章末复习
【考点目录】
考点一、求函数的定义域
考点二、分段函数
考点三、函数性质的综合应用
考点四、函数图象的画法及应用
考点一、求函数的定义域
1．已知函数 f (x 1)的定义域为[1,5]，则 f (2x) 的定义域为（ ）
A．[1,3] B．[1, 4] C．[2,5] D．[2,6]
x
2．函数 f x 定义域为[1,8] f，则函数 g(x) 2 的定义域为____________．
x 3
3．求下列函数的定义域.
(1) f x x 4
x 5 ；
f x 2x 3 1 1(2) .
2 x x
考点二、分段函数
x 1, x 0
1．已知函数 f x 1 1 ，则 f f （ ）
100, x 0
100
x
1 1
A．0 B． C． D．1
10 100
x2 2ax 5, x 1
2．（多选）已知函数 f x a 在区间 , 上是减函数，则整数 a 的取值可以为（ ）
, x 1 x
A． 2 B． 1 C．0 D．1
2
3．（多选）已知函数 f
x , 2 x 1
x 关于函数 f x 的结论正确的是（ ）
x 2, x 1
A． f x 的定义域为 R B． f x 的值域为 , 4
C．若 f x 2，则 x 的值是 2 D． f x 1的解集为 1,1
1
x 1 x 0
4 2．设函数 f (x) ，若 f a a1 ，则实数
a的值为_____．
x 0 x
1
+1, x c 3
5．已知函数 f (x) x ，若 c 0
，则 f (x) 的值域是______；若 f (x) 的值域为 ,3 ，则实数 c的
x
2 x+1,c x 2 4
取值范围是_________.
考点三、函数性质的综合应用
1．已知定义域为 R 的函数 f x 在 1, 上单调递减，且 f x 1 是偶函数，不等式 f 3m 1 f x 2 对任意的
x 1,0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
1 1
A． ,
0, 1 B．[-1，1] C
．
2 2 2
D．[-1，0]
2．若定义在R 上的奇函数 f x 满足 f 2 x f x ，在区间 0,1 上，有 x1 x2 f x1 f x2 0 ，则下列说法
正确的是（ ）
A．函数 f x 的图象关于点 1,0 成中心对称
B．函数 f x 的图象关于直线 x 2成轴对称
C．在区间 2,3 上， f x 为减函数
7 2
D． f f
2 3
f (x) 3x b 33．已知函数 2 是定义域为(－2，2)的奇函数，且 f (1) ．a 4 5
(1)求 a，b 的值；
(2)判断函数 f(x)在(－2，2)上的单调性，并用定义证明；
(3)若函数 f(x)满足 f (2m 2) f (m2 1)＞0，求 m 的取值范围．
4．定义在 I ( 2, 0) (0, 2) 上的函数 f (x) ，对任意 x，y∈I，都有 f (xy) f (x) f ( y) 2；且当0 x 1时，
f (x) 2 .
（1）求 f ( 1)的值；
（2）证明 f (x) 为偶函数；
（3）求解不等式 f (2x 1) 2 .
考点四、函数图象的画法及应用
f x
1．若定义在R 上的奇函数 f x 在 ,0 单调递减，且 f 2 0 ，则 0的解集是（ ）
x
A． , 2 0,2 B． , 2 2,
C． 2,0 0,2 D． 2,0 2,
2．作出下列函数的图象：
(1) f x x 1 x 1 ；
x2 4x 3, x 0
(2) f x x, x 0 ；
2
x 4x 3, x 0
(3) f x x x 1,3 ，其中 x 表示不大于 x 的最大整数．
3．设函数 f x 2x 1 x 1
(1)画出 y f x 的图像；
(2)求解关于 x 的不等式 f(x)<5，
1．函数 f x x2 4x 12 1 的定义域为 _________.
x 4
2．若函数 f x2 2 的定义域为 1,3 ，则函数 f x 的定义域为______；若函数 f 2x 3 的定义域为 1,3 ，则函数
f 1 3x 的定义域为______.
