专题11.3《反比例函数与一次函数交点》专项训练50题(每日打卡·天天练系列)(苏科版)(原卷版)
一．选择题（共15小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为
A． B． C． D．
2．如图，直线与轴和轴分别交于、两点，与反比例函数交于、．若，则的值为
A．6 B．4 C． D．3
3．如图，一次函数、为常数，与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于，两点．则的面积为
A．3 B．6 C．8 D．12
4．函数的图象可以由的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．根据所获信息判断，下列直线中与函数的图象没有公共点的是
A．经过点且平行于轴的直线
B．经过点且平行于轴的直线
C．经过点且平行于轴的直线
D．经过点且平行于轴的直线
5．如图，是射线上一点，过作轴于点，以为边在其右侧作正方形，过的双曲线交边于点，则的值为
A． B． C． D．
6．反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是
A．3 B． C． D．1
7．一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，其中点、的坐标为，、，则的面积是
A．3 B． C． D．
8．反比例函数与一次函数的图象的一个交点坐标是，则
A． B．6 C． D．5
9．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数）与双曲线，为常数）交于点，，若，，过点作轴，垂足为，连接，则的面积是
A．2 B． C．3 D．6
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点、两点，连结、，若的面积为3，则的值为
A． B． C． D．
12．如图，若反比例函数与一次函数交于、两点，当时，则的取值范围是
A．或 B．或 C． D．
13．如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是
A．或 B．或 C．或 D．或
14．函数与的图象交点横坐标可由方程求得，由此推断：方程中的大致范围是
A． B． C． D．
15．关于反比例函数的下列说法不正确的是
①该函数的图象在第二、四象限；
②，、，两点在该函数图象上，若，则；
③当时，；
④若反比例函数与一次函数的图象无交点，则的范围是．
A．①③ B．①③④ C．②③ D．②④
二．填空题（共20小题）
16．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则的值为 ．
17．如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为 ．
18．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，则的值是 ．
19．如图，过点的直线交轴于点，，，曲线过点，将点沿轴负方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为 ．
20．若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，且其中一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ．
21．如图，直线与双曲线的图象交于点，点是该双曲线第一象限上的一点，且，则点的坐标为 ．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是 ．
23．已知反比例函数的图象和一次函数的图象交于点和点，当函
数值时，的取值范围是 ．
24．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，其横坐标分别为1，5．则关于的不等式的解集是 ．
25．已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是，当时，的取值范围是 ．
26．如图，一次函数的图象交坐标轴于、两点，交反比例函数图象的一个分支于点，若点恰好是的中点，则的值是 ．
27．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，且，则的值为 ．
28．如果一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，，，两点，那么的值为 ．
29．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，当时，的取值范围是 ．
30．平面直角坐标系中，直线与相交于，两点，其中点在第一象限，设点为双曲线上一点，直线，分别交轴与，两点，则的值为 ．
31．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第二象限交于点，将直线向上平移后与反比例函数的图象在第二象限交于点，如果的面积为24，则平移后的直线的函数表达式是 ．
32．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．则不等式的解集为 ．
33．如图，一次函数与反比例函数的图象交点和两点，若，则的取值范围是 ．
34．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值是 ．
35．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为 ．
三．解答题（共15小题）
36．在平面直角坐标系中，直线．与双曲线交于，两点，点的坐标为．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求出点坐标，并结合图象直接写出的解集．
37．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接，求的面积；
（3）不等式的解集是 ．
38．如图，一次函数的图象交反比例函数图象于，，两点．
（1）求，的值；
（2）点是轴上一点，且，求点的坐标；
（3）请你根据图象直接写出不等式的解集．
