初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 18.2.3 正方形）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·巴彦期末）下列命题中，错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
2．（2022八下·涿州期末）如图，已知矩形ABCD中，添加下列条件能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC=BD B．AB⊥BC C．AD=BC D．AC⊥BD
3．（2022八下·曹妃甸期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为（0，2），点的坐标为（4，0），则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八下·涿州期末）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为1，斜边为3．把它们按图2，拼摆正方形，纸片在结合部分不重叠无缝隙，则图2的中间空白部分，即四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．9 C． D．以上都不对
5．（2022八下·承德期末）已知四边形是矩形，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022八下·沂南期末）如图，延长正方形边至点E，使，则为（ ）
A．22.5° B．25° C．30° D．45°
7．（2022八下·迁安期末）如图，三个边长相同的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
8．（2022八下·历下期末）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=，则点B到直线AE的距离是（ ）
A． B．2 C． D．3
9．（2022八下·安宁期末）如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．20° D．10°
10．（2022八下·抚远期末）如图，正方形的边长为1，，是对角线，将绕点顺时针旋转45°得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题(每题3分，共24分）
11．（2022八下·同江期末）已知正方形ABCD的边长为6，如果P是正方形内一点，且，那么AP的长为 ．
12．（2022八下·潮安期末）如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和19，则△CDE的面积为 .
13．（2022八下·钢城期末）如图，在正方形内作等边，连接，，则的度数为 ．
14．（2022八下·滨城期末）如图，直线L经过正方形的顶点A，分别过点B、D作于点E，于点F，若，，则的长为 ．
15．（2022八下·宾阳期中）如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且 ，则 的值为 .
16．（2022八下·嘉兴期末）已知矩形ABCD，请添加一个条件： ，使得矩形ABCD成为正方形．
17．（2022八下·溧阳期末）如图，Rt△ABC中，四边形DBFE、GFIH都是正方形，已知AD＝1cm，DB＝3cm，则图中阴影部分面积为 cm2.
18．（2022八下·大连期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在AB上，且，N是BD上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2022八下·泰安期末）如图，正方形和正方形有公共点A，点B在线段上．判断与的位置关系，并说明理由；
20．（2022八下·牡丹江期末）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，且AF=BE，CE，BF相交于点G，请判断线段CE与BF的关系，并说明理由．
21．（2022八下·镇巴期末）已知：如图，在Rt中，平分交于点，垂足分别为，求证：四边形是正方形.
22．（2022八下·岑溪期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB.
求证：四边形BEDF是正方形.
23．（2021八下·富川期末）如图，在正方形 中，点 ， 在 上，且 .判断四边形 的形状，并说明理由.
24．（2022八下·无为期末）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求证：．
25．（2022八下·顺平期末）如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）请你猜想与的数量关系，并给出证明．
（3）在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值．
26．（2022八下·新余期末）如图1，在正方形中，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE，过点A作交BC于点F．
（1）求证：；
（2）如图2，取BE的中点M，过点M作，交AD于点G，交BC于点H．
①求证：；
②连接CM，若，求GH的长；
（3）如图3，取BE的中点M，连接CM，过点C作交AD于点G，连接EG、MG，若，则四边形的面积为 ．（直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定方法对每个选项一一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴当AC⊥BD或当AD=AB时，四边形ABCD是正方形；
故答案为：D
【分析】对角线相等的矩形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，据此逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E．
∵四边形ABCD是正方形，点A（0，2），B（4，0），
∴AB=BC，∠ABC=90°，AO=2，OB=4，
∴∠AOB=∠BEC= 90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，
∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO=2，EC=OB=4，
∴OE=OB+BE=2=4=6，
∴点C（6，4），
故答案为：C．
【分析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E．由四边形ABCD是正方形，点A（0，2），B（4，0），可得AB=BC，∠ABC=90°，AO=2，OB=4，再证△AOB≌△BEC，可得BE=AO=2，EC=OB=4，从而求出OE=OB+BE=6，即得点C坐标.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据图2可得AB=BC=CD=DA，∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∵直角三角形纸片的一条直角边长为1，斜边为3，
根据勾股定理，可得直角三角形的另一直角边为，
∴正方形ABCD的面积为（2 1）2=9-4，
故答案为：C．
【分析】图2中，由于AB=BC=CD=DA，∠BAD=90°，可证四边形ABCD是正方形，根据勾股定理求出直角三角形的另一直角边长2，从而得出正方形的边长2 1，继而求出正方形的面积.