(1 2m)x 1 m, x 0
3．若函数 f (x) x2 (m 2)x, x 0 在 R 上为减函数，则实数 m 的取值范围为（ ）
1 1 1
A． ,1 B
． ,1
C． , 2
1
2 2 2
D． , 22
4．已知函数D(x)
3，x为有理数
，则D D 2 __________. 1， x为无理数
x2 1, x 0
5 2．已知函数 f x ，则满足等式 f 1 x f 2x 的实数 x 的取值范围是______．
1, x 0
(3a 1)x 4a, x 2 f (x ) f (x
6 f (x) 1 2
)
．已知函数 满足对任意的实数 x1 xax, x 2 2 ，都有
0
x x ，则 a 的取值范围是 1 2
______________.
7．已知 f x 1 在R 上是偶函数，且在区间 0, 上单调递增，则满足 f 2x 1 f 3 的 x 的取值范围是______，
满足 f 1 x f x 3 的 x 的取值范围是______．
8．已知定义在R 上的函数 f x 在 1, 上单调递增，若 f 2 0 ，且函数 f x 1 为偶函数，则不等式 xf x 0
的解集为（ ）
A． 2, B． 4, 1 0,
C． 4, D． 4,0 2,
9 2．已知函数 f x 是 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x x x．
（1）当 x 0 时，求 f x 的解析式；
（2）若 f 1 a f 2a 0，求实数 a的取值范围．
10．函数 y f x 是偶函数且在 ,0 上单调递减， f 2 0，则 f 2 3x 0的解集为（ ）
3 3
A ,0 ． , B． 0,
4 4
0, 4C
4
． D． ,0
,
3 3
11．画出下列函数的图象，并写出单调区间：
1
(1) f x ；
x 2
(2) f x x 3 x ．
12．已知 g x x x 2 ．
(1)用分段函数的形式表示 g x ；
(2)画出 y g x 的图象，并写出函数 g x 的单调区间和值域．章末复习
【考点目录】
考点一、求函数的定义域
考点二、分段函数
考点三、函数性质的综合应用
考点四、函数图象的画法及应用
考点一、求函数的定义域
1．已知函数 f (x 1)的定义域为[1,5]，则 f (2x) 的定义域为（ ）
A．[1,3] B．[1, 4] C．[2,5] D．[2,6]
【答案】A
【分析】根据抽象函数的定义域利用替换思想求相关函数的定义域.
【详解】∵函数 f (x 1)的定义域为[1,5]，
∴1≤x≤5，则2 x 1 6，即 f (x) 的定义域为[2,6]，
由2 2x 6，得1 x 3，∴ f (2x) 的定义域是[1,3]，
故选：A
f x
2．函数 f x 定义域为[1,8]，则函数 g(x) 2 的定义域为____________．
x 3
【答案】 2,3 3,16
【分析】根据抽象函数求定义域的基本原则可得出关于实数 x 的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
x
【详解】由于函数 f x 定义域为[1,8] f，对于函数 g(x) 2
，
x 3
1 x 8
有 2 ，解得 2 x 16且 x 3 .
x 3 0
f x
因此，函数 g(x) 2
的定义域为 2,3 3,16 .
x 3
故答案为： 2,3 3,16 .
3．求下列函数的定义域.
(1) f x x 4
x 5 ；
f x 2x 3 1 1(2) .
2 x x
【答案】(1) x x 4且x 5
3
(2) x x
2且x 0
2
【分析】根据函数解析式，分别列出不等式，解出即可.
x 4 0
【详解】（1）要使该函数有意义，只需 ，解得 x 4x 5 0 ，且 x 5，
所以该函数的定义域为: x x 4且x 5
2x 3 0
3
（2）要使该函数有意义，只需 2 x 0 ，解得 x 2 ，且 x 0，
2
x 0
3
所以该函数的定义域为: x x 2且x 02
考点二、分段函数
x 1, x 0
f x f f 1 1．已知函数 1 ，则
100, x 0
（ ）
x
100
1 1
A．0 B． C． D．1
10 100
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
x 1, x 0
f 1 1
【详解】解：因为 f x 1 ，所以 100 1
100 0
，
100, x 0 x 100
所以 f
1
f f 0 0 1 1；
100
故选：D
x2 2ax 5, x 1
2．（多选）已知函数 f x a 在区间 , 上是减函数，则整数 a 的取值可以为（ ）
, x 1 x
A． 2 B． 1 C．0 D．1
【答案】AB
【分析】依题意函数在各段上单调递减，且在断点左边的函数值不小于右边的函数值，即可得到不等式组，解得即
可．
a 1
【详解】解：由题意可得 a 0 ，解得 2 a 1，
1 2a 5 a
∴整数 a 的取值为 2或 1．
故选：AB
x2 , 2 x 1
3．（多选）已知函数 f x 关于函数 f x 的结论正确的是（ ）
x 2, x 1
A． f x 的定义域为 R B． f x 的值域为 , 4
C．若 f x 2，则 x 的值是 2 D． f x 1的解集为 1,1
【答案】BC
【分析】求出分段函数的定义域可判断 A；求出分段函数的值域可判断 B；分 x 1、-2 x <1两种情况令 f x 2
求出 x 可判断 C；分 x 1、-2 x <1两种情况解不等式可判断 D.