39．如图，正比例函数为常数）的图象与反比例函数的图象交于点．点为轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点．
（1）求的值及正比例函数的表达式；
（2）若，求线段的长．
40．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）已知点的横坐标为3．
①求反比例函数的表达式；
②不等式的解集是 ；
（2）若，则的取值范围是 ．
41．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一、第三象限分别交于，两点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）求的面积；
（3）观察不等式的解集为： ．
42．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，，与轴相交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）直接写出：不等式的解集是 ；
（3）求的面积．
43．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，，点的坐标为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求一次函数的表达式．
44．如图，平面直角坐标系中，直线、为常数，分别与，轴相交于点，，与双曲线为常数，分别交于点，（点在第一象限，点在第三象限），作轴于点．已知，．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）在轴上是否存在一点，使？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
45．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）观察图象，写出不等式的解集 ．
46．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点．
（1）求、对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积．
47．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点．
（1）求点的坐标和反比例函数的关系式；
（2）直接写出当时，不等式的解集；
（3）若点在轴上，且的面积为3，求点的坐标．
48．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、．
（1）求、的值；
（2）结合图象，直接写出不等式的解集：
（3）连接、，求的面积．
49．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）结合图象直接写出不等式的解集．
50．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，且与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接、，求的面积；
（3）由图象直接写出：当时，自变量的取值范围．专题11.3《反比例函数与一次函数交点》专项训练50题(每日打卡·天天练系列)(苏科版)（解析版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为
A． B． C． D．
【分析】将点坐标代入到两个解析式，可以的到和，将代数式变形成，代入即可解决．
【解答】解：函数与的图象交于点，
，，
，
故选：．
2．如图，直线与轴和轴分别交于、两点，与反比例函数交于、．若，则的值为
A．6 B．4 C． D．3
【分析】作轴于，轴于，则，根据平行线分线段定理得到，，由，即可增大，，表示出、的坐标即可证得，由一次函数的解析式增大，即可得到，，利用勾股定理求得，从而得到，代入即可求得．
【解答】解：作轴于，轴于，
，
，，
，
，，
设，则，，
，
，
，
时，，
，
，
，
，
代入得，
故选：．
3．如图，一次函数、为常数，与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于，两点．则的面积为
A．3 B．6 C．8 D．12
【分析】把，分别代入即可求出，，即可得到、的坐标，把，的坐标代入求得一次函数的解析式，进一步点的坐标，利用求得的面积．
【解答】解：把，分别代入，得，，
，，
将点和代入一次函数，得，
解得．
一次函数的表达式，
令，则，
，
，
故选：．
4．函数的图象可以由的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．根据所获信息判断，下列直线中与函数的图象没有公共点的是
A．经过点且平行于轴的直线
B．经过点且平行于轴的直线
C．经过点且平行于轴的直线
D．经过点且平行于轴的直线
【分析】根据题意可以知道平移后的反比例函数不会与直线、直线相交，判断出答案即可．
【解答】解：根据题意可知，如下图所示，图1根据题意平移后得到图2，
函数的图象是函数的图象向右平移1个单位，在向下平移2个单位得到的，
由反比例函数的图象的性质和平移的定义可知，函数的图象与直线、直线不会相交．
故选：．
5．如图，是射线上一点，过作轴于点，以为边在其右侧作正方形，过的双曲线交边于点，则的值为
A． B． C． D．
【分析】设点的坐标为，则点的坐标为：，结合正方形的性质，得到点，点和点的横坐标，把点的坐标代入反比例函数，得到关于的的值，把点的横坐标代入反比例函数的解析式，得到点的纵坐标，求出线段和线段的长度，即可得到答案．
【解答】解：设点的坐标为，则点的坐标为，
线段的长度为，点的纵坐标为，
点在反比例函数上，
，
即反比例函数的解析式为：，
四边形为正方形，
四边形的边长为，
点，点和点的横坐标为，
把代入得：，
即点的纵坐标为，
则，，
，
故选：．
6．反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是
A．3 B． C． D．1
【分析】根据反比例函数、正比例函数图象上点的坐标特征，得到，，再代入计算即可．
【解答】解：由于反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
所以，，
所以
，
故选：．