5．【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解： 四边形是矩形，
添加 不能证明四边形是正方形，故A不符合题意；
添加，可得四边形是正方形，故B符合题意；
添加，不能证明四边形是正方形，故C不符合题意；
添加，不能证明四边形是正方形，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据矩形的性质以及正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩形是正方形，可以添加此条件进行判定。
6．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，且∠CAB=45°，
又∵BD=AE，
∴AE=CA，
∴∠E=∠ACE，
∵∠CAB=∠ACE+∠E=2∠E=45°，
∴∠E=22.5°．
故答案为：A．
【分析】连接AC，根据正方形的性质可得AE=BD=AC，得到∠E=∠ACE，再利用∠CAB=∠ACE+∠E=2∠E=45°，即可得到∠E=22.5°。
7．【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：连接O1B、O1C，如图：
∵∠BO1F+∠FO1C=90°，∠FO1C+∠CO1G=90°，
∴∠BO1F=∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF=∠O1CG=45°，
在△O1BF和△O1CG中，
，
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴S△O1BF=S△O1CG，
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形ABCD，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形ABCD，
∴阴影部分的面积和=4=S正方形ABCD，
∴S正方形ABCD=8=AD2，
∴AD=，
故答案为：D．
【分析】先求出∠O1BF=∠O1CG=45°，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
8．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠EAP=∠BAD=90°，
∴∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∴∠BEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，
∵BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
∵PE==，
∴BE=，
∴BF=EF==2，
∴点B到直线AE的距离是2．
故答案为：B．
【分析】在△APD和△AEB中，证出△APD≌△AEB（SAS），过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∠BEP=135°-45°=90°，利用勾股定理得出BE的值、PE的值，代入求解即可。
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD外侧作等边，
∴，
，，
，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形和正方形的性质可得，所以，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得。
10．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），故②符合题意；
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF=EG，
又∵∠H=∠DBC=∠DAC=45°，
∴GH∥AC，
∴四边形AEGF是菱形，故①符合题意；
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③符合题意；
∵AE=FG=EG=BG，BE=HE，
∴BE＞AE，
∴AE＜，
∴CB+FG＜1.5，故④不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质，得到四边相等，四个角90°，对角线平分对角，Rt△AED≌Rt△GED（HL），证得②；Rt△AED≌Rt△GED（HL），求得∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，根据菱形判定定理证得四边形AEGF是菱形；通过角的等量替换即可得到∠DFG=112.5°；通过等量替换得到AE＜，得不到④.
11．【答案】或或或
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
在△BAP与△DAP中，
，
∴△BAP≌△DAP，
∴∠BAP=∠DAP=45°，
过P作PE⊥AD于E，
∴PE=AE，
∵DA=6，
∴AE=6-PE，
在Rt△PDE中，PD2=PE2+DE2，
即
∴PE=2或4，
∴PA=或
故答案为：或．
【分析】根据正方形的性质证得△BAP≌△DAP，在Rt△PDE中根据勾股定理解得PE=2或4，即可求得PA．
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：解：过E作EH⊥CD于点H．
∵∠ADG+∠GDH=∠EDH+∠GDH，
∴∠ADG=∠EDH．
又∵DG=DE，∠DAG=∠DHE．
∴△ADG≌△HDE．
∴HE=AG．
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是5和9．即AD2=5，DG2=9．
∴在直角△ADG中，
AG=，
∴EH=AG=3．
∴△CDE的面积为CD·EH=××3=．
故答案为.
