1 1 1
2022-2023 学年度高中 开学考试卷 8．设 a ,b ln 2, c ln 3，则（ ）e 2 3
高一数学试题 A． a c b B．c b a C．a b c D．b c a
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 二、多选题(共 20 分)
第 I卷（选择题） 9．若 a b， c 0，则下列不等式成立的是（ ）
A． ac2 bc2 B． a c b c
一、单选题(共 40 分) a b
C．a b c D．
1．已知集合U 1,2,3,4,5,6 ， A 2,4,5 ， B 1,3,6 ，则 A UB
c c
=（ ）
10．已知角 是第二象限角，则角 所在的象限可能为（ ）
A． 26 B． 2,4,5 C． 2,4,6 D． 2, 4,5, 6
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．命题“对任意一个实数 x，都有 2x 4 0 ”的否定是（ ）
11．已知 sin cos
1 π π
，且 ，则下列结果正确的是（ ）
A．对任意一个实数 x，都有2x 4 0 8 4 2
5 3
B．存在一个实数 x，使得2x 4 0 A． sin cos B． cos sin 2 2
C．存在实数 x，使得2x 4 0 C．cos sin 3 D． tan 4 15
2
D．对任意实数 x，使得2x 4 0
12．对于函数 f x 2sin x π 下列结论正确的是（ ）
3．已知 a R，则“0 a 1”是“ x R, ax2 2ax 1 0 ”的（ ） 3
A．函数 f (x)的最小正周期是 π
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1 1 B．函数 f (x)的最大值是 2
4．若两个正实数 x，y满足 x y 1，则 x y的最小值为（ ）
C．函数 f (x)
π
的图像关于直线 x 对称
A．2 2 B．2 C．4 D． 4 2 6
π
5．2018年 5月至 2019 f (x)年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到 D．函数 的图像关于点 ( ,0)对称6
2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为 6%，最初有 N0只，则大约经过（ ）天能 第 II 卷（非选择题）
达到最初的 1600倍(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995. 三、填空题(共 20 分)
A．126 B．150 C．197 D．199 1 13．已知指数函数 f x 的图象经过点 , 2 ，则 f 2 ___________．
2
6． cos 300 sin 17π （ ）
6 14 f x log x2．若函数 3 ax 4 的定义域为R ，则实数 a的取值范围是______.
1 1
A B C 3 D 3． ． ．
4 4
． y tan 2ax π π4 4 15．已知函数 a 0 的最小正周期为 ，则 a的值为__________．
6 2
(3, 2) sin 2cos 7．如果角 的终边经过点 ，则 （ ）
3sin cos 16 x．已知 f x 是定义域为R 的奇函数，当 x 0时， f x 2 x2 1，若对于任意 x 0, ，不等式
4 4 1 1
A．－ B． C． D．－
9 9 11 11 f x2 t 2 f x x2 2 x 2恒成立，则 t的最小值是______.
第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页
四、解答题(共 70 分) 22．已知函数 f x cos x 3 ( 0)，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为 ． 2
3
17．（1）已知 cos ，且 0, ，求 sin ， tan ．
5 (1)求函数的单调区间和对称中心．
（2）已知 tan 2，求 sin cos 的值． (2)若关于 x 2
的方程2sin x mcos x 4 0在 x 0， 上有实数解，求实数m的取值范围．
2
3sin 4cos
18．已知 2，求下列各式的值：
cos 2sin
(1)1 sin cos cos2 ；
sin
3π
cos( ) tan
2 tan( π )
2
(2) .
sin(2π ) cos π
2
19．已知函数 f (x) sin
1 x 2 4 ．
(1)求函数 f (x)的最小正周期及对称轴方程；
(2)求函数 f (x)的单调递增区间．
f x 120．已知函数 sin π 2x
， x R .2 3
(1)求 f x 的最小正周期及单调递增区间；
π π
(2) f x 求 在区间 , 上的最大值和最小值． 4 4
21．新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应
国家节能减排的号召，2021年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本 2 500
10x2 500x 2, 0 x 40
万元． 每生产 x(百辆)新能源汽车，需另投入成本 C(x)万元，且C(x) 由市场调
901x
6400
6200, x 40
x
研知，每辆车售价 9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出 2021年的利润 L(x)(万元)关于年产量 x(百辆)的函数关系式；
(2)当 2021年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页参考答案：
【解析】建立关系式 N x0 1 0.06 1600N0 ，由对数运算法则可求得解.
