新高考数列选题
1．（2000天津）（15）设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________。
2．（2003天津文）5．等差数列 （ ）A．48 B．49 C．50 D．51
3．（2001天津）若Sn是数列{an}的前n项和，且则是 （ ）
（A）等比数列，但不是等差数列 （B）等差数列，但不是等比数列
（C）等差数列，而且也是等比数列 （D）既非等比数列又非等差数列
4．（2000天津理）（21）（本小题满分12分）
（I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数。
（II）设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。
5．（2000天津文）（19）（本小题满分12分）
设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求。
6．（2002天津理）21、（本题满分12分）已知两点，且点使，，
成公差小于零的等差数列。
（1）点P的轨迹是什么曲线？
（2）若点P坐标为，记为与的夹角，求。
7．（2002天津理）22、（本题满分14分）已知是由非负整数组成的数列，满足，，。
(1)求；
(2)证明；
(3)求的通项公式及其前项和。
8．（2003江苏理）（22）（本小题满分14分）
设，如图，已知直线及曲线上的点的横坐标为作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明
（Ⅲ）当时，证明
9．（2003天津理）（22）（本小题满分14分）
设为常数，且．
（Ⅰ）证明对任意≥1，；
（Ⅱ）假设对任意≥1有，求的取值范围．
10．（2003天津文）19．（本题满分12分）
已知数列
（Ⅰ）求
（Ⅱ）证明
参考答案
1.; 2. c ; 3.B; 5. 解：设等差数列的公差为，则
∵ ，，∴ 即
解得 ，。 ∴， ∵ ，∴ 数列是等差数列，其首项为，公差为，∴ 。
10. （Ⅰ）∵a1=1 . ∴a2=3+1=4, a3=32+4=13 .
（Ⅱ）证明：由已知an－an－1=3n－1,故
所以证得.
9. （1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；
（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则
那么
也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立.
证法二：如果设 用代入，可解出.
所以是公比为－2，首项为的等比数列.
即
（2）解法一：由通项公式
等价于 ……①
（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为
即为 ……②
②式对k=1，2，…都成立，有
（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为
即为 ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有
综上，①式对任意n∈N*，成立，有
故a0的取值范围为
解法二：如果（n∈N*）成立，特别取n=1，2有
因此 下面证明当时，对任意n∈N*，
由an的通项公式
（i）当n=2k－1，k=1，2…时，
（ii）当n=2k，k=1，2…时，
故a0的取值范围为
8.（Ⅰ）解：∵
∴ ∴
， ∴
（Ⅱ）证明：由a=1知 ∵ ∴
∵当
∴
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，
因此
=
O
c
y
l
x
Q1
Q2
Q3
a1
a2
a3
r2
r1第六章 数列、极限与数学归纳法
考试内容：
数列。等差数列及其通项公式、前n项和的公式。等比数列及其通项公式、前n项和的公式。
数列的极限及其四则运算。
数学归纳法及其应用。
考试要求：
(1)理解数列的有关概念。了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
(2)掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。
(3)了解数列极限的意义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。
(4)了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题。
一、选择题
1. 给出20个数:87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.它们的和是( )(86年(5)3分)
(A)1789 (B)1799 (C)1879 (D)1899
2. 设命题甲:△ABC的一个内角为60o，命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么( )(88年(11)3分)
(A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件
(C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3. 已知{an}是等比数列,如果a1＋a2＋a3＝18,a2＋a3＋a4＝－9,Sn＝a1＋a2＋……＋an,那么的值等于( )(89年(5)3分)
(A)8 (B)16 (C)32 (D)48
4. 已知{an}是等比数列,且an＞0,a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25,那么a3＋a5＝( )(91年(7)3分)
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
5. 的值等于( )(91年(12)3分)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
6. 在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6＝9,则log3a1＋log3a2＋……＋log3a10＝( )(93年(7)3分)
(A)12 (B)10 (C)8 (D)2＋log35
7. 某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3个小时,这种细菌由一个可繁殖成( )(94年(5)4分)
(A)511个 (B)512个 (C)1023个 (D)1024个
8. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若＝( )(95年(12)5分)
(A)1 (B) (C) (D)
9. 等比数列an的首项a1＝－1，前n项和为Sn，已知等于( )(96年(10)4分)
(A) (B)－ (C)2 (D)－2
10. 等差数列{an}的前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是( )(96年(12)5分)
(A)130 (B)170 (C)210 (D)260
11. 在等比数列{an}中,a1＞1,且前n项和Sn满足,那么a1的取值范围是( )(98年(15)5分)
(A)(1,＋∞) (B)(1,4) (C)(1,2) (D)(1,)
二、填空题
1. ＝____________.(86年(14)4分)
2. ＝____________.(87年(12)4分)
3. 已知等比数列{an}的公比q＞1，a1＝b(b≠0)，则＝_______.(88年(24)4分)
4. 已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn是{an}的前n项和，那么等于_______.(90年(18)3分)
5. 已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是_________.(92年(23)3分)
6. 已知等差数列{an}的公差d＞0，首项a1＞0，S＝______.(93年(24)3分)
三、解答题
1. 设a (n＝1,2,3……),
Ⅰ.证明不等式对所有的正整数n都成立;
Ⅱ.设b (n＝1,2,3……),用极限定义证明.(85年(16)10分)
2. 已知x1＞0,x1≠1,且x (n＝1,2,3……).试证:数列{xn}或者对任意的自然数n都满足xn＜xn＋1,或者对任意的自然数n都满足xn＋1＜xn.(86年(22)12分)
3. 设数列a1,a2,……an,……的前项和Sn与an的关系是Sn＝－ban＋1－,其中b是与n无关的常数,且b≠－1,
Ⅰ.求an和an＋1的关系式;
Ⅱ.写出用n和b表示an的表达式;
Ⅲ.当0＜b＜1时,求极限Sn.(87年(20)12分)
4. 是否存在常数a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切自然数n成立？并证明你的结论.(89年(23)10分)
5. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.(90年(21)10分)
6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3＝12,S12＞0,S13＜0,
Ⅰ.求公差d的取值范围;
Ⅱ.指出S1,S2,……S12中哪一个值最大,并说明理由.(92年(27)10分)
7. 设{an}是正数组成的数列,其前n项的和为Sn,并且对所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项,
Ⅰ.写出数列{an}的前3项;
Ⅱ.求数列{an}的通项公式(写出推导过程);
Ⅲ.令b,(n∈N),求(b1＋b2＋……＋bn－n).(94年(25)14分)
8. 设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和,
Ⅰ.证明:(lgSn＋lgSn＋2)＜lgSn＋1;
Ⅱ.是否存在常数c＞0,使得[lg(Sn－c)＋lg(Sn＋2－c)]＜lg(Sn＋1－c)成立 并证明你的结论.(95年(25)12分)
9. 已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p＞q,且p≠1,q≠1.设cn＝an＋bn,Sn为数列{cn}的前项和,求.(97年(21)11分)
10. 已知数列{bn}是等差数列,b1＝1,b1＋b2＋……＋b10＝145.
①求数列{bn}的通项bn;
②设数列{an}的通项an＝loga(1＋)(其中a>0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与的大小,并证明你的结论.(98年(25)12分)
11. 右图为一台冷轧机的示意图,冷轧机由若干对轧辊
组成,带钢从一段输入,经过各队轧辊逐步减薄后输出
(1)输入带钢的厚度为α,输出带钢的厚度为β,若每对轧辊
的减薄率不超过r0,问冷轧机至少需要安装多少对轧辊
(一对轧辊减薄率＝)
(2)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为1600mm,若第k对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为Lk,为了便于检修,请计算L',L2,L3并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度不变,且不考虑损耗)(99年(22)12分)
轧辊序号k 1 2 3 4
疵点间距Lk(单位:mm) 1600
12. 已知函数y＝f(x)的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n＋1(n＝0,1,2,…)时,该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列{xn}有f(xn)＝n(n＝1,2,…)定义
(1)求x1,x2和xn的表达式;(2)求f(x)的表达式,并写出其定义域
(3)证明y＝f(x)的图象与y＝x的图象没有横坐标大于1的交点(99年(23)14分)
13.陕西省西安中学薛党鹏
第一章 集合与函数
考试内容：
集合.子集、交集、并集、补集.
映射.函数(函数的记号、定义域、值域).
幂函数.函数的单调性.函数的奇偶性.
反函数.互为反函数的函数图象间的关系.
指数函数.对数函数.换底公式.简单的指数方程和对数方程.
二次函数.
考试要求：
(1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.
(2)了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关的概念掌握互为反函数的函数图象间的关系.
(3)理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象.
(4)掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的概念及其图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程.
一、选择题
1. 在下面给出的函数中，哪一个既是区间(0，)上的增函数，又是以π为周期的偶函数(85(3)3分)
A.y＝x2 B.y＝|sinx| C.y＝cos2x D.y＝esin2x
B
2. 函数y＝(0.2)－x＋1的反函数是(86(2)3分)
A.y＝log5x＋1 B.y＝logx5＋1 C.y＝log5(x－1) D.y＝log5x－1
C
3. 在下列各图中，y＝ax2＋bx与y＝ax＋b的图象只可能是(86(9)3分)
A. B. C. D.
D
4. 设S，T是两个非空集合，且ST，TS，令X＝S∩T，那么S∪X＝(87(1)3分)
A.X B.T C.Φ D.S
D
5. 在区间(－∞，0)上为增函数的是(87(5)3分)
A.y＝－log0.5(－x) B.y＝ C.y＝－(x＋1)2 D.y＝1＋x２
B
6. 集合{1，2，3}的子集总共有(88(3)3分)
A.7个 B.8个 C.6个 D.5个
B
7. 如果全集I＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，则＝(89(1)3分)
A.φ B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
A
8. 与函数y＝x有相同图象的一个函数是(89(2)3分)
A.y＝ B.y＝ C.y＝a(a＞0且a≠1) D.y＝logaax(a＞0且a≠1)
D
9. 已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)(89(11)3分)
A.在区间(－1，0)上是减函数 B.在区间(0，1)上是减函数
C.在区间(－2，0)上是增函数 D.在区间(0，2)上是增函数
A
10. 方程2的解是(90(1)3分)
A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝9
A
11. 设全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则＝(90(9)3分)
A.φ B.{(2，3)} C.(2，3) D.{(x，y)|y＝x＋1}
B
12. 如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是(90(10)3分)
A. B. C. D.
D
13. 函数f(x)和g(x)的定义域为R，“f(x)和g(x)均为奇函数”是“f(x)与g(x)的积为偶函数”的(90上海)
A.必要条件但非充分条件 B.充分条件但非必要条件
C.充分必要条件 D.非充分条件也非必要条件
B
14. 如果loga2＞logb2＞0，那么(90广东)
A.1＜a＜b B.1＜b＜a C.0＜a＜b＜1 D.0＜b＜a＜1
A
15. 函数y＝(x＋4)2在某区间上是减函数，这区间可以是(90年广东)
A.(－∞，－4] B.[－4，＋∞) C.[4，＋∞) D.(－∞，4]
A
16. 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(91(13)3分)
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
B
17. 设全集为R，f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，M＝{x|f(x)≠0}，N＝{x|g(x)≠0}，那么集合{x|f(x)g(x)＝0}等于(91年⒂3分)
A. B.∪N C.∪N D.
D
18. 等于(92(1)3分)
A. B.1 C. D.2
A
19. 图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线c1，c2，c3，c4的n依次是(92(6)3分)
A.－2，－，2 B.2，，－2
C.－，－2，2， D.，2，－2，－
B
20. 函数y＝的反函数(92(16)3分)
A.是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数 B.是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数
C.是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数 D.是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数
C
21. 如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(92(17)3分)
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
A
22. 当0＜a＜1时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只可能是(92年上海)
A. B. C. D.
D
23. 设全集I＝R，集合M＝{x|＞2}，N＝|logx7＞log37}，那么M∩＝(92年三南)
A.{x|x＜－2} B.{x|x＜－2或x≥3} C.{x|x≥3} D.{x|－2≤x＜3}
B
24. 对于定义域为R的任何奇函数f(x)都有(92年三南)
A.f(x)－f(－x)＞0(x∈R) B.f(x)－f(－x)≤0(x∈R)
C.f(x)f(－x)≤0(x∈R) D.f(x)f(－x)＞0(x∈R)
C
25. F(x)＝[1＋]f(x)，(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x)(93(8)3分)
A.是奇函数 B.是偶函数
C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数
A
26. 设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么(93(16)3分)
A. B. C. D.
B
27. 函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是(93年上海)
A. B. C. D.
C
28. 集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，则(93年三南)
A.M＝N B.NM C.MN D.M∩N＝φ
C
29. 设全集I＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，则＝(94(1)4分)
A.{0} B.{0，1} C.{0，1，4} D.{0，1，2，3，4}
C
30. 设函数f(x)＝1－(－1≤x≤0)，则函数y＝f－1(x)的图象是(94(12)5分)
A. y B. y 1 C. y D. y 1 x
1 x 1 O
－1
－1 O x O 1 x －1
B
31. 定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，如果f(x)＝lg(10x＋1)，x∈R，那么(94(15)5分)
A.g(x)＝x，h(x)＝lg(10x＋10－x＋1) B.g(x)＝，h(x)＝
C.g(x)＝，h(x)＝lg(10x＋1)－ D.g(x)＝－，h(x)＝
C
32. 当a＞1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图像只可能是(94上海)
A. y B. y C. y D. y
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
B
33. 设I是全集，集合P，Q满足PQ，则下面结论中错误的是(94年上海)
A.P∪Q＝Q B.∪Q＝I C.P∩＝φ D.
D
34. 如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是(94上海)
A.(1－a)＞(1－a) B.log(1－a)(1＋a)＞0 C.(1－a)3＞(1＋a)2 D.(1－a)1＋a＞1
A
35. 已知I为全集，集合M，NI，若M∩N＝N，则(95(1)4分)
A. B.N C. D.N
C
36. 函数y＝－的图象是(95(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
O 1 x －1 O x O 1 x －1 O x
B
37. 已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是(95(11)5分)
A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.[2，＋∞)
B
38. 如果P＝{x|(x－1)(2x－5)＜0}，Q＝{x|0＜x＜10}，那么(95年上海)
A.P∩Q＝φ B.PQ C.QP D.P∪Q＝R
B
39. 已知全集I＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，则(96(1)4分)
A.I＝A∪B B.I＝∪B C.I＝A∪ D.I＝
C
40. 当a＞1时，同一直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax的图象是(96(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
1 1 1 1
O 1 x O 1 x O 1 x O 1 x
A
41. 设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1，f(x)＝x，则f(7.5)＝(96(15)5分)
A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5
B
42. 如果loga3＞logb3＞0，那么a、b间的关系为(96上海)
A.0＜a＜b＜1 B.1＜a＜b C.0＜b＜a＜1 D.1＜b＜a
B
43. 在下列图像中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图像只可能是(96上海)
A. B. C. D.
A
44. 设集合M＝{x|0≤x＜2}，集合N＝{x|x2－2x－3＜0}，集合M∩N＝(97(1)4分)
A.{x|0≤x＜1} B.{x|0≤x＜2} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}
B
45. 将y＝2x的图象
A.先向左平行移动1个单位 B.先向右平行移动1个单位
C.先向上平行移动1个单位 D.先向下平行移动1个单位
再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象.(97(7)4分)
D
46. 定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)重合.设a＞b＞0，给出下列不等式:
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
其中成立的是(97(13)5分)
A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④
C
47. 三个数60.7，0.76，log0.76的大小关系为(97上海)
A.0.76＜log0.76＜60.7 B.0.76＜60.7＜log0.76
C.log0.76＜60.7＜0.76 D.log0.76＜0.76＜60.7
D
48. 函数y＝a|x|(a＞1)的图像是(98(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
1 1 1
o x o x o x o x
B
49. 函数f(x)＝(x≠0)的反函数f－1(x)＝(98(5)4分)
A.x(x≠0) B.(x≠0) C.－x(x≠0) D.－(x≠0)
B
50. 如果实数x，y满足x2＋y2＝1，那么(1－xy)(1＋xy)有(98年广东)
A.最小值和最大值1 B.最大值1和最小值
C.最小值而没有最大值 D.最大值1而没有最小值
B
51. 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩ D.(M∩P)∪(99(1)4分)
C
52. 已知映射f:AB，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(99(2)4分)
A.4 B.5 C.6 D.7
A
53. 若函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，f(a)＝b，ab≠0，则g(b)＝(99(3)4分)
A.a B.a－1 C.b D.b－1
A
54. 设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是(2000⑴5分)
A.2 B.3 C.4 D.5
C
55. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分别累进计算.
全月应纳税所得额 税率
不超过500元的部分 5%
超过500元至2000元的部分 10%
超过2000元至5000元的部分 15%
… …
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于(2000⑹5分)
A.800～900元 B.900～1200元 C.1200～1500元 D.1500～2800元
C
56. 设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么是(2000春京、皖(2)4分)
A.Φ B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
A
57. 已知f(x6)＝log2x，那么f(8)等于(2000春京、皖)
A. B.8 C.18 D.
D
58. 函数y＝lg|x|(2000春京、皖(7)4分)
A.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
B
59. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如右图，则(2000春京、皖(14)5分)
A.b∈(－∞，0) B.b∈(0，1) C.b∈(1，2) D.b∈(2，＋∞)
A
60. 若集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T是(2000上海(15)4分)
A.S B.T C.Φ D.有限集
A
61. 已知集合A＝{1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是(2000广东)
A.15 B.16 C.3 D.4
A
62. 设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f:A→B把集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在映射f下，象(2，1)的原象是(2000年江西、天津(1)5分)
A.(3，1) B.() C.() D.(1，3)
B
63. 集合M＝{1，2，3，4，5}的子集个数是(2001年春京、皖、蒙(1)5分)
A.32 B.31 C.16 D.15
A
64. 函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)对于任意的实数x、y都有(2001春京、皖、蒙(2)5分)
A.f(xy)＝f(x)f(y) B.f(xy)＝f(x)＋f(y)
C.f(x＋y)＝f(x)f(y) D.f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
C
65. 函数y＝－的反函数是(2001春京、皖、蒙(4)5分)
A.y＝x2－1(－1≤x≤0) B.y＝x2－1(0≤x≤1)
C.y＝1－x2(x≤0) D.y＝1－x2(0≤x≤1)
C
66. 已知f(x6)＝log2x，那么f(8)等于(2001春京、皖、蒙(7)5分)
A. B.8 C.18 D.
D
67. 若定义在区间(－1， 0) 内的函数f(x)＝log2a(x＋1) 满足f(x)＞0， 则a的取值范围是(2001年(4)5分)
A.(，＋∞) B.(0，] C.(0，) D.(0，＋∞)
C
68. 设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题:(2001年(10)5分)
①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增;
②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增;
③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减;
④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减;
其中，正确的命题是
A.②③ B.①④ C.①③ D.②④
A
69. 满足条件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的个数是(2002年北京(1)5分)
A.1 B.2 C.3 D.4
B
70. 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(，π)上为减函数的是(2002年北京(3)5分)
A.y＝cos2x B.y＝2|sinx| C.y＝()cosx D.y＝－cotx
B
71. 如图所示，fi(x)(i＝1，2，3，4)是定义在[0， 1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0， 1]中任意的x1和x2，任意∈[0， 1]， f[x1＋(1－)x2]≤f(x1)＋(1－)f(x2)恒成立”的只有(2002年北京(12)5分)
A.f1(x)， f3(x) B.f2(x) C.f2(x)， f3(x) D.f4(x)
A
72. 一般地，家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的关系，用图(1)表示某年12个月中每月的平均气温，图(2)表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是(2002年上海(16)4分)
图(1) 图(2)
A.气温最高时，用电量最多 B.气温最低时，用电量最少
C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加
C
73. 集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，则(2002年全国(5)、广东(5)、天津(6)5分)
A.M＝N B.MN C.NM D.M∩N＝φ
B
74. 函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是(2002年广东(7)5分)
A.ab＝0 B.a＋b＝0 C.a＝b D.a2＋b2＝0
D
75. 函数y＝1－(2002年广东(9)5分)
A.在(－1，＋∞)内单调递增 B.在(－1，＋∞)内单调递减
C.在(1，＋∞)内单调递增 D.在(1，＋∞)内单调递减
C
76. 函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是(2002年全国(9)、天津(8)5分)
A.b≥0 B.b≤0 C.b＞0 D.b＜0
A
77. 据2002年3月9日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95 933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间(2001年——2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为(2002年全国(12)、广东(12)、天津(12)5分)
A.115 000亿元 B.120 000亿元 C.127 000亿元 D.135 000亿元
C
78. 函数y＝1－的图像是(2002年全国(10)5分)
A． B. C. D.
B
79. 若集合M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝}，则M∩P＝(2003年春北京(1)5分)
A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}
C
80. 若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根是(2003年春北京(2)5分)
A． B．－ C．2 D．－2
A
81. 关于函数f(x)＝(sinx)2－，有下面四个结论：
(1)f(x)是奇函数 (2)当x＞2003时， f(x)＞恒成立
(3)f(x)的最大值是 (4)f(x)的最小值是－
其中正确结论的个数为(2003年春上海(16)4分)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
二、填空题
1. 设函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(x2)的定义域为________.(85(10)4分)
答：[－1，1]
2. 已知圆的方程为x2＋(y－2)2＝9，用平行于x轴的直线把圆分成上下两个半圆，则以上半圆(包括端点)为图像的函数表达式为_____________(85广东)
答：y＝2＋
3. 方程的解是__________.(86(11)4分)
答：x1＝
4. 方程9－x－2·31－x＝27的解是_________.(88(17)4分)
答：x＝－2
5. 函数y＝的反函数的定义域是__________.(89(15)4分)
答：(－1，1)
6. 函数y＝的值域为_______________(89广东)
答：y≥0
7. 函数y＝的定义域是________________(90上海)
答：[－4，－2)∪(－2，＋∞)
8. 设函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，y＝x2＋1，则当x＞1时，y＝_________(91年上海)
答：(x－2)2＋1
9. 设函数f(x)＝x2＋x＋的定义域是[n，n＋1](n是自然数)，那么在f(x)的值域中共有_______个整数(91年三南)
答：2n＋2
10. 方程＝3的解是___________.(92(19)3分)
答：x＝－1
11. 设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为__________.(92(21)3分)
答：
12. 已知函数y＝f(x)的反函数为f－1(x)＝－1(x≥0)，那么函数f(x)的定义域为_________(92上海)
答：x≥－1
13. 设f(x)＝4x－2x＋1(x≥0)，f－1(0)＝_________.(93(23)3分)
答：1
注:原题中无条件x≥0，此时f(x)不存在反函数.
