（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册3.6直线与圆的位置关系 同步测试
一、单选题
1．（2022九下·长兴开学考）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离为6cm，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆心O到直线a的距离为d，则d=6 cm
∵⊙O的半径为6 cm，
即半径=d=6 cm，
∴直线a与⊙O的位置关系是相切.
故答案为：B.
【分析】由⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离d=6cm，根据直线与圆的位置关系判定方法：当d＞r时，直线与圆相离，当d＜r时，直线与圆相交，当d=r时，直线与圆相切，即可判断.
2．（2022九下·巴中月考）如图，若的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，，
∴这条直线与圆相交，
由图可知直线与圆心的距离较小，故这条直线可能是.
故答案为：C.
【分析】若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当r>d时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当r3．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2 =8.
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10.
故答案为：A.
【分析】由题意可求得大圆的直径是10，当AB是大圆的直径时，与圆由两个公共点，且AB最长是10；当AB与小圆相切时，AB与小圆只有一个公共点，用勾股定理可求得此时AB的长是8,；综合这两种情况可求得AB的范围是8≤AB≤10.
4．已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：
①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】①若d＞5时，∵d﹥r，∴直线与圆相离，又∵d-r﹥2，则m=0，故正确；
②若d=5时，∵d﹥r，∴直线与圆相离，又∵d-r=2，则m=1，故正确；
③若1＜d＜5，则m=2，故错误；
④若d=1时，直线与圆相交，则m=3，故错误；
⑤若d＜1时，直线与圆相交，则m=4，故正确.
故答案为：C.
【分析】①由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相离，且由题意d-r﹥2，所以没有这样的点，即m=0；②由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相离，且由题意d-r=2，所以这样的点只有一个，即m=1；③由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相交，这样的点有三个，即m=3；④由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相交，r-d=2，这样的点有三个，即m=3；⑤由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相交，这样的点有四个，即m=4。
5．（2022九下·四平期中）如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于，两点，则点P的坐标是 （ ）
A．（5，3） B．（3，5） C．（4，5） D．（5，4）
【答案】C
【知识点】点的坐标；切线的性质
【解析】【解答】过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．
∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，
∴OM=2，NO=8，
∴NM=6，
∵PD⊥NM，
∴DM=3
∴OD=5，
∴OQ2=OM ON=2×8=16，OQ=4．
∴PD=4，PQ=OD=3+2=5．
即点P的坐标是（4，5）．
故答案为：C．
【分析】过点P作PD⊥MN于D，连接PQ，根据OQ2=OM ON=2×8=16，OQ=4，求出PD=4，PQ=OD=3+2=5，即可得到点P的坐标。
6．（2022九下·巴中月考）若A，B为圆O上两个点，当A，B两点间优弧所对的圆周角为110°时，则圆O在A，B两点处的两条切线相交形成的锐角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质
【解析】【解答】解：如图：连接OA、OB，
∵A，B两点间优弧所对的圆周角为110°，
∴优弧AB的度数为，
∴劣弧AB的度数为，
，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=360° ∠OAP-∠OBP-∠AOB=360° 90°-90°-140°=40°.
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB，由题意可得优弧AB的度数为220°，劣弧AB的度数为140°，则∠AOB=140°，根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，然后根据四边形内角和为360°进行计算.
7．下列说法中，不正确的是（ ）
A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D．垂直于半径的直线是圆的切线
【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线这是切线的定义同时也是切线的一种判定方法，故本选项说法是正确的；
B、经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线是切线的判定定理，故本选项说法是正确的；
C、与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线即d=r，故本选项说法是正确的；
D、垂直于半径的直线是圆的切线也有可能是圆的割线，故本选项说法是不正确的；
故选D．
【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．
8．（2020九下·兰州月考）下列命题中，假命题是（ ）
A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线
C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【答案】A
【知识点】切线的性质；切线的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；可能经过圆心，故本选项错误；
B、圆的切线的判定定理：经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线；故本选项正确，故不符合题意；
C、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确，故不符合题意；
D、经过切点且垂直于切线的直线为圆的直径，所以它经过圆心；故本选项正确，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据切线的判定定理及性质定理即可一一判断得出答案.
