湘教版八年级下册2.4 三角形的中位线（第1课时） 课件(共15张PPT)

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本课内容
本节内容
2.4
第1课时
湘教版数学 八年级下册
怎样将一张三角形纸片剪成两部分，
使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
1.剪一个三角形，记为△ABC
2.分别取AB、AC的中点D、E，连接DE
3.沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E旋转180°得四边形DBCF.
A
B
C
F
D
·
E
·
四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？
做一做
A
B
C
D
E
F
四边形DBCF是平行四边形。
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
图中线段DE 是连接△ABC两边的中点D、E所得的线段，称此线段DE为△ABC的中位线。
E
D
C
B
A
思考：1.三角形有几条中位线？
2.三角形中位线与中线有什么区别？
A
B
C
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段
三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段
问题1.三角形的中位线和中线区别：
理解三角形的中位线定义的两层含义:
② ∵ DE为△ABC的中位线
① ∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ABC的中位线
∴ D、E分别为AB、AC的中点
一个三角形共有三条中位线。
D
E
F
三角形的一条中线，将三角形分成面积相等的两个三角形。
问题2.三角形中位线有什么性质？
三角形的中位线有什么性质？
如图，EF是△ABC的一条中位线.
数量关系：量一量，EF，BC的长
各是多少？你有什么猜想？
G
三角形中位线平行第三边，且等于第三边的一半。
位置关系：你能从图中猜想
EF∥BC 吗？
数量关系？位置关系？
我猜测EF∥BC， EF= BC.
2
1
这些猜想正确吗？
我们来证明：
如图，将△AEF绕点F旋转180°，
至△CGF的位置。
设点E的像为点G，易知点A的像是点C，点F的像还是点F，且E， F，G在一条直线上.
由旋转不变性得：
CG=AE=BE，GF=EF，∠G=∠AEF.
则 AE∥CG. (内错角相等，两直线平行)
即 BE∥CG.
又 BE=CG，
所以四边形BEGC是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
所以EG=BC，EG∥BC.
(平行四边形的对边平行且相等)
又因为EF=GF，
所以 EF = EG = BC，EF∥BC.
1
2
1
2
结论：
三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半
几何表示：
∵EF是△ ABC的中位线
∴EF= BC，EF∥BC.
2
1
解：连结AC.
由于EF是△ABC的一条中位线，
由于MH是△ DAC的一条中位线，
于是EF∥MH，且EF=MH.
所以四边形EFHM是平行四边形.
例1 如图，顺次连结四边形ABCD各边中点E，F，H，M，得到的四边形EFHM是平行四边形吗？为什么？
顺次连结四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。
因此MH∥AC，且MH= AC
2
1
因此EF∥AC，且EF= AC.
2
1
∵点E、F分别是OB、OC的中点，EF是 OBC的中位线。
例2 .□ABCD的对角线相交于点O.点 E、F、P分别为OB、OC、AD的中点，且AC=2AB.求证：EP=EF.
证明：连接AE，
∴AD=BC，AC=2OA=2OC. ∵AC=2AB，∴OA=AB.
∵E为OB中点，∴AE⊥BD ∴∠AED=90°.
即： AED是直角三角形。
1
2
∴EF= BC. ∴EP=EF．
A
B
C
D
O
E
F
P
∵P为AD中点 ∴EP= AD.
2
1
∵ BC=AD，∴ EP= BC.
1
2
∵四边形ABCD是平行四边形，
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠CDE=60°，则∠B= ，
（2）若BC=8cm，则DE= cm，
60°
4
图1
A
B
C
D
E
2.如图2：在△ABC中，D、E、F分别是各边中点AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，则△DEF的周长= cm
图2
B
A
C
D
E
F
12
26
做完2、3题后，你有何体会 ？
3.已知三角形的3条中位线分别是3，4，6 则这个三角形的周长是 。
4.如图3，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是边DC的中
点，N 是边AB 的中点，则△MPN
是 三角形？
等腰
（为什么？）
D
C
B
A
P
N
M
图3
5.已知： 如图，DE，EF是 ABC的两条中位线.
求证:四边形BFED是平行四边形.
D
B
C
F
E
A
MP=NP= AD
1
2
DE∥BF，
DE= BC=BF.
1
2
6.如图，△ABC的边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F.
（1）四边形AFDE是平行四边形吗？
为什么？
可证：DE=AF，DF=AE.
∴四边形AFDE是平行四边形.
（2）四边形AFDE的周长等于AB+AC吗？
为什么？
=AB+AC
DE+AF+DE+AE= AB+ AB+ AC+ AC
2
1
2
1
2
1
2
1
7.如图，在△ABC中，点D在BC上，且CD=AC，CE⊥AD垂足为E，点F是AB的中点。求证：EF∥BC
E
A
B
C
D
F
如果已知AC=10，BC=14，求EF的长。
8.已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别以AB，AC为边向外侧作等边△ABM和等边△CAN，D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，FE，
求证：DE=FE
A
N
M
F
E
D
C
B
证得△ABN≌△ACM，
从而得MC=BN，再证得DE=FE。
提示：连接MC，BN
由条件得：点E是AD的中点。EF是
△ABD的中位线，结论得证。
EF=2
为了测量这个池塘的宽AB，在池塘一侧的平地上选一点C，再分别找出线段AC，BC的中点D、E，若测出DE的长，就能求出池塘AB的长，你知道为什么吗？
A
B
D
E
C
仅给一把有刻度的卷尺，能否测出一个池塘的宽AB？(注意﹕不能直接测量)
DE是△ABC的中位线。
AB=2DE
本节课学习了三角形的中位线的概念及其性质.
定义 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
2、若题中含有中点或隐含中点的条件时，常构造三角形中位线解决问题。
1、利用三角形的中位线是证明线段的平行和倍分问题的方法之一。
3、在解决四边形的有关问题时，常常连接对角线把四边形转化为三角形解决。
利用性质解决问题：
作业：p57 A 1、2、3