x
2 , 2 x 1
【详解】函数 f x 的定义域是 2, ，故 A 错误；
x 2, x 1
当-2 x <1时， f x x 2 ，值域为 0,4 ，当 x 1时， f x x 2，值域为 ,1 ，故 f x 的值域为 , 4 ，
故 B 正确；
当 x 1时，令 f x x 2 2，无解，当-2 x <1 f x x2时，令 2，得到 x 2 ，故 C 正确；
2
当-2 x <1时，令 f x x 1，解得 x 1,1 ，当 x 1时，令 f x x 2 1，解得 x 1, ，故 f x 1的
解集为 1,1 1, ，故 D 错误．
故选：BC．
1
x 1 x 0
4 2．设函数 f (x) ，若 f a a ，则实数 a1 的值为_____． x 0
x
【答案】 1
【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.
【详解】由题意知， f a a ；
1
当 a 0时，有 a 1 a，解得 a 2 (舍去)；
2
1
当 a 0时，有 a，解得 a 1(舍去)或 a 1．
a
所以实数 a的值是： a 1．
故答案为： 1 .
1
+1, x c 3
5 ．已知函数 f (x) x ，若 c 0 ，则 f (x) 的值域是______；若 f (x) 的值域为 ,3 ，则实数 c的
x
2 x+1,c x 2 4
取值范围是_________.
3 1
【答案】 , ； 1, 4 2
；
【分析】若 c 0 ，分别求出 f (x) 在 ,0 及 0,2 上的最值，取并集得答案；结合图像，只需 f (x)max 3即可得到 c
的范围．
1 +1, x 0
【详解】解：当 c 0 时， f (x)
x ．
x
2 x+1,0 x 2
当 f (x) x2 x 1，0≤x≤2时，
f (x) 在[0
1
， ] (
1
2 上单调递减，在 2 ，
2]上单调递增，
可得 f (x) 的最大值为 f (2) 3，最小值为 f (
1) 3 ；
2 4
当 f (x)
1
1， x 0 时， f (x) 为增函数， f (x) 1．
x
3
综上所述， f (x) 的值域是 ,
；
4
根据题意得： f (x)max 3，
如图，当 x2
1 1
x 1 3，解得： x 1或 2，令 1 3x ，解得：
x
2
1
故 1
1
c ，故实数 c的取值范围是 1,
2 2
3 1
故答案为： , ； 1, 4 2
．
考点三、函数性质的综合应用
1．已知定义域为 R 的函数 f x 在 1, 上单调递减，且 f x 1 是偶函数，不等式 f 3m 1 f x 2 对任意的
x 1,0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
1 1 1
A． ,
B．[-1，1] C． 0, 2 D．[-1，0] 2 2
【答案】B
【分析】根据题意可得函数 f x 的图象关于直线 x 1对称，从而利用其单调性可将不等式 f 3m 1 f x 2 转
化为 f 3m 1 f 2 f 4 ，亦即 2 3m 1 4 ，即可解出．
【详解】因为函数 f x 1 是偶函数，所以函数 f x 的图象关于直线 x 1对称，且在 1, 上单调递减，在在 ,1
上单调递增，而不等式 f 3m 1 f x 2 对任意的 x 1,0 恒成立，由于 3 x 2 2，所以 f x 2 f 2 ，
即原不等式等价于 f 3m 1 f 2 ，又 f 2 f 4 ，所以 2 3m 1 4 ，解得： 1 m 1．
故选：B．
2．若定义在R 上的奇函数 f x 满足 f 2 x f x ，在区间 0,1 上，有 x1 x2 f x1 f x2 0 ，则下列说法
正确的是（ ）
A．函数 f x 的图象关于点 1,0 成中心对称
B．函数 f x 的图象关于直线 x 2成轴对称
C．在区间 2,3 上， f x 为减函数
D． f
7 f 2
2 3
【答案】C
【分析】对于 A：根据题意结合奇函数可得 f 4 x f x 0，结合对称中心结论 f m x f x n 2b，则 f x
m n ,b 关于 成中心对称理解判断；对于 B：根据对称轴的结论： f m x f x n ，则 f x x
