初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 18.2.1 矩形）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·范县期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等
C．两条对角线互相平分 D．两条对角线相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A.两组对边分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
B.两组对角分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
C.两组对角线互相平分是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
D.两条对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质，故符合题意．
故答案为：D
【分析】根据矩形和平行四边形的性质对每个选项一一判断即可。
2．（2022八下·景谷期末）若矩形的邻边长分别是1，2，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】因为矩形的每个角都是直角，所以两相邻边和其中一条对角线构成直角三角形，所以.
【分析】利用勾股定理求出BD的长即可。
3．（2022八下·顺平期末）在矩形中，，对角线交于点O，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】由矩形的性质可得，BD=AC=2OB，然后利用勾股定理求出BD=AC=10，从而求出OB的长.
4．（2022八下·敦化期末）如图，在矩形中，，点M在边上，若平分，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥DM于E，如图，
∵矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=1，BC=AD=2，
∵AE⊥DM于E，
∠AEM=∠AED=90°，
∴∠B=∠AEM，
∵平分，
∴∠AMB=∠AME，
∵AM=AM，
∴△ABM≌△AEM（AAS），
∴AE=AB=1，BM=ME，
在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=，
设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，
在Rt△CDM中，由勾股定理，得
（+x）2=（2-x）2+12，
解得：x=2-，
∴CM=2-（2-）=，
故答案为：D．
【分析】过点A作AE⊥DM于E，利用“AAS”证明△ABM≌△AEM可得AE=AB=1，BM=ME，设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，利用勾股定理可得（+x）2=（2-x）2+12，再求出x的值，即可得到CM的值。
5．（2022八下·抚远期末）如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E点为AD中点，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，，，
在Rt△ABE中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
则△BOE的周长为：，
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质和三角形中位线的性质可求得OE，AE，勾股定理可得BE、AC的边长，最后求得△BOE的周长.
6．（2022八下·涿州期末）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵，
∴AO=DO=
∵∠AOD=∠BOC=120°
∴∠OAD=30°
∵∠OPA=90°
∴OP=
故答案为：A.
【分析】过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.由矩形的性质可得AO=DO=，由对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=120°，利用等要哦三角形的性质及三角形内角和可求出∠OAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OP=.
7．（2022八下·虎林期末）如图，矩形中把矩形沿直线折叠，点落在点处，交于点．若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：解：，
，又，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：C．
【分析】
两直线平行，内错角相等，根据折叠性质证得，等腰三角形腰相等，再根据勾股定理即可求得AD.
8．（2022八下·康巴什期末）如图所示，点是矩形对角线的中点，交于点，若，则的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵点是矩形对角线的中点，，
∴，点为的中点，
在中，由勾股定理，得．
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴的周长为．
故答案为：C．
【分析】先利用中位线的性质求出OE的长，再利用勾股定理求出BE和AC的长，最后利用三角形的周长公式求解即可。
9．（2022八下·西双版纳期末）在中，点是斜边上的中点，连接．若，则（ ）．
A．22° B．68° C．96° D．112°
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D为Rt△ABC，斜边BC的中点，
∴，
∴，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】先求出，再计算求解即可。
10．（2022八下·环翠期末）如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【知识点】矩形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF，
在△DFE与△CFN中，
∴△DFE≌△CFN，
∴EF＝FN，
∴△EBN为等腰三角形，
无法确定△EBN为等边三角形，故②不符合题意；
由等腰三角形的三线合一得：BF⊥EN，
∴BF垂直平分EN，故①符合题意；
∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，
∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，
∴∠EFM＝∠EBF，
∵∠DFE＝∠EFM，
∴∠DFE＝∠FBE，
∴；故③符合题意；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，故④符合题意．
综上所述：①③④都符合题意，
故答案为：B．
【分析】由折叠的性质得出∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，由等腰三角形的性质得出BF垂直平分EN，由两组角对应相等的两个三角形相似，可求，由AAS证出△DFE≌△CFN，得出BE＝3EM，则S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，即可得出结论。
二、填空题(每题3分，共24分）
11．（2022八下·铁东期末）一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 ．
【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形．
故答案是三个角是直角的四边形是矩形．
【分析】根据矩形的判定方法求解即可。
12．（2022八下·安宁期末）如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，E是AB上的一点，将沿CE折叠后，点B恰好与点O重合．若，则折痕CE的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
四边形是矩形，O是矩形ABCD对角线AC的中点，
，，
∵将沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，
∴，，
，
∴是等边三角形，
，
，
在中，，，
，
即，
解得，
故答案为：．
【分析】连接，先求出，可得，，利用勾股定理可得，再求出CE的长即可。
13．（2022八下·曲阳期末）已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝ ．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，点D是AC的中点，
∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴
故答案为：
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得=3cm，从而求出DE=4cm，根据三角形的中位线定理可得，继而得解.