【分析】过E作EH⊥CD于点H，先证明△ADG≌△HDE，可得HE=AG，再利用勾股定理求出AG的长，最后利用三角形的面积公式计算即可。
13．【答案】15
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：△ADE是等边三角形，
四边形ABCD是正方形，
．
故答案为：15．
【分析】先证明△ABE和△DEC为顶角为30°的等腰三角形，再求出∠ABE的度数，最后利用角的运算求出∠CBE的度数即可。
14．【答案】9
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
在和中
∵
∴
∴，
∴
故答案为：9
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
15．【答案】22.5°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE=45°，∠BCD=90°，
∵BE=BC，
∴∠BCE= （180°-∠BCE）= ×（180°-45°）=67.5°，
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-67.5°=22.5°.
故答案为：22.5°.
【分析】根据正方形的性质可得∠CBE=45°，∠BCD=90°，结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BCE=∠BEC=67.5°，然后根据∠DCE=∠BCD-∠BCE进行计算.
16．【答案】AB=BC（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
若AB=BC，
则四边形ABCD是正方形（邻边相等的矩形是正方形）.
故答案为：AB=BC.
【分析】由于四边形ABCD是矩形，根据正方形的判定定理可得，邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线平分对角的矩形是正方形；依此解答即可.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴正方形GFIH的面积为：.
故答案为：.
【分析】连接BE、FH，根据S△ABC=S△ABE+S△BEC结合三角形的面积公式以及正方形的性质可得BC的值，则FC=BC-BF=9，然后根据S△EFC=S△EFH+S△HIC结合三角形的面积公式以及正方形的性质可得GH，据此不难求出正方形GFIH的面积.
18．【答案】5
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接MC，CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于BD对称，
∴AN＝CN，
∴AN+MN＝CN+NM≥CM，
在Rt△BMC中，
∵∠BCM＝90°，BC＝4，BM＝AB﹣AM＝4﹣1＝3，
∴CM＝＝5．
∴AN+MN≥5，
故的最小值为5，
故答案为：5．
【分析】连接MC，CN，根据轴对称的性质可得AN＝CN，所以AN+MN＝CN+NM≥CM，再利用勾股定理求出CM的长即可。
19．【答案】解：∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用“SAS”证明可得，，再利用角的运算可得，即，可得。
20．【答案】证明：CE⊥BF，CE=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠CBE=90°，AB=BC，
∵AF=BE，
∴ΔBAF≌ΔCBE（SAS），
∴CE=BF，∠ABF=∠BCE，
∵∠BCE+∠CEB=90°，
∴∠ABF+∠CEB=90°，
∴∠BGE=90°，
∴CE⊥BF，
∴CE⊥BF，且CE=BF．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质证明求解即可。
21．【答案】证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠CED=∠CFD=∠ACB=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DF=DE，
∴四边形CFDE是正方形.
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】利用垂直的定义可证得∠CED=∠CFD=∠ACB=90°，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形CFDE是矩形；再利用角平分线的性质去证明DF=DE，利用有一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论.
22．【答案】证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°.
∴四边形BEDF为矩形.
又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DF＝DE.
∴矩形BEDF为正方形.
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定
【解析】【分析】 先证四边形BEDF为矩形，再根据角平分线的性质可得DF＝DE，根据邻边相等的矩形是正方形即证.
23．【答案】解：四边形 是菱形，
理由如下：∵ 四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形.