1．B
【详解】设经过 x天能达到最初的 1600倍
【分析】通过集合的交并补混合运算直接得出答案.
x
【详解】 U 1, 2,3, 4,5,6 ， B 故 1,3,6 N 1 0.06 1600N， 0 0
x log 1600 ln1600
B 2,4,5 故 ， 1.06 126U ln1.06
故选：A A 2,4,5 ，
6．A
A UB 2,4,5 ，
【分析】根据诱导公式即可化成特殊角求值.
故选：B.
【详解】cos 300 cos60 1 ,sin 17π sin 2π
5π
sin
5π sin π 1 cos 300 sin17π 1 1 1，故 ，
2．B 2 6 6 6 6 2
6 2 2 4
故选：A
【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.
x 7．A【详解】由全称量词命题的否定可知，原命题的否定为“存在一个实数 ，使得2x 4 0”.
【分析】根据三角函数的定义和弦化切的方法求解.
故选：B.
3．C 【详解】由题可得 tan
y 2
，
x 3
【分析】解不等式 ax2 2ax 1 0求出 a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义求解即可. 4
所以 sin 2cos tan 2 4 3 ，
【详解】由 x R, ax2 2ax 1 0 ”可知， 3sin cos 3tan 1 2 1 9
当 a 0时，1 0显然成立， 故选:A.
当 a 0时，由一元二次函数的图像和性质可知 a 0且 (2a)2 4a 0，解得 0 a 1， 8．D
ln x
综上当0 a 1时， x R, ax2 2ax 1 0， 【分析】利用作差法，判断运算结果与 0比较，即可得出b c，判断 a,c可构造函数 f (x) ，根据导数x
所以“0 a 1”是“ x R, ax2 2ax 1 0 ”的充要条件， 符号可得出 f (x) 在 [e, ) 上单调递减, 然后即可得出 a,c的大小关系，从而得出结论.
故选：C ln 2 ln 3 ln8 ln 9【详解】由 0 得 b c；
2 3 6
4．C
a 1 ln e ,c ln3 ln x 1 ln x而 ，设 f (x) , f (x) 2 ,
【分析】利用基本不等式求得正确答案. e e 3 x x
x [e, ) 时, f (x) 0, f (x) 在 [e, ) 上单调递减,
【详解】∵ x y 1， x 0， y 0，
f (e) f (3) , 且 a f (e) , c f (3) ,
1 1 x y x y y x y x
∴ 2 2 2 4，
x y x y x y x y c a .
综上，b c a
当且仅当 x y
1
时取“＝”.
2 故选：D.
故选：C
9．AC
5．A
【分析】根据不等式的性质和作差法逐项分析判断.
答案第 1页，共 5页
【详解】对 A：∵ a b， c 0，则 c2 0， 故选:ACD.
∴ ac2 bc2，A正确； 12．BC
对 B：∵ a b，故 a c b c，B错误； 【分析】由正弦函数的性质对四个选项一一验证.
对 C：∵ c 0，故 a a c b c，即 a b c，C正确； 【详解】由函数 f x 2sin x π
.
3
a b a b
对 D：做差可得： 2π
c c c 对于 A：函数的最小正周期T 2π .故 A错误；
1
∵ a b， c 0，则 a b 0，
对于 B：函数的最大值为 2.故 B正确；
a b 0 a b∴ ，即 ，D错误； π π π πc c c x 对于 C：当 时， f 2sin6 6
6 3
2 .故 C正确；
故选：AC.
对于 D：要求 f x 2sin π π π x 的对称中心，只需 x kπ, k Z ，解得：x kπ, k Z ，所以对称
10．AC 3 3 3
π
中心为 kπ,0 k Z .故 D错误.
【分析】用不等式表出第二象限角 的范围，再求得 的范围后判断．
2
3
故选：BC
【详解】角 是第二象限角，则 2k 2k ,k Z，
2 13．16
k k ,k Z， 1
4 2 2 【分析】设 f (x) ax (a 0且 a 1)，根据 f ( ) 2求出 a 4，再根据 f (x) 4x可求出结果.