14．（2022八下·无为期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，，，，则矩形ABCD的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OD=OB=OA=OC=，
∵，
∴，
，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴矩形ABCD的面积=，
故答案为：
【分析】先利用割补法求出，再利用矩形的性质可得矩形ABCD的面积=。
15．（2022八下·平谷期末）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC 上，且DFEG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
【答案】∠DFG=90°（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加条件为：∠DFG=90°，理由如下：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵DF∥EG，
∴四边形DFGE是平行四边形，
又∵∠DFG=90°，
∴平行四边形DFGE是矩形，
故答案为：∠DFG=90°（答案不唯一）．
【分析】利用矩形的判定方法求解即可。
16．（2022八下·鞍山期末）如图，CD，BE是的高，点P是BC边的中点，连接DP，EP，若，则EP的长是 ．
【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CD，BE是的高，
∴△BCD和△BCE均为直角三角形，
∵点P是BC边的中点，，
∴BC=2PE=2PD=6，
∴PE=3．
故答案为：3．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得BC=2PE=2PD=6，从而可得PE=3。
17．（2022八下·新余期末）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为 时，P、Q、C、D四点组成矩形．
【答案】2.4s或4s或7.2s
【知识点】矩形的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：根据已知可知：点Q由
在点Q第一次到达点B过程中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
若， 则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形．
设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t，
∴t=12-4t，
∴t=2.4（s），
在点Q由的过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3），
t=4（t-3），
解得：t=4（s），
在点Q再由过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6），
t=12-4（t-6），
解得：t=7.2（s），
在点Q再由的过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9），
t=4（t-9），
解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去．
故答案为：2.4s或4s或7.2s；
【分析】分三种情况：① 在点Q由的过程中，②在点Q再由过程中， ③在点Q再由的过程中，再利用矩形的性质列出方程求解即可。
18．（2022八下·牡丹江期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别是E，F，连接EF，则EF最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；矩形的性质
【解析】【解答】连接A、D两点，
∵，，，
∴四边形AEDF为矩形，
∴EF=AD，
当时，AD长度最小，
∵，
，
，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出四边形AEDF为矩形，再利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2022八下·营口期末）如图，中，，点E是的中点，求的长．
【答案】解：在 中， ，
∵
∴ ，
∵ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵点E是 的中点，
∴ ．
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得。
20．（2022八下·长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E．求证：四边形ADBE是矩形．
【答案】证明：，AD⊥BC，
，，
，
，
平分，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形ADBE是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形ADBE是矩形。
21．（2022八下·南康期末）如图，在矩形中，点E是的中点，交于点F，点M在上，连接，把延翻折．当点A的对应点恰好落在上时，求的度数．
【答案】解：如图，连接，
∵点E是的中点，交于点F，
∴垂直平分，
∴，
由翻折的性质可知，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在矩形中，，
∴.
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，最后利用三角形的内角和求出即可。
22．（2022八下·梧州期末）如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
【答案】证明：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EF∥AC，GH∥AC且EF= AC，GH= AC
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形．
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 易得EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得EF∥AC，GH∥AC且EF= AC，GH= AC，从而可证四边形EFGH是平行四边形，由AC⊥BD可得EF⊥FG，根据矩形的判定定理即证.