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用正方形的性质可证得AB=BC=CD=DA，∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA，再证明AE=CF，利用SAS可证得△ABE≌△ADE≌△BCF≌△DCF，利用全等三角形的对应边相等，可得到BE=DE=FD=BF，利用四边相等的四边形是菱形，可证得结论.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，，在和中，，∴（SAS），∴；
（2）证明：由（1）知，，又∵，∴，∴，∴∠AFD=180° ∠DEF ∠EDF=180° 45° α=β∴α+β=135°．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先求出，再利用三角形的内角和可得，再化简可得。
25．【答案】（1）证明：∵，∴又∵是正方形∴∴四边形四边形是矩形
（2）解：，证明如下：连接，
∵四边形为矩形，∴，又∵四边形是正方形，P为上任意一点，∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP，∴，∴；
（3）解：由（2）得，则的最小值，即的最小值，当时，取得最小值，∵正方形ABCD的周长为40，∴AD=CD=10∵AD=CD，∠ADC=90°，，∵，∴∴的最小值是．
【知识点】垂线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形即证结论；
（2），理由：连接， 证明△ADP≌△ABP，根据全等三角形的性质可得PB=PD，由矩形的性质知PB=EF，即证PD=EF；
（3）由（2）得，则的最小值，即的最小值，当时，取得最小值，求出此时DP的长即得结论.
26．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA）．
（2）解：①证明：如图2，
过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG=AB，
∴PG=BC，
同（1）得，∠PGH=∠CBE，
在△PGH和△CBE中，
，
∴△PGH≌△CBE（ASA），
∴BE=GH；
②：由①知，BE=GH，连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，，
∴BE=2CM=6，
∴GH=6．
（3）16
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：(3)由（2）可知，BE=2ME=2CM，，
∴ME=4，
同理可得：△DCG≌△CBE（ASA），
∴CG=BE=8，
∵BE⊥CG，
∴
故答案为：16．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得出AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，由AF⊥BE，得出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；
（2）①由四边形ABCD是正方形，证出四边形ABPG是矩形，得出PG=BC，同（1）得，∠PGH=∠CBE，证出△PGH≌△CBE（ASA），即可得出结论；②由①知，BE=GH，连接CM，由∠BCE=90°，点M是BE的中点，，即可得解；
（3）由（2）可知，BE=2ME=2CM，，得出ME=4，同理可得：△DCG≌△CBE（ASA），得出CG=BE=8，再根据，即可得解。
1 / 1初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 18.2.3 正方形）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·巴彦期末）下列命题中，错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定方法对每个选项一一判断即可。
2．（2022八下·涿州期末）如图，已知矩形ABCD中，添加下列条件能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC=BD B．AB⊥BC C．AD=BC D．AC⊥BD
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴当AC⊥BD或当AD=AB时，四边形ABCD是正方形；
故答案为：D
【分析】对角线相等的矩形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，据此逐一判断即可.
3．（2022八下·曹妃甸期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为（0，2），点的坐标为（4，0），则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E．
∵四边形ABCD是正方形，点A（0，2），B（4，0），
∴AB=BC，∠ABC=90°，AO=2，OB=4，
∴∠AOB=∠BEC= 90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，
∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO=2，EC=OB=4，
∴OE=OB+BE=2=4=6，
∴点C（6，4），
故答案为：C．
【分析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E．由四边形ABCD是正方形，点A（0，2），B（4，0），可得AB=BC，∠ABC=90°，AO=2，OB=4，再证△AOB≌△BEC，可得BE=AO=2，EC=OB=4，从而求出OE=OB+BE=6，即得点C坐标.
4．（2022八下·涿州期末）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为1，斜边为3．把它们按图2，拼摆正方形，纸片在结合部分不重叠无缝隙，则图2的中间空白部分，即四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．9 C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据图2可得AB=BC=CD=DA，∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∵直角三角形纸片的一条直角边长为1，斜边为3，
根据勾股定理，可得直角三角形的另一直角边为，
∴正方形ABCD的面积为（2 1）2=9-4，
故答案为：C．
【分析】图2中，由于AB=BC=CD=DA，∠BAD=90°，可证四边形ABCD是正方形，根据勾股定理求出直角三角形的另一直角边长2，从而得出正方形的边长2 1，继而求出正方形的面积.
