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初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 18.2.2 菱形）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·曹妃甸期末）下列命题中真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的四条边相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．菱形的对角线互相垂直
2．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2，菱形的面积为（ ）
A．4 B． C．2 D．3
3．（2022八下·铁东期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，E是CD的中点，则OE的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
4．（2022八下·顺平期末）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A、B的坐标分别为，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·潜山期末）菱形中，对角线与的长分别为6和8，则该菱形的周长为（ ）
A． B．20 C． D．40
6．（2022八下·潮安期末）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．40cm B．30cm C．20cm D．10cm
7．（2022八下·临汾期末）在菱形ABCD中，相邻两内角度数之比为1：2，若它较短的对角线长度为4cm，则它的面积是（ ）
A．16cm B． C． D．
8．（2022八下·虎林期末）如图，菱形中，，于，交对角线于，过作于．若的周长为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．菱形ABCD中，已知AC=6，BD=8，则此菱形的周长为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
10．（2022八下·潜山期末）如图，周长为24的菱形中，，点E，F分别是边上的动点，点P为对角线上一动点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每题3分，共24分）
11．（2022八下·宁安期末）如图，要使平行四边形ABCD为菱形，还需添加的一个条件是 ．（写出一个即可）．
12．（2022八下·巴彦期末）若一个菱形的两条对角线长分别为10和24，则这个菱形的边长是 ．
13．（2022八下·巴彦期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为AC上一点，连接DE，AB＝CE＝5AE，BD＝8，则DE的长为 ．
14．（2022八下·抚远期末）如图，在菱形中，是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则 °．
15．（2020八下·许昌期末）如图，
正方形 的面积为 ， 菱形 的面积为 ， 则 的长是 .
16．（2022八下·曲靖期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为(8，4)，则C点的坐标为 ．
17．（2022八下·浙江）如图所示，在菱形ABCD 中，∠C=108°，AD的垂直平分线交对角线 BD于点P，垂足为E，连结AP，则∠APB= .
18．（2022八下·广饶期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与点B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于 ．
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2022八下·新余期末）如图，在四边形ABCD中，，对角线BD垂直平分对角线AC；垂足为点O．求证：四边形是菱形．
20．（2022八下·南关期末）如图，菱形的对角线相交于点O，垂直平分，垂足为点E，求的大小．
21．（2022八下·阿荣旗期末）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD，
求证：四边形OCED是菱形．
22．（2020八下·牡丹江期末）如图，在 中， ，点D是 的中点，点E是 的中点，过点A作 交 的延长线于点F，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求 的长．
23．（2020八下·温岭期末）如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF.
（1）求证:四边形AFCE是平行四边形；
（2）若□AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长.
24．（2022八下·威县期末）如图，在中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，交BC于点G．
（1）证明：四边形EFGB是菱形；
（2）若，求DF的长度．
25．（2022八下·巴彦期末）在四边形ABCD中，ADBC，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CDE面积相等的三角形（CDE除外）．
26．（2022八下·涿州期末）如图1，在四边形ABCD中，ABDC，AB=DC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）求证：∠DAC=∠DCA；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）如图2，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．若AB=，BD=2，求OE的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故A是假命题；
矩形的四条边不一定相等，故B是假命题；
对角线相等的四边形不一定是矩形，故C是假命题；
菱形的对角线互相垂直，故D是真命题；
故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的判定与性质分别判断即可.