m n
关于 成
2 2
轴对称，结合题意理解判断；对于 C：根据题意可得： f x 在 0,1 内单调递增，结合轴对称性质：对称区间单调
性相反理解判断；对于 D：整理可得 f x 4 f x ，则 f x 的周期为 4，结合单调性整理分析．
【详解】 f 4 x f 2 x 2 f x 2 f 2 x f x ，即 f 4 x f x 0，故 f x 关于 2,0 成中心
对称，A 不正确；
∵ f 2 x f x ，则 f x 关于 x 1成轴对称，B错误；
根据题意可得： f x 在 0,1 内单调递增
∵ f x 关于 x 1成轴对称，（2，0）中心对称，则 f x 在 2,3 内单调递减；C 正确；
又∵ f x f 2 x f x 2 ，则 f x 2 f x
∴ f x 4 f x 2 f x ，可知 f x 的周期为 4
f 7 1 2 则 f f2 2
,D错误
3
故选：C．
3．已知函数 f (x)
3x b 3
2 是定义域为(－2，2)的奇函数，且 f (1) ．a 4 5
(1)求 a，b 的值；
(2)判断函数 f(x)在(－2，2)上的单调性，并用定义证明；
(3)若函数 f(x)满足 f (2m 2) f (m2 1)＞0，求 m 的取值范围．
【答案】(1) a 1或a 1，b 0 .
(2)单调增函数，证明见解析.
(3) 2 1,1
3
【分析】（1）根据 f 0 0, f 1 ，即可求得结果；
5
（2）利用单调性的定义，作差、定号，即可判断和证明函数单调性；
（3）根据函数奇偶性以及（2）中所得单调性，结合函数定义域，即可求得m 的取值范围.
【详解】(1)因为 f x 是定义在(－2，2)的奇函数，故可得 f 0 0，则b 0；
f 1 3 3 3因为 ，故可得 2 ，解得a 1或 a 1；5 a 4 5
综上所述：a 1或 a 1，b 0 .
(2) f x 是(－2，2)上的单调增函数，证明如下：
3
由（1）可知： f x x，不妨设 2 x1 x2 2 ，5
则 f x1
3
f x2 x1 x2 0，即 f x1 f x2 ，5
故 f x 是 2,2 上的单调增函数，即证.
(3) f (2m 2) f (m2 1)＞0 等价于 f 2m 2 f m2 1 ，
f x 是奇函数，故可得 f 2m 2 f m2 1 ，
由 2 可知， f x 是单调增函数，故 2m 2 m2 1
m 1 2即 2，解得m 2 1或m 2 1 .
又 f x 的定义域为 2,2 ，则 2 2m 2 2，且 2 m2 1 2，解得0 m 2，且 1 m 1 .
综上所述：m 2 1,1 .
4．定义在 I ( 2, 0) (0, 2) 上的函数 f (x) ，对任意 x，y∈I，都有 f (xy) f (x) f ( y) 2；且当0 x 1时，
f (x) 2 .
（1）求 f ( 1)的值；
（2）证明 f (x) 为偶函数；
（3）求解不等式 f (2x 1) 2 .
【答案】（1） f ( 1)
1
2 （2）见解析（3） x | x 0 或1 x
3
2 2
【分析】(1)利用赋值法即可求出 f ( 1)的值;
(2)根据偶函数的定义即可判断 f (x) 为偶函数;
(3)根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可.
【详解】解：(1)令 x y 1，则 f (1) 2
令 x y 1，则 f ( 1) 2
(2)令 y 1，则 f ( x) f (x) f ( 1) 2 f (x) ，∴ f (x) 为偶函数.
(3)令 xy x1， x x2，
x
设0 x1 x2 2，则 y
1
且0 y 1x2
∴ f x1
f x2 f
x
1 2
x2
∴ f x1 f x2
∴ y f (x) 在 (0,2)上单调递减
又∵ f (x) 为偶函数
∴ 2 2x 1 1或1 2x 1 2
1 3
∴ x 0或1 x
2 2
∴ x |
1 x 0 1 x 3 或
2 2
【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查了奇偶函数定义、单调性的证明，函数性质的综合应用，难度较难.