9．（2017九下·莒县开学考）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结AC，BC. 若∠BAC=2∠BCO，AC=3，则PA的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【解答】∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∵∠BAC=2∠BCO，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵AP为圆O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠P=30°，
∵AC=3，
∴PA= .
故答案为：A
【分析】先证明△OAC为等边三角形，可得∠AOC=60°，再根据切线的性质可求得∠OAP=90°，然后根据正切的定义求得PA的值.
10．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA= AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
即AD⊥BC，①正确；
连接OD，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，∴④正确；
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠EDA=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠EDA=∠B，∴②正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AC=AB，
∵OA=OB= AB，
∴OA= AC，∴③正确．
故答案为：D．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得AD⊥BC；连接OD，根据三角形的中位线定理可得DO∥AC，结合已知条件DE⊥AC可得OD⊥DE，则DE是⊙O的切线；根据DE是⊙O的切线可得∠ODA+∠EDA=90°，而∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°可得∠EDA=∠ODB，易得∠EDA=∠B；根据等腰三角形三线合一可得AC=AB，易得OA= AC。所以选项D符合题意。
二、填空题
11．（2022九下·汕头期末）在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径为方程x2-2x-15=0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是
【答案】相切
【知识点】因式分解法解一元二次方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵x2-2x-15=0，
∴（x-5）（x+3）=0，
∴x=5或x=-3（不符合题意，舍去），
∴圆的半径为5，
∵⊙A的圆心坐标为（3，5），
∴点A到x轴的距离=5，
∴⊙A与x轴的位置关系是相切.
故答案为：相切.
【分析】先求出方程的解，得出圆的半径为5，再根据点A到x轴的距离=半径，即可得出⊙A与x轴的位置关系是相切.
12．（2020九下·上海月考）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相切，那么⊙D的半径等于 ．
【答案】8或18
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接BD
由勾股定理得，BD＝ ＝13，
∵点A在⊙B上
∴⊙B的半径为5
当⊙D与⊙B外切时，⊙D的半径＝13﹣5＝8
当⊙D与⊙B内切时，⊙D的半径＝13+5＝18
故答案为：8或18．
【分析】连接BD，由勾股定理求出圆心距BD＝13，分两圆外切时和两圆内切时两种情况，求出⊙D的半径．
13．（2022九下·定海开学考）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，且PC＝12，则⊙O的半径为
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∵∠BOC=2∠A=60°，tan∠BOC=，
∴OC===.
故答案为：.
【分析】连接OC，根据切线的性质得OC⊥PC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOC的度数，然后在Rt△PCO中根据正切三角函数的定义求OC长即可.
14．（2021九下·咸宁月考）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2， cos∠OAB= ，则AB的长是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC.
∵AB是⊙O切线，
∴OC⊥AB，AC=BC，
∵cos∠OAB= ，
∴设
根据勾股定理得，
.
故答案为： .
【分析】连接OC，由切线的性质可得OC⊥AB，AC=BC，设AC=2x，则OA=3x，然后在Rt△OAC中利用勾股定理表示出OC，由OC=OD=2可求得x的值，进而得到AC、AB的值.
15．如图，已知∠BOA=30°，M为OA边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M.点M在射线OA上运动，当OM=5cm时，⊙M与直线OB的位置关系是 .
【答案】相离
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】作MH⊥OA于H，如图，
在Rt△OMH中，∵∠HOM=30°，
∴MH= OM= ，
∵⊙M的半径为2，
∴MH＞2，
∴⊙M与直线OB的位置关系是相是离.
故答案为相离.
【分析】作MH⊥OA于H，在Rt△OMH中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得MH=OM，把MH的值与半径2比较大小，根据直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离可判断求解。
16．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为 时，BP与⊙O相切．
【答案】2秒或5秒
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：连接OP
∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB=OA，OA=OP，
∴OB=2OP，∠OPB=90°；
∴∠B=30°；
∴∠O=60°；
∵OA=6cm，
弧AP= =2π，
∵圆的周长为：12π，
∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π=10π；
∴当t=2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．
故答案为：2秒或5秒．
【分析】根据切线的判定与性质进行分析即可．若BP与⊙O相切，则∠OPB=90°，又因为OB=2OP，可得∠B=30°，则∠BOP=60°；根据弧长公式求得弧AP长，除以速度，即可求得时间．
三、作图题
17．（2023九上·靖江期末）如图，已知P是⊙O上一点，用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线.