5．（2022八下·承德期末）已知四边形是矩形，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解： 四边形是矩形，
添加 不能证明四边形是正方形，故A不符合题意；
添加，可得四边形是正方形，故B符合题意；
添加，不能证明四边形是正方形，故C不符合题意；
添加，不能证明四边形是正方形，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据矩形的性质以及正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩形是正方形，可以添加此条件进行判定。
6．（2022八下·沂南期末）如图，延长正方形边至点E，使，则为（ ）
A．22.5° B．25° C．30° D．45°
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，且∠CAB=45°，
又∵BD=AE，
∴AE=CA，
∴∠E=∠ACE，
∵∠CAB=∠ACE+∠E=2∠E=45°，
∴∠E=22.5°．
故答案为：A．
【分析】连接AC，根据正方形的性质可得AE=BD=AC，得到∠E=∠ACE，再利用∠CAB=∠ACE+∠E=2∠E=45°，即可得到∠E=22.5°。
7．（2022八下·迁安期末）如图，三个边长相同的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：连接O1B、O1C，如图：
∵∠BO1F+∠FO1C=90°，∠FO1C+∠CO1G=90°，
∴∠BO1F=∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF=∠O1CG=45°，
在△O1BF和△O1CG中，
，
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴S△O1BF=S△O1CG，
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形ABCD，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形ABCD，
∴阴影部分的面积和=4=S正方形ABCD，
∴S正方形ABCD=8=AD2，
∴AD=，
故答案为：D．
【分析】先求出∠O1BF=∠O1CG=45°，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
8．（2022八下·历下期末）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=，则点B到直线AE的距离是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠EAP=∠BAD=90°，
∴∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∴∠BEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，
∵BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
∵PE==，
∴BE=，
∴BF=EF==2，
∴点B到直线AE的距离是2．
故答案为：B．
【分析】在△APD和△AEB中，证出△APD≌△AEB（SAS），过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∠BEP=135°-45°=90°，利用勾股定理得出BE的值、PE的值，代入求解即可。
9．（2022八下·安宁期末）如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．20° D．10°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD外侧作等边，
∴，
，，
，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形和正方形的性质可得，所以，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得。
10．（2022八下·抚远期末）如图，正方形的边长为1，，是对角线，将绕点顺时针旋转45°得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），故②符合题意；
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF=EG，
又∵∠H=∠DBC=∠DAC=45°，
∴GH∥AC，
∴四边形AEGF是菱形，故①符合题意；
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③符合题意；
∵AE=FG=EG=BG，BE=HE，
∴BE＞AE，
∴AE＜，
∴CB+FG＜1.5，故④不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质，得到四边相等，四个角90°，对角线平分对角，Rt△AED≌Rt△GED（HL），证得②；Rt△AED≌Rt△GED（HL），求得∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，根据菱形判定定理证得四边形AEGF是菱形；通过角的等量替换即可得到∠DFG=112.5°；通过等量替换得到AE＜，得不到④.
二、填空题(每题3分，共24分）
11．（2022八下·同江期末）已知正方形ABCD的边长为6，如果P是正方形内一点，且，那么AP的长为 ．
【答案】或或或
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
在△BAP与△DAP中，
，
∴△BAP≌△DAP，
∴∠BAP=∠DAP=45°，
过P作PE⊥AD于E，
∴PE=AE，
∵DA=6，
∴AE=6-PE，
在Rt△PDE中，PD2=PE2+DE2，
即
∴PE=2或4，
∴PA=或
故答案为：或．
【分析】根据正方形的性质证得△BAP≌△DAP，在Rt△PDE中根据勾股定理解得PE=2或4，即可求得PA．
12．（2022八下·潮安期末）如图，点A在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是10和19，则△CDE的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：解：过E作EH⊥CD于点H．
∵∠ADG+∠GDH=∠EDH+∠GDH，
∴∠ADG=∠EDH．
又∵DG=DE，∠DAG=∠DHE．
∴△ADG≌△HDE．
∴HE=AG．
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是5和9．即AD2=5，DG2=9．
∴在直角△ADG中，
AG=，
∴EH=AG=3．
∴△CDE的面积为CD·EH=××3=．
故答案为.