考点四、函数图象的画法及应用
f x
1 ．若定义在R 上的奇函数 f x 在 ,0 单调递减，且 f 2 0 ，则 0的解集是（ ）
x
A． , 2 0,2 B． , 2 2,
C． 2,0 0,2 D． 2,0 2,
【答案】C
f x
【分析】分析函数 f x 的单调性，可得出 f 2 f 2 0，分 x 0 、 x 0两种情况解不等式 0
x
，综合可得出原不等式的解集.
【详解】因为定义在R 上的奇函数 f x 在 ,0 单调递减，则函数 f x 在 0, 上为减函数.
且 f 2 f 2 0，
f x
当 x 0 时，由 0可得 f x 0 f 2 ，则 2 x 0；
x
f x
当 x 0时，由 0可得 f x 0 f 2 ，则0 x 2 .
x
f x
综上所述，不等式 0的解集为 2,0 0,2 .
x
故选：C.
2．作出下列函数的图象：
(1) f x x 1 x 1 ；
x2 4x 3, x 0
(2) f x x, x 0 ；
x2 4x 3, x 0
(3) f x x x 1,3 ，其中 x 表示不大于 x 的最大整数．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；
(3)作图见解析.
【分析】根据题意写出分段函数的解析式，然后作图即得.
2x, x 1
【详解】（1）因为函数 f x x 1 x 1 2, 1 x 1，
2x, x 1
画出其图象如图所示：
；
（2）函数的图象是两段抛物线与一个点，画出其图象如图所示．
1 1 x 0
0 0 x 1
（3）由题可得 f x
1 1 x 2
，画出其图象如图所示：
2 2 x 3
.
3．设函数 f x 2x 1 x 1
(1)画出 y f x 的图像；
(2)求解关于 x 的不等式 f(x)<5，
【答案】(1)图像见解析，
( 5(2) ,
5)
3 3
【分析】（1）由绝对值定义去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出图像；
（2）由图像， f (x) 5在左右两段有解，再由图像得出不等式的解．
3x, x 1
【详解】（1）由题意 f (x)
x 2, 1 x 1，图像如下，
2
1
3x, x 2
5
（2）由（1）可得 x 1时，3x 5， x ，
3
x 1 5 时， 3x 5， x ，
2 3
由图像不等式 f (x) 5
5 x 5的解为 ．解集为 (
5
, 5)．
3 3 3 3
2 11．函数 f x x 4x 12 的定义域为 _________.
x 4
【答案】 2,4 4,6
【分析】根据根式的定义及分式的定义即可得到不等式组，即可求解.
x2 4x 12 0
【详解】解：由题可得 ，解得， 2 x 6，且 x 4；
x 4 0
f x 的定义域为： 2,4 4,6 ．
故答案为： 2,4 4,6 .
2 2．若函数 f x 2 的定义域为 1,3 ，则函数 f x 的定义域为______；若函数 f 2x 3 的定义域为 1,3 ，则函数
f 1 3x 的定义域为______.
【答案】 2,7 2 , 2
3 3
【分析】根据抽象函数定义域求解即可.
【详解】因为函数 f x2 2 的定义域为 1,3 ，即 1 x 3，
所以0 x2 9， 2 x2 2 7 ，故函数 f x 的定义域为 2,7 .
因为函数 f 2x 3 的定义域为 1,3 ，即1 x 3，所以 1 2x 3 3，
则函数 f x 2 2 2 2 的定义域为 1,3 ，令 1 1 3x 3，得 x ，所以函数 f 1 3x 的定义域为 , .3 3 3 3
2 2
故答案为: 2,7 ， ,
3 3
(1 2m)x 1 m, x 0
3．若函数 f (x) x2 (m 2)x, x 0 在 R 上为减函数，则实数 m 的取值范围为（ ）
1
A ,1 B
1 ,1 C
1 ,2 1 ． ． ． D．2 2 2
, 2
2
【答案】A
【分析】分段函数在定义域内单调递增，则它在每一段均单调递增．且在 x 0时，前一段的函数值大于等于后一
段的函数值，从而构造出实数m 的不等式组，解出即可．
1 2m 0
(1 2m)x 1 m, x 0
f (x) 1 m 0 1 1 【详解】因为函数 2 在 R 上为减函数，所以 x (m 2)x, x 0 ，解得 m 1．即 ,1 ． 2
2
m 2 0
2
故选：A
3，x为有理数
4．已知函数D(x) ，则D D 2 __________. 1， x为无理数
【答案】 3
【分析】结合分段函数解析式求函数值即可.
