6.4 探索三角形相似的条件　同步练习(含解析)　2022—2023学年苏科版数学九年级下册

苏科版九下 6.4 探索三角形相似的条件
一、选择题（共14小题）
1. 在 中，， 的余弦是
A. B. C. D.
2. 如果两个相似三角形的周长比为 ，那么它们的对应角平分线的比为
A. B. C. D.
3. 下列说法中，不正确的是
A. 两角对应相等的两个三角形相似
B. 两边对应成比例的两个三角形相似
C. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
D. 三边对应成比例的两个三角形相似
4. 如图，已知 与 都是等边三角形，点 在边 上（不与点 ， 重合）， 与 相交于点 ，那么与 相似的三角形是
A. B. C. D.
5. 下列命题中，说法正确的是
A. 所有菱形都相似
B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似
C. 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍
D. 斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似
6. 如图，已知 ，，，那么 的长等于
A. B. C. D.
7. 下列格点三角形中，与右侧已知格点 相似的是
A. B.
C. D.
8. 在 和 中，，若添加一个条件，使得 ，则下列条件中不符合要求的是
A. B.
C. D.
9. 如图，点 ， 分别在 的边 ， 上，下列条件中一定能判定 的是
A. B. C. D.
10. 已知点 ， 分别在 的边 ， 的反向延长线上，且 ，如果 ，，那么 的长是
A. B. C. D.
11. 如图，在平面直角坐标系中，已知 ，，以 为顶点， 为一边作 角，角的另一边交 轴于 （ 在 上方），则 坐标为
A. B. C. D.
12. 如图，已知 是 边 上的一点，如果 ，那么下列结论中正确的是
A. B.
C. D.
13. 如图，在 中，，， 为 边上的一点，且 ．若 的面积为 ，则 的面积为
A. B. C. D.
14. 如图，已知 ，它们依次交直线 ， 于点 ，， 和点 ，，．如果 ，，那么 等于
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题）
15. 如图，在 中，，，，，那么 的值是 ．
16. 如图，在 中，，， 分别为边 ， 上的点，，，点 为 边上一点，添加一个条件： ，可以使得 与 相似．（只需写出一个）
17. 如图，已知 中，， 分别在边 ， 上，， 平分 ，交 于 ，若 ，则 ．
18. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在 的网格中， 是一个格点三角形，如果 也是该网格中的一个格点三角形，它与 相似且面积最大，那么 与 相似比的值是 ．
19. 如图，已知 ，它们依次交直线 ， 于点 ，， 和点 ，，．如果 ，，那么线段 的长是 ．
三、解答题（共5小题）
20. 已知四边形 是菱形，，点 在射线 上，点 在射线 上，且 ．
（1）如图，如果 ，求证：；
（2）如图，当点 在 的延长线上时，如果 ，设 ，，试建立 与 的函数关系式，并写出 的取值范围；
（3）连接 ，，当 是等腰三角形时，请直接写出 的长．
21. 已知，如图，在四边形 中，，点 在边 上 ，，过点 作 ，交线段 于点 ，连接 ．
（1）求证：；
（2）如果射线 经过点 ，求证：．
22. 如图，已知 ，，，，．
（1）求 的长；
（2）求 的长．
23. 已知：如图，在 中， 是 的直径， 是弦，点 ， 在 上，，．
求证：．
24. 如图，在梯形 中，，，，对角线 与 交于点 ．点 是线段 上一点，且 ．
（1）求证：；
（2）如果 ，，求 的长．
答案
1. C
【解析】在 中，，则 ．
2. A
【解析】 两个相似三角形的周长比为 ，
两个相似三角形的相似比为 ，
它们的对应角平分线之比为 ．
3. B
4. C
5. D
【解析】A．所有菱形不一定相似，故该选项不正确，不符合题意；
B．两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，故该选项不正确，不符合题意；
C．三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍，故该选项不正确，不符合题意；
D．斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似，故该选项正确，符合题意．
6. C
【解析】，
，即 ，
，
．
7. A
【解析】 的三边长分别为：，
，，
，
为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别：，，，
，
A选项符合题意，
D选项中三边长度分别为：，，，
．
8. D
9. B
【解析】A．由 ，不能得到 ，故本选项不合题意；
B．由 ，能得到 ，故本选项符合题意；
C．由 ，不能得到 ，故本选项不合题意；
D．由 ，不能得到 ，故本选项不符合题意；
10. C
【解析】，
，，
，
，
，
，
又 ，
，
．
11. B
【解析】过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，如图所示：
，，
，，，
，
，
，，
，
，
设 ，则 ，
，
在 中，由勾股定理得：，
解得：（负根舍去），
，
，
点 ．
12. B
【解析】因为 ，，
所以 ，所以 ，
即 ．
13. C
【解析】，，
，
，即 ，解得， 的面积为 ，
的面积为：．
14. C
【解析】，
，
，，
，
，
．
15.
【解析】，，
，，
，
，
．
故答案为：．
16. （或 或 或 或 或 或 ）
【解析】，，
，
又 ，
，
．
故要使 与 相似，只需再添加一角相等，或夹角的两边成比例即可．
17.
【解析】，，
，
，
，
，
，
平分 ，
．
18.
19.
【解析】，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
解得：，经检验符合题意；
故答案为：．
20. （1） 四边形 是菱形，，
菱形 是正方形，
，，
，
，
．
（2） 如图 ，在 上截取 ，
四边形 是菱形，
，，
是正三角形，
，，
，，
，
，
，
．
（3） 如图 ，当 时，作 于 ，以 为圆心， 为半径画弧交 于 ，作 于 ，
，，，，
，
四边形 是菱形，
，
，，
，
，
，
，
由①②得，，
如图 ，当 时，作 于 ，以 为圆心， 为半径画弧交 于 ，作 于 ，作 于 ，
，
，
由 得，，
，
，
由第一种情形知：，，
，，
由①②得，，
，
，
，即 ．
综上所述：．
21. （1） ，
，，
，即 ，
．
，
，，
，即 ，
．
又 ，
四边形 为平行四边形，
，
，
在 和 中，
．
（2） 如图，连接 ．
射线 经过点 ，
点 ，， 共线．
，即 ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
22. （1） ，
，即 ，
解得 ，
．
（2） ，
，
又由（）知 ，
，即 ，
解得 ．
23. 提示：过点 作 ，垂足为 ，可证明 ，从而推出 ，所以 ．
24. （1） ，
，
，即 ，
，，
，
，
，
．
（2） ，，，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
．