14. 函数y＝x2－2x＋3的最小值是__________(93年上海)
答：2
15. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…an，共n个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1，a2，…an推出的a＝_______. (94(20)4分)
答：
16. 函数y＝lg的定义域是________________(95上海)
答：(lg2，＋∞)
17. 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的关系式为___________(96上海)
答：y＝54.8(1＋x%)8
18. 方程log2(9x－5)＝log2(3x－2)＋2的解是x＝________(96上海)
答：1
19. 函数y＝的定义域为____________(96上海)
答：(1，2)
20. lg20＋log10025＝________(98上海)
答：2
21. 函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝______(98上海)
答：
22. 函数y＝的最大值是__________(98年上海)
答：4
23. 函数y＝log2的定义域为____________(2000上海(2)4分)
答：(，3)
24. 已知f(x)＝2x＋b的反函数为y＝f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像经过点Q(5，2)，则b＝_______(2000上海(5)4分)
答：1
25. 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是值国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需要_________年(2000上海(6)4分)
(按：1999年本市常住人口总数约1300万)
答：9
26. 设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图像为如图所示的线段AB，则在区间[1，2]上，f(x)＝_____(2000上海(8)4分)
答：x
27. 函数的反函数______．(2001年春上海(1)4分)
答：－(x≥1)
28. 关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：(2001年春上海(11)4分)
(1)对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
(2)不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；
(3)存在φ，使f(x)是奇函数；
(4)对任意的φ，f(x)都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_______。因为当φ=_______时，该命题的结论不成立。
答：(1)，kπ(k∈Z)；(1)，＋kπ(k∈Z)；(4)，＋kπ(k∈Z)等。(两个空格全填对时才能得分，其中k也可以写成任何整数)
29. 方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝_____________.(2002年上海(3)4分)
答：－1
30. 已知函数y＝f(x)(定义域为D，值域为A)有反函数y＝f－1(x)，则方程f(x)＝0有解x＝a，且f(x)＞x(x∈D)的充要条件是y＝f－1(x)满足___________(2002年上海(12)4分)
答：_f－1(0)＝a且f－1(x)＜x(x∈A)；y＝f－1(x)的图像在直线y＝x的下方，且与y轴的交点为(0，a)；……
31. 函数y＝(x∈(－1，＋∞))图象与其反函数图象的交点坐标为________。(2002年天津(13)4分)
答：(0，0)，(1，1)
32. 函数y＝ax在[0，1]上的最大值和最小值之和为3，则a＝______(2002年全国(13)4分)
答：2
33. 已知函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝________(2002年全国(16)、广东(16)、天津(16)4分)
答：
34. 若存在常数p＞0，使得函数f(x)满足f(px)＝f(px－)(x∈R)，则f(x)的一个正周期为_________.(2003年春北京(16)4分)
答：(填的任何一个正整数倍均可)
35. 已知函数f(x)＝＋1，则f－1(3)＝___________.(2003年春上海(1)4分)
答：4
36. 已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}且AB，则实数a的取值范围是____________.(2003年春上海(5)4分)
答：(－∞，－2)
37. 若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝__________.(2003年春上海(11)4分)
答：6
三、解答题
1. 解方程 log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1).(85(11)7分)
解：由原对数方程有意义，可得x的取值范围是－0.5＜x＜1，
原方程化为log4 即
解这个方程得x1＝0，x2＝7.
其中x1＝0∈(－，1)是原方程的解，x2＝7(－，1)，应舍去.
2. 设a，b是两个实数，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n是整数}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m是整数}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}是xoy平面内的集合，讨论是否存在a和b使得①A∩B≠φ，②(a，b)∈C同时成立.(85(17)12分)
解法一:如果存在实数a和b使得①式成立，则存在整数m和n使得
(n，na＋b)＝(m，3m2＋15)
即n＝m， na＋b＝3m2＋15
∴na＋b＝3n2＋15
这个等式表明点P(a，b)在直线l:nx＋y＝3n2＋15上
原点O到直线l的距离d＝
∴d≥12，当且仅当n2＝3时取等号，而n∈Z，∴n2≠3，故只有d＞12
∴点P到原点的距离|PO|＝＞d＞12，即a2＋b2＞144.
而②成立要求a2＋b2≤144.
由此可知，同时满足①②的a，b不存在.
解法二:如果存在实数a，b能同时满足①②，
同解法一，由①成立知，存在整数n使得na＋b＝3n2＋15，即b＝3n2－na＋15， (*)
由②成立得a2＋b2≤144
将(*)式代入上式，并按a整理得关于a的二次不等式
(1＋n2)a2－2n(3n2＋15)a＋(3n2＋15)2－144≤0
它的判别式△＝4n2(3n2＋15)2－4(1＋n2)[(3n2＋15)2－144]＝－36(n2－3)
∵n∈Z，∴n2－3≠0，于是△＜0
又因1＋n2＞0，故这个关于a的不等式不可能有实数解
即是说不存在实数a，b，使得①②同时成立.
解法三:如果存在实数a，b能同时满足①②，同解法一，由①成立知，存在整数n使得
3n2－an－(b－15)＝0 (*)
于是它的判别式应非负，即△＝a2＋12b－180≥0 (**)
由此得12b－180≥－a2
由②成立知a2＋b2≤144， (***)
即 －a2≥b2－144
因此有12b－180≥b2－144
即(b－6)2≤0
只有b＝6
将b＝6代入判别式(**)得出a2≥108
但将b＝6代入(***)式得出a2≤108
于是只有a2＝108，此时从(*)式解出n＝Z
所以不存在实数a，b，使得①②同时成立.
3. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:①CA∪B，且C中含有3个元素，②C∩A≠φ(φ表示空集)(86(20)10分)
解法一:以为A，B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，因此A∪B的元素个数是12＋12－4＝20个，所以满足条件①的集合个数是C，在上面集合中，还满足A∩C＝φ的集合C的个数是C，因此所求集合C的个数为＝1084.
解法二:由题目条件可知，属于B而不属于A的元素个数是12－4＝8，因此，在A∪B中只含A中1个元素的所求集合C的个数为C；同理，含A中2个元素和3个元素的集合C的个数分别为C和C，总数为C＝1084.
4. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝(x∈R且x≠)，证明:
①经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴；
②这个函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.(88(24)12分)
证法一:①设M1(x1，y1)，M2(x2，y2)是这个函数图象上任意两个不同点，则x1≠x2，且
y2－y1＝
＝
∵a≠1且x1≠x2，∴y2－y1≠0
从而直线M1M2的斜率k＝≠0，因此直线M1M2不平行于x轴.
②设点P(x1，y1)是这个函数的图象上任意一点，则x1≠ (i)
易知点P(x1，y1)关于直线y＝x的对称点P1的坐标为(y1，x1)
由(i)式得 y1(ax1－1)＝x1－1
变形得 x1(ay1－1)＝y1－1 (ii)
假如ay1－1＝0，则y1≠，代入(i)得 a＝1
这与已知a≠1矛盾，∴ay1－1≠0
于是由(ii)式得 x1= 这说明点P1(y1，x1)也在已知函数的图象上
因此这个函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.
证法二:①设M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，是这个函数图象上任意两个不同点，则x1≠x2，
假如直线M1M2平行于x轴，那么y1＝y2，即
去分母整理得 a(x1－x2)＝x1－x2，
∵x1≠x2，所以a＝1，这与已知矛盾，因此M1M2不平行于x轴.
②先求所给函数的反函数.
由 y＝ (x∈R且x≠)
得 y(ax－1)＝x－1 即 x(ay－1)＝y－1
假如ay－1＝0，则y＝，代入所给函数的解析式，得
即ax－a＝ax－1 所以a＝1，这与已知矛盾，故ay－1≠0
于是x＝
所以原函数的反函数为y＝(x≠)，与原函数相同.
由于函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f－1(x)的图象关于y＝x对称，
所以函数 y＝ (x∈R且x≠)的图象关于y＝x对称.
证法三:①任取一条与x轴平行的直线l，设其方程为y＝c(c为常数)
下面考虑l与所给函数的图象是否相交，以及交点个数的情况:
将y＝c代入y＝
整理得 (ca－1)x＝c－1
若ca－1＝0，即c＝时，上式变为0＝c－1，即c＝1 a＝1
这与已知矛盾，故此时l与函数图象无交点；
当ca－1≠0时，得x＝
这说明原方程只有一个解，从而直线l与函数图象只有一个交点(，c)，
综上所述，平行于x轴的直线l不可能同时经过所给函数图象上的两个不同点，
因此，经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于x轴.
5. 已知a＞0且a≠1，试求使方程loga(x－ak)＝loga2(x2－a2)有解的k的取值范围.(89(22)12分)
解法一:由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足
当①②同时成立时，③显然成立，因此只须联立解①②即可.
由①得2kx＝a(1＋k2) ④
当k＝0时，由a＞0知④无解，因而原方程无解；
当k≠0时，④的解为x＝ ⑤
将⑤代入②得 ＞ak
当k＜0时得k2＞1，即k＜－1； y y1
当k＞0时得k2＜1，即0＜k＜1； y2 y2
综合得k∈(－∞，－1)∪(0，1)时原方程有解.
解法二:原方程等价于 x－ak＝ (x2＞a2) ak －a o a x
记y1＝x－ak，y2＝ (x≠±a)
则y2是双曲线x2－y2＝a2在双曲线上方的部分其渐近线为y＝±x，
y1是一条在x轴上截距为ak的直线，且平行于双曲线的一条渐近线，
如图，当y1与y2有公共点时原方程有解，可得
ak＜－a或0＜ak＜a，
由a＞0得k＜－1或0＜k＜1；
即当k∈(－∞，－1)∪(0，1)时原方程有解.
注:用数形结合法解题时应说明或论证出图象与本题有关的主要性质，否则要扣分.
6. 设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，已知当x∈I0时，f(x)＝x2.(89(24)10分)
①求f(x)在Ik上的解析表达式；
②对自然数k，求集合Mk＝{a|使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根}
解：①解:设x∈Ik，则x－2k∈I0，又f(x)是以2为周期的函数，
∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)2，
即对于k∈Z，当x∈Ik时，f(x)＝(x－2k)2，
②解法一:当k∈N且x∈Ik时，由①可得方程为(x－2k)2＝ax
整理得 x2－(4k＋a)x＋4k2＝0
它的判别式△＝(4k＋a)－16k2＝a(a＋8k)
且 x1，2＝
于是，f(x)＝ax在区间Ik上恰有两个不相等实数根的充要条件是a满足
化简得
由(i)知a＞0或a＜－8k (∵k∈N，∴k＞0)
当a＞0时，因2＋a＞2－a，故从(ii)(iii)可得 a(a＋8k)≤(2－a)2
即 即 即0＜a≤
当a＜－8k时，2＋a＜2－8k＜0，易知 a(a＋8k)＜(2＋a)2 无解，
综上所述，a应满足0＜a≤，故所求集合为 Mk＝{a|0＜a≤}
解法二:由①可得方程为(x－2k)2＝ax (i) y
记y1＝ax，y2＝(x－2k)2， y1 y2
要使方程(i)在Ik＝(2k－1，2k＋1]上有两个相异实数解， 1
只须y1与y2的图象在内有两个相异交点. o Ik x
当x∈Ik时，y1是一条线段，其所在直线过原点，斜率为a，
y2是一段抛物线，顶点在(2k，0)，开口向上，如图:
当y1夹在x轴与l之间时满足题意，其斜率应满足0＜a≤.
故所求集合为 Mk＝{a|0＜a≤}
7. 设f(x)＝lg，其中a是实数，n是任意给定的自然数，且n≥2.
①如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围；
②如果a∈(0，1]，证明2f(x)＜f(2x)当x≠0时成立.(90(24)10分)
①解:f(x)当x∈(－∞，1]时有意义的条件是
1＋2x＋3x＋……＋(n－1)x＋nxa＞0 x∈(－∞，1] n≥2
即a＞－[(] x∈(－∞，1] (i)
因为 －()x (k＝1，2，3，……，n－1)在(－∞，1]上都是增函数，
所以－[(]在(－∞，1]上也都是增函数，
从而它在x＝1时取得最大值，为－[(.
因此(i)式等价于a＞－.
也就是的取值范围为{a|a＞－}.
②证法一: 2f(x)＜f(2x) a∈(0，1]， x≠0，即
[1＋2x＋3x＋……＋(n－1)x＋nxa]2＜n[1＋22x＋32x＋……＋(n－1)2x＋n2xa]
a∈(0，1]，x≠0，
现在用数学归纳法证明该不等式:
A.当n＝2时，若0＜a＜1， x≠0，则
(1＋2xa)2＝1＋2·2xa＋22xa2≤2(1＋22xa2)＜2(1＋22xa)
若a＝1， x≠0，因为1≠2x，所以
(1＋2x)2＝1＋2·2x＋22x≤2(1＋22x)＜2(1＋22x)
因而当n＝2时，原不等式成立.
B.假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即有
[1＋2x＋3x＋……＋(k－1)x＋kxa]2＜k[1＋22x＋32x＋……＋(k－1)2x＋k2xa]
a∈(0，1]， x≠0，
那么，当a∈(0，1]，x≠0时，
[1＋2x＋3x＋……＋kx＋(k＋1)xa]2
＝(1＋2x＋3x＋……＋kx)2＋2(1＋2x＋3x＋……＋kx)(k＋1)xa＋(k＋1)2xa2
＜k(1＋22x＋32x＋……＋k2x)＋2(1＋2x＋3x＋……＋kx)(k＋1)xa＋(k＋1)2xa2
＝k(1＋22x＋32x＋……＋k2x)＋[2·1(k＋1)xa＋2·2x(k＋1)xa＋
……＋2·kx(k＋1)xa]＋(k＋1)2xa2
＜k(1＋22x＋32x＋……＋k2x)＋{[1＋(k＋1)2xa2]＋[22x＋(k＋1)2xa2]＋
……＋[k2x＋(k＋1)2xa2]＋(k＋1)2xa2
＝(k＋1)[1＋22x＋32x＋……＋k2x＋(k＋1)2xa2]
≤(k＋1)[1＋22x＋32x＋……＋k2x＋(k＋1)2xa]
即是说n＝k＋1时，原不等式也成立.
综合A.B.可知，对任何n≥2(n∈N)，都有
2f(x)＜f(2x) a∈(0，1]， x≠0.
证法二:只须证明当n≥2时
[1＋2x＋3x＋……＋(n－1)x＋nxa]2＜n[1＋22x＋32x＋……＋(n－1)2x＋n2xa]
a∈(0，1]， x≠0，
因为(a1＋a2＋……＋an)2
＝(a12＋a22＋……＋an2)＋2(a1a2＋a1a3＋……＋an－1an)
≤(a12＋a22＋……＋an2)＋[(a12＋a22)＋(a12＋a32)＋ ……＋(a12＋an2)]
＋[(a22＋a32)＋(a22＋a42)＋……＋(a22＋an2)]＋……＋(an－12＋an2)
＝n(a12＋a22＋……＋an2).式中等号当且仅当a1＝a2＝……＝an时成立.
利用上面结果知，当a∈(0，1]， x≠0时因1≠2x，所以有:若a＝1，
[1＋2x＋3x＋……＋(n－1)x＋nx]2＜n[1＋22x＋32x＋……＋(n－1)2x＋n2x]
若a∈(0，1)，则a2＜a，所以
[1＋2x＋3x＋……＋(n－1)x＋nxa]2≤n[1＋22x＋32x＋……＋(n－1)2x＋n2xa2]
＜n[1＋22x＋32x＋……＋(n－1)2x＋n2xa]
即有2f(x)＜f(2x) a∈(0，1]， x≠0.
8. 已知f(x)＝lg，其中a∈R，且0＜a≤1(90广东)
①求证：当x≠0时，有2f(x)＜f(2x)；
②如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围
本题为90年全国高考试题的一个特例，其解法完全类似，此处略
9. 根据函数单调性的定义，证明函数f(x)＝－x3＋1在R上是减函数.(91(24)10分)
证法一:在(－∞，＋∞)上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝x13－x23＝(x1－x2)(x12＋x1x2＋x22)
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，下面证明x12＋x1x2＋x22＞0
法1:当x1x2＜0时，x12＋x1x2＋x22＝(x1＋x2)2－x1x2＞0；
当x1x2≥0时，∵x1，x2不同时为0，∴x12＋x1x2＋x22＞0.
法2:x12＋x1x2＋x22＝(x1＋＞0.(∵x1，x2不同时为0).
法3:x12＋x1x2＋x22＝[x12＋x22＋(x1＋x2)2]＞0.(∵x1，x2不同时为0).
法4:x12＋x1x2＋x22≥2|x1x2|＋x1x2≥|x1x2|≥0.(当且仅当x1＝x2＝0时取等号)
由于x1＜x2，故x1与x2不同时为0，故只有x12＋x1x2＋x22＞0.
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，
所以f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数.
证法二:作g(x)＝f(x)－1＝－x3，则g(x)是奇函数，它在(－∞，0]和[0，＋∞)上有相同的单调性，且与f(x)有相同的单调性.
任取x1＞x2 ≥ 0，则g(x1)－g(x2)＝x23－x13＝(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)
∵x1＞x2＞0，∴x2－x1＜0，x12＋x1x2＋x22＞0
∴g(x1)－g(x2)＜0，即g(x1)＜g(x2).
∴g(x)是[0，＋∞)上的减函数，从而g(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，
于是f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数.
注:证法二中，若只证g(x)是(0，＋∞)上的减函数，则只给一半的分数.
10. 已知函数f(x)＝(91三南)
⑴证明：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；
⑵证明：对不小于3的自然数n都有f(n)＞
证：⑴设x1、x2∈R且x1＜x2
则f(x2)－f(x1)＝
由指数函数的性质有(2＋1)(2＋1)＞0，2－2＞0
所以f(x2)－f(x1)＞0
于是f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数
⑵证法一：要证明f(n)＞(n∈N，n≥3)
只需证明：
化简得：2n－1＞2n
下面用数学归纳法证明：2n－1＞2n(n∈N，n≥3)
1°当n＝3时，左边＝7，右边＝6，左边＞右边，不等式成立
2°设n＝k(∈N，k≥3)时不等式成立，即2k－1＞2k
当n＝k＋1时，2k＋1－1＝2×2k－1＝2(2k－1)＋1＞2×2k＋1＝2(k＋1)＋2k－1＞2(k＋1)
即当n＝k＋1时不等式也成立
由1°2°得，对任意不小于3的自然数n，都有2n－1＞2n
即f(n)＞(n∈N，n≥3)成立.
证法二：同证法一得2n－1＞2n(n≥3)
∵ 2n＝C
∴ 2n－1＝2n－C
∵ n≥3，∴ ＞0，C＝2n
∴ 2n－1＞2n(n≥3)
由此得:f(x)＞(n∈N，n≥3)
11. 已知关于x的方程2a2x－2－7ax－1＋3＝0有一个根是2，求a的值和方程其余的根.(92三南)
解：将x＝2代入原方程，得2a2－7a＋3＝0
解得a＝3或a＝
当a＝3时，原方程为2×32x－2－7×3x－1＋3＝0
解得x＝2或x＝1－log32
当a＝时，原方程为2·()2x－2－7·()x－1＋3＝0
解得x＝2或x＝1－log23
即：当a＝3时，原方程的另一个根为x＝1－log32
当a＝时，原方程的另一个根为x＝1－log23
12. 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:
P＝1000(x＋t－8) (x≥8，t≥0)
Q＝500 (8≤x≤14)
当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格.
①将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
②为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元 (95(25)12分)
解：①依题设有 1000(x＋t－8)＝500
化简得 5x2＋(8t－80)x＋4t2－64t＋280＝0
当判别式△＝800－16t2≥0时，
可得 x＝8－
由△≥0，t≥0，8≤x≤14，显然上式中只能取“＋”号，
所以 0≤t≤
8≤8－≤14
解得0≤t≤
故所求函数关系式为x＝8－，定义域为[0，]
②为使x≤，应有8－
化简得 t2＋4t－5≥0，解得t≥1或t≤－5，
由t≥0知t≥1，从而政府补贴至少为1元/千克.
13. 已知二次函数y＝f(x)在x＝＋1处取得最小值－(t＞0)，f(1)＝0(95上海)
⑴求y＝f(x)的表达式；
⑵若任意实数x都满足等式f(x)g(x)＋anx＋bn＝xn＋1(其中g(x)为多项式，n∈N)，试用t表示an和bn；
⑶设圆Cn的方程为：(x－an)2＋(y－bn)2＝rn2，圆Cn与圆Cn＋1外切(n＝1，2，3…)，{rn}是各项都为正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn和Sn.
⑴设f(x)＝a(x－1－，因为f(1)＝0，可得a＝1
所以f(x)＝x2－(t＋2)x＋t＋1
⑵f(x)＝(x－1)[x－(t＋1)]，代入已知式得
(x－1)[x－(t＋1)]g(x)＋anx＋bn＝xn＋1
将x＝1和x＝t＋1代入，得
an＋bn＝1
(t＋1)an＋bn＝t(t＋1)n＋1
由t≠0，可得：an＝[(t＋1)n＋1－1]，bn＝(1＋)[1－(t＋1)n]
⑶因为an＋bn＝1，所以圆Cn的圆心在直线x＋y＝1上，
于是|CnCn＋1|＝|an＋1－an|，
又Cn与Cn＋1外切，故rn＋rn＋1＝(t＋1)n＋1
设{rn}的公比为q，则
rn(1＋q)＝(t＋1)n＋1
rn＋1(1＋q)＝(t＋1)n＋2
两式相除 q＝1＋t
于是rn＝
所以Sn＝π(r12＋r22＋…＋rn2)＝[(t＋1)2n－1]
14. 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程f(x)－x＝0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜.
Ⅰ.当x∈(0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1；
Ⅱ.设函数f(x)的图象关于直线x＝x0对称，证明:x0＜.(97(24)12分)
证明:Ⅰ.令F(x)＝f(x)－x.因为x1，x2是方程f(x)－x＝0的根，得
F(x)＝a(x－x1)(x－x2) 2'
当x∈(0，x1)时，由于x1＜x2，得(x－x1)(x－x2)＞0，又a＞0，得
F(x)＝a(x－x1)(x－x2)＞0
即x＜f(x). 4'
而x1－f(x)＝x1－[x－F(x)]＝x1－x＋a(x－x1)(x－x2)＝(x1－x)[1＋a(x－x2)]
因为0＜x＜x1＜x2＜
所以x1－x＞0，1＋a(x－x2)＝1＋ax－ax2＞1－ax2＞0
得 x1－f(x)＞0
即 f(x)＜x1. 7'
Ⅱ.依题意知x0＝－.
