 1 ；
(2)因为 p 是q的充分条件，且 p ： 2 x 1，q： x 2a 1，
所以 2,1 , 2a 1 ，所以 2a 1 1，解得 a 0，
故实数 a的取值范围是 0, .
4 2．设 p : x 1或 x 3， q : x a 1 x a 0．
(1)若 a 3时，p 是 q 的什么条件？
(2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围．
【详解】(1)因为 a 3，所以 x2 2x 3 0，解得 x 1或 x 3，
显然 p 是 q 的充要条件；
(2) x2 a 1 x a 0 (x a)(x 1) 0，
当 a 1时，该不等式的解集为全体实数集，显然由 p q ，但 q p 不成立，
因此 p 是 q 的充分不必要条件，不符合题意；
当 a 1时，该不等式的解集为： ( , a] [ 1, )，显然当 x 1时， x 3不一定成立，
因此 p 不是 q 的必要不充分条件，
当a 1时，该不等式的解集为： ( , 1] [a, )，要想 p 是 q 的必要不充分条件，
只需 a 3 a 3，而a 1，所以 a 3，
因此 a 的取值范围为： ( , 3) .
5．已知 p : x 2 0,q : ax 4 0 其中 a R .
(1)若 p 是q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围；
(2)若 p 是q的必要不充分条件，求实数 a的取值范围.
【详解】(1)设命题 p：A={x|x 2>0}，即 p：A={x|x>2}，命题 q：B={x|ax 4>0}，
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A B，.
a 0,
即 4 解得 a>2
2, a
所以实数 a 的取值范围为 (2, )
(2)由（1）得 p：A={x|x>2}，q：B={x|ax 4>0}，
因为 p 是q的必要不充分条件，
所以 B A，
①当 a=0 时，B= ，满足题意；
②当 a>0 B A 4时，由 ，得 .>2，即 0a
③当 a<0 时，显然不满足题意.
综合①②③得，实数 a 的取值范围为[0, 2)
1
6．已知命题“ x R ，使 2x2 (a 1)x 0 ”是假命题，则实数 a的取值范围是（ ）
2
A． ( , 1) B． ( 1,3) C． ( 3, ) D． ( 3,1)
【答案】B
【详解】因为命题“ x R 2x2，使 (a 1)x
1
0 ”是假命题，
2
所以 2x2
1 1
(a 1)x 0 2恒成立，所以Δ (a 1) 4 2 0，解得 1 a 3，
2 2
故实数 a的取值范围是 ( 1,3)．
故选：B．
7．命题 x 0, x2 2x 3 0的否定是__.
【答案】 x 0, x2 2x 3 0
【详解】命题 x 0, x2 2x 3 0的否定是： x 0, x2 2x 3 0
故答案为： x 0, x2 2x 3 0．
8．若命题“ x R 2，使得 x a 1 x 1 0 ”是真命题，则实数 a 的取值范围是_______．
【答案】 , 1 3,
【详解】 x R 2，使得 x a 1 x 1 0，
Δ (a 1)2 4 0，解得 a 1或 a 3，即实数 a 的取值范围是 , 1 3, .
故答案为： ， 1 3， .
9．已知命题 p : x R，使ax2 2x a 0，当 a A时， p 为假命题，求集合A ．
【答案】 A , 1 ．
【详解】当 a A时， p 为假命题，则当 a A时， x R ，使 ax2 2x a 0，
若 a 0，不等式等价为 x 0 ，不满足条件．
若 a 0，要使不等式恒成立，
a 0 a 0
则 2 ，即 a 1 a 1，所以 a 1 4
，
4a 0 或
即 A , 1 ．
1
10 2．设 a R ，命题 p： x 1， ，x a 0 ，命题 q：2 x R，x
2 ax 1 0 .
（1）若命题 p 是真命题，求 a的取值范围；
（2）若命题 p 与 q 至少有一个为假命题，求 a的取值范围.
【详解】（1）若命题 p 是真命题时， x 1
1
， 2 ，x a 0 ， 2
即 x
1
1
， ，2 a x
2 ，
2
所以 a (x )max 1，
（2）若命题 q： x R，x2 ax 1 0为真时，
则 a2 4 0，解得 2 a 2，
若命题 p 与 q 至少有一个为假命题，
即命题 p 与 q 不能同时为真，
若命题 p 与 q 同时为真时，
a 1
则 ，解得1 a 22 a 2 ，
所以命题 p 与 q 不能同时为真时，a 1或 a 2，