23．（2022八下·中山期末）如图，，是的中位线，，连接，，求证：．
【答案】证明∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴，，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形CFDE是矩形，
∵EF、CD是矩形CFDE的两条对角线，
∴EF=CD．
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】先求出四边形CFDE是平行四边形， 再求出 平行四边形CFDE是矩形， 最后证明即可。
24．（2022八下·铁东期末）如图，的对角线相较于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：是矩形；
（2）求AD的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∴AC＝BD，∴是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．又∵BO＝AB＝4，∴BD＝8．在中，，∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用对角线相等的平行四边形是矩形的判定方法求解即可；
（2）先求出BD的长，再利用勾股定理可得，再求出AD的长即可。
25．（2022八下·潮安期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为点G.
（1）填空：如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是 形；
（2）如图2，当点G在矩形ABCD内部时，延长BG交DC边于点F.
求证：BF=AB+DF；
若AD=AB，试探索线段DF与FC的数量关系.
【答案】（1）正方
（2）解：①如图2，连接EF，
在矩形ABCD中，AB=DC，AD=BC，∠A=∠C=∠D=90°，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴BG=AB，EG=AE=ED，∠A=∠BGE=90°
∴∠EGF=∠D=90°，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
∵EG=ED，EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴ DF=FG，
∴ BF=BG+GF=AB+DF；
②不妨假设AB=DC=，DF=，
∴AD=BC=，
由①得：BF=AB+DF
∴BF=，CF=，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
∴，
∴，
∵，
∴，即：CD=DF，
∵CF=DF-DF，
∴3CF=DF.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）解：如图1，四边形ABGE是正方形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
由折叠得：∠BGE=∠A=90°，∠ABE=∠EBG=45°，
∴四边形ABGE是矩形，
∵∠ABE=∠EBG，AE⊥AB，EG⊥BG，
∴AE=EG，
∴矩形ABGE是正方形；
故答案为：正方形；
【分析】（1）先证明四边形ABGE是矩形，再结合AE=EG，即可得到矩形ABGE是正方形；
（2）①连接EF，先证明Rt△EGF≌Rt△EDF，可得DF=FG，再利用线段的和差及等量代换可得BF=BG+GF=AB+DF；
②假设AB=DC=，DF=，可得BF=，CF=，利用勾股定理可得，求出，即CD=DF，再结合CF=DF-DF，可得3CF=DF。
26．（2021八下·阿拉善盟期末）如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：△BDF是等腰三角形．
（2）如图②，过点D作DG//BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
【答案】（1）证明：由折叠性质可得，∠DBC＝∠DBE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴∠DBE＝∠ADB，
∴BF＝DF，
∴△BDF是等腰三角形；
（2）解：①四边形BFDG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，即FD//BG，
又∵DG//BF，
∴四边形BFDG是平行四边形，
又∵DF＝BF，
∴四边形BFDG是菱形，
②∵在Rt△ADB中，AB＝6，AD＝8，
，
∵由①可知四边形BFDG是菱形，
∴GF⊥BD，FG＝2FO，OB＝OD，
∴BO＝5，
设DF＝BF＝x，则AF=AD-DF=8-x，
在Rt△ABF中，
，
即
解得
即，
菱形的面积，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的判定方法求解即可；
（2）①先由四边形ABCD是矩形，证出四边形BFDG是平行四边形，由DF＝BF，即可证出四边形BFDG是菱形；
②在Rt△ADB中，AB＝6，AD＝8，利用勾股定理得出BD的值，由①可知四边形BFDG是菱形，得出BO的值，设DF＝BF＝x，则AF=AD-DF=8-x，利用勾股定理逆定理列出方程求出x的值，再利用菱形的面积求解即可。
1 / 1初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 18.2.1 矩形）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·范县期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等
C．两条对角线互相平分 D．两条对角线相等
2．（2022八下·景谷期末）若矩形的邻边长分别是1，2，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2022八下·顺平期末）在矩形中，，对角线交于点O，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
4．（2022八下·敦化期末）如图，在矩形中，，点M在边上，若平分，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·抚远期末）如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
6．（2022八下·涿州期末）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2022八下·虎林期末）如图，矩形中把矩形沿直线折叠，点落在点处，交于点．若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2022八下·康巴什期末）如图所示，点是矩形对角线的中点，交于点，若，则的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