因为x1，x2是方程f(x)－x＝0的根，即x1，x2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的根，
所以 x1＋x2＝－ 9'
x0＝－
因为ax2＜1，所以x0＜
15. 解方程－3lgx＋4＝0(99年广东10分)
解:本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力。
解：设＝y，原方程化为
y－y2＋2＝0，
解得 y＝－1，y＝2
因为 ≥0，所以y＝－1舍去。
由 ＝2
得 lgx＝2
所以 x＝100
经检验，x＝100为原方程的解。
16. 已知二次函数f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值为3，求a的值(2000春京、皖)
解：原函数化为f(x)＝lga(x＋)2－＋4lga
由已知f(x)有最大值3，所以lga＜0
并且－＋4lga＝3
整理得：(lga)2－3lga－1＝0
解得 lga＝1或lga＝－
∵ lga＜0，∴ lga＝－
∴ a＝
17. 设函数f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)，证明：ab＜1(2000春京、皖(21)12分)
本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析问题解决问题的能力.满分12分.
证明：由已知f(x)＝|lgx|＝ 2'
∵ 0＜a＜b，f(a)＞f(b)，
∴ a、b不能同时在区间[1，＋∞)上，又由于0＜a＜b，故必有a∈(0，1)； 6'
若 b∈(0，1)，显然有ab＜1 8'
若 b∈[1，＋∞)，由f(a)－f(b)＞0，
有 －lga－lgb＞0，
故 lgab＜0，
∴ ab＜1 12'
18. 已知函数f(x)＝ 其中f1(x)＝－2(x－)2＋1，f2(x)＝－2x＋2.(2000春京、皖(24)14分)
(I)在下面坐标系上画出y＝f(x)的图象；
(II)设y＝f2(x)(x∈[，1])的反函数为y＝g(x)，a1＝1，a2＝g(a1)， ……，an＝g(an－1)，求数列{an}的通项公式，并求an；
(III)若x0∈[0，)，x1＝f(x0)，f(x1)＝x0，求x0.
本小题主要考查函数及数列的基本概念和性质，考查分析、归纳、推理、运算的能力.满分14分.
解(I)：函数图象如右图：
说明：图象过(0，)、(，1)、(1，0)点；在区间[0，)上的图象为上凸的曲线段；在区间[，1]上的图象为直线段. 3'
(II)：f2(x)＝－2x－2，x∈[，1]的反函数为：
y＝1－，x∈[0，1] 5'
由已知条件得：
a1＝1
a2＝1－a1＝1－
a3＝1－a2＝1－)2
a4＝1－a3＝1－)3
……
∴ an＝1－an－1＝1－)n－1
即 an＝)n]， 8'
∴ 10'
(III)：由已知x0∈[0，)，所以 x1＝f1(x0)＝1－2(x0－)2，
由 f1(x)的值域，得x1∈[，1]
∴ f2(x1)＝2－2[1－2(x0－)2]＝4(x0－)2
由f2(x1)＝x0，整理得 4x－5x0＋1＝0，
解得 x0＝1，x0＝
因为x0∈[0，)，所以x0＝ 14'
19. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示. (2000(21)12分)
⑴写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P＝f(t)；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
⑵认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/10kg，时间单位：天)
本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分.
解：⑴由图一可得市场售价与时间的函数关系为
f(t)＝ 2'
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
g(t)＝(t－150)2＋100 0≤t≤300 4'
⑵设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得
h(t)＝f(t)－g(t)
即h(t)＝ 6'
当0≤t≤200时，配方整理得
h(t)＝－(t－150)2＋100
所以，当t＝50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当200＜t≤300时，配方整理得
h(t)＝－(t－350)2＋100
所以，当t＝300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5. 10'
综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大. 12'
20. 已知函数:f(x)＝，x∈[1，＋∞)(2000上海(19)6＋8＝14分)
⑴当a＝时，求函数f(x)的最小值；
⑵若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围
⑴当a＝时，f(x)＝x＋＋2
∵ f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数， 3'
∴ f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f⑴＝ 6'
⑵解法一：在区间[1，＋∞)上f(x)＝＞0恒成立
x2＋2x＋a＞0(x∈[1，＋∞))恒成立 8'
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)
∵ y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)是增函数，
∴ 当x＝1时，ymin＝3＋a 12'
于是当且仅当3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立
故a＞－3 14'
解法二：f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正 8'
当a＜0时，函数f(x)递增，
∴ 当x＝1时，ymin＝3＋a 12'
于是当且仅当3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立
故a＞－3 14'
21. 设函数f(x)＝－ax，其中a＞0。(2000年广东(20)12分)
(1)解不等式f(x)≤1；
(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调函数。
解：(1)不等式f(x)≤1即
≤1＋ax，
由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a＞0。
所以，原不等式等价于
即
所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0≤x≤}；
当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}。
(2)证明：在区间[0，＋∞)上任取x1，x2，使得x1＜x2。
f(x1)－f(x2)＝－a(x1－x2)
＝－a(x1－x2)
＝(x1－x2)(－a)。
∵ ＜1，且a≥1，
∴ －a＜0 ，
又 x1－x2＜0，
∴ f(x1)－f(x2)＞0，
即 f(x1)＞f(x2)。
所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调(递减)函数。
22. 设函数f(x)＝(a＞b＞0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性．(2001年春京、皖、蒙(17)12分)
本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力．满分12分．
解：函数f(x)＝的定义域为(－∞，－b)∪(－b，＋∞)
f(x)在(－∞，－b)内是减函数，f(x)在(－b，＋∞)内也是减函数 ……4分
证明f(x)在(－b，＋∞)内是减函数
取x1、x2∈(－b，＋∞)，且x1＜x2，那么
f(x1)－f(x2)＝
＝ ……6分
∵a－b＞0，x2－x1＞0，(x1＋b)(x2＋b)＞0
∴f(x1)－f(x2)＞0
即f(x)在(－b，＋∞)内是减函数 ……9分
同理可证f(x)在(－∞，－b)内是减函数 ……12分
23. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(2001年春京、皖、蒙(21)12分)
(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．
解：(Ⅰ)由题意得
y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0.6x) (0＜x＜1)， ……4分
整理得 y＝－60x2＋20x＋200 (0＜x＜1)． ……6分
(Ⅱ)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即 ……9分
解不等式得 0＜x＜．
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜0.33
……12分
24. 已知R为全集，A＝{x|log0.5(3－x)≥－2}，B＝{x|≥1}，求∩B(2001年春上海(17)12分)
解 由已知log0.5(3－x)≥log0.54
因为y＝log0.5x为减函数，所0＜3－x≤4
解得－1≤x＜3
所以A＝x|－1≤x＜3}
由≥1，解得－2＜x≤3。所以B＝{x|－2＜x≤3}
于是＝{x|x＜－1或x≥3}
故∩B＝{x|－2＜x＜－1或x＝3}
25. 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1、x2[0，]，都有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2).(2001年(22)14分)
(Ⅰ)设f(1)＝2，求f()，f();
(Ⅱ)证明f(x)是周期函数.
(Ⅲ)记an＝f(2n＋)，求(lnan).
(Ⅰ) f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)， x1、x2[0，]知f(x)＝f(≥0， x[0，1].
∵f⑴＝f(，f(1)＝2，∴f()＝20.5
∵f(，∴f()＝20.25.
(Ⅱ)依题设y＝f(x)关于直线x＝1对称，故f(x)＝f(2－x)，xR.又由f(x)是偶函数知f(－x)＝f(x)，xR，∴f(－x)＝f(2－x)，xR，将上式中－x以x代换，得f(x)＝f(x＋2)，xR.这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知f(x)≥0，x[0，1].
∵f(
＝…＝f(＝a0.5，
∴f()＝a.∵f(x)的一个周期是2，
∴f(2n＋)，因此an＝a，∴(lnan)＝lna)＝0.
26. 在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：(2002年北京(20)12分)
用计算机求n个不同的数v1，v2，…，vn的和vi＝v1＋v2＋v3＋……＋vn。计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数。计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作。
为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法。比如n＝2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：
机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间
初读机号 结果 被读机号 结果 被读机号 结果
1 v1 2 v1＋v2
2 v2 1 v2＋v1
(I)当n＝4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表
机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间
初读机号 结果 被读机号 结果 被读机号 结果
1 v1
2 v2
3 v3
4 v4
(II)当n＝128时，要使所有机器都得到vi，至少需要多少个单位时间可完成计算？(结论不要求证明)
本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力。满分12分。
(I)解：当n＝4时，只用2个单位时间即可完成计算。
方法之一如下：
机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间
初读机号 结果 被读机号 结果 被读机号 结果
1 v1 2 v1＋ v2 3 v1＋ v2＋ v3＋ v4
2 v2 1 v2＋ v1 4 v2＋ v1＋ v4＋ v3
3 v3 4 v3＋ v4 1 V3＋ v4＋ v1＋ v2
4 v4 3 v4＋ v3 2 v4＋ v3＋ v2＋ v1
(II)解：当n＝128＝27时，至少需要7个单位时间才能完成计算。
27. 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a， b∈R都满足：
f(a b)＝af(b)＋bf(a)(2002年北京(22)13分)
(I)求f(0)， f(1)的值；
(II)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(III)若f(2)＝2，un＝(n∈N)，求数列{un}的前n项的和Sn。
本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分13分。
(I)解：f (0)＝f (0·0)＝0·f (0)＋0·f (0)＝0，
由f (1)＝f (1·1)＝1·f (1)＋1·f (1)，
得f (1)＝0.
(II)f (x)是奇函数。
证明：因为f (1)＝f [(―1)2]＝－f (－1)－f (－1)＝0，
所以f (－1)＝0，
f (－x)＝f (－1·x)＝－f (x)＋xf (－1)＝－f (x)，
因此，f (x)为奇函数。
(III)解法一：由f (a2)＝af (a)＋af (a)＝2af (a)，
f (a3)＝a2f (a)＋af (a2)＝3a2f (a)，
猜测 f (an)＝nan－1f (a).
下面用数学归纳法证明：
1 . 当n＝1时，f (a1)＝1·a0·f (a)，公式成立；
2 . 假设当n＝k时，f (ak)＝kak－1f (a)成立，
那么当n＝k＋1时，
f (ak＋1)＝akf (a)＋af (ak)
＝akf (a)＋kakf (a)
＝(k＋1)akf (a)，公式仍成立。
由上两步可知，对任意n∈N，f (an)＝nan－1f (a)成立。
所以 un＝
因为 f (2)＝2，f(1)＝f(2·)＝2f()＋f(2)＝0
所以 f()＝－f(2)＝－
un＝(－)n－1(n∈N)
因此 Sn＝－1(n∈N)
解法二：当ab≠0时，
令 g(x)＝，则g (a·b)＝g (a)＋g (b)，
故g (an)＝ng (a)，
所以 f (an)＝an·g (an)＝nang (a)＝nan－1f (a).
所以 nn＝
(以下同解法一)
28. 已知函数f(x)＝x2＋2x·tanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈(－)。(2002年上海(19)14分)
(1)当θ＝－ 时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使得y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数。
解：(1)当θ＝－ 时，
f(x)＝x2－x－1＝(x－，x∈[－1，]
∴ x＝时，f(x)的最小值为－
x＝－1时，f(x)的最大值为
(2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ的图像的对称轴为x＝－tanθ
∴ y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数
∴ －tanθ≤－1或－tanθ≥
即 tanθ≥1或tanθ≤－
因此θ的取值范围是(－
29. 已知a＞0，函数f(x)＝ax－bx2(2002年广东(22)14分)
(1)当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2；
(2)当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2；
(3)当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件。
本题主要考查二次函数、不等式等基础知识，以及逻辑推理能力、运算能力和灵活、综合应用数学知识解决问题的能力.满分14分.
(1)证：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1
∵ f(x)＝－b(x－
∴ f(≤1
∵ a＞0，b＞0， ∴ a≤2.
(2)证：必要性：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1 －1≤f(x)
于是 －1≤f(1)，即a－b≥－1
所以 a≥b－1
∵ 对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1 f(x)≤1
∵ b＞1，可得到f()≤1
即 a·－1≤1
∴ a≤2
∴ b－1≤a≤2.
充分性：因为b＞1，a≥b－1，对任意x∈[0，1]，可以推出
ax－bx2≥b(x－x2)－x≥－x≥－1
即 ax－bx2≥－1
因为 b＞1，a≤2，对任意x∈[0，1]，可以推出
ax－bx2≤2x－bx2≤1
即 ax－bx2≤1
∴ －1≤f(x)≤1
综上：当b＞1时，对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.
(3)解：因为a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1]
f(x)＝ax－bx2≥－b≥－1，即f(x)≥－1
f(x)≤1 f(1)≤1 a－b≤1 即 a≤b＋1
f(x)≤(b＋1)x－bx2≤1 ，即f(x)≤1
所以，当a＞0，0＜b≤1时，对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是a≤b＋1.
30. 设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|－1，x∈R(2002年全国(21)12分)
(1)讨论f(x)函数的奇偶性
(2)求函数f(x)的最小值.
答案：(1)a＝0时，是偶函数，a≠0，是非奇非偶函数.
(2)a≤－－a
－。，fmin＝a2＋1
a＞，fmin＝a＋
31. 某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(2003年春北京(20)12分)
(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.
解：(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆车.
(Ⅱ)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为
f(x)＝(100－，
整理得f(x)＝－(x－4050)2＋307050.
所以，当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050，
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.
32. 已知函数(2003年春上海(20)7＋7＝14分)
(1) 证明f(x)是奇函数；并求f(x)的单调区间
(2) 分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.
(1)证明: ∵ f(x)的定义域为D＝{x|x∈R，x≠0)
设x是D内任意一个值，
则f(－x)＝＝－f(x)
∴ f(x)为奇函数
由题意可得f '(x)＝，显然f '(x)＞0恒成立
又当x2＝ 时，f(x2)＝ ＜0，当x1＝ － 时，f(x1)＝ ＞0
即当x1＜x2时，有f(x1)＞f(x2)，加上条件f '(x)＞0，不能说明f(x)在定义域D内不是增函数。
但是在x∈(－∞，0)时，有f '(x)＞0
在x∈(0，＋∞)时，有f '(x)＞0
∴ f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
(2)计算f(4)－5f(2)g(2)
同理可计算得f(9)－5f(3)g(3)的值等于0，
由此概括出，涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式为：
f(x2)－5f(x)g(x)＝0
其证明如下：
f(x2)－5f(x)g(x)
故f(x2)－5f(x)g(x)＝0得证。
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
y
c1
c2
c3
c4
o
x
.1
－1 1
.
－1 1
.1
.
－1 1
.1
－1 1
.
.1
.
－1 1
.
.1
.1
－1 1
.
.
.
－1 1
.1
.1
－1 1
.
P
M
S
0 1 2 x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份
30
25
20
15
10
5
0
140
120
100
80
60
40
20
0
气温
用电量
0 1 2 x
y2
1
B
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圆锥曲线高考试题集
一、选择题：
1. 抛物线的准线方程是的值为 。 (03年全国卷文⑶题 5分)
（A） （B） （C） （D）
2. 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为 。 (03年全国卷文⑸题 5分)
（A） （B） （C） （D）
3. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 。 (03年全国卷⑻题 5分)
（A） （B） （C） （D）
4. 在同一坐标系中，方程的曲线大致是 。 (03年春北京卷⑼题 5分)
5. 对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q，点P(a,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a的取值范围是 。 (02年广东卷⑾题 5分)
? A．（－∞,０） ?B．（－∞,２） ? C．［０,２］ ?D．（０,２）
6. 设，则二次曲线的离心率的取值范围为 。
（A） （B） （C） （D） (02年全国卷文⑾题 5分)
7. 点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为 。
（A） （B） （C） （D） (02年全国卷理⑹题 5分)
8. 设动点P在直线上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰，则动点Q的轨迹是 。 (01年全国春⑹题 5分)
（A）圆 （B）两条平行直线 （C）抛物线 （D）双曲线
9. 已知、是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点A、B，若，则 。 (01年全国卷春⑸题 5分)
（A）11 （B）10 （C）9 （D）16
10.若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0）则其离心率为 。
（A） （B） （C） （D） (01年天津卷⑻题 5分)
11. 设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则 。
（A） （B）－ （C）3 （D）－3 (01年天津卷理⑽题 5分)
12. 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于 。 (2000年全国卷⑾题 5分)
（A） （B） （C） （D）
13. 双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 。
(2000年北京卷⑶题 5分)
14. 椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线距离是 。
(2000年北京卷⑼题 5分)
二、填空题：
1. 以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 。 (03年北京卷⑿题 4分)
2. 给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由
||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. (03年上海卷⑿题 4分)
.
3. 如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是 . (03年春北京⒃ 4分)
4. 直线被抛物线截得线段的中点坐标是 。 (03年春上海⑷ 4分)
5. 椭圆在第一象限部分的一点,以点横坐标作为长轴长,纵坐标作为短轴长作椭圆,如果的离心率等于的离心率,则的坐标为 。 (03年春安徽理⒂ 4分)
6. 双曲线的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P到ｘ轴的距离为 。(02年广东⒁ 4分)
7. 椭圆 的一个焦点是 ，那么 。 (02年全国理⒁题 4分)
8. 对于顶点在在原点的抛物线，给出下列条件： (02年全国文⒃题 4分)
焦点在轴上；焦点在轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为；
抛物线的通径的长为；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为。
能使这抛物线方程为的条件是 。（要求填写合适条件的序号）
9. 椭圆长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是____ 。(01年春全国卷⒁题 4分)
10. 椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时,点横坐标的取值范围是 。(2000年全国卷⒁题 4分)
三、解答题：
1. 已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。(03年全国卷21题 14分)
2. 如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线交椭圆于两点
直线交椭圆于两点求证：；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q. 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形） (03年北京卷18题 15分)
3.已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=－x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. (03年天津卷18题 12分)
（Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
4. 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在上。
（I）求动圆圆心的轨迹M的方程； (03年春全国卷22题 13分)
（II）设过点P，且斜率为的直线与曲线M交于A、B两点。
（i）问：ΔABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当ΔABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。
5.设分别为椭圆的左、右两个焦点. (03年春上海21 16分)
(1) 若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程；
(2) 设是(1)中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；
(3) 已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为时，那么是与点位置无关的定值. 试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.
6. 设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹. (03年春北京卷20题 12分)
7. 已知双曲线经过点,渐近线方程是,求其焦点坐标和离心率. (03年春安徽理18题 12分)
8. 已知抛物线关于直线对称.
(1) 求； (2) 求焦点间距离. (03年春安徽卷理21题 12分)
9. 已知椭圆的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且ＢＣ∥x轴。求证直线AC经过线段EF的中点．(02年广东卷⒇题 14分)
10. 已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，． （Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB垂直平分线交轴于点N，求面积最大值．(01年春22题 14分)
11. 设曲线有4个不同的交点．
（Ⅰ）求θ的取值范围； （Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．
(01年天津卷理22题 14分)
12. 已知椭圆C的焦点分别为和，长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。 (2000年上海卷文⒄题 12分)
13.如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为伪点，当时，求双曲线离心率c的取值范围。(2000年全国卷22题 14分)
14.如图，设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点。已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．(2000年北京卷22题 14分)
15. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. (03年上海卷20题 14分)
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设
计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧
道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）
16. 在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.
（1）求向量的坐标； （2）求圆关于直线OB对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围. (03年上海卷21题 14分)
y
x
B
C
E
F
D
G
A
P
O1．下面说法正确的是 （ ）
A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值
B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平
C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平
D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值
（文）要完成下列2项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户
低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体
育特长生中选出3人调查学习负担情况。应采用的抽样方法是 （ ）
A．①用随机抽样法 ②用系统抽样法 B．①用分层抽样法 ②用随机抽样法
C．①用系统抽样法 ②用分层抽样法 D．①、②都用分层抽样法
2．同时抛掷4枚均匀的硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是 （ ）
A．20 B．25 C．30 D．40
3．书架上有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本.从这个书架上任意
抽取两本书，这两本书不是同一种文字的概率是
4．甲袋中装有3个白球5个黑球，乙袋中装有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分掺混后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
先计算白球减少的概率，从甲袋中取出白球概率为，再从乙袋中取出黑球概率为所求概率为1-
5．袋中有一些大小相同的小球，其中号数为1的小球1个，号数为2的小球2个，号数为3的小球3个，……，号数为n的小球n个，从袋中取一球，其号数记为随机变量ξ，则ξ的数学期望Eξ= .
6．从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球
（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率 （ ）
A．小 B．大 C．相等 D．大小不能确定
5．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲射中的概率是 （ ）
A．0.6 B．
C． D．
6．抛掷两个骰子，当至少有一个的点数的3的倍数时，就说这次试验成功，设在50次试验中成功的次数为，则E= ，D= （精确到0.01）27.78,12.35
1．（维坊3月）甲、乙两人投篮，命中率分别为0.4和0.6，每人各投两次.
求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投进两球；
（Ⅱ）两人至少投进三个球.
1．P（甲投进两球）=，……………………………2分
P（乙投进两球）=………………………………………………4分
P（两人都投进两球）=………………………………………6分
（Ⅱ）P（甲投进一球）=
P（乙投进一球）=……………………………………………8分
P（甲投进两球乙投进一球）=
P（甲投进一球乙投进两球）=
∴P（两人至少投进三个球）=……………11分
答：两人都投进两球的概率是0.0576，两人至少投进3个球的概率是0.3072.…12分
2．（开封一）已知：有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求下列各事件的概率：（Ⅰ）事件A：指定的4个房间各有1人；（Ⅱ）事件B：恰有4个房间各有1人；（Ⅲ）事件C：指定的某个房间有2人。
2．由于每人可进住任1房间，进住哪间房是等可能的，每人都有6种等可能的方法，
根据乘法原理，4人进住6个房间共有64种方法 ……3分
（Ⅰ）指定的4个房间各有1人，有种方法， ……6分
（Ⅱ）从6间中选出4间有种方法，4个人每人去1间有种方法，
……9分
（Ⅲ）从4人中选2个人去指定的某个房间，共有种选法，余下2人每人都可去5个房间中的任1间,因而有52种种方法。
……12分
3．（大港）如图：用A、B、C、D四类不同的元件连接成系统N，当元件A正常工作且元件B、C都正常工作，或当元件A正常工作且元件D正常工作时，系统N正常工作.已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为
（Ⅰ）求元件A不正常工作的概率；
（Ⅱ）求元件A、B、C都正常工作的概率；
（Ⅲ）求系统N正常工作的概率.