要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明.
【答案】（1）解：方法一：如图1中，连接OP，以OP为直径作圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求.如图所示.
（2）解：如图2，作直径AP，作直径所对的圆周角，过点P作 使与在BP的两侧且，过点C作直线l，则直线l即为所作的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OP，以OP为直径作圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求；
（2）作直径AP，作直径所对的圆周角∠B，过点P作∠BPC，使∠BPC与∠A在BP的两侧且∠BPC=∠A，过点C作直线l，则直线l即为所作的切线.
四、解答题
18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由.
【答案】解：⊙A与直线BC相交.
过A作AD⊥BC，垂足为点D.
∵AB=AC，BC=16，
∴BD= BC= ×16=8，
在Rt△ABC中，AB=10，BD=8，
∴AD= =6，
∵⊙O的半径为7，
∴AD＜r，
⊙A与直线BC相交.
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】
过A作AD⊥BC，垂足为点D，由等腰三角形的三线合一可得BD=
BC，在Rt△ABC中， 用勾股定理可求得AD的值，把AD的值与圆的半径比较大小可知AD
＜r，根据直线和圆的位置关系可得⊙A与直线BC相交。
19．（2021九上·丰县期中）如图，在两个同心圆O中，、都是大圆的弦，且，与小圆相切于点D，则与小圆相切吗？请说明理由.
【答案】解：过点O作于E，设小圆与的切点为D，连接，如图，
由切线性质可知，
由垂径定理可知，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴与小圆相切.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；垂径定理；切线的性质；切线的判定
【解析】【分析】 过点O作OE⊥AC于E，设小圆与AB的切点为D，连接OD、OA，由切线性质可知OD⊥AB， 由垂径定理可知AD=DB，AE=EC，结合AB=AC可得AD=AE，利用HL证明Rt△ AEO≌Rt△ADO，得到OE=OD，据此证明.
20．（2021九上·铅山期末）如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
【答案】证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，OM为半径，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD，
∵OC=OC，
∴△OMC≌△ONC（AAS），
∴ON=OM=半径，∠ONC=90°，
∴CD与⊙O相切．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，利用“AAS”证明△OMC≌△ONC，可得ON=OM=半径，∠ONC=90°，即可得到CD与⊙O相切。
21．（2021九上·永吉期末）如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数．
【答案】解：∵AC为⊙O的切线，
∴∠OAC=90°．
∵OA=OB，∠B=25°，
∴∠OAB=∠B=25°．
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB
=90°-25°
=65°．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】先求出 ∠OAC=90° ，再求出 ∠OAB=∠B=25° ，最后计算求解即可。
22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C为圆心，r为半径作圆，那么：
（1）当直线AB与⊙C相切时，求r的取值范围；
（2）当直线AB与⊙C相离时，求r的取值范围；
（3）当直线AB与⊙C相交时，求r的取值范围．
【答案】（1）解：过作CD⊥AB于D，
∵在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，
∴BC=
∵S△ABC=AC×BC=AB×CD
∴3×4=5CD
解之：CD=2.4
∵当直线AB与⊙C相切时，d=r，
∴r=2.4
（2）解：由(1)可知，d=CD=2.4
∵当直线AB与⊙C相离时，d>r，
∴r<2.4
（3）解：由(1)可知，d=CD=2.4
∵当直线AB与⊙C相交时，d＜r，
∴r＞2.4
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据S△ABC=AC×BC=AB×CD，求出CD的长。
（1）当直线AB与⊙C相切时，即C到AB的距离d等于⊙C的半径r，d=r。
（2）当直线AB与⊙C相离时，即C到AB的距离d大于⊙C的半径r，d＞r。
（3）当直线AB与⊙C相交时，即C到AB的距离d＜⊙C的半径r，d＜r。即可求解。
23．（2022九下·长兴月考）如图，已知等边△ABC的边长为6，点O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边AC，AB分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连结EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：在等边三角形ABC中，∠BAC=∠C=∠B=60°，
连结OD，则OA=OD，
∴∠ODA=∠BAC=60°，
∴∠ODA=∠C，
∴OD∥BC
∵DF⊥BC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：EF是⊙O的切线，
∴EF⊥AB，
∴∠BEF=∠CFD=90°，
由（1）得DF是⊙O的切线，
∴EF=FD．
又∠B=∠C，
∴△BEF≌△CFD（AAS）
∴BE=FC，
设⊙O的半径为r，则FC=BE=6-2r，
∴BF=2r，
在Rt△BEF中，BE=cosB·BF．
即6-2r=cos60°×2r，解得r=2．
【知识点】切线的判定与性质；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）连结OD，则OA=OD，由等边三角形性质得∠BAC=∠C=∠B=60°，求得∠ODA=60°，
推出△ADO为等边三角形，进而得∠ODA=∠C，再根据同位角相等，两直线平行推出OD∥BC，结合DF⊥BC，可推出DF⊥OD，即可证明结论成立；
（2）根据EF是⊙O的切线，可得EF⊥AB，进而得∠BEF=∠CFD=90°，由（1）中结论可知DF是⊙O的切线，根据切线长定理得EF=FD，可证明△BEF≌△CFD，由全等性质得BE=FC，设⊙O半径为r，表示出BE=6-2r，由直角三角形性质再求出BF=2r，再由∠B的余弦可得BE=cosB·BF，即6-2r=cos60°×2r，解出r即可.
