数学人教A版（2019）必修第一册5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（共21张ppt）

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
第一课时
正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
正弦函数五个关键点:
图像的最高点
与x轴的交点
图像的最低点
余弦函数五个关键点:
图像的最高点
与x轴的交点
图像的最低点
探究1：正弦函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，那么正弦函数“周而复始”的间隔（周期）是多少？
每个2π个单位
图象重复出现
从几何的角度（正弦曲线）来分析：
周期 T=2π
从代数的角度（诱导公式）来分析：
观察正弦函数的图像
(1) 正弦函数具有“周而复始”的变化规律；
(2) 规律是：每隔2?重复出现一次（或者说每隔2k?，k?Z重复出现）；
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx可以说明.
数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
结论：像这样一种函数叫做周期函数.
周期函数定义
问题1：等式sin(30o+120o)=sin30o是否成立？120o是否是正弦函数y=sinx的一个周期？
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x+T∈D 且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
问：正弦函数和余弦函数只有一个周期吗？
最小正周期
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期。
正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
对于周期问题，求解的步骤如下：
第一步，先用换元法转换：比如对于“（2）y＝cos 2x，x∈R”，
令2x＝t，所以y＝f (x)＝cos 2x＝cos t；
第二步，利用已知的三角函数的周期找关系：
由cos(2π＋t)＝cos t，代入可得：cos(2π＋2x)＝cos 2x；
第三步，根据定义变形：变形可得：cos 2(π＋x)＝cos 2x，
于是就有f (x＋π)＝f (x)；
第四步，确定结论：根据定义可知其周期为π．

回顾例1的解答过程中，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
函数的周期与x的系数有关
问题：观察正弦函数和余弦函数的图像，它们是否具有奇偶性？若具有，它们各自具有什么奇偶性质？
探究：从形与数两方面探究正弦函数和余弦函数的奇偶性
从几何的角度（正余弦曲线）来分析：
从代数的角度（诱导公式）来分析：
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
课堂练习
1.求下列函数的周期：
（5）函数 的最小正周期为_________.
本节课我们主要是通过图像直观研究了正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性及对称性，并应用这些性质解决了相关问题，希望大家在今后的学习中不断深化对正弦函数和余弦函数性质的理解．