3．解：（Ⅰ）元件A正常工作的概 率P（A）=，它不正常工作的概率
（2分）=（3分）
（Ⅱ）元件A、B、C都正常工作的概率P(A·B·C)=P（A）P（B）P（C）（5分）
（Ⅲ）系统N正常工作可分为A、B、C都正常工作和A、D正常工作但B、C不都正常工作两种情况，前者概率，（7分）后者的概率为
（10分），
所以系统N正常工作的概率是
4．（山西实验）甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
①恰有一个人译出密码的概率；
②至多一个人译出密码的概率；
解：①……5分 ②……10分
5．（山西实验）设在一袋子内装有5只白球，5只黑球，从这袋子内任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子中，求在这5次取球中（结果保留两个有效数学）
①取得白球3次的概率；
②至少有1次取得白球的概率
解：记“取球一次得白球”为事件A，“取球一次得黑球”为事件B.
①…6分
②
6．（山西实验）为了测试甲、乙两名篮球运动员投定位球的水平，在罚球线上让他们各投篮10次，甲投中7次，乙投中6次，如果让甲、乙依照各自的水平再投篮3次，求：
①甲运动员恰好投中2次的概率是什么？
②两名运动员都恰好投中2次的概率是多少？（结果保留两个有效数学）
解：设事件A：甲运动员投篮1次，投中 . 事件B：乙运动员投篮1次，投中 .
∴P(A)=0.7 , P(B)=0.6 ①…………6分
②…
7．（南京）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（Ⅰ）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．
7．Ⅰ）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A，
摸出两个球共有方法种， 其中，两球一白一黑有种. …………4分
. ………………………………6分
（Ⅱ）法一：记摸出一球，放回后再摸出一个球 “两球恰好颜色不同”为B，
摸出一球得白球的概率为，摸出一球得黑球的概率为， ……8分
“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”， ……………10分
. ……………………………12分
法二：有放回地摸两次，互相独立. 摸一次得白球的概率为,……10分
“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 ………12分
8．在某次考试中，甲、乙、丙三人合格（互不影响）的概率分别是，，，考试结束后，最容易出现几人合格的情况？
解：按以下四种情况计算概率,概率最大的就是最容易出现的情况.
⑴三人都合格的概率………………………………………………2分
⑵三人都不合格的概率为……………………… 4分
⑶恰有两人合格的概率
…………………………7分
⑷恰有一人合格的概率………………………………… 10分
由此可知，最容易出现恰有１人合格的情况……………………………………………12分
9．（洛阳一中）一个电路中有三个电子元件，它们接通的概率都是m（0＜m＜1如图，有如下三
种联接方法：
① ② ③
（1）分别求出这三种电路各自接通的概率；
（2）试分析这三种电路哪种性能最优，并证明你的结论.
9．三种电路各自接通分别记为事件A1、A2、A3，则P（A1）=m3…………3分
P（A2）=1－（1－m）3=3m－3m2+m3………6分 P（A3）=2（1－m）m2+m3=2m2－m3……9分
（2）P（A2）－P（A1）=3m－3m2=3m（1－m） ∵0＜m＜1 ∴P（A2）＞P（A1）………10分
P（A2）－P（A3）=2m3－5m2+3m=m（2m－3）（m－1）＞0 ∴P（A2）＞P（A3）…………11分
三个电子元件并联接通的概率最大，故性能最优………………12分
10．口袋里放有12个大小完全一样的球，其中3个红色的，4个白色的，5个兰色的，在袋里取出4个球时，求
（1） 取出的球的颜色至少是两种的概率；
（2） 取出的球的颜色是三种的概率
11．同时抛掷15枚均匀的硬币一次
(1)试求至多有1枚正面向上的概率；
(2)试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等 请说明理由.
解：（1）记“抛掷1枚硬币1次出现正面向上”为事件A，P（A）=，抛掷15枚硬币1次相当于作15次独立重复试验，根据几次独立重复试验中事件A发生K次的概率公式，记至多有一枚正面向上的概率为P1
则P1= P15（0）+ P15（1）=+= ……………（6分）
（2）记正面向上为奇数枚的概率为P2，则有
P2= P15（1）+ P15（3）+…+ P15（15）=++…+
=+…+)– ………………………（10分）
又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚” 的事件是对立事件，记“出现正面向上为偶数枚” 的事件的概率为P3
P3=1–= 相等
12．（山东实验）有一批种子，每粒发芽的概率为，播下5粒种子，计算：
（Ⅰ）其中恰好有4粒发芽的概率；
（Ⅱ）其中至少有4粒发芽的概率；
（Ⅲ）其中恰好有3粒没发芽的概率.
（以上各问结果均用最简分数作答）
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
13．（苏锡常镇一）某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是.从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是
.问：
（Ⅰ）第二次闭合后出现红灯的概率是多少？
（Ⅱ）三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率是多少？
13．解（Ⅰ）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是；如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为.………4分 综上，第二次出现红灯的概率为+.……5分
（Ⅱ）由题意，三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式：
①当出现绿、绿、红时的概率为；②当出现绿、红、绿时的概率为；…9分
③当出现红、绿、绿时的概率为；…………………………………………11分
所以三次发光中，出现一次红灯、两次绿灯的概率为++=…12分
14．（苏州）沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿灯交通信号，汽车在甲、乙、丙三个地方通过（即通过绿灯）的概率分别为，，，对于该大街上行驶的汽车，求：
（Ⅰ）在三个地方都不停车的概率；
（Ⅱ）在三个地方都停车的概率；
（Ⅲ）只在一个地方停车的概率．
14．7、解（1）；-
（2）；分
(3)-------
15．一盒中装有20个大小相同的弹子球，其中红球10个，白球6个，黄球 4个，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率
15．解：恰有3个红球的概率P1= ……4′有4个红球的概率P2=……8′
至少有3个红球的概率P=P1+P2=…………12′
16．（济宁）有A、B两个箱子，A箱中有6张相同的卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；B箱中有7张相同的卡片，其中四张写有0，一张写有1，两张写有2，现从A箱中任取1张，从B箱中任取2张，共3张卡片。
求：（Ⅰ）3张卡片都写有0的概率；（Ⅱ）3张卡片中数字之积为0的概率。
16．Ⅰ）（Ⅱ）
17．（宿迁）某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品概率为0.1，将次品错误地鉴定为正品的概率为0.2，如果这位检验员要鉴定4件产品，这4件产品中3件是正品，1件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各2件的概率。
17．将3件正品，1件次品鉴定为2件正品，2件次品有两种可能：
（1）将原1件次品仍鉴定为次品，原3件正品中有1件错误地鉴定为次品，这时的概率为。
（2）将原1件次品鉴定为正品，再将3件正品中的2件错误地鉴定为次品，这时的概率为。
于是所求的概率
18．（扬州）（1）如果猎人射击距离100米远处的静止目标3次，求至少有一次命中的概率；
（2）如果猎人射击距离100米远处的动物，假如第一次未命中，则进行第二次射击，但由于枪声惊动动物使动物逃跑从而使第二次射击时动物离猎人的距离变为150米，假如第二次仍未命中，则必须进行第三次射击，而第三次射击时动物离猎人的距离为200米。假如击中的概率与距离成反比，。求猎人最多射击三次命中动物的概率。
（1）记事件“猎人射击距离100米远处的静止目标3次，至少有一次命中”为A事件，
则P(A)=1-P()=1-0.4×0.4×0.4=0.936.
（2）记事件“第次击中动物”为事件（ =1,2,3），记事件“最多射击3次而击中动物”为事件B.
由条件P(B1)=0.6, P(B1)==0.4, P(B1)==0.3,
∵,且是相互独立事件,又、、是互斥事件，
∴=0.832.
18．（镇江）某班数学兴趣小组有男生和女生各３名，现从中任选２名学生去参加校数学竞赛，求：
（I）恰有一名参赛学生是男生的概率；
（II）至少有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生的概率。
18．（17）基本事件的种数为=15种 ）
（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有=9种 这一事件的概率P1==0.6（5分）
（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的，即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生所求事件的概率P2= ……（9分）
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的，即参赛学生没有男生和恰有一名参赛学生是男生所求事件的概率P3=
19．（南京师大附中）排球比赛的规则是5盘3胜制，A、B两队每盘比赛获胜的概率都相等且分别为和.
（Ⅰ）前2盘中B队以2:0领先，求最后A、B队各自获胜的概率;
（Ⅱ）B队以3:2获胜的概率.
解:（Ⅰ）设最后A获胜的概率为设最后B获胜的概率为
…………………………………4分
……………………8分
（Ⅱ）设B队以3:2获胜的概率为.
20．（四市联考）有外形相同的球分装在三个不同的盒子中，每个盒子10个球，其中第一个盒子中7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个，试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球，如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率
解：设事件A{从第一个盒子中取得一个标有字母A的球}，事件B={从第一个盒子中取
得一个标有字母B的球}，
则A，B互斥，且P（A）=，P（B）=；（4分）
事件C={从第二号盒子中取一个红球}，
事件D={从第三号盒子中取一个红球}，
则C，D互斥，且P（C）=（8分）显然，事件A·C与事件B·D互斥，且事件A与C是相互独立的， B与D也是相互独立的.所以试验成功的概率为
（11分）
答：本次试验成功的概率为
21．有甲、乙两个篮球运动员，甲投篮的命中率为0.7，乙投篮的命中率为0.6，每人各投篮三
次：
（Ⅰ）甲恰有2次投中的概率；
（Ⅱ）乙至少有1次投中的概率；
（Ⅲ）甲、乙两人投中数相等的概率。
(Ⅰ)甲恰有2次投中的概率;…3分
(Ⅱ)乙至少有1次投中的概率可视为3次独立重复试验中乙投中次数不少于1的事件发生的概率……7分
(Ⅲ)分4种情况①甲乙均未投中;②甲乙均投中1次;③甲乙均投中2次;④甲乙均投中3次;故所求概率为
.…………12分
22．（开封2）在袋里装30个小球，其中彩球有：n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.
求：①如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？
②如果从袋里取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是，计算红球有几个？
③根据②的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率？
解：①将5个黄球排成一排只有种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空上，有种放法 ∴所求的排法为=5×4×3×2×6×5×4=14400（种）…4分
②取3个球的种数为 设“3个球全红色”为事件A，“3个全蓝色”为事件B，“3个球全黄色”为事件C. ∵A、B、C为互斥事件 ∴P（A+B+C）= P（A）+P（B）+P（C） 即 取3个球红球的个数≤2，又∵n≥2，故n = 2 ……8分 ③记“3个球中至少有一个是红球”为事件D，则为“3个球中没有红球” 或
23．（苏四2）高三（1）班、高三（2）每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：
①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；
②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛；
③先胜两盘的队获胜，比赛结束.
已知每盘比赛双方胜出的概率均为
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
（Ⅲ）高三（1）班代表队至少胜一盘的概率为多少？
解：（Ⅰ）参加单打的队员有种方法.参加双打的队员有种方法. （2分）
所以，高三（1）班出场画容共有 （4分）
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜.（6分）
所以，连胜两盘的概率为 （8分）
（Ⅲ）高三（1）班至少胜盘，可分为：
（1）胜一盘，此时的概率为 （9分）
（2）胜两盘，此时的概率为 （11分）
所以，高三（1）班至少胜一盘的概率为 （12分）或：
高三（1）班代表队至少胜一盘的对立事件为输掉前两盘所以，所求概率为（12分）
A
D
B
C高考试题汇编
历年高考试题汇编Ⅰ——集合与函数
考试内容：
集合.子集、交集、并集、补集.
映射.函数(函数的记号、定义域、值域).
幂函数.函数的单调性.函数的奇偶性.
反函数.互为反函数的函数图象间的关系.
指数函数.对数函数.换底公式.简单的指数方程和对数方程.
二次函数.
考试要求：
(1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.
(2)了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关的概念掌握互为反函数的函数图象间的关系.
(3)理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象.
(4)掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的概念及其图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程.
一、选择题
1. 在下面给出的函数中，哪一个既是区间(0，)上的增函数，又是以π为周期的偶函数(85(3)3分)
A.y＝x2 B.y＝|sinx| C.y＝cos2x D.y＝esin2x
2. 函数y＝(0.2)－x＋1的反函数是(86(2)3分)
A.y＝log5x＋1 B.y＝logx5＋1 C.y＝log5(x－1) D.y＝log5x－1
3. 在下列各图中，y＝ax2＋bx与y＝ax＋b的图象只可能是(86(9)3分)
A. B. C. D.
4. 设S，T是两个非空集合，且ST，TS，令X＝S∩T，那么S∪X＝(87(1)3分)
A.X B.T C.Φ D.S
5. 在区间(－∞，0)上为增函数的是(87(5)3分)
A.y＝－log0.5(－x) B.y＝ C.y＝－(x＋1)2 D.y＝1＋x２
6. 集合{1，2，3}的子集总共有(88(3)3分)
A.7个 B.8个 C.6个 D.5个
7. 如果全集I＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，则＝(89(1)3分)
A.φ B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
8. 与函数y＝x有相同图象的一个函数是(89(2)3分)
A.y＝ B.y＝ C.y＝a(a＞0且a≠1) D.y＝logaax(a＞0且a≠1)
9. 已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)(89(11)3分)
A.在区间(－1，0)上是减函数 B.在区间(0，1)上是减函数
C.在区间(－2，0)上是增函数 D.在区间(0，2)上是增函数
10. 方程2的解是(90(1)3分)
A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝9
11. 设全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则＝(90(9)3分)
A.φ B.{(2，3)} C.(2，3) D.{(x，y)|y＝x＋1}
12. 如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是(90(10)3分)
A. B. C. D.
13. 函数f(x)和g(x)的定义域为R，“f(x)和g(x)均为奇函数”是“f(x)与g(x)的积为偶函数”的(90上海)
A.必要条件但非充分条件 B.充分条件但非必要条件
C.充分必要条件 D.非充分条件也非必要条件
14. 如果loga2＞logb2＞0，那么(90广东)
A.1＜a＜b B.1＜b＜a C.0＜a＜b＜1 D.0＜b＜a＜1
15. 函数y＝(x＋4)2在某区间上是减函数，这区间可以是(90年广东)
A.(－∞，－4] B.[－4，＋∞) C.[4，＋∞) D.(－∞，4]
16. 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(91(13)3分)
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
17. 设全集为R，f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，M＝{x|f(x)≠0}，N＝{x|g(x)≠0}，那么集合{x|f(x)g(x)＝0}等于(91年⒂3分)
A. B.∪N C.∪N D.
18. 等于(92(1)3分)
A. B.1 C. D.2
19. 图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线c1，c2，c3，c4的n依次是(92(6)3分)
A.－2，－，2 B.2，，－2
C.－，－2，2， D.，2，－2，－
20. 函数y＝的反函数(92(16)3分)
A.是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数 B.是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数
C.是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数 D.是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数
21. 如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(92(17)3分)
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
22. 当0＜a＜1时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只可能是(92年上海)
A. B. C. D.
23. 设全集I＝R，集合M＝{x|＞2}，N＝|logx7＞log37}，那么M∩＝(92年三南)
A.{x|x＜－2＝ B.{x|x＜－2或x≥3＝ C.{x|x≥3} D.{x|－2≤x＜3
24. 对于定义域为R的任何奇函数f(x)都有(92年三南)
A.f(x)－f(－x)＞0(x∈R) B.f(x)－f(－x)≤0(x∈R)
C.f(x)f(－x)≤0(x∈R) D.f(x)f(－x)＞0(x∈R)
25. F(x)＝[1＋]f(x)，(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x)(93(8)3分)
A.是奇函数 B.是偶函数
C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数
26. 设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么(93(16)3分)
A. B. C. D.
27. 函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是(93年上海)
A. B. C. D.
28. 集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，则(93年三南)
A.M＝N B.NM C.MN D.M∩N＝φ
29. 设全集I＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，则＝(94(1)4分)
A.{0} B.{0，1} C.{0，1，4} D.{0，1，2，3，4}
30. 设函数f(x)＝1－(－1≤x≤0)，则函数y＝f－1(x)的图象是(94(12)5分)
A. y B. y 1 C. y D. y 1 x
1 x 1 O
－1
－1 O x O 1 x －1
31. 定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，如果f(x)＝lg(10x＋1)，x∈R，那么(94(15)5分)
A.g(x)＝x，h(x)＝lg(10x＋10－x＋1) B.g(x)＝，h(x)＝
C.g(x)＝，h(x)＝lg(10x＋1)－ D.g(x)＝－，h(x)＝
32. 当a＞1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图像只可能是(94上海)
A. y B. y C. y D. y
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
33. 设I是全集，集合P，Q满足PQ，则下面结论中错误的是(94年上海)
A.P∪Q＝Q B.∪Q＝I C.P∩＝φ D.
34. 如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是(94上海)
A.(1－a)＞(1－a) B.log(1－a)(1＋a)＞0 C.(1－a)3＞(1＋a)2 D.(1－a)1＋a＞1
35. 已知I为全集，集合M，NI，若M∩N＝N，则(95(1)4分)
A. B.N C. D.N
36. 函数y＝－的图象是(95(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
O 1 x －1 O x O 1 x －1 O x
37. 已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是(95(11)5分)
A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.[2，＋∞)
38. 如果P＝{x|(x－1)(2x－5)＜0}，Q＝{x|0＜x＜10}，那么(95年上海)
A.P∩Q＝φ B.PQ C.QP D.P∪Q＝R
39. 已知全集I＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，则(96(1)4分)
A.I＝A∪B B.I＝∪B C.I＝A∪ D.I＝
40. 当a＞1时，同一直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax的图象是(96(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
1 1 1 1
O 1 x O 1 x O 1 x O 1 x
41. 设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1，f(x)＝x，则f(7.5)＝(96(15)5分)
A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5
42. 如果loga3＞logb3＞0，那么a、b间的关系为(96上海)
A.0＜a＜b＜1 B.1＜a＜b C.0＜b＜a＜1 D.1＜b＜a
43. 在下列图像中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图像只可能是(96上海)
A. B. C. D.
44. 设集合M＝{x|0≤x＜2}，集合N＝{x|x2－2x－3＜0}，集合M∩N＝(97(1)4分)
A.{x|0≤x＜1} B.{x|0≤x＜2} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}
45. 将y＝2x的图象
A.先向左平行移动1个单位 B.先向右平行移动1个单位
C.先向上平行移动1个单位 D.先向下平行移动1个单位
再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象.(97(7)4分)
46. 定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)重合.设a＞b＞0，给出下列不等式:
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
其中成立的是(97(13)5分)
A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④
47. 三个数60.7，0.76，log0.76的大小关系为(97上海)
A.0.76＜log0.76＜60.7 B.0.76＜60.7＜log0.76
C.log0.76＜60.7＜0.76 D.log0.76＜0.76＜60.7
48. 函数y＝a|x|(a＞1)的图像是(98(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
1 1 1
o x o x o x o x
49. 函数f(x)＝(x≠0)的反函数f－1(x)＝(98(5)4分)
A.x(x≠0) B.(x≠0) C.－x(x≠0) D.－(x≠0)
50. 如果实数x，y满足x2＋y2＝1，那么(1－xy)(1＋xy)有(98年广东)
A.最小值和最大值1 B.最大值1和最小值
C.最小值而没有最大值 D.最大值1而没有最小值
51. 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩ D.(M∩P)∪(99(1)4分)
52. 已知映射f:AB，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(99(2)4分)
A.4 B.5 C.6 D.7
53. 若函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，f(a)＝b，ab≠0，则g(b)＝(99(3)4分)
A.a B.a－1 C.b D.b－1
54. 设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是(2000⑴5分)
A.2 B.3 C.4 D.5
55. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分别累进计算.
全月应纳税所得额 税率
不超过500元的部分 5%
超过500元至2000元的部分 10%
超过2000元至5000元的部分 15%
… …
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于(2000⑹5分)
A.800～900元 B.900～1200元 C.1200～1500元 D.1500～2800元
56. 设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么是(2000春京、皖(2)4分)
A.Φ B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
57. 已知f(x6)＝log2x，那么f(8)等于(2000春京、皖)
A. B.8 C.18 D.
58. 函数y＝lg|x|(2000春京、皖(7)4分)
A.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
59. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如右图，则(2000春京、皖(14)5分)
A.b∈(－∞，0) B.b∈(0，1) C.b∈(1，2) D.b∈(2，＋∞)
60. 若集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T是(2000上海(15)4分)
A.S B.T C.Φ D.有限集
61. 已知集合A＝{1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是(2000广东)
A.15 B.16 C.3 D.4
62. 设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f:A→B把集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在映射f下，象(2，1)的原象是(2000年江西、天津(1)5分)
A.(3，1) B.() C.() D.(1，3)
63. 集合M＝{1，2，3，4，5}的子集个数是(2001年春京、皖、蒙(1)5分)
A.32 B.31 C.16 D.15
64. 函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)对于任意的实数x、y都有(2001春京、皖、蒙(2)5分)
A.f(xy)＝f(x)f(y) B.f(xy)＝f(x)＋f(y)
C.f(x＋y)＝f(x)f(y) D.f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
65. 函数y＝－的反函数是(2001春京、皖、蒙(4)5分)
A.y＝x2－1(－1≤x≤0) B.y＝x2－1(0≤x≤1)
C.y＝1－x2(x≤0) D.y＝1－x2(0≤x≤1)
66. 已知f(x6)＝log2x，那么f(8)等于(2001春京、皖、蒙(7)5分)
A. B.8 C.18 D.
67. 若定义在区间(－1， 0) 内的函数f(x)＝log2a(x＋1) 满足f(x)＞0， 则a的取值范围是(2001年(4)5分)
A.(，＋∞) B.(0，] C.(0，) D.(0，＋∞)
68. 设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题:(2001年(10)5分)
①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增;
②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增;
③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减;
④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减;
其中，正确的命题是
A.②③ B.①④ C.①③ D.②④
69. 满足条件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的个数是(2002年北京(1)5分)
A.1 B.2 C.3 D.4
70. 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(，π)上为减函数的是(2002年北京(3)5分)
A.y＝cos2x B.y＝2|sinx| C.y＝()cosx D.y＝－cotx
71. 如图所示，fi(x)(i＝1，2，3，4)是定义在[0， 1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0， 1]中任意的x1和x2，任意∈[0， 1]， f[x1＋(1－)x2]≤f(x1)＋(1－)f(x2)恒成立”的只有(2002年北京(12)5分)
A.f1(x)， f3(x) B.f2(x) C.f2(x)， f3(x) D.f4(x)
72. 一般地，家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的关系，用图(1)表示某年12个月中每月的平均气温，图(2)表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是(2002年上海(16)4分)
图(1) 图(2)
A.气温最高时，用电量最多 B.气温最低时，用电量最少
C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加
73. 集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，则(2002年全国(5)、广东(5)、天津(6)5分)
A.M＝N B.MN C.NM D.M∩N＝φ
74. 函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是(2002年广东(7)5分)
A.ab＝0 B.a＋b＝0 C.a＝b D.a2＋b2＝0
75. 函数y＝1－(2002年广东(9)5分)
A.在(－1，＋∞)内单调递增 B.在(－1，＋∞)内单调递减
C.在(1，＋∞)内单调递增 D.在(1，＋∞)内单调递减
76. 函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是(2002年全国(9)、天津(8)5分)
A.b≥0 B.b≤0 C.b＞0 D.b＜0
77. 据2002年3月9日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95 933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间(2001年——2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为(2002年全国(12)、广东(12)、天津(12)5分)
A.115 000亿元 B.120 000亿元 C.127 000亿元 D.135 000亿元
78. 函数y＝1－的图像是(2002年全国(10)5分)
A． B. C. D.