24．（2022九下·长沙月考）如图⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF.
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：AC2=4OD·OP；
（3）若BC=6，，求AC的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OB.
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形.
∵BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB.
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥AP，
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA为⊙O的切线.
（2）证明：∵直线PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°.
∵BA⊥PO于D，
∴∠PDA=∠ODA =90°，
∴∠PAO=∠ODA，
∵∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴.
∴OA2=OD OP.
又∵AC=2OA，
∴AC2=4OD OP；
（3）解：∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=BC=3.
设AD=x，
∵tan∠F==，
∴FD=2x，
∴OA=OF=FD-OD=2x-3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
（2x-3）2=x2+32，
解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去），
∴AD=4，OA=2x-3=5，
∵AC是⊙O的直径，
∴AC=2OA=10，
∴AC的长为10.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBO=90°，易得△AOB是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得AD=BD，∠POA=∠POB，证明△PAO≌△PBO，得到∠PAO=∠PBO=90°，据此证明；
（2）根据切线的性质可得∠PAO=90°，根据同角的余角相等可得∠PAO=∠ODA，证明△OAD∽△OPA，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（3）易得OD为△ABC的中位线，则OD=BC=3，设AD=x，根据三角函数的概念可得FD=2x，则OA=OF=2x-3，利用勾股定理可得x，然后求出AD、OA，进而可得AC的长.
25．（2022九下·杭州月考）如图， 是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点，连接BD，CD，过点D作DP∥BC与AC的延长线交于点P．
（1）求证：△ABD∽△ADP
（2）求证：DP是⊙O的切线；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm 时，求线段PC的长．
【答案】（1）证明：∵ 的平分线交 于点
∴∠BAD=∠DAP，
又∵ ，∴∠ACB=∠APD
又∠ACB=∠ADB，∴∠APD=∠ADB
∴△ABD∽△ADP
（2）证明：如图，连接 ，
是 的直径， ，
平分 ， ，
由圆周角定理得： ，
，
又 ，
∴ 是 的切线
（3）解： ，
， ，
在 中， ，
由圆周角定理得： ，
， ，
又 ， ，
， ，
由圆内接四边形的性质得： ，
，
，
，即 ，解得
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据角平分线定义求出∠BAD=∠DAP，再根据圆周角的性质和平行线的性质求出∠APD=∠ADB，则可证明 △ABD∽△ADP ；
(2)根据角平分线的定义和圆周角定理，求出∠BOD=∠BAC=90°，结合平行线的性质，再求出OD⊥DP，即可得出结论；
(3)根据勾股定理先求出BC，再求出出BD=CD，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质求出BC=BD= 13，再证明△ABD∽△DCP，根据相似三角形的性质列出比例式求解，即可求出结果.
