专题12.3《二次根式混合运算（难）》专项训练40题(每日打卡·天天练系列)(苏科版)(原卷版)
一．解答题（共40小题）
1．计算：
（1）； （2）．
2．计算题：
（1） （2）
（3） （4）
3．计算化简
（1）； （2）；
（3）； （4）．
4．观察下列计算：．
，
，
，
（1）运用上面的计算方法化简为正整数）；
（2）利用上面的结论计算：；
（3）计算：．
5．材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，则的一个有理化因式是．的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）的有理化因式为 ，的有理化因式为 ；（均写出一个即可）
（2）计算：；
（3）当时，求代数式的最大值．
6．阅读下列材料，并回答问题：
把形如与、为有理数且，为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
（1）请你举出一对共轭实数： 和 ；
（2）和是共轭实数吗？若是请指出、的值；
（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是，请求出这两个共轭实数．
7．阅读下面的材料，解决问题：
像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：；；
（1）计算： ； ；
（2）计算：；
（3）比较和的大小，并说明理由；
（4）计算：．
8．计算：
（1）； （2）．
9．先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简．
10．【阅读材料】像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
（1）填空：的有理化因式为 ；
（2）化简：；
（3）已知正整数，满足，求，的值．
11．计算：
（1）； （2）．
12．在二次根式中有种相辅相成的“对子”如：，与的乘积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式．于是可以这样化简：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）的有理化因式是 ，分母有理化得 ；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
13．化简：
①； ②；
③； ④．
14．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中、、、均为整数），则有．
，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ；
（2）利用所探索的结论，请找一组正整数、、、填空：
；
（3）若且、、均为正整数，求的值．
15．“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，．
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．
解决下列问题：
（1）将分母有理化得 ；的有理化因式是 ；
（2）化简： ；
（3）化简：．
16．化简与计算：
（1） （2）
（3） （4）
17．（1） （2）
（3） （4）
18．（1）化简：
（2）计算：．
19．计算与化简：
（1）； （2），；
（3）； （4）．
20．计算或化简：
（1） （2），
（3） （4）
（5） （6）．
21．计算．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
22．计算：
（1） （2）
（3） （4）
23．化简或计算：
（1） （2）
（3） （4）．
24．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
25．计算：
（1） （2）
（3）； （4）．
26．计算：
（1） （2）
27．阅读材料： 小聪在学习二次根式后， 发现含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 即．
于是， 爱动脑筋的小聪又提出了一个问题：是否也能写成另一个式子的平方呢？经过探索， 他联想到老师讲的方程思想， 找到了一种把化成平方式的方法：
设，则，
．
整理得．
、可看作一元二次方程的两根 ．
解方程， 得，．
于是有．
参考上述方法， 解决下列问题：
（1） 化简下列根式并把答案直接填在答题卡上相应横线上：
， ， ；
（2） 化简：①，②；
（3） 化简．
28．计算．
（1）； （2）．
29．计算：
（1） （2）．
30．计算：
（1） （2）．
31．计算或化简：
（1） （2）
32．计算：
（1）； （2）．
33．仿照下列过程：
；
；
（1）运用上述的方法可知： ， ；
（2）拓展延伸：计算：．
34．像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；
（2）计算：；
（3）比较与的大小，并说明理由．
35．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决问题：
（1）比较大小： （用“”“ ”或“”填空）；
（2）计算：；
（3）设实数，满足，求的值．
36．阅读材料：像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；．
解答下列问题：
（1）与 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
（2）计算：；
（3）已知有理数、满足，求、的值．
37．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面一层根号．
例如：
解决问题：
①在括号内填上适当的数：
②根据上述思路，试将予以化简．
38．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式．
比如：．善于动脑的小明继续探究：
当，，，为正整数时，若，则有，所以，．
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当，，，为正整数时，若，请用含有，的式子分别表示，，得： ， ；
（2）填空： ；
（3）若，且，，为正整数，求的值．
39．计算与化简
（1）； （2）；
（3）； （4）．
40．（1） （2）专题12.3《二次根式混合运算（难）》专项训练40题(每日打卡·天天练系列)(苏科版)(解析版)
参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘方、零指数幂、负整数指数幂及立方根，再算加减即可得答案；