9．（2022八下·西双版纳期末）在中，点是斜边上的中点，连接．若，则（ ）．
A．22° B．68° C．96° D．112°
10．（2022八下·环翠期末）如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题(每题3分，共24分）
11．（2022八下·铁东期末）一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 ．
12．（2022八下·安宁期末）如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，E是AB上的一点，将沿CE折叠后，点B恰好与点O重合．若，则折痕CE的长为 ．
13．（2022八下·曲阳期末）已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝ ．
14．（2022八下·无为期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，，，，则矩形ABCD的面积为 ．
15．（2022八下·平谷期末）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC 上，且DFEG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
16．（2022八下·鞍山期末）如图，CD，BE是的高，点P是BC边的中点，连接DP，EP，若，则EP的长是 ．
17．（2022八下·新余期末）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为 时，P、Q、C、D四点组成矩形．
18．（2022八下·牡丹江期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别是E，F，连接EF，则EF最小值为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2022八下·营口期末）如图，中，，点E是的中点，求的长．
20．（2022八下·长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E．求证：四边形ADBE是矩形．
21．（2022八下·南康期末）如图，在矩形中，点E是的中点，交于点F，点M在上，连接，把延翻折．当点A的对应点恰好落在上时，求的度数．
22．（2022八下·梧州期末）如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
23．（2022八下·中山期末）如图，，是的中位线，，连接，，求证：．
24．（2022八下·铁东期末）如图，的对角线相较于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：是矩形；
（2）求AD的长．
25．（2022八下·潮安期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为点G.
（1）填空：如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是 形；
（2）如图2，当点G在矩形ABCD内部时，延长BG交DC边于点F.
求证：BF=AB+DF；
若AD=AB，试探索线段DF与FC的数量关系.
26．（2021八下·阿拉善盟期末）如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．
（1）求证：△BDF是等腰三角形．
（2）如图②，过点D作DG//BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A.两组对边分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
B.两组对角分别相等是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
C.两组对角线互相平分是矩形和平行四边形都具有的性质，故不符合题意；
D.两条对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质，故符合题意．
故答案为：D
【分析】根据矩形和平行四边形的性质对每个选项一一判断即可。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】因为矩形的每个角都是直角，所以两相邻边和其中一条对角线构成直角三角形，所以.
【分析】利用勾股定理求出BD的长即可。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】由矩形的性质可得，BD=AC=2OB，然后利用勾股定理求出BD=AC=10，从而求出OB的长.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥DM于E，如图，
∵矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=1，BC=AD=2，
∵AE⊥DM于E，
∠AEM=∠AED=90°，
∴∠B=∠AEM，
∵平分，
∴∠AMB=∠AME，
∵AM=AM，
∴△ABM≌△AEM（AAS），
∴AE=AB=1，BM=ME，
在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=，
设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，
在Rt△CDM中，由勾股定理，得
（+x）2=（2-x）2+12，
解得：x=2-，
∴CM=2-（2-）=，
故答案为：D．
【分析】过点A作AE⊥DM于E，利用“AAS”证明△ABM≌△AEM可得AE=AB=1，BM=ME，设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，利用勾股定理可得（+x）2=（2-x）2+12，再求出x的值，即可得到CM的值。
5．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E点为AD中点，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，，，
在Rt△ABE中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
则△BOE的周长为：，
故答案为：C．
【分析】根据矩形的性质和三角形中位线的性质可求得OE，AE，勾股定理可得BE、AC的边长，最后求得△BOE的周长.
