湘教版八年级数学下册2.6.2 菱形的判定 课件(共17张PPT)

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本课内容
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2.6.2
菱形的判定
湘教版数学 八年级下册
1.菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：
菱形性质 边 角 对角线
对边平行
四边相等
对角相等邻角互补
对角线互相平分、互相垂直且平分每一组对角
知识回顾
根据定义得：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
A
B
C
D
∵ 在□ABCD中，AB=BC
∴ □ABCD是菱形。
如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？根据什么？
还有什么方法吗？
新知探究
如图，用4 支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？
把上述问题抽象出来就是：
四条边都相等的四边形是菱形吗？
下面我们来证明这个结论.
如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
∵ AD = BC， AB = DC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
又 AB = AD，
∴ 四边形ABCD是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
由此得到菱形的判定定理1：
结论
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形
当两根木条互相垂直时，四边形就变成菱形。
用几何语言怎样描述？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？
O
A
C
B
D
你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？
画两条互相垂直的线段AC和BD，垂足是点O，取OA=OC，OB=OD. 连结AB，BC，CD，DA（如图），则四边形ABCD是菱形。
如图，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直，
疑问升级
上述问题抽象出来就是：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
我们来进行证明.
又由于DB是线段AC的垂直平分线，
由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.
因此，DA=DC.
从而平行四边形ABCD是菱形.
结论
由此得到菱形的判定定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
对角线互相 的四边形是菱形.
垂直且平分
例1.已知：如图，在四边形ABCD 中，线段BD
垂直平分AC，且相交于点O，∠1 =∠2.
求证：四边形ABCD是菱形.
提示： 由线段的垂直平分线，
得：BA=BC=DA=DC.
例2.如图，在平行四边形ABCD中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求AB的长.
提示： 由勾股定理，得：△DAO是直角三角形.即：AC⊥BD
从而得：平行四边形ABCD是菱形.
∴ AB=AD=5 .
例题讲解
例3.如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P(A点除外)，过P点作EF∥AB，分别交AC、BC于E、F点，作PM∥AC，交AB于M点，连结ME.
（1）求证：四边形AEPM为菱形.
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边EFBM面积的一半？
解：（1）∵EF∥AB，PM∥AC，
∴四边形AEPM为平行四边形.
∴四边形AEPM为菱形.
又∵ ∠BAD=∠EPA，
∴ ∠CAD=∠EPA，
∴EA=EP.
∵ AB=AC，AD平分∠CAB，
∴ ∠CAD=∠BAD，
解：（2）P为EF中点时，
N
∵四边形AEPM为菱形， ∴ AD⊥EM，∵AD⊥BC， ∴ EM∥BC.
又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形.
作EN ⊥ AB于N，
EP= EF
1
2
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？
例4.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为
怎样的四边形.并证明你的结论.
证明：连结AC，BD.
∵ PQ为△ABC的中位线，
∴ 四边形PQMN为平行四边形.
在△AEC和△DEB中，AE=DE，EC=EB，
∠AEC=∠DEB= 180°- 60° = 120° ，
∴ △AEC≌△DEB.
∴ AC=DB. ∴ PQ=PN. ∴ □PQMN为菱形.
∴PQ AC
∥
=
2
1
同理 ∴MN PQ
MN AC
∥
=
2
1
∥
=
1.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等 的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
2.菱形两条对角线长为6和8，菱形的边长为 ，
面积为 。
5
24
3.菱形的面积为96，对角线AC长为16 ，此菱形的边长为 。
10
随堂练习
4.菱形对角线的平方和等于一边平方的 （ ）
A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
C
5.把两张等宽的纸条如图交叉重叠在一起，
则重叠部分ABCD的形状是（ ）
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.任意四边形
A
C
D
B
C
（1）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O 作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N .求证：四边形BNDM是菱形.
6、解答题
提示：证明 △ODM≌△OBN.NB=MD.
又 MD∥BN，MN⊥BD，结论得证。
（2）如图，AD∥BC，BD垂直平分AC，四边形ABCD一定是菱形吗？若是，请说明理由。
C
D
B
A
O
┐
) 1
2 (
提示:△AOD≌△COB AD=BC
（3）已知：□ABCD 的对角线AC的垂直平分线与边AD 、BC分别交于E、F
求证：四边形AFCE是菱形。
分析: （1）利用定义判定
（2） 由已知可知
OA=OC，EF⊥AC.
（3）利用四边相等，你会吗？
（4）如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，证明：CE⊥DF.
A
B
F
N
D
M
E
C
提示：证明四边形DMNC是菱形
（5）已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD、PC相交于点P。 (1)猜想：四边形PCOD是什么特殊的四边形？证明你的猜想。
（2）PO与CD有怎样的关系？
四边形PCOD是菱形。
PO⊥CD，且互相平分。
（6）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G．
求证：四边形EGFC为菱形．
G
F
E
D
C
B
A
（7）如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。
F
E
D
C
B
A
易得：CE∥FG，再证△ACE≌ △AGE
∠B=∠ACD=∠AGE ，EG∥CF，
四边形EGFC是平行四边形，又CE=EG，
四边形EGFC为菱形．
AC=AF=EF=CE
菱形常用的判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
有四条边相等的四边形是菱形.
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
对角线互相垂直且平分
作业：P70 A 3、4、5 B 8
知识总结