【分析】过E作EH⊥CD于点H，先证明△ADG≌△HDE，可得HE=AG，再利用勾股定理求出AG的长，最后利用三角形的面积公式计算即可。
13．（2022八下·钢城期末）如图，在正方形内作等边，连接，，则的度数为 ．
【答案】15
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：△ADE是等边三角形，
四边形ABCD是正方形，
．
故答案为：15．
【分析】先证明△ABE和△DEC为顶角为30°的等腰三角形，再求出∠ABE的度数，最后利用角的运算求出∠CBE的度数即可。
14．（2022八下·滨城期末）如图，直线L经过正方形的顶点A，分别过点B、D作于点E，于点F，若，，则的长为 ．
【答案】9
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
在和中
∵
∴
∴，
∴
故答案为：9
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
15．（2022八下·宾阳期中）如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且 ，则 的值为 .
【答案】22.5°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE=45°，∠BCD=90°，
∵BE=BC，
∴∠BCE= （180°-∠BCE）= ×（180°-45°）=67.5°，
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-67.5°=22.5°.
故答案为：22.5°.
【分析】根据正方形的性质可得∠CBE=45°，∠BCD=90°，结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BCE=∠BEC=67.5°，然后根据∠DCE=∠BCD-∠BCE进行计算.
16．（2022八下·嘉兴期末）已知矩形ABCD，请添加一个条件： ，使得矩形ABCD成为正方形．
【答案】AB=BC（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
若AB=BC，
则四边形ABCD是正方形（邻边相等的矩形是正方形）.
故答案为：AB=BC.
【分析】由于四边形ABCD是矩形，根据正方形的判定定理可得，邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线平分对角的矩形是正方形；依此解答即可.
17．（2022八下·溧阳期末）如图，Rt△ABC中，四边形DBFE、GFIH都是正方形，已知AD＝1cm，DB＝3cm，则图中阴影部分面积为 cm2.
【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴正方形GFIH的面积为：.
故答案为：.
【分析】连接BE、FH，根据S△ABC=S△ABE+S△BEC结合三角形的面积公式以及正方形的性质可得BC的值，则FC=BC-BF=9，然后根据S△EFC=S△EFH+S△HIC结合三角形的面积公式以及正方形的性质可得GH，据此不难求出正方形GFIH的面积.
18．（2022八下·大连期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在AB上，且，N是BD上一动点，则的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接MC，CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于BD对称，
∴AN＝CN，
∴AN+MN＝CN+NM≥CM，
在Rt△BMC中，
∵∠BCM＝90°，BC＝4，BM＝AB﹣AM＝4﹣1＝3，
∴CM＝＝5．
∴AN+MN≥5，
故的最小值为5，
故答案为：5．
【分析】连接MC，CN，根据轴对称的性质可得AN＝CN，所以AN+MN＝CN+NM≥CM，再利用勾股定理求出CM的长即可。
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2022八下·泰安期末）如图，正方形和正方形有公共点A，点B在线段上．判断与的位置关系，并说明理由；
【答案】解：∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用“SAS”证明可得，，再利用角的运算可得，即，可得。
20．（2022八下·牡丹江期末）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，且AF=BE，CE，BF相交于点G，请判断线段CE与BF的关系，并说明理由．
【答案】证明：CE⊥BF，CE=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠CBE=90°，AB=BC，
∵AF=BE，
∴ΔBAF≌ΔCBE（SAS），
∴CE=BF，∠ABF=∠BCE，
∵∠BCE+∠CEB=90°，
∴∠ABF+∠CEB=90°，
∴∠BGE=90°，
∴CE⊥BF，
∴CE⊥BF，且CE=BF．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质证明求解即可。
21．（2022八下·镇巴期末）已知：如图，在Rt中，平分交于点，垂足分别为，求证：四边形是正方形.