1 / 1（北师大版）2022-2023学年九年级数学下册3.6直线与圆的位置关系 同步测试
一、单选题
1．（2022九下·长兴开学考）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离为6cm，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
2．（2022九下·巴中月考）如图，若的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
4．已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：
①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
5．（2022九下·四平期中）如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于，两点，则点P的坐标是 （ ）
A．（5，3） B．（3，5） C．（4，5） D．（5，4）
6．（2022九下·巴中月考）若A，B为圆O上两个点，当A，B两点间优弧所对的圆周角为110°时，则圆O在A，B两点处的两条切线相交形成的锐角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
7．下列说法中，不正确的是（ ）
A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D．垂直于半径的直线是圆的切线
8．（2020九下·兰州月考）下列命题中，假命题是（ ）
A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线
C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
9．（2017九下·莒县开学考）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结AC，BC. 若∠BAC=2∠BCO，AC=3，则PA的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA= AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个
二、填空题
11．（2022九下·汕头期末）在平面直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（3，5），半径为方程x2-2x-15=0的一个根，那么⊙A与x轴的位置关系是
12．（2020九下·上海月考）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相切，那么⊙D的半径等于 ．
13．（2022九下·定海开学考）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，且PC＝12，则⊙O的半径为
14．（2021九下·咸宁月考）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2， cos∠OAB= ，则AB的长是 .
15．如图，已知∠BOA=30°，M为OA边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M.点M在射线OA上运动，当OM=5cm时，⊙M与直线OB的位置关系是 .
16．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为 时，BP与⊙O相切．
三、作图题
17．（2023九上·靖江期末）如图，已知P是⊙O上一点，用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线.
要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明.
四、解答题
18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由.
19．（2021九上·丰县期中）如图，在两个同心圆O中，、都是大圆的弦，且，与小圆相切于点D，则与小圆相切吗？请说明理由.
20．（2021九上·铅山期末）如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．
21．（2021九上·永吉期末）如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数．
22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C为圆心，r为半径作圆，那么：
（1）当直线AB与⊙C相切时，求r的取值范围；
（2）当直线AB与⊙C相离时，求r的取值范围；
（3）当直线AB与⊙C相交时，求r的取值范围．
23．（2022九下·长兴月考）如图，已知等边△ABC的边长为6，点O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边AC，AB分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连结EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径．
24．（2022九下·长沙月考）如图⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF.
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：AC2=4OD·OP；
（3）若BC=6，，求AC的长.
25．（2022九下·杭州月考）如图， 是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点，连接BD，CD，过点D作DP∥BC与AC的延长线交于点P．
（1）求证：△ABD∽△ADP
（2）求证：DP是⊙O的切线；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm 时，求线段PC的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设圆心O到直线a的距离为d，则d=6 cm
∵⊙O的半径为6 cm，
即半径=d=6 cm，
∴直线a与⊙O的位置关系是相切.
故答案为：B.
【分析】由⊙O的半径为6cm，圆心O到直线a的距离d=6cm，根据直线与圆的位置关系判定方法：当d＞r时，直线与圆相离，当d＜r时，直线与圆相交，当d=r时，直线与圆相切，即可判断.
2．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，，
∴这条直线与圆相交，
由图可知直线与圆心的距离较小，故这条直线可能是.
故答案为：C.
【分析】若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当r>d时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当r3．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2 =8.
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10.
故答案为：A.
【分析】由题意可求得大圆的直径是10，当AB是大圆的直径时，与圆由两个公共点，且AB最长是10；当AB与小圆相切时，AB与小圆只有一个公共点，用勾股定理可求得此时AB的长是8,；综合这两种情况可求得AB的范围是8≤AB≤10.
4．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】①若d＞5时，∵d﹥r，∴直线与圆相离，又∵d-r﹥2，则m=0，故正确；
②若d=5时，∵d﹥r，∴直线与圆相离，又∵d-r=2，则m=1，故正确；
③若1＜d＜5，则m=2，故错误；
④若d=1时，直线与圆相交，则m=3，故错误；
⑤若d＜1时，直线与圆相交，则m=4，故正确.
故答案为：C.