（2）先化简二次根式，去括号，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
2．计算题：
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简可得；
（3）利用平方差公式和完全平方公式计算可得；
（4）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
3．计算化简
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的乘法计算，然后化简即可；
（3）先算括号内的式子，再算括号外的除法；
（4）先算乘方，再算加法即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
4．观察下列计算：．
，
，
，
（1）运用上面的计算方法化简为正整数）；
（2）利用上面的结论计算：；
（3）计算：．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（2）根据（1）中的结果，可以将所求式子化简，然后利用平方差公式计算即可；
（3）先化简题目中的式子，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
5．材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，则的一个有理化因式是．的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）的有理化因式为 （答案不唯一） ，的有理化因式为 ；（均写出一个即可）
（2）计算：；
（3）当时，求代数式的最大值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义进行求解即可；
（2）把分母进行有理化运算，从而可求解；
（3）逆用分母有理化的运算，从而可求解．
【解答】解：（1）的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：，（答案不唯一）；
（2）
；
（3）
，
，
要使代数式有最大值，则，
．
6．阅读下列材料，并回答问题：
把形如与、为有理数且，为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
（1）请你举出一对共轭实数： 和 ；
（2）和是共轭实数吗？若是请指出、的值；
（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是，请求出这两个共轭实数．
【分析】（1）根据题意，可以写出一组共轭实数，本题答案不唯一；
（2）根据共轭实数的定义，可以判断和是共轭实数，并写出和即可；
（3）根据两个共轭实数的和是10，差的绝对值是，可以求得、、的值，从而可以写出这两个共轭实数．
【解答】解：（1）由题意可得，
与是共轭实数，
故答案为：，；
（2）和是共轭实数，，；
（3）设这两个共轭实数为与，
两个共轭实数的和是10，差的绝对值是，
，，
，，
，或（舍去），，
这两个共轭实数是，．
7．阅读下面的材料，解决问题：
像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：；；
（1）计算： ； ；
（2）计算：；
（3）比较和的大小，并说明理由；
（4）计算：．
【分析】（1）根据分母有理化的方法进行求解即可；
（2）对各分母进行有理化运算，即可求解；
（3）先求得所给的式子的倒数，再进行判断即可；
（4）把分母进行有理化运算即可．
【解答】解：（1）；
；
故答案为：；；
（2）
；
（3），，
，
，
；
（4）
．
8．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法可以解答本题；
（2）先算乘方，然后算乘法、最后算加减法即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
9．先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 ④ 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简．
【分析】（1）根据算术平方根的性质即可进行判断；
（2）把被开方数化成完全平方的形式，然后利用二次根式的性质即可化简求解．
【解答】解：（1）在化简过程中④步出现了错误，化简的正确结果是．
故答案是：④，；
（2）原式
．
10．【阅读材料】像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
（1）填空：的有理化因式为 ；
（2）化简：；
（3）已知正整数，满足，求，的值．
【分析】（1）阅读材料可直接得出结果；
（2）先分母有理化，再合并同类项；
（3）先去括号，化为，根据等式恒等性列式计算．
【解答】解：（1）的有理化因式为；
（2）原式
；
（3）原式可化为，
，
，
，，
．
11．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可；
（2）先变形，再根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式进行计算，最后根据二次根式的加减法则进行计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）原式
．
12．在二次根式中有种相辅相成的“对子”如：，与的乘积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式．于是可以这样化简：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）的有理化因式是 ，分母有理化得 ；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【分析】（1）根据互为有理化因式的定义即可求出答案，把的分子、分母同时乘以即可；
（2）先把第1个括号中的每一项分母有理化、合并计算后，再与第2个括号相乘，即可算出结果；
（3）由，得出，，进而得出，，代入计算即可得出结果．
【解答】解：（1）
，
的有理化因式是，
，
故答案为：，；
（2）
；
（3），
，
，
，
，
同理：，
由①②得：，
，
将代入①得：
，
，
，
，
，
，
．
13．化简：
①；
②；
③；
④．
【分析】①把提负号看成一个整体，通分后相减可得结论；
②先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而计算乘法即可；