【答案】证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠CED=∠CFD=∠ACB=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DF=DE，
∴四边形CFDE是正方形.
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】利用垂直的定义可证得∠CED=∠CFD=∠ACB=90°，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形CFDE是矩形；再利用角平分线的性质去证明DF=DE，利用有一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论.
22．（2022八下·岑溪期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB.
求证：四边形BEDF是正方形.
【答案】证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°.
∴四边形BEDF为矩形.
又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DF＝DE.
∴矩形BEDF为正方形.
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定
【解析】【分析】 先证四边形BEDF为矩形，再根据角平分线的性质可得DF＝DE，根据邻边相等的矩形是正方形即证.
23．（2021八下·富川期末）如图，在正方形 中，点 ， 在 上，且 .判断四边形 的形状，并说明理由.
【答案】解：四边形 是菱形，
理由如下：∵ 四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形.
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用正方形的性质可证得AB=BC=CD=DA，∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA，再证明AE=CF，利用SAS可证得△ABE≌△ADE≌△BCF≌△DCF，利用全等三角形的对应边相等，可得到BE=DE=FD=BF，利用四边相等的四边形是菱形，可证得结论.
24．（2022八下·无为期末）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，，在和中，，∴（SAS），∴；
（2）证明：由（1）知，，又∵，∴，∴，∴∠AFD=180° ∠DEF ∠EDF=180° 45° α=β∴α+β=135°．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先求出，再利用三角形的内角和可得，再化简可得。
25．（2022八下·顺平期末）如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）请你猜想与的数量关系，并给出证明．
（3）在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值．
【答案】（1）证明：∵，∴又∵是正方形∴∴四边形四边形是矩形
（2）解：，证明如下：连接，
∵四边形为矩形，∴，又∵四边形是正方形，P为上任意一点，∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP，∴，∴；
（3）解：由（2）得，则的最小值，即的最小值，当时，取得最小值，∵正方形ABCD的周长为40，∴AD=CD=10∵AD=CD，∠ADC=90°，，∵，∴∴的最小值是．
【知识点】垂线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形即证结论；
（2），理由：连接， 证明△ADP≌△ABP，根据全等三角形的性质可得PB=PD，由矩形的性质知PB=EF，即证PD=EF；
（3）由（2）得，则的最小值，即的最小值，当时，取得最小值，求出此时DP的长即得结论.
26．（2022八下·新余期末）如图1，在正方形中，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE，过点A作交BC于点F．
（1）求证：；
（2）如图2，取BE的中点M，过点M作，交AD于点G，交BC于点H．
①求证：；
②连接CM，若，求GH的长；
（3）如图3，取BE的中点M，连接CM，过点C作交AD于点G，连接EG、MG，若，则四边形的面积为 ．（直接写出结果）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA）．
（2）解：①证明：如图2，
过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG=AB，
∴PG=BC，
同（1）得，∠PGH=∠CBE，
在△PGH和△CBE中，
，
∴△PGH≌△CBE（ASA），
∴BE=GH；
②：由①知，BE=GH，连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，，
∴BE=2CM=6，
∴GH=6．
（3）16
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：(3)由（2）可知，BE=2ME=2CM，，
∴ME=4，
同理可得：△DCG≌△CBE（ASA），
∴CG=BE=8，
∵BE⊥CG，
∴
故答案为：16．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得出AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，由AF⊥BE，得出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；
（2）①由四边形ABCD是正方形，证出四边形ABPG是矩形，得出PG=BC，同（1）得，∠PGH=∠CBE，证出△PGH≌△CBE（ASA），即可得出结论；②由①知，BE=GH，连接CM，由∠BCE=90°，点M是BE的中点，，即可得解；
（3）由（2）可知，BE=2ME=2CM，，得出ME=4，同理可得：△DCG≌△CBE（ASA），得出CG=BE=8，再根据，即可得解。
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