7．一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，其中点、的坐标为，、，则的面积是
A．3 B． C． D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，进而求出点、的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：点，在反比例函数上，
，
解得：，
点的坐标为：，，点的坐标为，
，
故选：．
8．反比例函数与一次函数的图象的一个交点坐标是，则
A． B．6 C． D．5
【分析】根据函数图象上点的坐标特征得到，，把原式提公因式，代入计算即可．
【解答】解：反比例函数与一次函数的图象的一个交点坐标是，
，，
则，
故选：．
9．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为
A． B． C． D．
【分析】根据函数的关系式可求出，，代数式变形为，代入计算即可．
【解答】解：函数与的图象交于点，
，，
，
；
故选：．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数）与双曲线，为常数）交于点，，若，，过点作轴，垂足为，连接，则的面积是
A．2 B． C．3 D．6
【分析】根据反比例的图象关于原点中心对称得到点与点关于原点中心对称，则，，，代入解析式求得，然后根据反比例函数系数的几何意义即可得到，进一步得出．
【解答】解：直线，为常数）与双曲线，为常数）交于点，，
点与点关于原点中心对称，
，
，，
，，
，，
，
轴，垂足为，
，
，
，
故选：．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别与函数的图象交点、两点，连结、，若的面积为3，则的值为
A． B． C． D．
【分析】由两条直线的解析式即可得到两直线平行，根据同底等高的三角形面积相等，即可得到，由的面积为3，得到，解得的横坐标，代入求得纵坐标，把的坐标代入即可求得的值．
【解答】解：设直线交轴于点，则，连接，
由题意可知，
，
的面积为3，
，即，
，
在第二象限，
的横坐标为，
把代入得，，
，
函数的图象过点，
，
故选：．
12．如图，若反比例函数与一次函数交于、两点，当时，则的取值范围是
A．或 B．或 C． D．
【分析】写出反比例函数的图象在一次函数的图象上方的自变量的取值范围即可．
【解答】解：观察图象可知，当时，则的取值范围是或．
故选：．
13．如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是
A．或 B．或 C．或 D．或
【分析】根据和都在反比例函数上，可得，求出的值，根据图象即可确定的取值范围．
【解答】解：和都在反比例函数上，
，
解得，
，
根据图象可知，当时，则的取值范围是：或，
故选：．
14．函数与的图象交点横坐标可由方程求得，由此推断：方程中的大致范围是
A． B． C． D．
【分析】作函数与函数图象，观察交点横坐标即可得答案．
【解答】解：作函数与函数图象如下：
根据图象可得：两函数图象交点横坐标满足，即中的大致范围是，
故选：．
15．关于反比例函数的下列说法不正确的是
①该函数的图象在第二、四象限；
②，、，两点在该函数图象上，若，则；
③当时，；
④若反比例函数与一次函数的图象无交点，则的范围是．
A．①③ B．①③④ C．②③ D．②④
【分析】利用反比例函数的性质一一判断即可；
【解答】解：，，
反比例函数的图象在二四象限，故①正确，
，、，两点在该函数图象上，若，
无法判断、的具体位置，
不能确定与的大小；故②错误，
时，，
当时，；故③错误，
由，消去得到，，
反比例函数与一次函数的图象无交点，
△，
，
，故④正确，
故选：．
二．填空题（共20小题）
16．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则的值为 8 ．
【分析】先将点坐标代入反比例函数得，再将点坐标代入一次函数，得，即可求出的值．
【解答】解：将点代入反比例函数中，
得，
将点代入一次函数，
得，
，
．
故答案为：8．
17．如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为 或 ．
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】解：观察函数图象，发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
则不等式的解集是或．
故答案为：或．
18．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，则的值是 ．
【分析】将点的坐标代入，求出点，进而求解．
【解答】解：将点的坐标代入得：
，即点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：，
即答案为：．
19．如图，过点的直线交轴于点，，，曲线过点，将点沿轴负方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为 ．
【分析】作轴于，轴于，过作于，根据待定系数法求得直线解析式，进而求得的坐标，通过证得，得出，，设，则，，求得，得到反比例函数的解析式，把代入求得函数值，进一步求得的值．
【解答】解：作轴于，轴于，过作于，
过点的直线交轴于点，
，
解得，
直线为，
令，则求得，
，
轴于，过作于，
轴，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
设，
，，
，
解得，，
反比例函数的解析式为，
把代入，得，
，
故答案为：．
20．若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，且其中一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：另一个交点的坐标与点关于原点对称，
另一交点的坐标为．
故答案是：．
21．如图，直线与双曲线的图象交于点，点是该双曲线第一象限上的一点，且，则点的坐标为 ， ．
【分析】将点绕原点顺时针旋转到，作轴与，轴于，通过证得，求得的坐标，利用待定系数法求得直线的斜率，即可得出直线为，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得点的坐标．