【详解】因为 2 为无理数，所以D 2 =1，
所以D D 2 D 1 ，又1为有理数，
所以D D 2 D 1 = 3，
故答案为： 3 .
x2 1, x 0
5．已知函数 f x ，则满足等式 f 1 x2 f 2x 的实数 x 的取值范围是______．
1, x 0
【答案】 , 1 2 1
2x 0 2x 0 1 x2 0 1 x2 0
【分析】分别在 1 x2 0、 1 x2 0、 和 的情况下得到方程，解方程即可得到结果. 2x 0 2x 0
2x 0
【详解】当 2 ，即0 x 11 x 0 时，1 x
2
2x ，解得： x 2 1；
2x 0
当 2 ，即 x 1时， f 1 x2 f 2x 11 x 0 ，满足题意；
1 x2 0
当 ，即 1 x 0时， f 1 x22x 0
2 2 1 x 1， f 2x 1，
2 2 1 x 1 1，解得： x 1；
1 x2 0 2 2
当 ，即 x 1时， f 1 x 1， f 2x 4x 1，
2x 0
4x2 1 1，方程在 1, 上无解；
综上所述：实数 x 的取值范围为 , 1 2 1 .
故答案为： , 1 2 1 .
(3a 1)x 4a, x 2 f (x1) f (x )6．已知函数 f (x) 2 满足对任意的实数 x x ，都有 0，则 a 的取值范围是
ax, x 2
1 2 x1 x2
______________.
1 1
【答案】 ，6 3
【解析】求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于 a的不等式组，解出即可.
【详解】由题意得： f x 在 R 上单调递减，
3a 1 0
1 1
故 a 0 ，解得 a ，
6 3
6a 2+4a 2a
即 a
1 1
的取值范围是 ， ， 6 3
1 1
故答案为： ， . 6 3
【点睛】易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式
6a 2+4a 2a .
7．已知 f x 1 在R 上是偶函数，且在区间 0, 上单调递增，则满足 f 2x 1 f 的 x 的取值范围是______，
3
满足 f 1 x f x 3 的 x 的取值范围是______．
1 2
【答案】 , 1,
3 3
【分析】因为 f x 在R 上是偶函数，根据偶函数的性质 f x f x ，
把不等式 f 2x 1 f 1 和 f 1 x f x 3 ，
3
1
转换成 f 2x 1 f 和 f 1 x f x 3 ，
3
结合 f x 在区间 0, 上单调递增，转换成绝对值不等式，进一步解得答案.
【详解】因为函数 f x 是偶函数，所以 f x f x ，
所以 f 2x 1 1 f f 2x 1 f 1 3 ， 3
又函数 f x 在区间 0, 上单调递增，
2x 1 1 1 2所以 ，解得 x ，
3 3 3
同理可得 f 1 x f x 3 f 1 x f x 3 1 x x 3 ，
1 x 2 x 3 2即 ，解得 x 1．
1
故答案为：① ,
2
，② 1, .
3 3
8．已知定义在R 上的函数 f x 在 1, 上单调递增，若 f 2 0 ，且函数 f x 1 为偶函数，则不等式 xf x 0
的解集为（ ）
A． 2, B． 4, 1 0,
C． 4, D． 4,0 2,
【答案】D
【分析】分析可知函数 f x 的图象关于直线 x 1对称，可得出函数 f x 的单调性，分析 f x 的符号变化，
x 0 x 0
由 xf x 0可得
f x 0
或 ，解之即可.
f x 0
【详解】因为函数 f x 1 为偶函数，则 f x 1 f x 1 ，故函数 f x 的图象关于直线 x 1对称，
因为函数 f x 在 1, 上单调递增，故函数 f x 在 , 1 上单调递减，
因为 f 2 0 ，则 f 4 0，
所以，由 f x 0 可得 4 x 2，由 f x 0可得 x 4或 x 2，
x 0 x 0
解不等式 xf x 0，可得 f x 0或 f x 0，解得 4 x 0 x 2 或 ，
故不等式 xf x 0的解集为 4,0 2, .
