高考数学高妙百题精选（PDF版含解析）

高妙百题精选
好题新题精选（一）
1.已知y=f(x)是R上的减函数，其图像经过点A(0,1)和B(3,一1)，则不等式
|f(x)<1的解集是
()
A.{x1B.{x|0C.{x-1D.{xx<0或x>3}
2.将正三棱柱（如图a所示，A,B,C分别是△GHI三边的中点）截去三个角得到几
何体如图b所示，则该几何体按图b所示方向的侧视图（或称左视图）为
()
.入
侧视
第2越图a
第2趣b
3.如图所示，在长方体ABCD-A1B,C1D1中，AB=6,AD
=4,AA=3.分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成
三部分，其体积分别记为V1=VAEA,-DFD,V2=VEBE,A,-FCF,D,V3
=Va,E,BC,F,c.若V:V2:V=1:4:1,则截面AEFD的面
积为
第3题图
A.4√/10
B.8V3
C.413
D.16
4.用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只
用其中几种)，使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为
A.24
B.36
第4题图
C.72
D.84
5.如图所示，是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案，
它是由一串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=
A,A8=1,它可以形成近似的等角螺线，如果把图中的直角三角形继续
下去，并记OA1,OA2,…,OA的长度所组成的数列为{am}(n∈Z),
则数列{a,}的一个通项公式为
6.x,y为实数，满足x2+y2≤1，则x2+2xy一y2的最大值
第5题图
为
7.已知数列{an}中，a1=1,an+3≤an十3，a+2≥am十2.则a2018=
8.设函数f(x)=x2+2bx十c(c(1)证明：-3(2)若m是方程f(x)+1=0的一个实根，判断f(m一4)的正负并加以证明.
9.已知函数f(x)=1一ax2(a>0,x>0),该函数图像在点P(xo,f(xo))处的切线
为l,设切线l与x轴、y轴分别交于M(x1,0)和N(0,y2)两点.
(1)将△MON(O为坐标原点)的面积S表示为x。的函数S(xo.
(2)若函数y=f(x)的图像与x轴交于点T(t,0),则x1与t的大小关系如何？请证
明你的结论。
(3)若在x。=2处，S(x)取得最小值，求此时a的值及s(x)的最小值，
10.设二次函数f(x)=a.x2十bx十c(a>bc),已知f(1)=0,且存在实数m,使f(m)=一a.
(1)试推断f(x)在区间[0，十∞)上是否为单调函数，并说明你的理由；
(2)设g(x)=f(x)十bx,对于x1,x2∈R,且x1≠x2,若g(x1)=g(x2)=0,求
|x1一x2的取值范围；
(3)求证：f(m十3)>0.
11.椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2√2，相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线1与
x轴相交于点A,OF=2FA,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若OP.OQ=0,求直线PQ的方程；
(3)设AP=入AQ(>1),过点P且平行于准线1的直线与椭圆相交于另一点M,证
明FM=一AFQ.
12.已知函数f(x)=x3十(m-x)3(m∈Z).
(1)若x1、x2∈(0，m),求证：
①+≥2色）；@f)+f)≥2f:
(2)若an=f(n),n=1,2…,m-1,其中m≥3，m∈Z,求证：a1十am-1≥a2十am-2
(3)对于任意的a,bc∈[公号m],问：以fa)f6)e)的值为长度的三条线段是
否可构成三角形？请说明理由
好题新题精选（一）解答
1.B2.A3.C.提示：由V1:V2:V:=1：4:1→(V1+Vs):V2=2:4=1:2,
又(V1+V3):V2=AE:EB=1:2→AE=2,EB=4→AE=√AA,2+AE=√22+3=√/13
→SAD,=AE·EF=√13X4=4√/13，故选C
4.D.提示：选两色有C种，一色选择对角有2种选法，共计2C=12种；选三色有C种，其中一
色重复有C种选法，该色选择对角有2种选法，另两色选位有2种，共计4×3×2×2=48种；四色全
用有4！=24种（因A,B,C,D为固定位置），合计84种.
5.an=√n
6.√2.提示：设x=rcos0,y=rsin0,0≤r≤1，一元<0≤元，则x2+2xy-y2|=
r1cos0+2sin6cos0-sin0l=r1sin20+cos201=rsin(20+)≤V2(当r=1,20+至=±受
时取等号).