【分析】①由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相离，且由题意d-r﹥2，所以没有这样的点，即m=0；②由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相离，且由题意d-r=2，所以这样的点只有一个，即m=1；③由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相交，这样的点有三个，即m=3；④由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相交，r-d=2，这样的点有三个，即m=3；⑤由直线与圆的位置关系可知：直线与圆相交，这样的点有四个，即m=4。
5．【答案】C
【知识点】点的坐标；切线的性质
【解析】【解答】过点P作PD⊥MN于D，连接PQ．
∵⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，
∴OM=2，NO=8，
∴NM=6，
∵PD⊥NM，
∴DM=3
∴OD=5，
∴OQ2=OM ON=2×8=16，OQ=4．
∴PD=4，PQ=OD=3+2=5．
即点P的坐标是（4，5）．
故答案为：C．
【分析】过点P作PD⊥MN于D，连接PQ，根据OQ2=OM ON=2×8=16，OQ=4，求出PD=4，PQ=OD=3+2=5，即可得到点P的坐标。
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质
【解析】【解答】解：如图：连接OA、OB，
∵A，B两点间优弧所对的圆周角为110°，
∴优弧AB的度数为，
∴劣弧AB的度数为，
，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=360° ∠OAP-∠OBP-∠AOB=360° 90°-90°-140°=40°.
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB，由题意可得优弧AB的度数为220°，劣弧AB的度数为140°，则∠AOB=140°，根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，然后根据四边形内角和为360°进行计算.
7．【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线这是切线的定义同时也是切线的一种判定方法，故本选项说法是正确的；
B、经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线是切线的判定定理，故本选项说法是正确的；
C、与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线即d=r，故本选项说法是正确的；
D、垂直于半径的直线是圆的切线也有可能是圆的割线，故本选项说法是不正确的；
故选D．
【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．
8．【答案】A
【知识点】切线的性质；切线的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；可能经过圆心，故本选项错误；
B、圆的切线的判定定理：经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线；故本选项正确，故不符合题意；
C、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确，故不符合题意；
D、经过切点且垂直于切线的直线为圆的直径，所以它经过圆心；故本选项正确，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据切线的判定定理及性质定理即可一一判断得出答案.
9．【答案】A
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【解答】∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∵∠BAC=2∠BCO，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵AP为圆O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠P=30°，
∵AC=3，
∴PA= .
故答案为：A
【分析】先证明△OAC为等边三角形，可得∠AOC=60°，再根据切线的性质可求得∠OAP=90°，然后根据正切的定义求得PA的值.
10．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
即AD⊥BC，①正确；
连接OD，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，∴④正确；
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠EDA=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠EDA=∠B，∴②正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AC=AB，
∵OA=OB= AB，
∴OA= AC，∴③正确．
故答案为：D．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得AD⊥BC；连接OD，根据三角形的中位线定理可得DO∥AC，结合已知条件DE⊥AC可得OD⊥DE，则DE是⊙O的切线；根据DE是⊙O的切线可得∠ODA+∠EDA=90°，而∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°可得∠EDA=∠ODB，易得∠EDA=∠B；根据等腰三角形三线合一可得AC=AB，易得OA= AC。所以选项D符合题意。
11．【答案】相切
【知识点】因式分解法解一元二次方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵x2-2x-15=0，
∴（x-5）（x+3）=0，
∴x=5或x=-3（不符合题意，舍去），
∴圆的半径为5，
∵⊙A的圆心坐标为（3，5），
∴点A到x轴的距离=5，
∴⊙A与x轴的位置关系是相切.
故答案为：相切.
【分析】先求出方程的解，得出圆的半径为5，再根据点A到x轴的距离=半径，即可得出⊙A与x轴的位置关系是相切.
12．【答案】8或18
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接BD
由勾股定理得，BD＝ ＝13，
∵点A在⊙B上
∴⊙B的半径为5
当⊙D与⊙B外切时，⊙D的半径＝13﹣5＝8
当⊙D与⊙B内切时，⊙D的半径＝13+5＝18
故答案为：8或18．
【分析】连接BD，由勾股定理求出圆心距BD＝13，分两圆外切时和两圆内切时两种情况，求出⊙D的半径．
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∵∠BOC=2∠A=60°，tan∠BOC=，
∴OC===.
故答案为：.
【分析】连接OC，根据切线的性质得OC⊥PC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOC的度数，然后在Rt△PCO中根据正切三角函数的定义求OC长即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OC.
∵AB是⊙O切线，
∴OC⊥AB，AC=BC，
∵cos∠OAB= ，
∴设
根据勾股定理得，
.