2
k为奇数时， 是第三象限角， k为偶数时， 是第一象限角，
2 2 【详解】设 f (x) ax (a 0且 a 1)，
故选：AC． 1 1
由 f ( ) 2，得
2 a2 2
，解得 a 4，
11．ACD
x 2
【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 所以 f (x) 4 ，所以 f (2) 4 16.
2
【详解】因为 sin cos sin 2 cos 2 2sin cos 5 ， 故答案为：16 .
4
π π 5 14． 4,4
且 ，所以 sin cos 0,所以
4 2 sin cos
，
2 【分析】根据题意可知： x2 ax 4 0在R 上恒成立，则有 a2 16 0，解之即可求解.
故 A正确；
【详解】因为函数 f x log x23 ax 4 的定义域为R，
cos sin 2 3 cos 2 sin 2 2sin cos ，
4 所以 x2 ax 4 0在R 上恒成立，则有 a2 16 0，
π π且 ，所以 sin cos 所以
4 2 cos sin
3
，
2 解得： 4 a 4，所以实数 a的取值范围是 4,4 ，
B错误，C正确； 故答案为： 4,4 .
sin cos
5 5 3
15． 1
2
sin
4
联立 解得 ， 【分析】根据正切型三角函数确定最小正周期的表达式，即可求 a的值.
cos sin
3
cos
5 3
2 4 π
【详解】因为函数 y tan 2ax
a 0
π
的最小正周期为 ，
6 2
所以 tan
sin
4 15 ，故 D正确；
cos
答案第 2页，共 5页
π π
所以 (2) 22a 2 ，即 a 1 .
故答案为： 1 .
5 【分析】（1）根据已知信息利用 tan
sin
可得 tan 2，将式子转化成含 tan 的表达式即可求得结果；
16． cos
4
（2）根据（1）利用诱导公式化简即可求得结果.
【分析】先利用函数的解析式和奇偶性判断函数的单调性，然后利用函数的解析式可知
3sin 4cos 2 3 tan 4
2 f x 【详解】（1）由 可得 2 x2 2x 2 f x 1 ，然后利用函数的单调性建立不等式，然后参变分离求最值即可. cos 2sin 1 2 tan
即 tan 2，
【详解】解：由题意得 f x 在 0, 上单调递增，因为 f x 是定义域为R 的奇函数，所以 f x 在R 上单调
1 sin cos cos 2 1 sin cos cos
2 tan 1 2
所以
sin 2 cos2
1
递增. tan
2 1 5
1 sin cos cos 2 得
2
因为 x 0, ， 5
（2）利用诱导公式将原式化简得
所以 2 f x x 2 2x 2 2 2 x x 2 1 x 2 2x 2 2 x 1 x 2 2x
sin 3π cos( ) tan
2 tan( π )
2x 1 (x 1)2 1 f x 1 2 ，
sin(2π ) cos π
所以 f 2 2x t f x 1 ，得 x2 t x 1，即 t x2 x 1恒成立.
cos cos tan 2 ( tan )
2 sin ( sin )5 5
因为 x2 x 1 5 5 1 x ，所以 t ，即 t的最小值是 . tan
2 4 4 4 4 2
5
故答案为： . 19．(1)T 4 ，对称轴方程为 x 2k ， k Z
4 2
4 2 3
17．（1） ；（2） ． (2) 4k , 4k
， k Z
3 5 2 2
【分析】(1)根据题意和同角三角函数的基本关系，结合 0, 即可求出 sin 的值，进而根据切化弦公式
【分析】（1）利用正弦函数的周期性和对称性求解；
可求出 tan 的值；
（2）利用正弦函数的单调性求解；
(2)根据 tan 2可得出sin cos
sin cos
，分子和分母同时除以 2 即可得出答案．
sin2 cos cos2 (1)
【详解】(1) cos
3
，且 0, ， 1 5 解：由函数 f (x) sin x 知：
2 4
4
sin 1 cos2 ，
5 2
f (x) T 1 4 的最小正周期为 ，
tan sin 4 ； 2
cos 3
1
(2) tan 2， 令 x k ， k Z ，得 x 2k ， k Z ．2 4 2 2
sin cos sin cos tan 2 2 ． 故 f (x)的对称轴方程为 x 2k
， k Z ．
sin2 cos2 1 tan2 1 4 5 2
2
18．(1) (2)
5
答案第 3页，共 5页
2k 1 令 x 2k ， k Z ， 【分析】（1）由所给的模型写出函数式，需分段求解；
2 2 4 2
3 （2）分别由二次函数的性质和基本不等式求得最大值后比较大小即可得出答案.
