6.2.4向量的数量积 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2.4 向量的数量积
情 景 导 入
力所做的功的计算
★ 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力的方
向与位移的方向的夹角为θ，则力F所做的功为
其中 是物体在位移方向上分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.
【思考1】
在向量的数乘运算中，常数·向量的运算结果是什么？向量·向量的结果呢？
物理中的功如何计算？
=标量
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【思考2】
根据矢量相乘的运算法则，思考的计算方式
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向量的夹角
对于两个非零向量则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角.
注意：
1、判断向量夹角时必须保证两个向量的起点相同。
2、两个向量的夹角范围一定（ 0≤θ≤π ）。当夹角为0时，两个向量同向；当夹角为π时，两个向量反向。
3、如果与的夹角是，则称与垂直，记作
向量与的夹角也可以表示为
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平面向量的数量积
已知两个非零向量与它们的夹角为我们把数量叫做向量与的数量积(也叫内积)，记作，即
【规定】零向量与任一向量的数量积为0
（1）在书写数量积时， 与 之间用实心圆点“ · ”连接，不能写成“ × ”,更不能不写.
注意：
(2)若为非零向量 0，则
(3)
(4)
典 例 讲 解
题型一：平面向量的数量积
例1 已知.
解：
=-10
典 例 讲 解
题型二：平面向量的夹角
【思考3】
根据平面向量数量积公式，如何计算两个向量与之间的夹角？
平面向量的夹角
由向量数量积即 可知
典 例 讲 解
例2 已知 ，求.
解：由，得
∵
∴
巩 固 训 练
已知非零.
(1)求
(2)当，求值.
题型三：平面向量的模长
典 例 讲 解
【思考4】
如果已知夹角如何计算
平面向量的模长
可知
典 例 讲 解
例3 已知向量值。
巩 固 训 练
已知向量。
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投影向量
【思考5】
如何值与的长度有何关系？
如图①，设 和 是两个非零向量，AB= ，CD= ，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1、B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量 向向量 投影，A1B1叫做向量 在向量
上的投影向量.
如图②，我们可以在平面内任取一点O，作OM= ，ON= .过点M作直线
ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量 在向量 上的投影向量.
设与 同方向的单位向量为 ， 与 的夹角为θ，则OM1=
【思考5】
如何值与的长度有何关系？
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投影向量
设 与 都是非零向量，θ为向量 与 的夹角， 是与 方向相同的单位向量，则有如下性质：
0
；
当且仅当向量共线时，等号成立
既可以证明向量垂直，也可以由垂直进行相关计算
可以用来求向量的模，实现实数运算往向量运算的转化
可用来求两个向量的夹角，夹角的取值与两个向量有关
可以通过向量来证明不等式问题或者求最值问题
向量数量积的性质
向量数量积的运算律
已知向量 和实数，向量的数量积满足下列运算律：
和实数的交换律相同
和实数的结合律相同
和实数的分配律相同
课 堂 小 结
向量的夹角
对于两个非零向量则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角.
平面向量的数量积
已知两个非零向量与它们的夹角为我们把数量叫做向量与的数量积(也叫内积)，记作，即
投影向量
向量数量积的运算律