故答案为： .
【分析】连接OC，由切线的性质可得OC⊥AB，AC=BC，设AC=2x，则OA=3x，然后在Rt△OAC中利用勾股定理表示出OC，由OC=OD=2可求得x的值，进而得到AC、AB的值.
15．【答案】相离
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】作MH⊥OA于H，如图，
在Rt△OMH中，∵∠HOM=30°，
∴MH= OM= ，
∵⊙M的半径为2，
∴MH＞2，
∴⊙M与直线OB的位置关系是相是离.
故答案为相离.
【分析】作MH⊥OA于H，在Rt△OMH中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得MH=OM，把MH的值与半径2比较大小，根据直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离可判断求解。
16．【答案】2秒或5秒
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：连接OP
∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB=OA，OA=OP，
∴OB=2OP，∠OPB=90°；
∴∠B=30°；
∴∠O=60°；
∵OA=6cm，
弧AP= =2π，
∵圆的周长为：12π，
∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π=10π；
∴当t=2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．
故答案为：2秒或5秒．
【分析】根据切线的判定与性质进行分析即可．若BP与⊙O相切，则∠OPB=90°，又因为OB=2OP，可得∠B=30°，则∠BOP=60°；根据弧长公式求得弧AP长，除以速度，即可求得时间．
17．【答案】（1）解：方法一：如图1中，连接OP，以OP为直径作圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求.如图所示.
（2）解：如图2，作直径AP，作直径所对的圆周角，过点P作 使与在BP的两侧且，过点C作直线l，则直线l即为所作的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OP，以OP为直径作圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求；
（2）作直径AP，作直径所对的圆周角∠B，过点P作∠BPC，使∠BPC与∠A在BP的两侧且∠BPC=∠A，过点C作直线l，则直线l即为所作的切线.
18．【答案】解：⊙A与直线BC相交.
过A作AD⊥BC，垂足为点D.
∵AB=AC，BC=16，
∴BD= BC= ×16=8，
在Rt△ABC中，AB=10，BD=8，
∴AD= =6，
∵⊙O的半径为7，
∴AD＜r，
⊙A与直线BC相交.
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】
过A作AD⊥BC，垂足为点D，由等腰三角形的三线合一可得BD=
BC，在Rt△ABC中， 用勾股定理可求得AD的值，把AD的值与圆的半径比较大小可知AD
＜r，根据直线和圆的位置关系可得⊙A与直线BC相交。
19．【答案】解：过点O作于E，设小圆与的切点为D，连接，如图，
由切线性质可知，
由垂径定理可知，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴与小圆相切.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；垂径定理；切线的性质；切线的判定
【解析】【分析】 过点O作OE⊥AC于E，设小圆与AB的切点为D，连接OD、OA，由切线性质可知OD⊥AB， 由垂径定理可知AD=DB，AE=EC，结合AB=AC可得AD=AE，利用HL证明Rt△ AEO≌Rt△ADO，得到OE=OD，据此证明.
20．【答案】证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，OM为半径，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD，
∵OC=OC，
∴△OMC≌△ONC（AAS），
∴ON=OM=半径，∠ONC=90°，
∴CD与⊙O相切．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，利用“AAS”证明△OMC≌△ONC，可得ON=OM=半径，∠ONC=90°，即可得到CD与⊙O相切。
21．【答案】解：∵AC为⊙O的切线，
∴∠OAC=90°．
∵OA=OB，∠B=25°，
∴∠OAB=∠B=25°．
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB
=90°-25°
=65°．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】先求出 ∠OAC=90° ，再求出 ∠OAB=∠B=25° ，最后计算求解即可。
22．【答案】（1）解：过作CD⊥AB于D，
∵在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，
∴BC=
∵S△ABC=AC×BC=AB×CD
∴3×4=5CD
解之：CD=2.4
∵当直线AB与⊙C相切时，d=r，
∴r=2.4
（2）解：由(1)可知，d=CD=2.4
∵当直线AB与⊙C相离时，d>r，
∴r<2.4
（3）解：由(1)可知，d=CD=2.4
∵当直线AB与⊙C相交时，d＜r，
∴r＞2.4