79. 若集合M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝}，则M∩P＝(2003年春北京(1)5分)
A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}
80. 若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根是(2003年春北京(2)5分)
A． B．－ C．2 D．－2
81. 关于函数f(x)＝(sinx)2－，有下面四个结论：
(1)f(x)是奇函数 (2)当x＞2003时， f(x)＞恒成立
(3)f(x)的最大值是 (4)f(x)的最小值是－
其中正确结论的个数为(2003年春上海(16)4分)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
83．设函数（2003年全国（3）5分）
A．（－1，1） B．（－1，+）
C． D．
二、填空题
1. 设函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(x2)的定义域为________.(85(10)4分)
2. 已知圆的方程为x2＋(y－2)2＝9，用平行于x轴的直线把圆分成上下两个半圆，则以上半圆(包括端点)为图像的函数表达式为_____________(85广东)
3. 方程的解是__________.(86(11)4分)
4. 方程9－x－2·31－x＝27的解是_________.(88(17)4分)
5. 函数y＝的反函数的定义域是__________.(89(15)4分)
6. 函数y＝的值域为_______________(89广东)
7. 函数y＝的定义域是________________(90上海)
8. 设函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，y＝x2＋1，则当x＞1时，y＝_________(91年上海)
9. 设函数f(x)＝x2＋x＋的定义域是[n，n＋1](n是自然数)，那么在f(x)的值域中共有_______个整数(91年三南)
10. 方程＝3的解是___________.(92(19)3分)
11. 设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为__________.(92(21)3分)
12. 已知函数y＝f(x)的反函数为f－1(x)＝－1(x≥0)，那么函数f(x)的定义域为_________(92上海)
13. 设f(x)＝4x－2x＋1(x≥0)，f－1(0)＝_________.(93(23)3分)
注:原题中无条件x≥0，此时f(x)不存在反函数.
14. 函数y＝x2－2x＋3的最小值是__________(93年上海)
15. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…an，共n个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1，a2，…an推出的a＝_______. (94(20)4分)
16. 函数y＝lg的定义域是________________(95上海)
17. 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的关系式为___________(96上海)
18. 方程log2(9x－5)＝log2(3x－2)＋2的解是x＝________(96上海)
19. 函数y＝的定义域为____________(96上海)
20. lg20＋log10025＝________(98上海)
21. 函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝______(98上海)
22. 函数y＝的最大值是__________(98年上海)
23. 函数y＝log2的定义域为____________(2000上海(2)4分)
24. 已知f(x)＝2x＋b的反函数为y＝f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像经过点Q(5，2)，则b＝_______(2000上海(5)4分)
25. 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是值国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需要_________年(2000上海(6)4分)
(按：1999年本市常住人口总数约1300万)
26. 设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图像为如图所示的线段AB，则在区间[1，2]上，f(x)＝_____(2000上海(8)4分)
27. 函数的反函数______．(2001年春上海(1)4分)
28. 关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：(2001年春上海(11)4分)
(1)对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
(2)不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；
(3)存在φ，使f(x)是奇函数；
(4)对任意的φ，f(x)都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是_______.因为当φ=_______时，该命题的结论不成立.
29. 方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝_____________.(2002年上海(3)4分)
30. 已知函数y＝f(x)(定义域为D，值域为A)有反函数y＝f－1(x)，则方程f(x)＝0有解x＝a，且f(x)＞x(x∈D)的充要条件是y＝f－1(x)满足___________(2002年上海(12)4分)
31. 函数y＝(x∈(－1，＋∞))图象与其反函数图象的交点坐标为________.(2002年天津(13)4分)
32. 函数y＝ax在[0，1]上的最大值和最小值之和为3，则a＝______(2002年全国(13)4分)
33. 已知函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝________(2002年全国(16)、广东(16)、天津(16)4分)
34. 若存在常数p＞0，使得函数f(x)满足f(px)＝f(px－)(x∈R)，则f(x)的一个正周期为_________.(2003年春北京(16)4分)
35. 已知函数f(x)＝＋1，则f－1(3)＝___________.(2003年春上海(1)4分)
36. 已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}且AB，则实数a的取值范围是____________.(2003年春上海(5)4分)
37. 若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝__________.(2003年春上海(11)4分)
38. 使成立的的取值范围是 .（2003年全国（14）.4分）
三、解答题
1. 解方程 log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1).(85(11)7分)
2. 设a，b是两个实数，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n是整数}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m是整数}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}是xoy平面内的集合，讨论是否存在a和b使得①A∩B≠φ，②(a，b)∈C同时成立.(85(17)12分)
3. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:①CA∪B，且C中含有3个元素，②C∩A≠φ(φ表示空集)(86(20)10分)
4. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝(x∈R且x≠)，证明:
①经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴；
②这个函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.(88(24)12分)
5. 已知a＞0且a≠1，试求使方程loga(x－ak)＝loga2(x2－a2)有解的k的取值范围.(89(22)12分)
6. 设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，已知当x∈I0时，f(x)＝x2.(89(24)10分)
①求f(x)在Ik上的解析表达式；
②对自然数k，求集合Mk＝{a|使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根}
7. 设f(x)＝lg，其中a是实数，n是任意给定的自然数，且n≥2.
①如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围；
②如果a∈(0，1]，证明2f(x)＜f(2x)当x≠0时成立.(90(24)10分)
8. 已知f(x)＝lg，其中a∈R，且0＜a≤1(90广东)
①求证：当x≠0时，有2f(x)＜f(2x)；
②如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围
9. 根据函数单调性的定义，证明函数f(x)＝－x3＋1在R上是减函数.(91(24)10分)
10. 已知函数f(x)＝(91三南)
⑴证明：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；
⑵证明：对不小于3的自然数n都有f(n)＞
11. 已知关于x的方程2a2x－2－7ax－1＋3＝0有一个根是2，求a的值和方程其余的根.(92三南)
12. 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:
P＝1000(x＋t－8) (x≥8，t≥0)
Q＝500 (8≤x≤14)
当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格.
①将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
②为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元 (95(25)12分)
13. 已知二次函数y＝f(x)在x＝＋1处取得最小值－(t＞0)，f(1)＝0(95上海)
⑴求y＝f(x)的表达式；
⑵若任意实数x都满足等式f(x)g(x)＋anx＋bn＝xn＋1(其中g(x)为多项式，n∈N)，试用t表示an和bn；
⑶设圆Cn的方程为：(x－an)2＋(y－bn)2＝rn2，圆Cn与圆Cn＋1外切(n＝1，2，3…)，{rn}是各项都为正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn和Sn.
14. 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程f(x)－x＝0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜.
Ⅰ.当x∈(0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1；
Ⅱ.设函数f(x)的图象关于直线x＝x0对称，证明:x0＜.(97(24)12分)
15. 解方程－3lgx＋4＝0(99年广东10分)
16. 已知二次函数f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值为3，求a的值(2000春京、皖)
17. 设函数f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)，证明：ab＜1(2000春京、皖(21)12分)
本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析问题解决问题的能力.满分12分.
18. 已知函数f(x)＝ 其中f1(x)＝－2(x－)2＋1，f2(x)＝－2x＋2.(2000春京、皖(24)14分)
(I)在下面坐标系上画出y＝f(x)的图象；
(II)设y＝f2(x)(x∈[，1])的反函数为y＝g(x)，a1＝1，a2＝g(a1)， ……，an＝g(an－1)，求数列{an}的通项公式，并求an；
(III)若x0∈[0，)，x1＝f(x0)，f(x1)＝x0，求x0.
19. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示. (2000(21)12分)
⑴写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P＝f(t)；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
⑵认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/10kg，时间单位：天)
20. 已知函数:f(x)＝，x∈[1，＋∞)(2000上海(19)6＋8＝14分)
⑴当a＝时，求函数f(x)的最小值；
⑵若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围
21. 设函数f(x)＝－ax，其中a＞0.(2000年广东(20)12分)
(1)解不等式f(x)≤1；
(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调函数.
22. 设函数f(x)＝(a＞b＞0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性．(2001年春京、皖、蒙(17)12分)
23. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(2001年春京、皖、蒙(21)12分)
(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
24. 已知R为全集，A＝{x|log0.5(3－x)≥－2}，B＝{x|≥1}，求∩B(2001年春上海(17)12分)
25. 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1、x2[0，]，都有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2).(2001年(22)14分)
(Ⅰ)设f(1)＝2，求f()，f();
(Ⅱ)证明f(x)是周期函数.
(Ⅲ)记an＝f(2n＋)，求(lnan).
26. 在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：(2002年北京(20)12分)
用计算机求n个不同的数v1，v2，…，vn的和vi＝v1＋v2＋v3＋……＋vn.计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数.计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.
为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n＝2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：
机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间
初读机号 结果 被读机号 结果 被读机号 结果
1 v1 2 v1＋v2
2 v2 1 v2＋v1
(I) 当n＝4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表
机器号 初始时 第一单位时间 第二单位时间 第三单位时间
初读机号 结果 被读机号 结果 被读机号 结果
1 v1
2 v2
3 v3
4 v4
(II)当n＝128时，要使所有机器都得到vi，至少需要多少个单位时间可完成计算？(结论不要求证明)
27. 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a， b∈R都满足：
f(a b)＝af(b)＋bf(a)(2002年北京(22)13分)
(I)求f(0)， f(1)的值；
(II)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(III)若f(2)＝2，un＝(n∈N)，求数列{un}的前n项的和Sn.
28. 已知函数f(x)＝x2＋2x·tanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈(－).(2002年上海(19)14分)
(1)当θ＝－ 时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使得y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数.
29. 已知a＞0，函数f(x)＝ax－bx2(2002年广东(22)14分)
(1)当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2；
(2)当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2；
(3)当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件.
30. 设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|－1，x∈R(2002年全国(21)12分)
(1)讨论f(x)函数的奇偶性
(2)求函数f(x)的最小值.
31. 某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(2003年春北京(20)12分)
(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
32. 已知函数(2003年春上海(20)7＋7＝14分)
(1) 证明f(x)是奇函数；并求f(x)的单调区间；
(2) 分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.
33．（2003年（19）.12分）
已知 设
P：函数在R上单调递减.
Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围.
A
B
1
y2
0 1 2 x
用电量
气温
140
120
100
80
60
40
20
0
30
25
20
15
10
5
0
y
0 1 2 x
S
M
P
x
o
c3
c4
c2
c1
y
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
－1 1
.
.1
.1
－1 1
.
－1 1
.
－1 1
.1
.1
.
－1 1
.1
.
－1 1
.1
.1
－1 1
.
.
.
－1 1
.
.1
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函数 第 1 页 共 13 页解答题专题训练
1、 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．（91高考24）
2、 已知复数z=1＋i, 求复数的模和辐角的主值．（91高考25）
3、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．（91高考26）
4、根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．
5、求sin220 + cos280 ＋sin20 cos80 的值.（92高考24）
6、设z∈C，解方程z－2|z|=－7+4i.（92高考25）
7、如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1－EBFD1的体积.（92高考26）
8、已知f (x)=loga(a>0，a≠1)．(Ⅰ)求f (x)的定义域；
(Ⅱ)判断f (x)的奇偶性并予以证明；(Ⅲ)求使f (x)>0的x取值范围．（93高考24）
9、 已知数列
Sn为其前n项和．计算得
观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明．（93高考25）
10、已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．
求证：(Ⅰ)a⊥γ；(Ⅱ)b⊥γ．（93高考26）
11、已知z=1+i．(1)设ω=z2+3－4，求ω的三角形式；
(2)如果，求实数a，b的值．（94高考21）
12、已知函数f(x)=tgx，x∈(0，)．若x1，x2∈(0，)，且x1≠x2，证明[f(x1)+f(x2)]>f()（94高考22）
13、如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点．
(1)证明AB1∥平面DBC1；
(2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数．（94高考23）
14、在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O (其中O是原点)，已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．（95高考21）
15、求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．（95高考22）
16、如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．
(1)求证：AF⊥DB；
(2)如果圆柱与三棱锥D－ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．（95高考23）
17、某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：
P=1000(x+t－8)( x≥8，t≥0)，Q=500(8≤x≤14)．
当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元 （95高考24）
18、解不等式log a(1 – )>1.（96高考20）
19、已知 C的三个内角A, B, C 满足:（96高考21）
20、某地现有耕地10000公顷.规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)
(粮食单产 = ， 人均粮食占有量 = )（96高考23）
21、如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E 截面A1EC侧面AC1 A C
(I). 求证: BE=EB1; B
(II). 若AA1=A1B1,求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的
度数. （96高考22） E
注意: 在以下横线上填上适当内容,使之成为(I)的完整证明,并解答(II).
(I) 证明:在截面A1EC内,过E作EG A1C,G是垂足. A1 C1
________________________ EG侧面AC1; B1
取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BFAC,
________________________ BF侧面AC1;
得BF//EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1与FG. A F C
__________________________ B
BE // FG,四边形BEFG是平行四边形,BE=FG,
_________________________ G
FG //AA1, AA1C FGC, E
__________________________ A1 C1
FG=AA1/2 = BB1 /2,即BE = BB1,
故BE = EB1. B1
(II)解:
22、已知复数,．复数,在复数平面上所对应的点分别为P,Q．证明是等腰直角三角形（其中为原点）． （97高考20）
23、已知数列,都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p> q,且，．设,Sn为数列的前n项和．求．（97高考21）
24、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已
知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v
(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．
I．把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定
义域；
II．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？（97高考22）
25、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
I．证明ADD1F； II．求AE与D1F所成的角；
III．证明面AED面A1FD1；IV．设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积（97高考23）
26、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a＋c=2b，A－C=．求sinB的值．（98高考20）
27、如图，直线l1和l2相交于点M，l1 ⊥l2，点N∈l1．以A， B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．（98高考21）
28、如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．（98高考22）
29、已知斜三棱柱ABC－A1 B1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90 ，BC=2，AC=2，且AA1 ⊥A1C，AA1= A1 C．
Ⅰ．求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
Ⅱ．求侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的大小；
Ⅲ．求顶点C到侧面A1 ABB1的距离．（98高考23）
30.解不等式（99高考19）
31.设复数求函数的最大值以及对应的值.（99高考20）]
32.如图，已知正四棱柱，点在棱上，截面∥，且面与底面所成的角为
Ⅰ.求截面的面积；Ⅱ.求异面直线与AC之间的距离；
Ⅲ.求三棱锥的体积.
33、 已知函数
（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（00高考19）
（II）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
34、如图，已知平行六面体 的底面ABCD是菱形，且
（I）证明： ；
（II）假定CD=2， ，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α –BD- β的平面角的余弦值；
（III）当 的值为多少时，能使 ？请给出证明。（00高考20）
35、设函数 ，其中a>0。
（I）解不等式f(x)≤1；
（II）求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0，+∞]上是单调函数。（00高考21）
36、（I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；
（II）设是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。
（00高考22）
37、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。（00高考23）
（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；
写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天）
38、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=（Ⅰ）求四棱锥S—ABCD的体积；
（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.（01高考17）
39、已知复数（01高考18）
（Ⅰ）求及|z1|； （Ⅱ）当复数z满足|z|=1，求的最大值.
40、设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴.证明直线AC经过原点O.（01高考19）
41、已知是正整数，且（01高考20）
（Ⅰ）证明 （Ⅱ）证明
42、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
（Ⅰ）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？（01高考21）
43、已知、的值.（02高考17）
44、如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直. 点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=.
（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；
（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.（02高考18）
45．（本小题满分12分）
设点P到点M（－１，0）、N（1，0）距离之差为2m，
到x轴、y轴距离之比为2.求m的取值范围. （02高考19）
46．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆 （02高考20）
47、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离.
48．已知复数z的辐角为60°，且是和的等比中项. 求.
49．已知 设
P：函数在R上单调递减.
Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围.
50．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
解答题专题训练答案：
1、解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x＋cos2x)＋2sinxcosx+2cos2x ——1分
=1sin2x(1＋cos2x) ——3分
=2＋sin2x+cos2x=2+sin(2x+)． ——5分
当sin(2x+)=－1时y取得最小值2－． ——6分
使y取最小值的x的集合为{x|x=kπ－π，k∈Z}． ——8分
2、本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．
解：== ——2分
=1－i． ——4分
1－i的模r==．
因为1－i对应的点在第四象限且tgθ=－1，所以辐角主值θ=π． ——8分
3、本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．
解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O． 因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．
BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离． ——4分
∵ BD⊥AC，∴ EF⊥HC．
∵ GC⊥平面ABCD，∴ EF⊥GC，
∴ EF⊥平面HCG．
∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线． ——6分
作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离． ——8分
∵ 正方形ABCD的边长为4，GC=2，∴ AC=4，HO=，HC=3．
∴ 在Rt△HCG中，HG=．
由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．
∴ OK=．
即点B到平面EFG的距离为． ——10分
注：未证明“BD不在平面EFG上”不扣分．
4、本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．
证法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且x1
则f (x2) －f (x1) == (x1－x2) () ——3分
∵ x1当x1x2<0时，有= (x1+x2) 2－x1x2>0； ——6分
当x1x2≥0时，有>0；
∴ f (x2)－f (x1)= (x1－x2)()<0． ——8分
即 f (x2) < f (x1).所以，函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分
证法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x1则 f (x2)－f (x1)=x－x= (x1－x2) ()． ——3分
∵ x1∵ x1，x2不同时为零，∴ x＋x>0．
又 ∵ x＋x>(x＋x)≥|x1x2|≥－x1x2 ∴ >0，
∴ f (x2)－f (x1) = (x1－x2) ()<0． ——8分
即 f (x2) < f (x1)．所以，函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分
5、本小题主要考查三角函数恒等变形知识和运算能力.满分9分.
解 sin220 +cos280 ＋sin220 cos80
=(sin100 －sin60 ) ——3分
=1＋(cos160 －cos40 )+sin100 － ——5分
=－·2sin100 sin60 ＋sin100 ——7分
=－sin100 ＋sin100 =. ——9分
6、本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识.满分10分.
解 设 z=x＋yi (x，y∈R).依题意有
x＋yi－2=－7+4i ——2分
由复数相等的定义，得
——5分
将②代入①式，得x－2 =－7.
解此方程并经检验得x1=3， x2=. ——8分
∴ z1 =3＋4i， z2=＋4i. ——10分
7、本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分10分.
解法一 ∵ EB=BF=FD1=D1E==a，
∴ 四棱锥A1－EBFD1的底面是菱形. ——2分
连结A1C1、EF、BD1，则A1C1∥EF.
根据直线和平面平行的判定定理，A1C1平行于A1－EBFD1的底面，从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1－EBFD1的高 ——4分
设G、H分别是A1C1、EF的中点，连结D1G、GH，则FH⊥HG， FH⊥HD1
根据直线和平面垂直的判定定理，有
FH⊥平面HGD1，
又，四棱锥A1－EBFD1的底面过FH，
根据两平面垂直的判定定理，有
A1－EBFD1的底面⊥平面HGD1.
作GK⊥HD1于K，根据两平面垂直的性质定理，有
GK垂直于A1－EBFD1的底面. ——6分
∵ 正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1,∴ ∠HGD1=90 .
在Rt△HGD1内，GD1=a，HG=a，HD1==a.
∴ a·GK=a·a，从而GK=a. ——8分
∴ =·GK=··EF·BD1·GK
=·a·a·a=a3 ——10分
解法二 ∵ EB=BF=FD1=D1E==a，
∴ 四菱锥A1－EBFD1的底面是菱形. ——2分
连结EF，则△EFB≌△EFD1.
∵ 三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1等底同高，
∴ .
∴ . ——4分
又 ，
∴ ， ——6分
∵ CC1∥平面ABB1A1，
∴ 三棱锥F－EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距离，即棱长a. ——8分
又 △EBA1边EA1上的高为a.