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2cm，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
又∵菱形的边长和一条对角线的长均为2，
∴AB=AD=BD=2，
∴OB=1，
∴OA==，
∴AC=2，
∴菱形的面积为2，
故选C．
【分析】由四边形ABCD是菱形，可得菱形的四条边都相等AB=BC=CD=AD，菱形的对角线互相平分且相等即AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，又因为菱形的边长和一条对角线的长均为2，易求得OB=1，则可得AC的值，根据菱形的面积等于积的一半，即可求得菱形的面积．
3．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OC=OA==4， OB=OD==3， ∠DOC=90°，
∴CD==5，
∵点E为AB中点，O为AC的中点
∴OE是RtCOD斜边上的中线，
∴OE=CD=2.5．
故答案为：A
【分析】根据菱形性质对角线互相平分且垂直，可得CD，OE是Rt△COD斜边上的中线即可解得．
4．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】∵点A、B的坐标分别为，
∴
∵四边形是菱形
∴，
∵
∴
∴
故答案为：D．
【分析】由A、B的坐标可求出AB=5，，由菱形的性质可得，，然后根据勾股定理求出DO的长，即得点C坐标.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如下图：
四边形是菱形
，，
这个菱形的周长
故答案为：B．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用菱形的周长公式计算即可。
6．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵M是AB边的中点，
∴AB=2OM=10，
∴菱形ABCD的周长为10×4=40．
故答案为：A.
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2OM=10，再利用菱形的周长公式计算即可。
7．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中相邻两内角的度数之比为1：2，BD= 4cm，
∴，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，AD=BD=4cm，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD=2cm，
∴（cm），
∴．
故答案为：C．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，先利用勾股定理求出DE的长，再利用菱形的面积公式求出答案即可。
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，AC平分∠DAB，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在Rt△DEF中，，
∵的周长为，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质，四条边相等，对边平行，对角线平分角，求得菱形的∠DAB的度数，直角三角形中30°，所对的直角边是斜边的一半，根据 的周长为 ，求得对角线长，对角线乘积即可求得菱形的面积。
9．【答案】C
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O．则AC⊥BD．
则由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4．
所以，在直角△ABO中，由勾股定理得AB==5．
则此菱形的周长是4AB=20．
故选C．
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
10．【答案】A
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，过，垂足为，交于点，
当点与点重合，过作的垂线并延长交于点，有最小值，最小值．
菱形的周长为24，
，，
是等边三角形，
，
，垂足为，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：A．
【分析】连接AC，交BD于点O，过，垂足为，交BD于点P，先证明是等边三角形，求出，再利用勾股定理求出AE'的长即可。
11．【答案】等（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：添加条件，
根据邻边相等的平行四边形是菱形．
故答案为：．
【分析】根据菱形的判定定理添加条件即可。
12．【答案】13
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，BD＝10，AC＝24，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD，
∴AB＝＝13．
故答案为：13．
【分析】利用菱形的性质和勾股定理计算求解即可。
13．【答案】2
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AB＝CD，DO＝BO，AC⊥BD，
设AE＝x，则AB＝CE＝5x，
∴CO＝AC＝3x，
在Rt△COD中，由勾股定理得，OD＝4x，
∴4x＝4，
∴x＝1，
∴OD＝4，AE＝1，CE＝5，
∴OE＝2，
在Rt△ODE中，由勾股定理得，
DE＝＝，
故答案为：2．
【分析】根据题意先求出OD＝4，AE＝1，CE＝5，再利用勾股定理计算求解即可。
14．【答案】40
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，AB∥DC，∠ABF=∠CBF，
∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF=∠BCF，
∵∠AED=40°，AD∥BC，
∴∠AED=∠BAF，
∴∠BCF=40°，
故答案为：40．
【分析】根据菱形的性质对边平行，邻边相等，对角线是角平分线，证得△ABF≌△CBF（SAS），∠BAF=∠BCF，直线平行内错角相等即可证得.
15．【答案】2.5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，如下图所示：
∵正方形ABCD的面积为8，
∴AD= ，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理可知：
∵菱形AECF的面积为5，
∴ ×EF×AC=5，
解得EF=2.5.
故答案为：2.5.
【分析】连接AC，由正方形ABCD的面积求出AC的长，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半求出EF的长即可.
