河南省洛阳第一高级中学2013-2014学年高二下学期第一次月考试题 数学（理） Word版含答案

一、选择题（125分=60 分）
1．若复数为实数，则实数a的值是 （ ）．
A． B． C．或 D．或
2．某西方国家流传这样的一个政治笑话： “鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”.结论显然是错误的，是因为（ ）．
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
3．（ ）
A． B． C． D．
4. 已知则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．b>c>a
5．已知函数，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.已知,若,则( )
A．4 B．5 C．-2 D．-3
7.已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )
A.1 B. C.2 D.3
8．若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
9.设0<A.f ()< f ()C.f ()< f ()10．= （ ）
A. B. C. D.
11．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记，则下列结论中错误的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12.对于任意两个正整数,定义某种运算:当都为偶数或奇数时, ;当中一个为奇数,另一个为偶数时, .则在上述定义下,集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
二．填空题：（45分=20分）
13.由曲线与所围成的曲边形的面积为____________.
14.已知为复数，为虚数单位，为纯虚数，，且，则复数 .
15．已知为一次函数，且，则=____________.
16．仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数为____________.
三．解答题（17题10分，其他题每题12分，计70分）
17. 已知为复数，和都是实数，其中为虚数单位。
（1）求复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围。
18.请观察以下三个式子:①；②；
③。
归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明.
19．设函数
（1）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围。
（2）当时，恒成立。求实数的取值范围。
20．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且．
（1）求的表达式；
（2）若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值．
21. 已知是函数的一个极值点．
（1）求的值；
（2）任意，时，证明：．
22.已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

2013-2014学年下学期高二第一次月考数学（理）答案
1-5 ACACD 6-10 ACBDD 11-12 DB
13. 14. 15. =x-3/4 16. 91
17. （1）因为为实数，所以设，
则 则，
因为为实数，所以，即。所以。
，因为复数在复平面上对应的点在第一象限，所以， 所以。
18.解析：
证明：①当，左边=3，右边=3，所以左边=右边。
②假设当时，命题成立，
即，
那么当时，
，
所以当时命题成立,由（1）、（2）知，命题成立.
19．解：①
0
0
所以函数的极大值为，极小值为
因为关于的方程=有三个不同的实根


20.解：（1）设，则．
由已知，得，．．
又方程有两个相等的实数根，，即．
故；
（2）依题意，得，
，
整理，得，即，．
21. 解析：（1），
因为在处取得极值，所以，所以。
经检验，满足在处取得极值，所以。
证明：由（1）知，，，令，则。
0
（0,1）
1
（1,2）
2
-
0
+
-2
递减
极小值
递增
0
在处取得极小值，该极小值为在上的最小值，
在区间上的最大值为0，最小值为。
对于，有．
所以，即。
22.解析：（1）由题意 ．
当时，函数的定义域为，，则，，则，此时函数在上是减函数，在上是增函数，
当时，函数的定义域为，，则，，则，此时函数在上是减函数，在上是增函数。
（2）假设存在这样的切线，设其中一个切点，
∴切线方程：，将点坐标代入得：
，即， ①
设，则．
令，则或。
（0,1）
1
（1,2）
2
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
所以在区间，上是增函数，在区间上是减函数，
在处取得极大值，在处取得极小值，
所以在上恒成立，即在上无解。
因为，，在区间上单调递增，根据零点存在性定理，在区间上有且仅有一个实数根，即方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．