6．【答案】A
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵，
∴AO=DO=
∵∠AOD=∠BOC=120°
∴∠OAD=30°
∵∠OPA=90°
∴OP=
故答案为：A.
【分析】过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.由矩形的性质可得AO=DO=，由对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=120°，利用等要哦三角形的性质及三角形内角和可求出∠OAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OP=.
7．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：解：，
，又，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：C．
【分析】
两直线平行，内错角相等，根据折叠性质证得，等腰三角形腰相等，再根据勾股定理即可求得AD.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵点是矩形对角线的中点，，
∴，点为的中点，
在中，由勾股定理，得．
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴的周长为．
故答案为：C．
【分析】先利用中位线的性质求出OE的长，再利用勾股定理求出BE和AC的长，最后利用三角形的周长公式求解即可。
9．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D为Rt△ABC，斜边BC的中点，
∴，
∴，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】先求出，再计算求解即可。
10．【答案】B
【知识点】矩形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF，
在△DFE与△CFN中，
∴△DFE≌△CFN，
∴EF＝FN，
∴△EBN为等腰三角形，
无法确定△EBN为等边三角形，故②不符合题意；
由等腰三角形的三线合一得：BF⊥EN，
∴BF垂直平分EN，故①符合题意；
∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，
∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，
∴∠EFM＝∠EBF，
∵∠DFE＝∠EFM，
∴∠DFE＝∠FBE，
∴；故③符合题意；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，故④符合题意．
综上所述：①③④都符合题意，
故答案为：B．
【分析】由折叠的性质得出∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，由等腰三角形的性质得出BF垂直平分EN，由两组角对应相等的两个三角形相似，可求，由AAS证出△DFE≌△CFN，得出BE＝3EM，则S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，即可得出结论。
11．【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形．
故答案是三个角是直角的四边形是矩形．
【分析】根据矩形的判定方法求解即可。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
四边形是矩形，O是矩形ABCD对角线AC的中点，
，，
∵将沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，
∴，，
，
∴是等边三角形，
，
，
在中，，，
，
即，
解得，
故答案为：．
【分析】连接，先求出，可得，，利用勾股定理可得，再求出CE的长即可。
13．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，点D是AC的中点，
∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴
故答案为：
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得=3cm，从而求出DE=4cm，根据三角形的中位线定理可得，继而得解.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OD=OB=OA=OC=，
∵，
∴，
，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴矩形ABCD的面积=，
故答案为：
【分析】先利用割补法求出，再利用矩形的性质可得矩形ABCD的面积=。
15．【答案】∠DFG=90°（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加条件为：∠DFG=90°，理由如下：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵DF∥EG，
∴四边形DFGE是平行四边形，
又∵∠DFG=90°，
∴平行四边形DFGE是矩形，
故答案为：∠DFG=90°（答案不唯一）．
【分析】利用矩形的判定方法求解即可。
16．【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵CD，BE是的高，
∴△BCD和△BCE均为直角三角形，
∵点P是BC边的中点，，
∴BC=2PE=2PD=6，
∴PE=3．
故答案为：3．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得BC=2PE=2PD=6，从而可得PE=3。
17．【答案】2.4s或4s或7.2s
【知识点】矩形的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：根据已知可知：点Q由
在点Q第一次到达点B过程中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
若， 则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形．
设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t，
∴t=12-4t，
∴t=2.4（s），
在点Q由的过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3），
t=4（t-3），
解得：t=4（s），
在点Q再由过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6），
t=12-4（t-6），
解得：t=7.2（s），
在点Q再由的过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9），
t=4（t-9），
解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去．
故答案为：2.4s或4s或7.2s；
【分析】分三种情况：① 在点Q由的过程中，②在点Q再由过程中， ③在点Q再由的过程中，再利用矩形的性质列出方程求解即可。
18．【答案】
【知识点】垂线段最短；矩形的性质
【解析】【解答】连接A、D两点，
∵，，，
∴四边形AEDF为矩形，
∴EF=AD，
当时，AD长度最小，
∵，
，
，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出四边形AEDF为矩形，再利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
19．【答案】解：在 中， ，
∵
∴ ，
∵ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵点E是 的中点，
∴ ．
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得。
20．【答案】证明：，AD⊥BC，
，，
，
，
平分，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形ADBE是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形ADBE是矩形。
21．【答案】解：如图，连接，
∵点E是的中点，交于点F，
∴垂直平分，
∴，
由翻折的性质可知，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在矩形中，，
∴.