③先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
④直接化简二次根式，利用二次根式的加减运算法则合并，再利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；
【解答】解：①
；
②
；
③
；
④
．
14．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中、、、均为整数），则有．
，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ；
（2）利用所探索的结论，请找一组正整数、、、填空：
；
（3）若且、、均为正整数，求的值．
【分析】（1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案；
（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；
（3）将展开得出，由题意得，，再由、、均为正整数，可得出，，．
【解答】解：（1），
，
，；
（2）由（1）可得，，，；
（3），
，
，，
、、均为正整数，
，，或，，；
故答案为：，，13，4，1，2．
15．“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，．
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．
解决下列问题：
（1）将分母有理化得 ；的有理化因式是 ；
（2）化简： ；
（3）化简：．
【分析】（1）分子、分母都乘以即可得；有理化因式可以利用平方差公式求解可得；
（2）分子、分母都乘以求解可得；
（3）原式变形为，再进一步斤算可得．
【解答】解：（1），
，即的有理化因式是，
故答案为：，；
（2），
故答案为：．
（3）原式
．
16．化简与计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则计算可得；
（2）先计算乘方、化简二次根式，再合并即可得；
（3）根据异分母分式相加减的运算法则计算可得；
（4）先计算括号内的减法、将除式的分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
17．（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）利用零指数幂的意义和二次根式的乘法法则运算；
（2）先通分，然后进行同分母的分式的减法运算即可；
（3）根据二次根式的乘除法则运算；
（4）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
18．（1）化简：
（2）计算：．
【分析】（1）原式利用二次根式的乘除，加减运算法则计算即可得到结果；
（2）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
19．计算与化简：
（1）；
（2），；
（3）；
（4）．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）根据二次根式的乘法法则运算；
（3）先根据二次根式的除法法则运算，然后合并即可；
（4）先利用完全平方公式计算得到原式，然后根据平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
20．计算或化简：
（1）
（2），
（3）
（4）
（5）
（6）．
【分析】（1）将除法变为乘法，再约分计算即可求解；
（2）根据二次根式的乘法法则计算即可求解；
（3）（4）分母有理化即可求解；
（5）先化简，再合并同类项即可求解；
（6）先化简，再去括号、合并同类项即可求解．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）；
（4）；
（5）
；
（6）
．
21．计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先通分，再进行同分母的加法运算，然后约分即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算；
（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算；
（4）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
22．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】二次根式的运算顺序与整式相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
23．化简或计算：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【分析】（1）、（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；
（3）、（4）根据分式的混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
24．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可；
（3）先把后面括号内提，然后利用平方差公式计算；
（4）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
25．计算：
（1）
（2）
（3）；
（4）．
【分析】（1）首先计算乘方、开方和乘法，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
（2）首先计算开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
（3）首先通分，然后求出算式的值是多少即可．
（4）首先计算小括号里面的减法，然后计算小括号外面的除法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
26．计算：
（1）
（2）
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
27．阅读材料： 小聪在学习二次根式后， 发现含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 即．
于是， 爱动脑筋的小聪又提出了一个问题：是否也能写成另一个式子的平方呢？经过探索， 他联想到老师讲的方程思想， 找到了一种把化成平方式的方法：
设，则，
．
整理得．