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据S△ABC=AC×BC=AB×CD，求出CD的长。
（1）当直线AB与⊙C相切时，即C到AB的距离d等于⊙C的半径r，d=r。
（2）当直线AB与⊙C相离时，即C到AB的距离d大于⊙C的半径r，d＞r。
（3）当直线AB与⊙C相交时，即C到AB的距离d＜⊙C的半径r，d＜r。即可求解。
23．【答案】（1）证明：在等边三角形ABC中，∠BAC=∠C=∠B=60°，
连结OD，则OA=OD，
∴∠ODA=∠BAC=60°，
∴∠ODA=∠C，
∴OD∥BC
∵DF⊥BC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：EF是⊙O的切线，
∴EF⊥AB，
∴∠BEF=∠CFD=90°，
由（1）得DF是⊙O的切线，
∴EF=FD．
又∠B=∠C，
∴△BEF≌△CFD（AAS）
∴BE=FC，
设⊙O的半径为r，则FC=BE=6-2r，
∴BF=2r，
在Rt△BEF中，BE=cosB·BF．
即6-2r=cos60°×2r，解得r=2．
【知识点】切线的判定与性质；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）连结OD，则OA=OD，由等边三角形性质得∠BAC=∠C=∠B=60°，求得∠ODA=60°，
推出△ADO为等边三角形，进而得∠ODA=∠C，再根据同位角相等，两直线平行推出OD∥BC，结合DF⊥BC，可推出DF⊥OD，即可证明结论成立；
（2）根据EF是⊙O的切线，可得EF⊥AB，进而得∠BEF=∠CFD=90°，由（1）中结论可知DF是⊙O的切线，根据切线长定理得EF=FD，可证明△BEF≌△CFD，由全等性质得BE=FC，设⊙O半径为r，表示出BE=6-2r，由直角三角形性质再求出BF=2r，再由∠B的余弦可得BE=cosB·BF，即6-2r=cos60°×2r，解出r即可.
24．【答案】（1）证明：如图，连接OB.
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形.
∵BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB.
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥AP，
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA为⊙O的切线.
（2）证明：∵直线PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°.
∵BA⊥PO于D，
∴∠PDA=∠ODA =90°，
∴∠PAO=∠ODA，
∵∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴.
∴OA2=OD OP.
又∵AC=2OA，
∴AC2=4OD OP；
（3）解：∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=BC=3.
设AD=x，
∵tan∠F==，
∴FD=2x，
∴OA=OF=FD-OD=2x-3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
（2x-3）2=x2+32，
解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去），
∴AD=4，OA=2x-3=5，
∵AC是⊙O的直径，
∴AC=2OA=10，
∴AC的长为10.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得∠PBO=90°，易得△AOB是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得AD=BD，∠POA=∠POB，证明△PAO≌△PBO，得到∠PAO=∠PBO=90°，据此证明；
（2）根据切线的性质可得∠PAO=90°，根据同角的余角相等可得∠PAO=∠ODA，证明△OAD∽△OPA，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（3）易得OD为△ABC的中位线，则OD=BC=3，设AD=x，根据三角函数的概念可得FD=2x，则OA=OF=2x-3，利用勾股定理可得x，然后求出AD、OA，进而可得AC的长.
25．【答案】（1）证明：∵ 的平分线交 于点
∴∠BAD=∠DAP，
又∵ ，∴∠ACB=∠APD
又∠ACB=∠ADB，∴∠APD=∠ADB
∴△ABD∽△ADP
（2）证明：如图，连接 ，
是 的直径， ，
平分 ， ，
由圆周角定理得： ，
，
又 ，
∴ 是 的切线
（3）解： ，
， ，
在 中， ，
由圆周角定理得： ，
， ，
又 ， ，
， ，
由圆内接四边形的性质得： ，
，
，
，即 ，解得
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据角平分线定义求出∠BAD=∠DAP，再根据圆周角的性质和平行线的性质求出∠APD=∠ADB，则可证明 △ABD∽△ADP ；
(2)根据角平分线的定义和圆周角定理，求出∠BOD=∠BAC=90°，结合平行线的性质，再求出OD⊥DP，即可得出结论；
(3)根据勾股定理先求出BC，再求出出BD=CD，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质求出BC=BD= 13，再证明△ABD∽△DCP，根据相似三角形的性质列出比例式求解，即可求出结果.
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