【解答】解：将点绕原点顺时针旋转到，作轴与，轴于，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
解得或，
点的坐标为．
，，
，
设直线的解析式为，则，解得，
，，
，
直线为，
由，解得：，，
，，
故答案为：，．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是 或 ．
【分析】根据不等式的解集与一次函数和反比例函数图象交点坐标之间的关系进行判断即可．
【解答】解：不等式的解集，即不等式的解集，也就是时，所对应的自变量的取值范围，根据图象及交点的横坐标可知，
当或时，，即，
故答案为：或．
23．已知反比例函数的图象和一次函数的图象交于点和点，当函
数值时，的取值范围是 或 ．
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点与的横坐标，利用函数图象即可确定出所求的范围．
【解答】解：反比例函数的图象和一次函数的图象交于点和点，
根据图象得：当时，的范围是或．
故答案为：或．
24．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，其横坐标分别为1，5．则关于的不等式的解集是 或 ．
【分析】根据，则反比例函数小于一次函数，进而结合图象得出答案．
【解答】解：如图所示：关于的不等式的解集是：或．
故答案为：或．
25．已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是，当时，的取值范围是 ．
【分析】求出反比例函数关系式，根据两个函数图象以及交点坐标进行判断即可．
【解答】解：当时，，
，
反比例函数的关系式为，
当时，，，
当时，，
故答案为：．
26．如图，一次函数的图象交坐标轴于、两点，交反比例函数图象的一个分支于点，若点恰好是的中点，则的值是 ．
【分析】由一次函数解析式求得、的坐标，由点恰好是的中点求得的坐标，代入利用待定系数法即可求得．
【解答】解：一次函数的图象交坐标轴于、两点，
，，，
点恰好是的中点，
，，
反比例函数图象过点，
，
故答案为：．
27．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，且，则的值为 4 ．
【分析】把点分别代入、中，得，，进而求解即可．
【解答】解：把点分别代入、中，
得，，
即．
，
．
故答案为：4．
28．如果一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，，，两点，那么的值为 ．
【分析】正比例函数的图象与反比例函数的图象交于的两交点坐标关于原点对称，依此可得，，将展开，依此关系即可求解．
【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，，，两点，关于原点对称，依此可得，，
．
故答案为：．
29．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，当时，的取值范围是 或 ．
【分析】由两个函数图象的交点坐标可得答案．
【解答】解：由图象可知，当时，即一次函数值大于反比例函数值时，自变量的取值范围为或，
故答案为：或．
30．平面直角坐标系中，直线与相交于，两点，其中点在第一象限，设点为双曲线上一点，直线，分别交轴与，两点，则的值为 8 ．
【分析】由点纵坐标为1求出的坐标，设点坐标，则点坐标为，分别求出直线，解析式，从而可得，坐标，进而求解．
【解答】解：将代入得，
解得，
点坐标为，
设点坐标为，则点坐标为，
设直线解析式为，
将，代入得，
解得，
，
把代入得，
解得，
点坐标为，
同理可得直线解析式为，
把代入得，
解得，
点坐标为，
，
故答案为：8．
31．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第二象限交于点，将直线向上平移后与反比例函数的图象在第二象限交于点，如果的面积为24，则平移后的直线的函数表达式是 ．
【分析】将点坐标代入直线中求出的值，确定出的坐标，根据直线的平移规律设直线的解析式为，由同底等高的两三角形面积相等可得与面积相等，根据的面积为24列出方程，解方程求出，即，进而得出直线的解析式．
【解答】解：设平移后的直线交轴于点，连接，
直线过点，
，
解得，
．
设平移后的解析式为，
，
，
，
直线的解析式为，
故答案为：．
32．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．则不等式的解集为 或 ．
【分析】从函数图象看，当和时，在的上方，从而求解．
【解答】解：从函数图象看，当和时，在的上方，
故不等式的解集为或，
故答案为：或．
33．如图，一次函数与反比例函数的图象交点和两点，若，则的取值范围是 或 ．
【分析】根据一次函数图象位于反比例函数图象的上方，可得不等式的解．
【解答】解：一次函数图象位于反比例函数图象的上方，
由图象可得或；
故答案为或．
34．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值是 6 ．
【分析】式子变形，，函数与的图象交于点，可得，，即，，进而求出的值．
【解答】解：函数与的图象交于点，
，，
，，
，
．
故答案为：6．
35．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，若，则的值为 8 ．
【分析】求出直线与轴、轴的交点坐标，进而确定、的长，根据直角三角形的边角关系可求出，再根据，得出，由直角三角形的边角关系求出的长，进而求出、的长，由反比例函数系数的几何意义求出答案即可．
【解答】解：如图，过点作于，过点作轴于，
当时，，
点，
当时，即，
，
点，
，
，
由对称性可知，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
即，
，
，
，
故答案为：8．
三．解答题（共15小题）
36．在平面直角坐标系中，直线．与双曲线交于，两点，点的坐标为．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求出点坐标，并结合图象直接写出的解集．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）解析式联立成方程组，解方程组求得点的坐标，然后观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，