∴ =2···a=a3. ——10分
8、本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．满分12分．
解 (Ⅰ)由对数函数的定义知． ——1分
如果，则－1如果，则不等式组无解． ——4分
故f (x)的定义域为(－1，1)
(Ⅱ) ∵ ，
∴ f (x)为奇函数． ——6分
(Ⅲ)(ⅰ)对a>1，loga等价于， ①
而从(Ⅰ)知1－x>0，故①等价于1+x>1－x，又等价于x>0．
故对a>1，当x∈(0，1)时有f(x)>0． ——9分
(ⅱ)对0而从(Ⅰ)知1－x>0，故②等价于－1故对00． ——12分
9、本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．满分10分．
解 ． ——4分
证明如下：
(Ⅰ)当n=1时，，等式成立． ——6分
(Ⅱ)设当n=k时等式成立，即
——7分
则 =
由此可知，当n=k+1时等式也成立． ——9分
根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知，等式对任何n∈N都成立． ——10分
10、本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．满分12分．
证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB，β∩γ=AC．
在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC． ——1分
∵ γ⊥α，∴ PM⊥α．
而 aα，∴ PM⊥a．
同理PN⊥a． ——4分
又 PMγ，PNγ，
∴ a⊥γ． ——6分
(Ⅱ)于a上任取点Q，
过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2． ——7分
∵ b∥α，∴ b∥a1．同理b∥a2． ——8分
∵ a1，a2同过Q且平行于b，
∵ a1，a2重合．又 a1α，a2β，
∴ a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a． ——10分
∵ b∥a1，∴ b∥a．而a⊥γ，
∴ b⊥γ． ——12分
注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．
证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ． ——1分
∵ α⊥γ，P∈α，∴ a′α．
同理a′β． ——3分
可见a′是α，β的交线．
因而a′重合于a． ——5分
又 a′⊥γ，
∴ a⊥γ． ——6分
(Ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面
与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d． ——7分
∵ b∥α，b∥β．
∴ b∥c，b∥d． ——8分
又 cβ，dβ，可见c与d不重合．因而c∥d．
于是c∥β． ——9分
∵ c∥β，cα，α∩β=a，
∴ c∥a． ——10分
∵ b∥c，a∥c，b与a不重合(bα，aα)，
∴ b∥a． ——11分
而 a⊥γ，∴ b⊥γ． ——12分
注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．
11．本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力．
解：(1)由z＝1+i，有
ω=z2+3－4 =(1+i)2+3－4 =2i+3(1－i)－4=－1－i，
ω的三角形式是．
(2)由z=1+i，有
=
由题设条件知(a+2)－(a+b)i=1－i．
根据复数相等的定义，得解得
12．本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力．
证明：
tgx1+tgx2=
∵x1，x2∈(0，)，x1≠x2，
∴2sin(x1+x2)>0，cos x1cosx2>0，且0从而有0由此得tgx1+tgx2>，∴( tgx1+tgx2)>tg，
即[f(x1)+f(x2)]>f()
13．本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力．
(1)证明：
∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．
连结B1C交BC1于E，则B1E=EC．连结DE．
在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1．
又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1．
(2)解：作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥面B1BCC1，连结EF，则EF是ED在平面B1BCC1上的射影．
∵AB1⊥BC1，
由(1)知AB1∥DE，∴DE⊥BC1，则BC1⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．
设AC=1，则DC=．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，
DF=DC·sinC=，CF=DC·cosC=．取BC中点G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．
在Rt△BEF中，
EF2=BF·GF，又BF=BC－FC=，GF=，
∴EF2=·，即EF=．∴tg∠DEF=．∴∠DEF=45°．
故二面角α为45°．
14、本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．
解：设Z1，Z3对应的复数分别为z1，z3，依题设得
=
15、本小题主要考查三角恒等式和运算能力．
解： 原式
16．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．
(1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．
∵EB平面ABE，∴DA⊥EB．
∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．
∵AF平面DAE，∴EB⊥AF．
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．
∵DB平面DEB，∴AF⊥DB．
(2)解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连结DH．根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．
又DH平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．
设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，
由V圆柱：VD－ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心，AH=R，
DH=
∴∠EDH=arcctg=arcctg，
17．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．
解：(1)依题设有1000(x+t－8)=500，
化简得 5x2+(8t－80)x+(4t2－64t+280)=0．
当判别式△=800－16t2≥0时，
可得 x=8－±．
由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：
①
②
解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为
函数的定义域为[0，]．
(2)为使x≤10，应有
8≤10
化简得 t2+4t－5≥0．
解得t≥1或t≤－5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．
18、本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．
解：(Ⅰ)当a＞1时，原不等式等价于不等式组：
——2分
由此得．
因为1－a<0，所以x<0，
∴ ——5分
(Ⅱ)当0由①得，x>1或x<0，
由②得，
∴ ——10分
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为 ——11分
19、本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．
解法一：由题设条件知B=60°，A+C=120°． ——2分
∵
∴
将上式化为
利用和差化积及积化和差公式，上式可化为
——6分
将代入上式得
将代入上式并整理得
——9分
∵
∴
从而得 ——12分
解法二：由题设条件知B=60°，A+C=120°．
设，可得， ——3分
所以
——7分
依题设条件有，
∵
∴
整理得 ——9分
∵，
∴．
从而得． ——12分
20、本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．
解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷．
依题意得不等式
——5分
化简得 ——7分
∵
—— 9分
∴x≤4（公顷）．
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分
21、本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．
(Ⅰ) ①∵面A1EC⊥侧面AC1， ——2分
②∵面ABC⊥侧面AC1， ——3分
③∵BE∥侧面AC1， ——4分
④∵BE∥AA1， ——5分
⑤∵AF=FC， ——6分
(Ⅱ)解：分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D．
∵∥，
∴
∵∠B1A1C1=∠B1 C1A1=60°，
∠DA1B1=∠A1DB1=（180°－∠D B1A1）=30°，
∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°，即⊥ ——9分
∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C，
所以∠CA1C1是所求二面角的平面角． ——11分
∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=90°，
∴∠CA1C1=45°，即所求二面角为45° ——12分
22．本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．
解法一：
于是
因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．
因为，所以
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．
解法二:
因为，所以．
因为，所以
于是
由此得OP⊥OQ，│OP│=│OQ│．
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．
23、本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．满分11分．
解:
．
分两种情况讨论．
(Ⅰ)p>1．
∵
=
=p．
(Ⅱ)p<1．
∵ 024、本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分．
解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
(Ⅱ)依题意知S，a，b，v都为正数，故有
当且仅当．即时上式中等号成立
若，则当时，全程运输成本y最小，
若，则当时，有
=
因为c－v≥0，且a>bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0，
所以，且仅当v=c时等号成立，
也即当v=c时，全程运输成本y最小．
综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．
25、本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分．
解:(Ⅰ)∵AC1是正方体，
∴AD⊥面DC1．
又D1F面DC1，
∴AD⊥D1F．
(Ⅱ)取AB中点G，连结A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．
设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F，由(Ⅱ)知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED．又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1．
(Ⅳ)连结GE，GD1．
∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1，
∴
∵AA1=2，
∴正方形ABB1A1
26．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．
解：由正弦定理和已知条件a+c=2b 得 sinA+sinC=2sinB.
由和差化积公式得2sincos=2sinB.
由A+B+C=π 得 sin=cos ，
又A－C= 得 cos=sinB，
所以cos=2sincos.
因为0<<，cos≠0，
所以sin=，
从而cos=
所以sinB=.
27．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．
解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点．
设曲线段C的方程为
y2=2px（p>0），（xA≤x≤xB，y>0），其中xA，xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|.
所以 M（，0），N（，0）.
由|AM|= ，|AN|=3 得
（xA+）2+2pxA=17， ①
（xA－）2+2pxA=9. ②
由①，②两式联立解得xA =.再将其代入①式并由p>0解得
因为ΔAMN是锐角三角形，所以> xA，故舍去
所以p=4，xA =1.
由点B在曲线段C上，得xB =|BN|－=4.
综上得曲线段C的方程为
y2=8x（1≤x≤4，y>0）.
解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．
作AE l1，AD l2，BF l2，垂足分别为E、D、F.
设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）.
依题意有
xA =|ME|=|DA|=|AN|=3，
yA =|DM|=，
由于ΔAMN为锐角三角形，故有
xN =|ME|+|EN|
=|ME|+=4
xB =|BF|=|BN|=6.
设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合
｛（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y>0｝.
故曲线段C的方程为
y2=8（x－2）（3≤x≤6，y>0）.
28．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．
解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k>0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.
根据题设，有4b+2ab+2a=60（a>0，b>0），
得 b=（0于是 y=
=
≥
，
当a+2=时取等号，y达到最小值.
这时a=6，a=－10（舍去）.
将a=6代入①式得b=3.
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大.
由题设知 4b+2ab+2a=60（a>0，b>0），
即 a+2b+ab=30（a>0，b>0）.
因为 a+2b≥2，
所以 +ab≤30，
当且仅当a=2b时，上式取等号.
由a>0，b>0，解得0即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18.
所以2b2=18.解得b=3，a=6.
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
29．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．
Ⅰ．解：作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC，
所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.
因为AA1A1C，AA1=A1C，
所以∠A1AD =45 为所求.
Ⅱ．解：作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EAB.
所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
由已知，ABBC，得ED∥BC.
又D是AC的中点，BC=2，AC=2，
所以DE=1，AD=A1D=， tg∠A1ED==.
故∠A1ED=60 为所求.
Ⅲ．解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离.
连结HB，由于ABBC，得ABHB.
又A1EAB，知HB∥A1E，且BC∥ED，
所以∠HBC=∠A1ED=60
所以CH=BCsin60 =为所求.
解法二：连结A1B.
根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C－A1AB的高h.
由得，
即
所以为所求.
30. 本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想.
解：原不等式等价于
由①得
由②得或，
由③得
由此得 或
当时得所求的解是
；
当时得所求的解是
31.本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.
解：由得
由得及
故
因为
所以
当且仅当时，即时，上式取等号.
所以当时，函数取得最大值
由得由于在内正切函数是递增函数，函数也取最大值
32.本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.
Ⅰ. 解：如图，连结BD交AC于O，连结EO
因为底面ABCD是正方形，
所以DO⊥AC
又因为ED⊥底面AC，
因为EO⊥AC
所以∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角.
所以
故
II. 解：由题设是正四棱柱，得⊥底面AC，⊥AC，
又⊥
所以是异面直线与AC间的公垂线.
因为∥面EAC，且面与面EAC交线为EO
所以∥EO
又O是DB的中点，
所以E是的中点，=2EO =2
所以
异面直线与AC间的距离为
Ⅲ. 解法一：如图，连结
因为=DB=
所以是正方形，
连结交于P，交EO于Q
因为⊥，EO∥，
所以⊥EO
又AC⊥EO，AC⊥ED
所以AC⊥面，
所以⊥AC，
所以⊥面EAC.
所以是三棱锥的高.
由DQ=PQ，得
所以
所以三棱锥的体积是
解法二：连结，则
因为AO⊥面，
所以AO是三棱锥的高，AO
在正方形中，E、O分别是、DB的中点（如右图），则
∴
所以三棱锥的体积是
33、本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。满分12分。
解：（I）
…………6分
y取得最大值必须且只需
即
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为
…………8分
（II）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数的图象；
（ii）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；
（iii）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象；
（iv）把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象；
综上得到函数的图象。 ………………12分
34、本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分。
（I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BC=CD
又
∵DO=OB
………………2分
但AC⊥BD，
又
………………4分
（II）解：由（I）知AC⊥BD，
是二面角α BD β的平面角
在中，BC=2，，
………………6分
∵∠OCB=60°
作，垂足为H。
∴点H是OC的中点，且，
所以。 ………………8分
（III）当时，能使
证明一：
∵
又
由此可推得
∴三棱锥是正三棱锥。 ………………10分
设相交于G.
又是正三角形的BD边上的高和中线,
∴点G是正三角形的中心。
即。 ………………12分
证明二：
由（I知，
。 ………………10分
当时，平行六面体的六个面是全等的菱形。
同的证法可得
又
………………12分
35、本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分数计论的数学思想方法和运算、推理能力。满分12分。
解：（I）不等式f(x)≤1即
，
由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a>0
所以，原不等式等价于
即 ………………3分
所以，当0 当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0} ………………6分
（II）在区间[0，+∞]上任取，使得
………………8分
（i）当a≥1时
又
即
所以，当a≥1时，函数f(x )在区间[0，+∞]上是单调递减函数。 ………………10分
（ii）当0 综上，当且仅当a≥1时，函数f(x )在区间[0，+∞]上是单调函数。 ………………12分
36、本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分。
解：（I）因为是等比数列，故有
将代入上式，得
……………………3分
即
整理得
解得p=2或p=3。 ……………………6分
（II）设的公比分别是p=q，p≠q，
为证不是等比数列只需证。
事实上，，
由于p≠q，，又不为零，
因此，故不是等比数列。 ……………………12分
37、本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分。
解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
……………………2分
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
……………………4分
（II）设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得
h(t)=f(t)-g(t)
即 ……………………6分
当0≤t≤200时，配方整理得
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当200
所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5。 ……………………10分
综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。 ……………………12分
43．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.满分12分.
解：由倍角公式， ………………2分
由原式得
………………8分
，
……………12分
44．本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.
解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得
MP∥NQ，且MP=NQ，
即MNQP是平行四边形，∴ MN=PQ. ……………3分
由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴ AC=BF=，
即
. ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当
即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为……9分
（Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，
∵ AM=AN，BM=BN，G为MN的中点
∴ AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，
又AG=BG=，所以，由余弦定理有
故所求二面角. ……………12分
45．本小题主要考查直线、双曲线等基础知识，考查基本运算、逻辑推理能力.满分12分.
解法一：设点P的坐标为（x,y），依题设得=2，
即 ①………2分
因此，点P（x,y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得
因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故
②…………6分
将①式代入②，并解得
， ……………8分
解得.
即m的取值范围为 ……………12分
解法二：设点P的坐标为（x,y），依题设得，即
. ①…………2分
由|PM|－|PN|=2m，得 ②…………4分
由②式可得
所以，. ……………6分
由②式移项，两边平方整理得
将①式代入，整理得. ③…………8分
③式右端大于0，.
综上，得m满足
即m的取值范围为 ……………12分
46．本小题主要考查为数列、数列的极限等基础知识，考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.满分12分.
解：设2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，…，每年新增汽车x万辆，则
………………2分
对于n>1，有
………………6分
当 ………………8分
当
并且数列{bn}逐项增加，可以任意靠近. ……………10分
因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即.
则（万辆）.综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.………12分
47、（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，
∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=D1D
又EC=CC1，且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1
又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1
∵BD1面DBD1，
∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线.
（II）解：连结ED1，有
由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的
距离为d，
则S△DBC·d=S△DBD·EF.………………9分
∵AA1=2·AB=1.
故点D1到平面BDE的距离为.
48． 解：设，则复数由题设
49．解：函数在R上单调递减
不等式
50．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
A
B
①
②
——7分
①②
C
①
②
③
S
D1、(1997文)已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_______
2、(2003江苏卷)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
3、(2004上海春季)已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，.
⑴ 求点的坐标；
⑵若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值；
⑶对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离. 已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式.
4、(2004北京春季理)已知点A（2，8），，在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
⑴写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
⑵求线段BC中点M的坐标；
⑶求BC所在直线的方程。
5、(2002全国春季)已知某椭圆的焦点是、，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，且，椭圆上不同的两点、满足条件：、、成等差数列．
⑴求该椭圆方程；
⑵求弦中点的横坐标；
⑶设弦的垂直平分线的方程为，求的取值范围．
6、(2001上海春季)已知椭圆的方程为，点的坐标满足。过点的直线与椭圆交于、两点，点为线段的中点，求：
⑴点的轨迹方程；⑵点的轨迹与坐标轴的交点的个数．
7、(2004广州春季高毕)已知向量=（x，），=（1，0），且（+）（–）．
⑴求点Q（x，y）的轨迹C的方程；
⑵设曲线C与直线相交于不同的两点M、N，又点A（0，－1），当时，求实数的取值范围．
8、(2003上海理)在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.
⑴求向量的坐标；
⑵求圆关于直线OB对称的圆的方程；
⑶是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.
9、(1992理)已知椭圆，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0,0）.证明：
10、(2003春季北京理)已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上.
⑴求动圆圆心的轨迹M的方程；
⑵设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
11、(1987文)正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线y=x+4上，C，D在抛物线x=y2上，求正方形ABCD的面积。
12、(1984理)求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程。
13、(2004广州春季高毕)若直线被圆所截得的弦长为,则实数a的值为
（A）–1或 （B）1或3 （C）–2或6 （D）0或4
14、(2003全国理)已知圆C：（a＞0）及直线，当直线被C截得的弦长为时，则a= （ ）
A． B． C． D．
15、(2002全国理)圆的圆心到直线的距离是
（A） （B） （C） （D）
16、(1999理)直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
（A） （B） （C） （D） （ C ）
17、(1990新题目组文)圆上的点到直线的距离的最小值是
（A）6 （B）4 （C）5 （D）1 （ B ）
18、(2003全国理) 已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
19、(2003江苏卷)已知常数，向量经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
20、(2002全国新课程卷理)平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中有且，则点的轨迹方程为( )
21、(2002全国新课程卷理)已知两点，且点使，，成公差小于零的等差数列。
⑴点P的轨迹是什么曲线？
⑵若点P坐标为，记为与的夹角，求。
22、(2002全国春季)已知椭圆的焦点是、，是椭圆上的一个动点．如果延长到，使得，那么动点的轨迹是（ ）
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线
23、(2001北京内蒙古安徽春季)设动点P在直线上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰，则动点Q的轨迹是
（A）圆 （B）两条平行直线 （C）抛物线 （D）双曲线
24、(2000北京安徽春季理)如图，设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
25、(1995理)已知椭圆，直线．P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ| |OP|=|OR|2．当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
26、(1999理)如图，给出定点A（0）（）和直线B是直线上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C。求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。
27、(1985理)已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，如图。求直线PA和QB的交点M的轨迹方程。（要求把结果写成普通方程）
28、(2004年安徽春季理)抛物线的准线方程为＿＿＿＿＿.
29、(2003江苏卷)抛物线的准线方程是y=2，则a的值为（ ）
A． B．－ C．8 D．－8
30、(2002全国理)椭圆的一个焦点是，那么 。
31、(2002全国春季)若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是_________．
32、(1994新考理)设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2=900，则△F1PF2的面积是 （ A ）
（A）1 （B） （C）2 （D）
33、(2000全国理)过抛物线的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于
（A） （B） （C） （D）
34、(2004年安徽春季理)已知F1、F2为椭圆（）的焦点；M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且∠F1MF2＝600，则椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
35、(2003广东卷)双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
36、(2003春季北京理)如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是 .
37、(2000全国理)椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时,点横坐标的取值范围是 。
38、(2000北京安徽春季理)双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是
（A）2 （B） （C） （D）
39、(1996理)设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 （ A ）
（A）2 （B） （C） （D）
40、(1999理)设椭圆的右焦点为F1，右准线为。若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到的距离，则椭圆的离心率是__________
41、(2001全国理)设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
42、(2001广东卷)已知椭圆的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且ＢＣ∥x轴?求证直线AC经过线段EF的中点．
43、(2001北京内蒙古安徽春季)已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，．
⑴求的取值范围；
⑵若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值．
44、(2002全国理)设点到点、距离之差为，到轴、轴距离之比为。求的取值范围。
45、(1983理)如图，已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N。设∠F2F1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？
46、(1997理)设圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1。在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线：的距离最小的圆的方程。
47、(2000全国理)如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当时，求双曲线离心率的取值范围。
48、(1986理)过点M（-1，0）的直线与抛物线y2=4x交于P1、P2两点。记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为；的斜率为k。试把直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数。
49、(2001广东卷)对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q，点P(a,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a的取值范围是
A．（－∞,０） B．（－∞,２） C．［０,２］ D．（０,２）
50、(1990理)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0，）到这个椭圆上点的最远距离是.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。
51、(1991理)双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点。若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程。
52、(1990文)椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆的方程。
53、(1994新考理)已知直线过坐标原点，抛物线C的顶点在原点。焦点在x轴正半轴。若点A（-1，0）和B（0，8）关于的对称点都在C上，求直线和抛物线C的方程。
54、(1996理)已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A1、B1和A2、B2。
⑴求的斜率k1的取值范围；⑵若|A1B1|=|A2B2|，求的方程。
55、(1990文)在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0。若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标。
56、(1993理)在面积为1的△PMN中，.建立适当的坐标系，求出以M，N为焦点且过点P的椭圆方程。
57、(1998理)如图，直线和相交于点M，⊥，点以A，B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
58、(2004年安徽春季理)已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.
⑴若C在点M的法线的斜率为－，求点M的坐标（x0，y0）；
⑵设P（－2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.
59、(2003春季北京理)有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）
⑴若希望点P到三镇距离的平方和为最小， 点P应位于何处？
⑵若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？
B
L1
M N
L2
A
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不等式高考试题集
一、选择题：
1. 设集合等于 (03年北京⑴ 5分)
A． B． C． D．
2. 设，且下列结论中正确的是 。(03年春北京卷⑴题 5分)
A． B． C． D．
3. 不等式的解集是 。 (03年春安徽卷理⑸题 5分)
A. B. C. D.
4. 不等式＞０的解集为 。 (02年广东卷⑴题 5分)
? A．｛ｘ｜ｘ＜１} ?B．｛ｘ｜ｘ＞３｝
? C．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３} ?D．｛ｘ｜１＜ｘ＜３}
5. 不等式的解集是 。 (02年全国卷文⑶题 5分)
6. 已知，则有 。 (02年全国卷文⑼题 5分)
7. 若实数满足，则的最小值是 。 (01年全国春⑽题 5分)
（A）18 （B）6 （C） （D）
8. 若＞＞1，，则 。 (2000年全国卷 5分)
（A）R＜P＜Q （B）P＜Q＜R （C）Q＜P＜R （D）P＜R＜Q
二、填空题：
1. 设集合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且
= 。(03年上海卷⑹题 4分)
2. 已知集合，且，则实数的取值范围是 . (03年春上海卷⑸题 4分)
三、解答题：
1. 解不等式组 (03年春上海卷⒄题 12分)
2. 解关于x的不等式 (01年天津卷理⒄题 12分)
3. 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？ (01年天津卷文⒅题 12分)高考题分章汇编(应用题)
班级____________ 姓名_______________ 成绩______________
1、 选择题（
1、（10）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是
2、《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累进计算： （00-6-5分）
全月应纳税所得额 税率
不超过500元的部分 5%
超过500元至2000元的部分 10%
超过2000元至5000元的部分 15%
…… …
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于
（A）800～900元 （B）900～1200元
（C）1200～1500元 （D）1500～2800元
3、根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足（01春-12-5分）
按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是
（A）5月、6月（B）6月、7月（C）7月、8月（D）8月、9月
4、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为
A、26 B、24
C、20 D、19（01-12-5分）
1、 填空题（
1、
1、 解答题（
1、某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:
P = 1000(x + t – 8)(x≥8,t≥0),
Q = 500(8≤x≤14).
当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格.
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元 （95-4-12分）
2、某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷） （96-4-10分）
(粮食单产＝，人均粮食占有量＝)
3、甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.
(Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;
(Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶 （97-22-12分）
4、如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。（98-22-12分）
5、下图为一台冷轧机的示意图；冷轧机由若干对轧辊组成。带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。（99-22-12分）
（1）输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？
（一对轧辊减薄率 = ）
(2)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm。若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为。为了便于检修，请计算、、并填人下表（轧钢过程中，带钢宽度不变,且不考虑损耗）
轧辊序号k 1 2 3 4
疵点间距(单位:mm) 1600
6、某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为akW·h，本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h．
(Ⅰ)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(Ⅱ)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
（注：收益=实际用电量×(实际电价-成本价)）（00春-23-12分）
7、某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为0.75，同时预计年销售量增加的比例为0.6．已知年利润 =（出厂价–投入成本）年销售量．
（Ⅰ）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例应在什么范围内？（01春-21-12分）
8、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设, 并以此发展旅游产业。根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少。本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。
（I）设n年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业的总收入为万元。写出、的表达式；
（II）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？（01-21-12分）高三数学专题讲座（复数）2001年5月10日
1、（2000年）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是
（A） （B） （C） （D）
2、（2000年春季）复数则在复平面内的对应点位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3、（2000年春季）设复数z1=2sin+icos在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应的复数为Z2=r(cos+isin),则tg=
(A) (B) (C) (D)
4、（2000年上海）设复数满足,且在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,,求和的值.