16．【答案】（3，4）
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=AB=BC，BC∥OA，
设AB=x，则OA=x，AD=8﹣x，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
即x2=（8﹣x）2+16，
解得：x=5，
∴BC=5，
∴C点的坐标为（3，4）．
故答案为（3，4）．
【分析】设AB=x，则OA=x，AD=8﹣x，利用勾股定理可得x2=（8﹣x）2+16，求出x的值，即可得到点C的坐标。
17．【答案】72
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴∠C=∠DAB=108°，AD=AB
∴∠ADP=（180°-108°）÷2=36°，
∵AD的垂直平分线交对角线 BD于点P，
∴AP=DP，
∴∠ADP=∠DAP=36°，
∴∠APB=∠ADP+∠DAP=36°+36°=72°.
故答案为：72°.
【分析】利用菱形的性质可证得∠C=∠DAB=108°，AD=AB，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ADP的度数；再利用线段垂直平分线的性质可证得AP=DP，即可求出∠DAP的度数；然后利用三角形的外角的性质求出∠APB的度数.
18．【答案】4.8
【知识点】垂线段最短；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，
四边形是菱形，
四边形为矩形，
当时，有最小值，
此时
的最小值为，
故答案为：4.8．
【分析】利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
19．【答案】证明：∵BD是AC的垂直平分线，
∴BA= BC， AO= OC， BO⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵ AD // BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB= AD，
∴AD= BC，
∵ AD // BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再结合BD⊥AC，即可得到四边形ABCD是菱形。
20．【答案】解：在菱形ABCD中，有，且，
∵DE垂直平分BC，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即∠ABC的度数为120°．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质
【解析】【分析】先证明为等边三角形，可得，再利用平行线的性质可得。
21．【答案】证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD=AC=BD
∴四边形OCED是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】先求出 四边形OCED是平行四边形，再利用菱形的判定方法证明即可。
22．【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠BDE，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（AAS），
∴AF=BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD= BC=BD=CD，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形ADBF是菱形，
∴DF⊥AB，BD=BF=5，
∴BE= ，
∴AB=2BE=8．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证明△AEF≌△BED，可得AF=BD，由AF∥BC，可证四边形ADBF是平行四边形， 根据直角三角形斜边中线的性质得出AD= BC=BD=CD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即证；
（2）根据菱形的性质得出DF⊥AB，BD=BF=5，AB=2BE，再利用勾股定理求出BE= ，从而求出结论.
23．【答案】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵DE=BF，
∴DC-DE=AB-BF即EC=AF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=FC
设AF=FC=x，则BF=6-x，
在Rt△BCF中，
FC2=BC2+BC2
∴x2=22+（6-x）2
解之：x=
答：菱形AFCE的边长为.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质易证DC∥AB，DC=AB，再证明DE=BF，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论。
（2）利用菱形的性质可得到AF=FC，设AF=FC=x，则BF=6-x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值。
24．【答案】（1）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，∵，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵∠AFB=90°，点E是AB的中点，
∴FE=BE=AB，∴四边形EFGB是菱形；
（2）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=×19=
在△ABF中，∵∠AFB=90°，∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=5，BF=12， ∴AB=13
∴EF=AB=×13= ，
∴DF=DE－EF=－=3
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用菱形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 DE是△ABC的中位线， 再求出 AF2+BF2=AB2， 最后计算求解即可。
25．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，∴ABCD为平行四边形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∴图中所有与△CDE 面积相等的三角形有BCD，ABD，ACD，ABC．
【知识点】三角形的面积；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用菱形的判定方法证明即可；
（2）先求出 AC∥DE， 再求出 BC＝AD＝CE， 最后求解即可。
26．【答案】（1）证明：∵ABDC，∴∠OAB=∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA；
（2）证明：∵∠DAC=∠DCA，AB=AD，∴CD=AD=AB，∵ABDC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴□ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∵OA=OC，OB=OD，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA==OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，由勾股定理得：，∴OE=OA=2．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠OAB=∠DCA，由角平分线的定义可得∠OAB=∠DAC，根据等量代换即得结论；
（2） 先证四边形ABCD是平行四边形，结合AD=AB，根据菱形的判定即证；
（3） 先求出OE=OA==OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA的长，即得结论.
