湘教版八年级数学下册2.6.1 菱形的性质课件(共16张PPT)

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本课内容
本节内容
2.6.1
湘教版数学 八年级下册
矩形是如何由平行四边形得到的？
两组对边分别平行
一个角是直角
平行四边形
矩形
四边形
O
D
C
B
A
B
O
D
A
C
D
C
B
A
把平行四边形的一个角变成直角，得到矩形。
矩形性质:
1．矩形是平行四边形的特例，所以它具备平行四边形的一切性质。
2．矩形的四个角都是直角。
对角线相等且互相平分.（特殊性）
下列图案(或物体)中包含的平行四边形有什么特点？
我们又知道了一类特殊的平行四边形
-------菱形
它们的邻边相等.
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
AB=BC
四边形ABCD是菱形
ABCD
D
C
B
A
平行四边形
菱形
一组邻边相等
菱形也是特殊的平行四边形。
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：
A
B
D
C
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
探究性质，尝试证明
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA
菱形的四条边都相等。对角相等。对角线互相平分。
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB 相交于点O. 对角线AC、DB 的位置关系怎样？你的理由是什么？
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ DA=DC.
∴ 点D在线段AC的垂直平分线上.
又点O为线段AC的中点，
∴ 直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线，
∴ AC⊥DB.
∠ADB=∠ CDB 即：BD平分∠ADC和∠ ABC
同理：AC平分∠DAB和∠ DCB
菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。
于是得到菱形的性质：
由上述定理可以得出：菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
已知四边形ABCD是菱形，对角线交于点O.
相等的线段： .
相等的角： .
等腰三角形有： 。
直角三角形有： 。
全等三角形有： 。
A
B
C
D
O
a
b
能利用对角线 计算菱形的面积吗
A
B
C
D
O
a
b
∴S菱形=2S ABD
菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半.
S菱形=2S ABD=2× a× b= ab
1
2
1
2
1
2
∵△ABD≌△BCD
例1 如图，菱形ABCD的两条对角线AC， BD的长度分别为4cm，3cm，求菱形ABCD的面积和周长.
解：菱形ABCD的面积为：
在Rt ABO中，OA=2cm，OB=1.5cm，
AD2=OA2+OD2=6.25 AD=2.5cm
因此，菱形ABCD的周长为：
4×2.5=10(cm).
例2.在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6。求菱形的边长和对角线AC的长.
∴AB=BD=6
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD
∠BAD=2∠BAC=60°
∴ ABD是等边三角形.
由勾股定理，得：AO=3
√
3
AC=2AO=6
√
3
A
B
C
D
O
例3：如图，四边形ABCD是周长为42cm的菱形，对角线长BD=10cm，求
（1）对角线AC的长 （2）菱形ABCD的面积
解：∵菱形的周长=42cm，
∴AD=13，
又BD=10，∴ OD=5，
由勾股定理，得：AO=12
∴AC=24，
∴
F
E
D
C
B
A
【思想方法】有关菱形的计算、证明，要抓住菱形中等腰三角形、直角三角形和全等三角形来解决问题。
例4.已知：在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E，F. 求证：AE=AF.
证明：连接AD，
∴∠BAD=∠CAD
又∵ ∠B=∠C， AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠BAE=∠CAF
∴∠EAD=∠FAD
AD=AD
∴ ADE≌ ADF
∴AE=AF
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是____.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60°，则∠BAC＝______.
3cm
5cm
60°
60°
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长 。
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是 。
A
B
E
C
F
D
16
5.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD的周长是 。
6.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4cm.那么，菱形ABCD的面积是 ，对角线BD的长是 .
√
3
8 cm2
√
3
4 cm
7.已知:在菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF.
求证:（1）△ABE≌△ADF;
（2） ∠AEF=∠AFE
F
E
D
C
B
A
（1）由SAS易证得。
（2）由（1）得：AE=AF，即△AEF是的腰三角形。
8.在菱形ABCD中，CE⊥AB于E，已知∠BCE=30°，CE=3cm.求菱形ABCD的周长和面积.
E
D
C
B
A
设BE=x，则BC=2x，由勾股定理得：BC=
2 cm
√
3
√
3
8 cm
周长=
面积=BC×CE=
√
3
6 cm2
9.如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠BAD＝1200。对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积。
10.已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
O
AC=4cm
√
3
4 cm
BD=
√
3
8 cm2
S=
∠ABC=60°
BD=1
√
3
cm
AC=
cm2
S=
√
3
2
菱形 边 角 对角线 对称性 面积
性
质
对边
平行
四条边都相等
中心对称图形
轴对称图形
对角相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
每一条对角线平分一组对角
用列表形式小结出菱形的性质
你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
作业：p70 A 1、2 B 6、7