故选：D.
9 2．已知函数 f x 是 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x x x．
（1）当 x 0 时，求 f x 的解析式；
（2）若 f 1 a f 2a 0，求实数 a的取值范围．
【答案】（1） f x x2 x x 0 1 ；（2） , ．
3
【分析】（1）根据题意，当 x 0 时， x 0 ，求出 f x 的表达式，结合函数的奇偶性 f x 的解析式，即可得答
案；
（2）根据题意，分析函数 f x 在 R 上的单调性，则原不等式等价于 f 1 a f 2a ，进而可得 a 1 2a ，解
可得 a的取值范围，即可得答案．
【详解】（1）根据题意，当 x 0 时， x 0 ，则 f x x 2 x x2 x，
又由 f x 是 R 上的奇函数，则 f x f x x2 x，
故 f x x2 x x 0 ；
1 2
（2）当 x 0 时， f x x2 x x
1
，则 f x 在 0, 上为增函数，
2 4
又由 f x 是 R 上的奇函数，则 f x 在 ,0 上也为增函数，
由于函数 f x 在 x 0处连续，故 f x 在 R 上为增函数，
由 f 1 a f 2a 0可得 f 1 a f 2a f 2a ，
1
a 1 2a，解得 a .
3
1
因此，实数 a的取值范围是 , .
3
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，
方法是：
（1）把不等式转化为 f g x f h x ；
（2）判断函数 f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要
注意函数奇偶性的区别.
10．函数 y f x 是偶函数且在 ,0 上单调递减， f 2 0，则 f 2 3x 0的解集为（ ）
A． ,0 3 , 3 0, B．
4 4
0, 4C ． D． ,0
4 ,
3 3
【答案】D
【分析】分析可知函数 y f x 在 0, 上为增函数，且有 f 2 f 2 0，将所求不等式变形为
f 3x 2 f 2 ，可得出关于实数 x 的不等式，由此可解得实数 x 的取值范围.
【详解】因为函数 y f x 是偶函数且在 ,0 上单调递减，则该函数在 0, 上为增函数，
且 f 2 f 2 0，
由 f 2 3x 0可得 f 3x 2 f 2 ，
所以， 3x 2 2
4
，可得3x 2 2或3x 2 2，解得 x 0 或 x .
3
因此，不等式 f 2 3x 0的解集为 ,0 4 , .
3
故选：D.
11．画出下列函数的图象，并写出单调区间：
1
(1) f x ；
x 2
(2) f x x 3 x ．
【答案】(1)图象见解析;单调递增区间为 , 2 和 2, ，无单调递减区间
3
(2)
3
图象见解析;单调递增区间为 0, ，单调递减区间为 ,0 和 , 2 2
【分析】（1）根据函数的解析式可作出其图象，即可得单调区间；
x
2 3x, x 0
（2）化简函数的解析式为 f x 2 ，结合二次函数性质可作出其图象，即可得单调区间.
x 3x, x 0
（1）
f x 1画出 的图象如图所示，
x 2
可得其单调递增区间为 , 2 和 2, ，无单调递减区间．
x
2 3x, x 0
（2） f x x 3 x ，作出该函数的图象如图所示，
x
2 3x, x 0
0, 3 3观察图象，知该函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ,0 和 ,
．
2 2
12．已知 g x x x 2 ．
(1)用分段函数的形式表示 g x ；
(2)画出 y g x 的图象，并写出函数 g x 的单调区间和值域．
2x 2, x 0
【答案】(1) g(x)
2, 2 x 0
2x 2, x 2
(2)图象见解析， g x 的单调递增区间为 0, ，单调递减区间为 , 2 ， g x 的值域为 2, ．
【分析】（1）根据绝对值的定义去掉绝对值符号可得；
（2）作出函数图象，由图象得单调区间、值域．
【详解】（1）当 x 0 时 g x x x 2 2x 2，
当 x≤ 2时， g x x x 2 2x 2，
当 2 x 0时， g x x x 2 2，
2x 2, x 0
所以 g(x) 2, 2 x 0 ．
2x 2, x 2
（2） y g x 的图象如图：
由图易得， g x 的单调递增区间为 0, ，单调递减区间为 , 2 ， g x 的值域为 2, ．