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初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 18.2.2 菱形）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·曹妃甸期末）下列命题中真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的四条边相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．菱形的对角线互相垂直
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故A是假命题；
矩形的四条边不一定相等，故B是假命题；
对角线相等的四边形不一定是矩形，故C是假命题；
菱形的对角线互相垂直，故D是真命题；
故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的判定与性质分别判断即可.
2．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2，菱形的面积为（ ）
A．4 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2cm，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
又∵菱形的边长和一条对角线的长均为2，
∴AB=AD=BD=2，
∴OB=1，
∴OA==，
∴AC=2，
∴菱形的面积为2，
故选C．
【分析】由四边形ABCD是菱形，可得菱形的四条边都相等AB=BC=CD=AD，菱形的对角线互相平分且相等即AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，又因为菱形的边长和一条对角线的长均为2，易求得OB=1，则可得AC的值，根据菱形的面积等于积的一半，即可求得菱形的面积．
3．（2022八下·铁东期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，E是CD的中点，则OE的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OC=OA==4， OB=OD==3， ∠DOC=90°，
∴CD==5，
∵点E为AB中点，O为AC的中点
∴OE是RtCOD斜边上的中线，
∴OE=CD=2.5．
故答案为：A
【分析】根据菱形性质对角线互相平分且垂直，可得CD，OE是Rt△COD斜边上的中线即可解得．
4．（2022八下·顺平期末）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A、B的坐标分别为，点D在y轴上，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】∵点A、B的坐标分别为，
∴
∵四边形是菱形
∴，
∵
∴
∴
故答案为：D．
【分析】由A、B的坐标可求出AB=5，，由菱形的性质可得，，然后根据勾股定理求出DO的长，即得点C坐标.
5．（2022八下·潜山期末）菱形中，对角线与的长分别为6和8，则该菱形的周长为（ ）
A． B．20 C． D．40
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如下图：
四边形是菱形
，，
这个菱形的周长
故答案为：B．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用菱形的周长公式计算即可。
6．（2022八下·潮安期末）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．40cm B．30cm C．20cm D．10cm
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵M是AB边的中点，
∴AB=2OM=10，
∴菱形ABCD的周长为10×4=40．
故答案为：A.
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2OM=10，再利用菱形的周长公式计算即可。
7．（2022八下·临汾期末）在菱形ABCD中，相邻两内角度数之比为1：2，若它较短的对角线长度为4cm，则它的面积是（ ）
A．16cm B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中相邻两内角的度数之比为1：2，BD= 4cm，
∴，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，AD=BD=4cm，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD=2cm，
∴（cm），
∴．
故答案为：C．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，先利用勾股定理求出DE的长，再利用菱形的面积公式求出答案即可。
8．（2022八下·虎林期末）如图，菱形中，，于，交对角线于，过作于．若的周长为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，AC平分∠DAB，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在Rt△DEF中，，
∵的周长为，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质，四条边相等，对边平行，对角线平分角，求得菱形的∠DAB的度数，直角三角形中30°，所对的直角边是斜边的一半，根据 的周长为 ，求得对角线长，对角线乘积即可求得菱形的面积。
9．菱形ABCD中，已知AC=6，BD=8，则此菱形的周长为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
【答案】C