得 4k x 4k ， k Z ．
2 2 【详解】（1）当0 x 40时，L(x)＝9×100x－10x2－500x－2 500-2＝－10x2＋400x－2 502；
3
故 f (x)
的单调递增区间为 4k , 4k ， k Z ． 6400 64002 2 当 x 40时，L(x)＝9×100x－901x－ ＋6 200－2 500＝3700－ x x x
，
5
20．(1) ， k k （ k Z） 212 12 10x 400x 2502, 0 x 40
所以 L(x)
1 1 3700 (x
6400
) , x 40
(2)最大值为 2 ，最小值为 x4
（2）当0 x 40时，
L(x)＝－10(x－20)2＋1498，所以当 x＝20时，L(x)max＝1498；
【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可；
π π 5π 当 x 40时，
（2）令 t 2x， t ,
，结合正弦函数的图象和性质即可求解.3 6 6 6400
L(x)＝3 700－ x ≤3 700－2 x
6400
＝3 540x
【详解】（1）函数 f x 1 sin 2x
1
sin
2x
π
x
2 3 2 3
， x R ，
6400
(当且仅当 x＝ ，即 x＝80时，“＝”成立)．
所以函数 f
2 x
x 的最小正周期T 2 ，
因为 3 540>1498，
π
因为 y sin x
的单调递增区间为 2kπ,
3π
2kπ ， k Z ， 2 2 所以当 x＝80时，即 2021年生产 80百辆时，该企业获得利润最大，
2k 2x π 2k k Z 5 k x 令 ， ，解得： k ， k Z， 且最大利润为 3 540万元．
2 3 2 12 12
5 22．(1)答案见解析
所以函数 f x 的单调递增区间为 k k （ k Z）. 12 12
(2) , 4
π π π π 5π
（2）当 x 时， 2x ，
4 4 6 3 6
π π 5π
令 t 2x
， t , ，
3 6 6 【分析】（1）根据已知可求出周期，即可得出 2，根据余弦函数的性质即可求出单调区间和对称中心；
则 g t 1 π π π 5π 1 1 sin t 在 ,
上单调递增，在 , 上单调递减， （2）令 t cos x，则可得 2t
2 mt 2 0在 0，1 上有解，m 2 t ，求出 f t 2 t 的值域即可.2 6 2 2 6 t t
所以 g t π 1 π 1 g sin ， (1) max 2 2 2 2
t π
π 1
g sin
π 1 5π
t 5π g
1 sin 5π 1 函数
f x cos x ( 0) ，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为 ．
又当 时， ，当 时， ， 3 26 6 2 6
4 6 6 2 6 4
1
1
周期 T
2
，即T ，那么
，可得 2．
所以 g t ， 2 2 min 4
π π 1 1 f (x)
cos 2x
综上： f x 在区间 ,
，
上的最大值为 ，最小值为 . 3
4 4 2 4
2 2 10x 400x 2502, 0 x 40 令 2k 2x 2k ， k Z，解得 k x k ， k Z，
3 3 6
21．(1) L(x) ；
3700 (x
6400
) , x 40 2
x 可得函数的单调递增区间 k ,k ， k Z， 3 6
(2)当 x＝80时，即 2021年生产 80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为 3 540万元
令 2k
2x 2k ， k Z，解得 k - ＃x k + ， k Z，
3 6 3
答案第 4页，共 5页
k , k ∴可得函数的单调递减区间 , k Z， 6 3
k k
令 2x k ，解得 x
，可得对称中心为 ,0 , k Z；3 2 2 12 2 12
(2)
方程 2sin2 x mcos x 4 0在 x 0， 上有实数解，即 2cos2 x mcos x 2 0 在 x
0 ， 上有实数解，
2 2
t cos x 令 ， x 0， 上， t (0,1)，
2
则 2t2 mt 2 0在 0，1 上有解，m
1
2 t ，
t
易得 f t 1 2 t
在 0，1 上单调递增，且 t 0时， f t ，所以m f 1 4，
t
所以m范围为 , 4 .
答案第 5页，共 5页