5、（1999年）设复数，求函数的最大值及对应的的值。
6、（1998年）复数–i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是
（A）（B）（C）（D）
7、（1997年）已知复数，，复数、在复平面上所对应的点分别为P、Q。证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）
8、（1996年）复数等于
(A)、1+i (B)、1+i (C)、1i (D)1i
9、（1995年）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1, Z2 ,Z3 ,O（其中O是原点），已知Z2对应复数Z2=1+i。求Z1和Z2对应的复数。
10、（1994年）如果复数z满足 |z+ i |+ | zi |=2，那么 | z+i+1 |的最小值是
（A）1 （B） （C）2 （D）
11、（1994年）已知z=1+i,(1)设=,求的三角形式；
(2)如果，求实数a、b的值。
12、（1993年）设复数z=cos+isin (0<<)，=，并且||=，arg<， 求
13、（2001年春季）已知．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）设的辐角为，求的值．
14、（2000年上海）复数
15、（2000年上海）已知复数均为实数，为虚数单位，且对于任意复数。
（1）试求的值，并分别写出和用、表示的关系式；
（2）将(、)作为点的坐标，(、)作为点的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，
当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。
高三数学专题讲座（数列）参考答案
1、B
2、D
3、A
4、［解法一］设
而
又∵在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,
∴,得.
∴. 即;,
当时,有,即,得.
当时,同理可得.
［解法二］,∴,
得
或 得.
当时,有,即,得.
当时,同理可得.
5、解:由
由得
故
当且仅当时,即时,上式取等号.
所以当时,函数取最大值
6、D
7、解：因为
因为
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| .
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形。
8、B
9、解：设Z1，Z3对应的复数分别为
依题设得
10、A
11、（1）
（2）
12、，或
13、解：（Ⅰ）由
，
得． ……4分
因为 ，，
所以 ． ……6分
（Ⅱ）因为，
所以 ，而，所以，
，同理， ．
由（Ⅰ）知 ，
即 ，
所以 的实部为， ……8分
而的辐角为时，复数的实部为
，
所以 ……12分
14、C
15、[解]（1）由题设，，
于是由， …（3分）
因此由，
得关系式 …（5分）
[解]（2）设点在直线上，则其经变换后的点满足
， …（7分）
消去，得，
故点的轨迹方程为 …（10分）
[解]（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
∴所求直线可设为， …（12分）
[解法一]∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点
仍在该直线上，
∴，
即，
当时，方程组无解，
故这样的直线不存在。 …（16分）
当时，由
得，
解得或，
故这样的直线存在，其方程为或， …（18分）
[解法二]取直线上一点，其经变换后的点仍在该直线上，
∴，
得， …（14分）
故所求直线为，取直线上一点，其经变换后得到的点仍在该直线上。
∴， …（16分）
即，得或，
故这样的直线存在，其方程为或， …（18分）
- 6 -高一期末总复习题（2003年高考试题选）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 已知 （ ）
A． B．－ C． D．－
2．等差数列 （ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
3．设函数若，则x0的取值范围是（ ）
A．（－1，1） B．（－1，+∞）
C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
4．函数的反函数为 （ ）
A． B．
C． D．
5．函数的最大值为 （ ）
A． B． C． D．2
6．已知方程的四个根组成的一个首项为的等差数列，则 （ ）
A．1 B． C． D．
7．函数 （ ）
A． B．
C． D．
8．设集合等于（ ）
A． B．
C． D．
9．设，则 （ ）
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
10．“”是“”的 （ ）
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
11．已知函数是定义在[a，b]上的减函数，那么是（ ）
A．在上的增函数 B．在上的增函数
C．在上的减函数 D．在上的减函数
12．条件“”是条件“”的 （ ）
A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
13．已知x，y为正实数，且成等差数列，成等比数列，那么 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
14．设是锐角三角形的两个互不相等的内角，若，
则这间的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
15．集合，映射，使任意，都有
是奇数，则这样的映射共有 （ ）
A．60个 B．45个 C．27个 D．11个
二、填空题：把答案填在题中横线上.
16．使成立的的取值范围是 .
17．函数中，
是偶函数.
三、解答题： 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.
18．本小题考查数列，等比数列，等比数列求和等基础知识，考查运算能力，满分12分.
已知数列（Ⅰ）求（Ⅱ）证明
解：（Ⅰ）∵a1=1 . ∴a2=3+1=4, a3=32+4=13 .
（Ⅱ）证明：由已知an－an－1=3n－1,故
所以证得.
19．本小题主要考查三角函数的图象和单调性，奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满分12分.
已知函数是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数.求的值.
解：由f(x)是偶函数，得f(－x)= f(－x).
即： 所以－
对任意x都成立，且所以得=0. 依题设0，所以解得，由f(x)的图象关于点M对称，得.
取x=0,得=－，所以=0.
20．（本小题满分12分）已知 设P：函数在R上单调递减. Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围.
解：函数在R上单调递减
不等式
21．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）设是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即
将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3
5 6
9 10 12
— — — —
— — — — —
（i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i）求.
（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）
设中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知
（Ⅰ）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48
（i i）设，只须确定正整数
数列中小于的项构成的子集为
其元素个数为满足等式的最大整数为14，
所以取
因为100－
（Ⅱ）解：
令 因
现在求M的元素个数：
其元素个数为：
某元素个数为
某元素个数为
22．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若，求的最大值、最小值.
（Ⅰ）解：因为
所以的最小正周期
（Ⅱ）解：因为所以
当时，取得最大值；当时，取得最小值－1. 所以在上的最大值为1，
最小值为－
23．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.
已知数列是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令求数列前n项和的公式.
（Ⅰ）解：设数列公差为，则 又
所以
（Ⅱ）解：令则由得
①
②
当时，①式减去②式，得
所以
当时, 综上可得当时,
当时，
24．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
设是定义在区间上的函数，且满足条件：
（i）
（ii）对任意的
（Ⅰ）证明：对任意的
（Ⅱ）证明：对任意的
（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当时，有即
（Ⅱ）证法一：对任意的
当不妨设则
所以，
综上可知，对任意的都有
证法二：由（Ⅰ）可得，
当
所以，当因此，对任意的
当时，当时，有
且
所以
综上可知，对任意的都有
（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在.
理由如下，假设存在函数满足条件，则由
得 又所以①
又因为为奇数，所以由条件
得 ② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.
25．（本小题满分14分）
已知函数的最大值为，其最小正周期为.
（1）求实数的值.
（2）写出曲线的对称轴方程及其对称中心的坐标.
解：（1）
………………………4分
…………………………6分
∵y的最小正周期T=π， ……………………8分
…………………………10分
（2）由（1）知， .
∴曲线的对称轴方程为.…………………………12分
对称中心的坐标为……………………………………………14分
26．（本小题满分14分）
设定义在上的函数满足；
（1）对于任意正实数a、b，都有，其中p是正实常数；
（2）；
（3）当时，总有.
（Ⅰ）求的值（写成关于p的表达式）；
（Ⅱ）求证上是减函数；
（Ⅲ）（理科学生作）设，数列的前n项和为Sn，当且仅当n=5时，Sn取得最大值. 求p的取值范围.
（文科学生作）设，求数列的前n项和Sn .
解（1）取a=b=1，则…………2分
又. 且.
得：………………4分
（2）设研究：
………………6分 依
再依据当时，总有成立，可得………………8分
即成立，故上是减函数.………………9分
（3）
……………………………………11分
又. 数列是以为首项，
公差为－1的等差数列.……………………………………12分
.
由题意 ………………………………………14分
（文科）……………………14分第一章 集合、指数函数与对数函数
考试内容：
集合.子集、交集、并集、补集.
逻辑联结词。四种命题。充要条件。
映射.函数(函数的记号、定义域、值域).
函数的单调性.（函数的奇偶性）
反函数.互为反函数的函数图象间的关系.
指数概念的扩充。有理指数幂的运算性质。指数函数。对数。对数的运算性质。对数函数。函数的应用举例。实习作业。
二次函数.
考试要求：
(1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.
（2）理解逻辑逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义。
(3)了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关的概念掌握互为反函数的函数图象间的关系.
(3)理解函数的单调性的概念，并能判断一些简单函数的单调性的方法。
（4）了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单的反函数。
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质。
（6）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质。
（7）能够运用函数的性质、指数函数、对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
(8)实习作业以函数应用为内容，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力。
1985年——2002年高考试题回顾
一、选择题
1. 在下面给出的函数中，哪一个既是区间(0，)上的增函数，又是以π为周期的偶函数(85(3)3分)
A.y＝x2 B.y＝|sinx| C.y＝cos2x D.y＝esin2x
2. 函数y＝(0.2)－x＋1的反函数是(86(2)3分)
A.y＝log5x＋1 B.y＝logx5＋1 C.y＝log5(x－1) D.y＝log5x－1
3. 在下列各图中，y＝ax2＋bx与y＝ax＋b的图象只可能是(86(9)3分)
A. B. C. D.
4. 设S，T是两个非空集合，且SS，令X＝S∩T，那么S∪X＝(87(1)3分)
A.X B.T C.Φ D.S
5. 在区间(－∞，0)上为增函数的是(87(5)3分)
A.y＝－log0.5(－x) B.y＝ C.y＝－(x＋1)2 D.y＝1＋x2
6. 集合{1，2，3}的子集总共有(88(3)3分)
A.7个 B.8个 C.6个 D.5个
7. 如果全集I＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，则＝(89(1)3分)
A.φ B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
8. 与函数y＝x有相同图象的一个函数是(89(2)3分)
A.y＝ B.y＝ C.y＝a(a＞0且a≠1) D.y＝log(a＞0且a≠1)
9. 已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)(89(11)3分)
A.在区间(－1，0)上是减函数 B.在区间(0，1)上是减函数
C.在区间(－2，0)上是增函数 D.在区间(0，2)上是增函数
10. 设全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则＝(90(9)3分)
A.φ B.{(2，3)} C.(2，3) D.{(x，y)|y＝x＋1}
11. 如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是(90(10)3分)
A. B. C. D.
12. 函数f(x)和g(x)的定义域为R，“f(x)和g(x)均为奇函数”是“f(x)与g(x)的积为偶函数”的(90上海)
A.必要条件但非充分条件 B.充分条件但非必要条件
C.充分必要条件 D.非充分条件也非必要条件
13. 如果loga2＞logb2＞0，那么(90广东)
A.1＜a＜b B.1＜b＜a C.0＜a＜b＜1 D.0＜b＜a＜1
14. 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(91(13)3分)
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
15. 设全集为R，f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，M＝{x|f(x)≠0}，N＝{x|g(x)≠0}，那么集合{x|f(x)g(x)＝0}等于
A. B.∪N C.∪N D.
16. 等于(92(1)3分)
A. B.1 C. D.2
17. 函数y＝的反函数(92(16)3分)
A.是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数 B.是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数
C.是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数 D.是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数
18. 如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(92(17)3分)
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
19. F(x)＝[1＋]f(x)，(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x)(93(8)3分)
A.是奇函数 B.是偶函数
C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数
20. 设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么(93(16)3分)
A. B. C. D.
21. 设全集I＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，则＝(94(1)4分)
A.{0} B.{0，1} C.{0，1，4} D.(0，1，2，3，4}
22. 设函数f(x)＝1－(－1≤x≤0)，则函数y＝f－1(x)的图象是(94(12)5分)
A. y B. y 1 C. y D. y 1
1 x 1 O x
－1 －1
－1 O x O 1 x
23. 定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，如果f(x)＝lg(10x＋1)，x∈R，那么(94(15)5分)
A.g(x)＝x，h(x)＝lg(10x＋10－x＋1) B.g(x)＝，h(x)＝
C.g(x)＝，h(x)＝lg(10x＋1)－ D.g(x)＝－，h(x)＝
24. 当a＞1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图像只可能是(94上海)
A. y B. y C. y D. y
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
25. 如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是(94上海)
A.(1－a)＞(1－a) B.log(1－a)(1＋a)＞0 C.(1－a)3＞(1＋a)2 D.(1－a)1＋a＞1
26. 已知I为全集，集合M，NI，若M∩N＝N，则(95(1)4分)
A. B.N C. D.N
27. 函数y＝－的图象是(95(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
O 1 x －1 O x O 1 x －1 O x
28. 已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是(95(11)5分)
A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.[2，＋∞)
29. 已知全集I＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，则(96(1)4分)
A.I＝A∪B B.I＝∪B C.I＝A∪ D.I＝
30. 当a＞1时，同一直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax的图象是(96(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
1 1 1 1
O 1 x O 1 x O 1 x O 1 x
31. 设f(x)是(－∞，∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1，f(x)＝x，则f(7.5)＝( ) (96(15)5分)
A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5
32. 如果loga3＞logb3＞0，那么a、b间的关系为(96上海)
A.0＜a＜b＜1 B.1＜a＜b C.0＜b＜a＜1 D.1＜b＜a
33. 在下列图像中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图像只可能是(96上海)
A. B. C. D.
34. 设集合M＝{x|0≤x＜2}，集合N＝{x|x2－2x－3＜0}，集合M∩N＝(97(1)4分)
A.{x|0≤x＜1} B.{x|0≤x＜2} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}
35. 将y＝2x的图象
A.先向左平行移动1个单位 B.先向右平行移动1个单位
C.先向上平行移动1个单位 D.先向下平行移动1个单位
再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象.(97(7)4分)
36. 定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)重合.设a＞b＞0，给出下列不等式:
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
其中成立的是(97(13)5分)
A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④
37. 函数y＝a|x|(a＞1)的图像是(98(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
1 1 1
o x o x o x o x
38. 函数f(x)＝(x≠0)的反函数f－1(x)＝(98(5)4分)
A.x(x≠0) B.(x≠0) C.－x(x≠0) D.－(x≠0)
39. 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩ D.(M∩P)∪(99(1)4分)
40. 已知映射f:AB，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(99(2)4分)
A.4 B.5 C.6 D.7
41. 若函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，f(a)＝b，ab≠0，则g(b)＝(99(3)4分)
A.a B.a－1 C.b D.b－1
42. 设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么是(2000安徽(2)4分)
A.Φ B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
43. 函数y＝lg|x|(2000安徽(7)4分
A.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
44. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如右图，则(2000安徽(14)5分)
A.b∈(－∞，0) B.b∈(0，1) C.b∈(1，2) D.b∈(2，＋∞)
45. 设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是(2000⑴5分)
A.2 B.3 C.4 D.5
46. 函数y＝－xcosx的部分图象是(2000⑸5分)
47. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分别累进计算.
全月应纳税所得额 税率
不超过500元的部分 5%
超过500元至2000元的部分 10%
超过2000元至5000元的部分 15%
… …
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于(2000⑹5分)
A.800～900元 B.900～1200元 C.1200～1500元 D.1500～2800元
48. 若集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T是(2000上海(15)4分)
A.S B.T C.Φ D.有限集
49. 集体的子集个数是（2001北京（1）5分）
（A）32 （B）31 （C）16 （D）15
53．函数对于任意的实数都有 （2001北京（2）5分）
（A） （B）
（C） （D）
54．函数的反函数是 （2001北京（4）5分）
（A） （B）
（C） （D）
55．已知，那么等于 （2001北京（7）5分）
（A） （B）8 （C）18 （D）
56．若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0，则a的取值范围是（）
A．（0，1/2） B. C.(1/2,+∞) D.(9,+ ∞) (2001(4)5分)
57.设f(x),g(x)都是单调函数,则下列命题正确的是: (2001(10)5分)
①f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)—g(x)单调递增；
②f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)—g(x)单调递增；
③f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)—g(x)单调递减；
④f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)—g(x)单调递减；
A．①③ B。①④ C。②③ D。②④
58．函数（）是单调函数的充要条件是 （2002（9）5分）
（A） （B） （C） （D）
59．函数的图象是 （2002（10）5分）
二、填空题
1. 设函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(x2)的定义域为________.(85(10)4分)
2. 已知圆的方程为x2＋(y－2)2＝9，用平行于x轴的直线把圆分成上下两个半圆，则以上半圆(包括端点)为图像的函数表达式为_____________(85广东)
3. 方程的解是__________.(86(11)4分)
4. 函数y＝的反函数的定义域是__________.(89(15)4分)
5. 函数y＝的值域为_______________(89广东)
6. 设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为__________.(92(21)3分)
7. 已知函数y＝f(x)的反函数为f－1(x)＝－1(x≥0)，那么函数f(x)的定义域为_________(92上海)
8. 设f(x)＝4x－2x＋1(x≥0)，f－1(0)＝_________.(93(23)3分)
注:原题中无条件x≥0，此时f(x)不存在反函数.
9. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…an，共n个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1，a2，…an推出的a＝_______.(94(20)4分)
10. 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的关系式为___________(96上海)
11. 函数y＝的定义域为____________(96上海)
12. 函数f(x)＝ax(a＞0,a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝______(98上海)
13. 函数y＝log的定义域为____________(2000上海(2)4分)
14. 已知f(x)＝2x＋b的反函数为y＝f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像经过点Q(5，2)，则b＝_______(2000上海(5)4分)
15. 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需要_________年(2000上海(6)4分)
(按：1999年本市常住人口总数约1300万)
16. 设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图像为如图所示的线段AB，
则在区间[1，2]上，f(x)＝_____(2000上海(8)4分)
20．函数在上的最大值与最小值这和为3，则＝ （2002（13）4分）
21．已知，那么＝
（2002（16）4分）
22．若全集I=R，f(x),g(x)均为x的二次函数，P={x|f(x)<0}，Q={x|g(x)≥0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为 。（2002上海春招（3））
23．在空间中
①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；
②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。
以上两个命题中，逆命题为真命题的是 。（把符合要求的命题序号填上）
（2001天津理（15））
24．设集合A={x|2lgx=lg(8x-15),x∈R}，B={x|cosx/2>0,x∈R}，则A∩B的元素个数为 。
（2001上海理（4））
25．设I是全集，非空集合P、Q满足PQI，若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这具运算表达式可以是 。（只要写出一个表达式）
（2000上海春招（12））
三、解答题
1. 设a，b是两个实数，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n是整数}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m是整数}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}是xoy平面内的集合，讨论是否存在a和b使得①A∩B≠φ，②(a，b)∈C同时成立.(85(17)12分)
2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:①CA∪B，且C中含有3个元素，②C∩A≠φ(φ表示空集)(86(20)10分)
3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝(x∈R且x≠)，证明:
①经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴；
②这个函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.(88(24)12分)
4. 已知a＞0且a≠1，试求使方程loga(x－ak)＝loga2(x2－a2)有解的k的取值范围.(89(22)12分)
5. 设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，已知当x∈I0时，f(x)＝x2.(89(24)10分)
①求f(x)在Ik上的解析表达式；
②对自然数k，求集合Mk＝{a|使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根}
6. 设f(x)＝lg，其中a是实数，n是任意给定的自然数，且n≥2.
①如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围；
②如果a∈(0，1]，证明2f(x)＜f(2x)当x≠0时成立.(90(24)10分)
7. 根据函数单调性的定义，证明函数f(x)＝－x3＋1在R上是减函数.(91(24)10分)
8. 已知函数f(x)＝(91三南)
⑴证明：f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数；
⑵证明：对不小于3的自然数n都有f(n)＞
9. 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:
P＝1000(x＋t－8) (x≥8，t≥0)
Q＝500 (8≤x≤14)
当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格.
①将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
②为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元 (95(25)12分)
10. 已知二次函数y＝f(x)在x＝＋1处取得最小值－(t＞0),f(1)＝0(95上海)
⑴求y＝f(x)的表达式；
⑵若任意实数x都满足等式f(x)g(x)＋anx＋bn＝xn＋1(其中g(x)为多项式，n∈N),试用t表示an和bn；
⑶设圆Cn的方程为：(x－an)2＋(y－bn)2＝rn2,圆Cn与圆Cn＋1外切(n＝1,2,3…)，{rn}是各项都为正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn和Sn.
11. 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程f(x)－x＝0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜.
Ⅰ.当x∈(0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1；
Ⅱ.设函数f(x)的图象关于直线x＝x0对称，证明:x0＜.(97(24)12分)
12. 设函数f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)，证明：ab＜1(2000安徽(21)12分)
13. 已知函数f(x)＝其中f1(x)＝－2(x－)2＋1，f2(x)＝－2x＋2.(2000安徽(24)14分)
(I)在下面坐标系上画出y＝f(x)的图象；
(II)设y＝f2(x)(x∈[，1])的反函数为y＝g(x)，a1＝1，a2＝g(a1)，……，an＝g(an－1)，求数列{an}的通项公式，并求；
(III)若x0∈[0，)，x1＝f(x0)，f(x1)＝x0，求x0.
14. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.(2000(21)12分)
⑴写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P＝f(t)；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
⑵认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/10kg，时间单位：天)
15. 已知函数:f(x)＝，x∈[1，＋∞)(2000上海(19)6＋8＝14分)
⑴当a＝时，求函数f(x)的最小值；
⑵若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围
16. 设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性．（2001北京（18）12分）
17. 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0,1/2]，都有f(x1)+f(x2)=f(x1)·f(x2)，且f(1)=a>0。
（1） 求f(1/2)及f(1/4)；
（2） 证明f(x)是周期函数；
（3） 记an=，求。 （2001（22）14分）
21．设为实数，函数，
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值。 （2002（21）12分）
22、设集合A={x| |x-a|<2}，B=若AB，求实数a的取值范围。
（1999上海（文理）17）
23．已知a>0，函数f(x)=ax-bx2.
（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2;
（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2;
（3）当0（2002河南、广东、广西（22））
24．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点。已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1) (a≠0)。
（1）当a=1,b=-2时，求函数f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+1/(2a2+1)对称，求b的最小值。
（2002上海春招（22））
25．设a>0，是R上的偶函数。
（1）求a的值；
（2）证明：f(x)在(0,+∞)上是增函数。
（2001天津理（19））
1
y2
0 1 2 x
y
y
y
y
0
1 2
x
y
I
S
M
P
1
.
.
－1
1.
－1.
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
B
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三角函数(1985年——2003年高考试题集)
一、选择题
1. tanx＝1是x＝的 。(85(2)3分)
A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2. 函数y＝sin2xcos2x是 。(86(4)3分)
A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
3. 函数y＝cosx－sin2x－cos2x＋的最小值是 。(86广东)
A. B.2 C. D. E.
4. 函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期是 。(88(6)，91(3)3分)
A.π B.2π C. D.4π
5. 要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只须将函数y＝sin2x的图象 。(87(6)3分)
A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移
6. 若α是第四象限的角，则π－α是 。(89上海)
A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角
7. tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值是 。(90广东)
A. B. C.－ D.－
8. 要得到函数y＝cos(2x－)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象 。(89上海)
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
9. 函数y＝的值域是 。(90(6)3分)
A.{－2，4} B.{－2，0，4} C.{－2，0，2，4} D.{－4，－2，0，4}
10. 若函数y＝sin(ωx)cos(ωx)(ω＞0)的最小正周期是4π，那么常数ω为 。(92(2)3)
A.4 B.2 C. D.