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O．则AC⊥BD．
则由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4．
所以，在直角△ABO中，由勾股定理得AB==5．
则此菱形的周长是4AB=20．
故选C．
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
10．（2022八下·潜山期末）如图，周长为24的菱形中，，点E，F分别是边上的动点，点P为对角线上一动点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，交于点，过，垂足为，交于点，
当点与点重合，过作的垂线并延长交于点，有最小值，最小值．
菱形的周长为24，
，，
是等边三角形，
，
，垂足为，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：A．
【分析】连接AC，交BD于点O，过，垂足为，交BD于点P，先证明是等边三角形，求出，再利用勾股定理求出AE'的长即可。
二、填空题(每题3分，共24分）
11．（2022八下·宁安期末）如图，要使平行四边形ABCD为菱形，还需添加的一个条件是 ．（写出一个即可）．
【答案】等（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：添加条件，
根据邻边相等的平行四边形是菱形．
故答案为：．
【分析】根据菱形的判定定理添加条件即可。
12．（2022八下·巴彦期末）若一个菱形的两条对角线长分别为10和24，则这个菱形的边长是 ．
【答案】13
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，BD＝10，AC＝24，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD，
∴AB＝＝13．
故答案为：13．
【分析】利用菱形的性质和勾股定理计算求解即可。
13．（2022八下·巴彦期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为AC上一点，连接DE，AB＝CE＝5AE，BD＝8，则DE的长为 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AB＝CD，DO＝BO，AC⊥BD，
设AE＝x，则AB＝CE＝5x，
∴CO＝AC＝3x，
在Rt△COD中，由勾股定理得，OD＝4x，
∴4x＝4，
∴x＝1，
∴OD＝4，AE＝1，CE＝5，
∴OE＝2，
在Rt△ODE中，由勾股定理得，
DE＝＝，
故答案为：2．
【分析】根据题意先求出OD＝4，AE＝1，CE＝5，再利用勾股定理计算求解即可。
14．（2022八下·抚远期末）如图，在菱形中，是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则 °．
【答案】40
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，AB∥DC，∠ABF=∠CBF，
∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF=∠BCF，
∵∠AED=40°，AD∥BC，
∴∠AED=∠BAF，
∴∠BCF=40°，
故答案为：40．
【分析】根据菱形的性质对边平行，邻边相等，对角线是角平分线，证得△ABF≌△CBF（SAS），∠BAF=∠BCF，直线平行内错角相等即可证得.
15．（2020八下·许昌期末）如图，
正方形 的面积为 ， 菱形 的面积为 ， 则 的长是 .
【答案】2.5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，如下图所示：
∵正方形ABCD的面积为8，
∴AD= ，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理可知：
∵菱形AECF的面积为5，
∴ ×EF×AC=5，
解得EF=2.5.
故答案为：2.5.
【分析】连接AC，由正方形ABCD的面积求出AC的长，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半求出EF的长即可.
16．（2022八下·曲靖期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为(8，4)，则C点的坐标为 ．
【答案】（3，4）
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=AB=BC，BC∥OA，
设AB=x，则OA=x，AD=8﹣x，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
即x2=（8﹣x）2+16，
解得：x=5，
∴BC=5，
∴C点的坐标为（3，4）．
故答案为（3，4）．
【分析】设AB=x，则OA=x，AD=8﹣x，利用勾股定理可得x2=（8﹣x）2+16，求出x的值，即可得到点C的坐标。
17．（2022八下·浙江）如图所示，在菱形ABCD 中，∠C=108°，AD的垂直平分线交对角线 BD于点P，垂足为E，连结AP，则∠APB= .
【答案】72
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴∠C=∠DAB=108°，AD=AB
∴∠ADP=（180°-108°）÷2=36°，
∵AD的垂直平分线交对角线 BD于点P，
∴AP=DP，
∴∠ADP=∠DAP=36°，
∴∠APB=∠ADP+∠DAP=36°+36°=72°.
故答案为：72°.
【分析】利用菱形的性质可证得∠C=∠DAB=108°，AD=AB，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ADP的度数；再利用线段垂直平分线的性质可证得AP=DP，即可求出∠DAP的度数；然后利用三角形的外角的性质求出∠APB的度数.