，
点，
，
，
反比例函数的表达式为；
（2）由解得或，
，
从图象看，的解集为．
37．如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接，求的面积；
（3）不等式的解集是 或 ．
【分析】（1）把点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得点坐标，再由、两点坐标可求得一次函数解析式；
（2）根据一次函数解析式可求得点的坐标，则可求得的长度，且根据点的坐标可求得到的距离，可求得的面积；
（3）根据两函数图象的交点即可求出反比例函数的值大于一次函数的值时的取值范围．
【解答】解：（1）点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，
，即点坐标为，
又、两点在一次函数图象上，
代入一次函数解析式可得，
解得．
一次函数解析式为；
（2）在中，令可得，
点坐标为，
，
又为，
到的距离为2，
；
（3）由一次函数与反比例函数的图象可知，当或时反比例函数的图象在一次函数图象的上方，
当或时，反比例函数的值大于一次函数的值，
即不等式的解集是或，
故答案为或．
38．如图，一次函数的图象交反比例函数图象于，，两点．
（1）求，的值；
（2）点是轴上一点，且，求点的坐标；
（3）请你根据图象直接写出不等式的解集．
【分析】（1）把点，代入中，利用待定系数法求得的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把代入求得的解析式，即可求得的值；根据待定系数法即可求得直线的表达式；
（2）根据待定系数法即可求得直线的表达式，即可求得直线与轴的交点，根据求得的面积，设点的坐标为，根据得到关于的方程，解方程求得，从而求得点的坐标；
（3）根据图象即可求得．
【解答】（1）把点，代入中，得：，
反比例函数的解析式为，
将点代入得；
（2）设直线的表达式为，
把，，代入得，
解得
直线的表达式为，
点的坐标为，
，
设点的坐标为，
，
，
解得：，
点的坐标为或；
（3）不等式的解集是或．
39．如图，正比例函数为常数）的图象与反比例函数的图象交于点．点为轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点．
（1）求的值及正比例函数的表达式；
（2）若，求线段的长．
【分析】（1）把点代入反比例函数关系式可求出的值，确定点的坐标，进而求出正比例函数的关系式；
（2）设点的坐标为，代入函数表达式中，得到和的坐标，根据的长度列出方程，求出值即可．
【解答】解：（1）把点代入反比例函数得，
，
点，代入得，，
正比例函数的关系式为；
（2）设点的坐标为，
将代入和中，
得，，
，，
，
线段在点右侧时，
，
解得：（舍或，
线段在点左侧时
解得：或，
的长度为4或1．
40．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）已知点的横坐标为3．
①求反比例函数的表达式；
②不等式的解集是 或 ；
（2）若，则的取值范围是 ．
【分析】（1）①先利用一次函数求出点坐标，再利用待定系数法，即可求得反比例函数的解析式；
②根据反比例函数的对称性求得的坐标，然后根据图象即可求得不等式的解集；
（2）由（1）可知当，时，，此时，若，则．
【解答】解：（1）①把代入，得到，
点，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的解析式为．
②，关于原点对称，，
，
由图象可知，不等式的解集是或，
故答案为：或；
（2）由（1）可知，当，时，则，此时，
若，则．
故答案为：．
41．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一、第三象限分别交于，两点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）求的面积；
（3）观察不等式的解集为： 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式．
（2）先求出直线与轴交点坐标，再由求解．
（3）由图象中直线在曲线下方时的取值范围求解．
【解答】解：（1）把代入得，
解得，
反比例函数解析式为，
把代入得，
解得，
点坐标为，
将，代入得，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）设直线与轴交点为，
把代入得，
直线与轴交点坐标为，，
．
（3）由图象可得当或时，直线在曲线下方，
当时，或．
故答案为：或．
42．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，，与轴相交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）直接写出：不等式的解集是 或 ；
（3）求的面积．
【分析】（1）用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求出点坐标，再将，点坐标代入一次函数求解即可；
（2）根据图象即可得出不等式的解集；
（3）先求出点坐标，再分别求出和的面积即可求出的面积．
【解答】解：（1）反比例函数的图象过，
，
反比例函数的解析式为：，
点在反比例函数图象上，
，
，
点的坐标为，
将点，坐标代入一次函数中，
得，
解得，
一次函数的解析式为：．
（2）根据图象可知，不等式的解集是：或．
故答案为：或；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，如下图所示：
一次函数与轴相交于点，
点坐标为，
，
点坐标为，
，
点坐标为，
，
．
43．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，，点的坐标为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求一次函数的表达式．
【分析】（1）作轴于，解直角三角形求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）利用反比例函数的解析式求得的值，从而求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
【解答】解：（1）作轴于，
，，
，
，
点，
点、在反比例函数的图象上，
，
，，