、可看作一元二次方程的两根 ．
解方程， 得，．
于是有．
参考上述方法， 解决下列问题：
（1） 化简下列根式并把答案直接填在答题卡上相应横线上：
， ， ；
（2） 化简：①，②；
（3） 化简．
【分析】（1） 类比题中方法列方程组、 构建一元二次方程分别求解可得；
（2） 借助完全平方公式进而开平方求出即可；
（3） 把要求的代数式设为，然后利用完全平方公式进行计算， 用直接开平方法可以求出的值， 根据二次根式的性质得到，确定的值 ． 也就求出了代数式的值 ．
【解答】解： （1） 设，则，
整理得，
、可看作一元二次方程的两根 ．
解方程， 得，．
于是有
，
即；
设，则，
，
整理得，
、可看作一元二次方程的两根 ．
解方程， 得，，
于是有，
，
即，
；
故答案为：，，；
（2）①；
②；
（3） 设原式，
则，
，
，
，
，
．
根据二次根式的性质，
．
原式．
28．计算．
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
29．计算：
（1）
（2）．
【分析】（1）原式各项化为，合并同类二次根式即可得到结果．
（2）先计算括号里面的分式的减法，再分式的除法的方法计算．
【解答】（1）解：（1）原式
；
（2）原式
．
30．计算：
（1）
（2）．
【分析】（1）根据平方差公式可以解答本题；
（2）根据二次根式的乘除法可以对原式化简，然后合并同类项可以解答本题．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
31．计算或化简：
（1）
（2）
【分析】（1）根据零指数幂的意义和二次根式的性质计算；
（2）根据二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
32．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）原式各项化为最简后，合并同类二次根式即可得到结果；
（2）利用完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式
；
（2）
．
33．仿照下列过程：
；
；
（1）运用上述的方法可知： ， ；
（2）拓展延伸：计算：．
【分析】（1）将两式的分子、分母分别乘以、计算可得；
（2）由将原式展开后，两两相互抵消即可得．
【解答】解：（1），
，
故答案为：、．
（2）原式．
34．像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；
（2）计算：；
（3）比较与的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据题意可以解答本题；
（2）根据题意可以解答本题；
（3）根据题意可以将题目中的式子变形再比较大小，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）；
（2）
；
（3），
理由：，
，
，
，
．
35．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决问题：
（1）比较大小： （用“”“ ”或“”填空）；
（2）计算：；
（3）设实数，满足，求的值．
【分析】（1）根据分母有理化结果即可判断；
（2）原式各项分母有理化后化为两个根式的差，计算即可得到结果．
（3）将已知等式进行变形，化为①，②，由①②得，即可解答．
【解答】解：（1）
故答案为：
（2）
原式
（3），
，
①，
同理：②，
①②得，
，
．
36．阅读材料：像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；．
解答下列问题：
（1）与 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
（2）计算：；
（3）已知有理数、满足，求、的值．
【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；
（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；
（3）根据题意，对所求式子变形即可求得、的值．
【解答】解：（1）与互为有理化因式，，
故答案为：，；
（2）
；
（3），
，
，
，，
解得，，．
37．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面一层根号．
例如：
解决问题：
①在括号内填上适当的数：
②根据上述思路，试将予以化简．
【分析】①通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面一层根号．
②方法同①，通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面一层根号．
【解答】解：①；
故答案为：；
②．
38．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式．
比如：．善于动脑的小明继续探究：
当，，，为正整数时，若，则有，所以，．
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当，，，为正整数时，若，请用含有，的式子分别表示，，得： ， ；
（2）填空： ；
（3）若，且，，为正整数，求的值．
【分析】（1）利用完全平方公式把展开可得到用，的式子表示，；
（2）利用完全平方公式得到；
（3）利用完全平方公式得到，，则，再根据整数的整除性得到、的值，然后计算对应的的值．
【解答】解：（1），
，；
（2）；
（3），，
，
，为正整数，
，或，，
当，，则；
当，时．，
即的值为14或46．
故答案为，；1，2．
39．计算与化简
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）原式利用二次根式的化简公式变形，合并即可得到结果；
（2）原式利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果；
（3）原式利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果；
（4）原式利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
40．（1）
（2）
【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）先计算分母有理化和二次根式的乘法运算，然后合并即可；
（3）根据二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
第1页（共1页）