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，最后利用三角形的内角和求出即可。
22．【答案】证明：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EF∥AC，GH∥AC且EF= AC，GH= AC
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形．
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 易得EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得EF∥AC，GH∥AC且EF= AC，GH= AC，从而可证四边形EFGH是平行四边形，由AC⊥BD可得EF⊥FG，根据矩形的判定定理即证.
23．【答案】证明∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴，，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形CFDE是矩形，
∵EF、CD是矩形CFDE的两条对角线，
∴EF=CD．
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】先求出四边形CFDE是平行四边形， 再求出 平行四边形CFDE是矩形， 最后证明即可。
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∴AC＝BD，∴是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．又∵BO＝AB＝4，∴BD＝8．在中，，∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用对角线相等的平行四边形是矩形的判定方法求解即可；
（2）先求出BD的长，再利用勾股定理可得，再求出AD的长即可。
25．【答案】（1）正方
（2）解：①如图2，连接EF，
在矩形ABCD中，AB=DC，AD=BC，∠A=∠C=∠D=90°，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴BG=AB，EG=AE=ED，∠A=∠BGE=90°
∴∠EGF=∠D=90°，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
∵EG=ED，EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴ DF=FG，
∴ BF=BG+GF=AB+DF；
②不妨假设AB=DC=，DF=，
∴AD=BC=，
由①得：BF=AB+DF
∴BF=，CF=，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
∴，
∴，
∵，
∴，即：CD=DF，
∵CF=DF-DF，
∴3CF=DF.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）解：如图1，四边形ABGE是正方形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
由折叠得：∠BGE=∠A=90°，∠ABE=∠EBG=45°，
∴四边形ABGE是矩形，
∵∠ABE=∠EBG，AE⊥AB，EG⊥BG，
∴AE=EG，
∴矩形ABGE是正方形；
故答案为：正方形；
【分析】（1）先证明四边形ABGE是矩形，再结合AE=EG，即可得到矩形ABGE是正方形；
（2）①连接EF，先证明Rt△EGF≌Rt△EDF，可得DF=FG，再利用线段的和差及等量代换可得BF=BG+GF=AB+DF；
②假设AB=DC=，DF=，可得BF=，CF=，利用勾股定理可得，求出，即CD=DF，再结合CF=DF-DF，可得3CF=DF。
26．【答案】（1）证明：由折叠性质可得，∠DBC＝∠DBE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴∠DBE＝∠ADB，
∴BF＝DF，
∴△BDF是等腰三角形；
（2）解：①四边形BFDG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，即FD//BG，
又∵DG//BF，
∴四边形BFDG是平行四边形，
又∵DF＝BF，
∴四边形BFDG是菱形，
②∵在Rt△ADB中，AB＝6，AD＝8，
，
∵由①可知四边形BFDG是菱形，
∴GF⊥BD，FG＝2FO，OB＝OD，
∴BO＝5，
设DF＝BF＝x，则AF=AD-DF=8-x，
在Rt△ABF中，
，
即
解得
即，
菱形的面积，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的判定方法求解即可；
（2）①先由四边形ABCD是矩形，证出四边形BFDG是平行四边形，由DF＝BF，即可证出四边形BFDG是菱形；
②在Rt△ADB中，AB＝6，AD＝8，利用勾股定理得出BD的值，由①可知四边形BFDG是菱形，得出BO的值，设DF＝BF＝x，则AF=AD-DF=8-x，利用勾股定理逆定理列出方程求出x的值，再利用菱形的面积求解即可。
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