18．（2022八下·广饶期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与点B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于 ．
【答案】4.8
【知识点】垂线段最短；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，
四边形是菱形，
四边形为矩形，
当时，有最小值，
此时
的最小值为，
故答案为：4.8．
【分析】利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2022八下·新余期末）如图，在四边形ABCD中，，对角线BD垂直平分对角线AC；垂足为点O．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：∵BD是AC的垂直平分线，
∴BA= BC， AO= OC， BO⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵ AD // BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB= AD，
∴AD= BC，
∵ AD // BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再结合BD⊥AC，即可得到四边形ABCD是菱形。
20．（2022八下·南关期末）如图，菱形的对角线相交于点O，垂直平分，垂足为点E，求的大小．
【答案】解：在菱形ABCD中，有，且，
∵DE垂直平分BC，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即∠ABC的度数为120°．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质
【解析】【分析】先证明为等边三角形，可得，再利用平行线的性质可得。
21．（2022八下·阿荣旗期末）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD，
求证：四边形OCED是菱形．
【答案】证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD=AC=BD
∴四边形OCED是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】先求出 四边形OCED是平行四边形，再利用菱形的判定方法证明即可。
22．（2020八下·牡丹江期末）如图，在 中， ，点D是 的中点，点E是 的中点，过点A作 交 的延长线于点F，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠BDE，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（AAS），
∴AF=BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD= BC=BD=CD，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形ADBF是菱形，
∴DF⊥AB，BD=BF=5，
∴BE= ，
∴AB=2BE=8．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证明△AEF≌△BED，可得AF=BD，由AF∥BC，可证四边形ADBF是平行四边形， 根据直角三角形斜边中线的性质得出AD= BC=BD=CD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即证；
（2）根据菱形的性质得出DF⊥AB，BD=BF=5，AB=2BE，再利用勾股定理求出BE= ，从而求出结论.
23．（2020八下·温岭期末）如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF.
（1）求证:四边形AFCE是平行四边形；
（2）若□AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长.
【答案】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵DE=BF，
∴DC-DE=AB-BF即EC=AF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=FC
设AF=FC=x，则BF=6-x，
在Rt△BCF中，
FC2=BC2+BC2
∴x2=22+（6-x）2
解之：x=
答：菱形AFCE的边长为.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质易证DC∥AB，DC=AB，再证明DE=BF，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论。
（2）利用菱形的性质可得到AF=FC，设AF=FC=x，则BF=6-x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值。
24．（2022八下·威县期末）如图，在中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，交BC于点G．
（1）证明：四边形EFGB是菱形；
（2）若，求DF的长度．
【答案】（1）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，∵，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵∠AFB=90°，点E是AB的中点，
∴FE=BE=AB，∴四边形EFGB是菱形；
（2）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=×19=
在△ABF中，∵∠AFB=90°，∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=5，BF=12， ∴AB=13
∴EF=AB=×13= ，
∴DF=DE－EF=－=3
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用菱形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 DE是△ABC的中位线， 再求出 AF2+BF2=AB2， 最后计算求解即可。
25．（2022八下·巴彦期末）在四边形ABCD中，ADBC，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CDE面积相等的三角形（CDE除外）．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，∴ABCD为平行四边形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∴图中所有与△CDE 面积相等的三角形有BCD，ABD，ACD，ABC．
【知识点】三角形的面积；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用菱形的判定方法证明即可；
（2）先求出 AC∥DE， 再求出 BC＝AD＝CE， 最后求解即可。
26．（2022八下·涿州期末）如图1，在四边形ABCD中，ABDC，AB=DC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）求证：∠DAC=∠DCA；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）如图2，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．若AB=，BD=2，求OE的长．
【答案】（1）证明：∵ABDC，∴∠OAB=∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA；
（2）证明：∵∠DAC=∠DCA，AB=AD，∴CD=AD=AB，∵ABDC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴□ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∵OA=OC，OB=OD，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA==OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，由勾股定理得：，∴OE=OA=2．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠OAB=∠DCA，由角平分线的定义可得∠OAB=∠DAC，根据等量代换即得结论；
（2） 先证四边形ABCD是平行四边形，结合AD=AB，根据菱形的判定即证；
（3） 先求出OE=OA==OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA的长，即得结论.
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