反比例函数的表达式为：；
（2），
，，
将点、的坐标代入一次函数，得，
解得，
故一次函数的表达式为：．
44．如图，平面直角坐标系中，直线、为常数，分别与，轴相交于点，，与双曲线为常数，分别交于点，（点在第一象限，点在第三象限），作轴于点．已知，．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）在轴上是否存在一点，使？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意点，的坐标分别为，，利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标，将点的坐标代入，即可求得反比例函数的解析式；
（2）设点的坐标为则，即可得到，解得的值，即可求得的坐标．
【解答】解：（1）在中，，．
点，的坐标分别为，，
将点，的坐标代入直线的表达式，得，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
点的坐标为，
将点的坐标代入得：，
解得，
反比例函数的表达式；
（2）存在，
设点的坐标为
则，
而，
解得或，
点的坐标为或．
45．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）观察图象，写出不等式的解集 或 ．
【分析】（1）代入，易求，从而可求反比例函数解析式，再把点坐标代入反比例函数解析式，易求，然后把、两点坐标代入一次函数解析式，易得关于、的二元一次方程，解可求、，从而可求一次函数解析式；
（2）设直线与轴交于点，再根据一次函数解析式，可求点坐标，再根据分割法可求的面积；
（3）观察可知当 或时，．
【解答】解：（1）把代入，得，
反比例函数的解析式是，
当时，，
，
把、代入中，得，
解得，
一次函数的解析式是；
（2）设直线与轴交于点，
当时，，
故点坐标是，
；
（3）不等式的解集 或．
故答案为： 或．
46．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点．
（1）求、对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积．
【分析】（1）把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值；把，两点的坐标代入到一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式；
（2）利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）直线与双曲线相交于，两点，
，，
双曲线的表达式为：，，
把和代入得：，
解得：，
直线的表达式为：；
（2）轴，，
，
．
47．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点．
（1）求点的坐标和反比例函数的关系式；
（2）直接写出当时，不等式的解集；
（3）若点在轴上，且的面积为3，求点的坐标．
【分析】（1）利用点在上求，进而代入反比例函数求得，即可求得反比例函数的表达式；
（2）把代入反比例函数，求得，观察图象即可求得当时，不等式的解集；
（3）由直线求得，设出点坐标表示三角形面积，求出点坐标．
【解答】解：（1）把点代入，得，
解得，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）把代入反比例函数得：，
，
由图象可知，当时，不等式的解集为；
（3）当时，则，
点，
设点的坐标为，
，
，
，
点或．
48．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、．
（1）求、的值；
（2）结合图象，直接写出不等式的解集：
（3）连接、，求的面积．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得的值，即可求得一次函数的解析式，代入即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）由直线解析式求得点的坐标，从而求出的面积．
【解答】解：（1）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、．
，
，
，
代入得，，
解得，
的值为．的值为；
（2），
，
，
观察图象，当或时，，
不等式的解集为或；
（3）由直线可知，
所以的面积．
49．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）结合图象直接写出不等式的解集．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设直线交轴于，则，根据求解即可；
（3）观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
，
点在反比例函数图象上，
．
，
把，的坐标代入，则，
解得，，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）如图，设直线交轴于，
则，
；
（3）观察函数图象知，
不等式的解集为或．
50．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，且与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接、，求的面积；
（3）由图象直接写出：当时，自变量的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式；
（2）求出，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据图像的上下关系即可求得．
【解答】解：（1）点在反比例函数的图像上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图像上，
，
点的坐标为，
点和点在一次函数的图像上，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）在中，令，则，
点的坐标为，
，
的面积为8；
（3）由图像可知，当时，自变量的取值范围为或．
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