注:原考题中无条件“ω＞0”，则当ω取负值时也可能满足条件
11. 在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB 。(93(6)3分)
A.有最大值和最小值0 B.有最大值，但无最小值
C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1，但无最小值
12. 角α属于第二象限，且|cos|＝－cos，则角属于 。(90上海)
A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角
13. 函数y＝cotax的最小正周期是 。(90上海)
A.πa B.π|a| C. D.
14. 已知sinα＝，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于 。(91(1)3分)
A.－ B.－ C. D.
15. 函数y＝sin(2x＋)的一条对称轴的方程是 。(91(5)3分)
A.x＝－ B.x＝－ C.x＝ D.x＝
16. 如果右图是周期为2π的三角函数y＝f(x)的图像，那么f(x)可以写成 。(91三南)
A.sin(1＋x) B.sin(－1－x)
C.sin(x－1) D.sin(1－x)
17. 满足sin(x－)≥的x的集合是 。(91三南)
A.{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z} B.{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}
C.{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z} D.{x|2kπ＋π≤x≤2kπ＋，k∈Z}
18. 下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 。(92上海)
A.y＝sin2x B.y＝cos C.y＝sin2x＋cos2x D.y＝
19. 已知集合E＝{θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tgθ＜sinθ}，那么E∩F为区间 。(93(11)3分)
A.(，π) B.() C.(π，) D.()
20. 函数y＝cos(2x＋)的一条对称轴的方程是 。(93上海)
A.x＝－ B.x＝－ C.x＝ D.x＝π
21. 设θ是第二象限的角，则必有 。(94(4)4分)
A.tan
22. 函数y＝4sin(3x＋)＋3cos(3x＋)的最小正周期是 。(95(3)4分)
A.6π B.2π C. D.
23. 已知θ是第二象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝，那么sin2θ等于 。(95(9)4分)
A. B.－ C. D.－
24. 在下列各区间中，函数y＝sin(x＋)的单调递增区间是 。(96上海)
A.[，π] B.[0，] C.[－π，0] D.[]
25. y＝sin2x是 。(95上海)
A.最小正周期为2π的偶函数 B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为π的奇函数
26. 当－时，函数f(x)＝sinx＋cosx 。(96(6)4分)
A.最大值是1，最小值是－1 B.最大值是1，最小值是－
C.最大值是2，最小值是－2 D.最大值是2，最小值是－1
27. 函数y＝tan()在一个周期内的图象是 。(97(3)4分)
A. y B. y C. y D. y
－ o x o x － o x － o x
28. 函数y＝sin(－2x)＋cos2x的最小正周期是 。(97(5)4分)
A. B.π C.2π D.4π
29. 函数y＝cos2x－3cosx＋2的最小值为 。(97(10)4分)
A.2 B.0 C.－ D.6
30. 已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0，2π]内α得取值范围是 。(98(6)4分)
A.() B.()
C.() D.(，π)
31. sin600°的值是 。(98(1)4分)
A.0.5 B.－0.5 C. D.－
32. 函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)区间[a，b]上 。(99(4)4分)
A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值M D.可以取得最小值－M
33. 函数y＝的最大值是 。(2000安徽(10)4分)
A.－1 B.＋1 C.1－ D.－1－
34. 设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是 。(2000安徽(12)5分)
A.tanαtanβ＜1 B.sinα＋sinβ＜
C.cosα＋cosβ＞1 D.tan(α＋β)＜tan
35. 已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是 。(2000⑷5分)
A.若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβ
B.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβ
C.若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβ
D.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ
36．在内，使成立的取值范围为 。(2002⑷5分)
（A）（B）（C）（D）
37. 已知，0），，则 。(2003⑴5分)
（A） （B） （C） （D）
38. 函数的最大值为 。(2003⑷5分)
（A） （B） （C） （D）2
39. “cosα＝－”是“α＝2kπ＋,k∈Z”的 。(2003北京卷⑶5分)
A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
40.函数y＝sin(x＋φ) (0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ＝ 。(2003全国文⑸5分)
A. 0 B. C. D. π
二、填空题
1. 函数y＝tan的周期是____________.(87(9)4分)
2. 函数y＝的定义域是_____________.(89上海)
3. 函数y＝2|sin(4x－)|的最小正周期是_________.(89上海)
4. 函数y＝sin(πx＋2)的最小正周期是_________.(91上海)
5. sin15osin75o的值是____________.(92(20)3分)
6. 在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120o，若要光源恰好照亮整个广场，则其高应为_______m(精确到0.1m)(93(20)3分)
7. 已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，则cotθ的值是_______.(94(18)4分)
8. 关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)，有下列命题:
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可以改写成y＝4cos(2x－)；
③y＝f(x)的图像关于点(－，0)对称；
④y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称.
其中正确的命题序号是_________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)(98(19)4分)
9. 函数y＝cos()的最小正周期是__________.(2000安徽(15)4分)
10. 已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos3θ的值是__________.(86(16)4分)
11. 函数y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最大值是___________.(90(19)3分)
12. 函数y＝sinx＋cosx的最大值是_________(90广东)
13. 在△ABC中，已知cosA＝－，则sin＝__________(90上海)
14. 已知π＜θ＜，cosθ＝－，则cos＝____________(91上海)
15. coscos的值是___________(92上海)
16. 函数y＝sin2x－sinxcosx＋cos2x的最大值是___________(92上海)
17. tg＝____________(92三南)
18. 函数y＝cos2(ωx)(ω＞0)的最小正周期是___________(93上海)
19. 函数y＝sin2x－2cos2x的最大值是___________(94上海)
20. 函数y＝sin(x－)cosx的最小值是___________.(95(18)4分)
21. 函数y＝sin＋cos在(－2π，2π)内的递增区间是______________(95上海)
22. tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°的值是___________.(96(18)4分)
23. 的值为______________.(97(18)4分)
24. 函数f(x)＝3sinxcosx－4cos2x的最大值是___________(97上海)
三、解答题
1. 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值. (87(16)10分)
1. 已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求tan(α＋β)的值. (90(22)8分)
1. 求函数y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最小值，并写出使函数y取得最小值的x的集合. (91(21)8分)
1. 已知α、β为锐角，cosα＝，tg(α－β)＝－，求cosβ的值 (91三南)
1. 已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值. (92(25)10分)
1. 已知cos2α＝，α∈(0，)，sinβ＝－，β∈(π，)，求α＋β (92上海)
1. 已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P(－1，2)，求sin(2α＋π)的值(93上海)
1. 已知sinα＝，α∈(，π)，tan(π－β)＝，求tan(α－2β)的值(94上海)
1. 求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值.(95(22)10分)
1. 已知tan(＋θ)＝3，求sin2θ－2cos2θ的值(95上海)
1. 已知sin(＋α)sin(－α)＝，α∈(，π)，求sin4α的值(96上海)
1. △ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，设a＋c＝2b，A－C＝，求sinB值.(98(20)10)
1. 在△ABC中，角A、B、C对边为a、b、c.证明： (2000安徽(19)12分)
1. 已知函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈R (2000⒄12分)
⑴当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
⑵该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
15．已知，。求、值。(2002⒄12分)
16．已知。求的值。(2002天津⒄12分)
17. 已知函数。 (2003全国文⒇12分)
1 求函数f(x)的最小正周期和最大值； ②画出函数在区间[－,]上的图像。
18.已知函数f(x)＝cosx－2sinxcosx－sinx 。 (2003北京卷⒇12分)
①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)的最大值和最小值。
19.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点
M(，0)对称，且在区间[0, ]上是单调函数，求ω和φ的值。 (2003天津卷⒇12分)
y
1
0 1
x
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直线和圆高考试题集
一、选择题：
1. 直线对称的直线方程为 。 (03年全国卷文⑴题 5分)
（A） （B） （C） （D）
2. 已知 。
（A） （B） （C） （D） (03年全国卷文⑼题 5分)
3.已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得弦长为时，则 。 (03年全国卷⑸题 5分)
（A） （B） （C） （D）
4. 已知直线相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形 。 (03年春北京卷⑿题 5分)
A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在
5. 在轴和轴上的截距分别为、3的直线方程是 。 (03年春安徽卷理⑴题 5分)
A. B.
C. D.
6. 圆截轴所得的弦与截轴所得的弦的长度之比为 。
A. B. C. D. (03年春安徽理⑶ 5分)
7. 曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 。
(02年天津理⑴ 5分)
8.平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中有且，则点的轨迹方程为 。
(02年天津卷理⑽题 5分)
9. 若直线与圆相切，则的值为 。
（A） （B） （C） （D） (02年全国卷文⑴题 5分)
10. 圆的圆心到直线的距离是 。(02年全国卷理⑴题 5分)
（A） （B） （C） （D）
11. 过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 。 (01年天津卷理⑶题 5分)
（A） （B）
（C） （D）
12. 若A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA的方程为
，则直线PB的方程是 。 (01年天津理⑹题 5分)
（A） （B）
（C） （D）
13. 过原点的直线与圆+++3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 。 (2000年全国卷 5分)
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：
1. 已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是 。 (03年上海卷⑷题 4分)
2. 直线与直线的夹角为 . (03年春上海卷⑵题 4分)
3. 若过两点、的直线与圆相切，则= . (03年春上海卷⑺题 4分)
三、解答题：
1. 已知点到两个定点、距离的比为，点到直线的距离为1。求直线的方程。(02年全国文21题 14分)
2. 设点到点、距离之差为，到轴、轴距离之比为。求的取值范围。 (02年全国卷理19题 12分)全国历届高考数学
试题及解答
第五辑
(1995~1999)
一九九五年（理科）
一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知I为全集，集合M，NI，若MN=N，则 （ C ）
(A) y (B) y (C) y (D) y
o 1 x -1 o x o 1 x -1 o x
（A） （B） （C） （D）
（2）函数的图象是 （ B ）
（3）函数的最小正周期是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（4）正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（5）若图中的直线的斜率分别为，则 （ D ）
y
O
x
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）在的展开式中，的系数是 （ D ）
（A）-297 （B）-252 （C）297 （D）207
（7）使成立的的取值范围是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（8）双曲线的渐近线方程是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（9）已知是第三象限角，且，那么等于
（A） （B） （C） （D）（ A ）
（10）已知直线，直线.有下面四个命题：（ D ）
① ②
③ ④
其中正确的两个命题是
（A）①与② （B）③与④ （C）②与④ （D）①与③
（11）已知在[0，1]上是x的减函数，则的取值范围是 （ B ）
（A）（0，1） （B）（1，2） （C）（0，2） （D）[2，+）
（12）等差数列的前n项和分别为与，若
等于 （ C ）
（A）1 （B） （C） （D）
（13）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 （ A ）
（A）24个 （B）30个 （C）40个 （D）60个
（14）在极坐标系中，椭圆的两焦点分别在极点和（2c，0），离心率为e,则它的极坐标方程是 （ D ）
（A） （B）
（C） （D）
B1 D1 A1
F1
C1
B A
C
（15）如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，
∠BCA=900，点D1，F1分别是A1B1，A1C1
的中点。若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
二．填空题：本大题共5小题;每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上。
（16）不等式的解是__________
答：
（17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比_______
答：
(18)函数的最小值是_______
答：
（19）直线过抛物线的焦点，并且与x轴垂直，若被抛物线截得的线段长为4，则_______
答：4
（20）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种（用数字作答）
答：144
三．解答题：本大题共6小题;共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（21）（本小题满分7分）
在复平面上，一个正方形的四顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数。求Z1和Z3对应的复数。
解：设Z1，Z3对应的复数分别为
依题设得
（22）（本小题满分10分）
求的值。
解：原式=
（23）（本小题满分12分）
如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足。
（Ⅰ）求证：AF⊥DB;
（Ⅱ）如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于，求直线DE与平面ABCD所成的角。
D C
F
A H B
E
（Ⅰ）证明：根据圆柱性质，
DA⊥平面ABE
∵BE平面ABE，
∴DA⊥EB.
∵AB是圆柱底面的直径，
点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得
EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得
AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB
∴AF⊥DB.
（Ⅱ）解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连结DH.
根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线，且EH平面ABE，
∴EH⊥平面ABCD.
又DH平面ABCD，∴DH是ED在平面ABCD上的射影，
从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角.
设圆柱的底面半径而R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，
VD-ABE=AD·S△ABE=·EH.
V圆柱:VD-ABE=3π,得EH=R.
可知H是圆柱底面的圆心，AH=R，
DH=
∴∠EDH=
（24）（本小题满分12分）
某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：
当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。
（Ⅰ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域;
（Ⅱ）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？
解：（Ⅰ）依题设有
化简得
当判别式时，可得
解不等式组①，得不等式组②无解。
故所求的函数关系式为
函数的定义域为[0，]
（Ⅱ）为使，应有
化简得
解得
从而政府补贴至少为每千克1元。
（25）（本小题满分12分）
设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）是否存在常数c>0使得
成立？并证明你的结论。
（Ⅰ）证明：设的公比为，由题设知
（1）当时，从而
（2）当时，从而
由（1）和（2）得
根据对数函数的单调性，知
即
（Ⅱ）解：要使
成立，则有
分两种情况讨论：（1）当时，
可知，不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立。
（2）当时，若条件①成立，因
且故只能有即
此时，
但时，不满足条件②，
即不存在常数c>0，使结论成立。
证法二：用反证法.假设存在常数c>0，使
，
则有
由（4）得
根据平均值不等式及（1）、（2）、（3）、（4）知
因为c>0，故（5）式右端非负，而由（Ⅰ）知，（5）式左端小于零，矛盾。
故不存在常数c>0，使
（26）（本小题满分12分）
已知椭圆，直线.P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解：由题设知点Q不在原点.设P，R，Q的坐标分别为
y
P
Q R
O x
（xP,yP),（xR,yR),（x,y),
其中x,y不同时为零.
当点P不在y轴上时，
由于点R在椭圆上及点O，
Q，R共线，得方程组
解得
由于点P在直线上及点O，Q，P共线，
解方程组
解得
当点P在y轴上时，经检验（1）~（4）式也成立
由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得
将（1）~（4）式代入上式，化简整理得
因x与xP同号或y与yP同号，以及（3），（4）知，
故点Q的轨迹方程为
所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
解法二：由题设点Q不在原点.又设P，R，Q的坐标分别为
（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同时为零.
设OP与x轴正方向的夹角为，则有
由上式及题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得
由点P在直线上，点R在椭圆上，得方程组
将（1），（2），（3），（4）代入（5），（6），
整理得点Q的轨迹方程为
所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
解法三：投影法
设P，R，Q的坐标分别为（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同时为零.
由题设|OQ|·|OP|=|OR|2
设OP的方程为
这就是Q点的参数方程，消去参数k得
当P在y轴上时，k不存在，此时Q（0，2）满足方程，
故Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
解法四：极坐标法
在极坐标系OX中，设∠POX=
由得
由得
由|OQ|·|OP|=|OR|2得即
将（1），（2）代入（3）
故Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
一九九五年（文科）
一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集I={0，-1，-2，-3，-4，}集合M={0，-1，-2}，N={0，-3，-4}，则 （ B ）
(A) y (B) y (C) y (D) y
o 1 x -1 o x o 1 x -1 o x
（A）{0} （B）{-3，-4} （C）{-1，-2} （D）
（2）函数的图象是 （ D ）
（3）函数的最小正周期是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（4）正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（5）若图中的直线的斜率分别为，则 （ D ）
y
O
x
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）双曲线的渐近线方程是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（7）使成立的的取值范围是 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（8）圆的位置关系是 （ C ）
（A）相离 （B）外切 （C）相交 （D）内切
（9）已知是第三象限角，且，那么等于
（A） （B） （C） （D）（ A ）
（10）如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，
D1 F1 C1
A1 E1 B1
D C
A B
B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角
的余弦值是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（11）已知是x的减函数，则的取值范围是（ B ）
（A）（0，2） （B）（0，1） （C）（1，2） （D）（2，+）
（12）在的展开式中，的系数是 （ D ）
（A）-297 （B）-252 （C）297 （D）207
（13）已知直线，直线.有下面四个命题：（ D ）
① ②
③ ④
其中正确的两个命题是
（A）①与② （B）③与④ （C）②与④ （D）①与③
（14）等差数列的前n项和分别为与，若
等于 （ C ）
（A）1 （B） （C） （D）
（15）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 （ A ）
（A）24个 （B）30个 （C）40个 （D）60个
二．填空题：本大题共5小题;每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上。
（16）方程的解是__________
答：3
（17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比_______
答：
(18)函数的最大值是_______
答：
（19）直线过抛物线的焦点，并且与x轴垂直，则被抛物线截得的线段长为_______
答：4
（20）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种（用数字作答）
答：144
三．解答题：本大题共6小题;共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（21）（本小题满分7分）
解方程
解：设，则原方程可化为
所以原方程的解为x=2.
（22）（本小题满分12分）
设复数求复数的模和辐角。
解：
所以复数的模为;
辐角为
（23）（本小题满分10分）
设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。
证明
证明：设的公比为，由题设知
（1）当时，从而
（2）当时，从而
由（1）和（2）得
根据对数函数的单调性，知
即
证法二：设的公比为，由题设知
即（以下同证法一）
（24）（本小题满分12分）
如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足。
（Ⅰ）求证：AF⊥DB;
（Ⅱ）如果AB=，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于，求点E到截面ABCD的距离。
D C
F
A B
E
（Ⅰ）证明：根据圆柱性质，
DA⊥平面ABE
∵BE平面ABE，
∴DA⊥EB.
∵AB是圆柱底面的直径，
点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得
EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得
AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB
∴AF⊥DB.
（Ⅱ）解：设点E到平面ABCD的距离为d
记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB。
S△ABD=AB·AD=
VD-ABE=VE-ABD=S△ABD=
又V圆柱=π·AD=，
由题设知
即
（25）（本小题满分12分）
某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：
当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。
（Ⅰ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域;
（Ⅱ）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？
解：（Ⅰ）依题设有
化简得
当判别式时，可得
解不等式组①，得不等式组②无解。
故所求的函数关系式为
函数的定义域为[0，]
（Ⅱ）为使，应有
化简得
解得
从而政府补贴至少为每千克1元。
（26）（本小题满分12分）
已知椭圆，直线.P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解：由题设知点Q不在原点.设P，R，Q的坐标分别为
y
P
R
Q
O x
（12,yP),（xR,yR),（x,y),
由题设知xR,>0,x>0.
由点R在椭圆上及点O，Q，R共线，得方程组
解得
由点O，Q，P共线，得
即
由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得
将（1）、（2）（3）式代入上式，整理得点Q的轨迹方程
所以点Q的轨迹是以（1，0）为中心，长、短半轴分别为1和且长轴在x轴上的椭圆，去掉坐标原点。
一九九六年（理科）
一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集I=N，集合，。则 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（2）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是 （ A ）
(A) y (B) y (C) y (D) y
o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x
（3）若，则x的取值范围是 （ D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）复数等于 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（5）如果直线、与平面、、满足：和，那么必有 （ A ）
（A）且 （B）且
（C）且 （D）且
（6）当时，函数的 （ D ）
（A）最大值是1，最小值是-1
（B）最大值是1，最小值是
（C）最大值是2，最小值是-2
（D）最大值是2，最小值是-1
（7）椭圆的两个焦点坐标是 （ B ）
（A）（-3，5），（-3，-3） （B）（3，3），（3，-5）
（C）（1，1），（-7，1） （D）（7，-1），（-1，-1）
（8）若，则等于 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（9）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=，则三棱锥D-ABC的体积为 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（10）等比数列的首项，前n项和为，若，则等于 （ B ）
（A） （B） （C）2 （D）-2
（11）椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 （ C ）
（A）（3，0），（1，） （B）（），（）
（C）（2，），（2，） （D）（），（）
（12）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 （ C ）
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
（13）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 （ A ）
（A）2 （B） （C） （D）
（14）母线长为1的圆锥的体积最大时，其侧面展开图圆心角等于 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（15）设是上的奇函数，，当时，，则等于 （ B ）
（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5
二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（16）已知圆与抛物线的准线相切。则p=__________
答：2
（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_______个（用数字作答）
答：32
(18)的值是_______
D C
A B
F E
答：
（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______
答：
三．解答题：本大题共5小题;共50分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（20）（本小题满分11分）
解不等式
解：（Ⅰ）当时，原不等式等价于不等式组：
因为所以
（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组：
由（1）得，
由（2）得，
综上，当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
（21）（本小题满分12分）
已知△ABC的三个内角A，B，C满足：
A+C=2B，求的值。
解：由题设条件知：
B=600，A+C=1200
利用和差化积及积化和差公式，上式可化为
将代入上式并整理得
从而得
（22）（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1
A C
B
E
A1 C1
B1
（Ⅰ）求证：BE=EB1;
（Ⅱ）若AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。
注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）。
（Ⅰ）证明：在截面A1EC内，
过E作EG⊥A1C，G是垂足。
A F C
B
G
E
A1 C1
D B1
①∵面A1EC⊥侧面AC1，
∴EG⊥侧面AC1;取AC中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵面ABC⊥侧面AC1，
∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG。
③∵BE∥侧面AC1，
∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，
④∵BE∥AA1，
∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，
⑤∵AF=FC，
∴FG=AA1=BB1，即BE=BB1，故BE=EB1。
（Ⅱ）解：分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D
∵EB1∥CC1，EB1=BB1=CC1，
∴DB1=DC1=B1C1=A1B1，
∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=600，∠DA1B1=∠A1DB1=（1800-∠DB1A1）=300，
∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=900，即DA1⊥A1C1。
∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C
所以∠CA1C1是所求二面角的平面角。
∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=900，
∴∠CA1C1=450，即所求二面角为450。
（23）（本小题满分10分）
某地现有耕地１0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？
（=，=）
解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。
依题意得不等式
化简得
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
（24）（本小题满分12分）
已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A1、B1和A2、B2。
（Ⅰ）求的斜率k1的取值范围;
（Ⅱ）若|A1B1|=|A2B2|，求的方程。
解：（Ⅰ）依题意，的斜率都存在。因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组
（1）
有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整理得
（2）
若，则方程组（1）只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。
故，即。方程（2）的判别式为
设的斜率为k2,因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组
（3）
有两个不同的解。在方程组（3）中消去y，整理得
（4）
同理有，
又因为，所以有
于是，与双曲线各有两个交点，等价于
（Ⅱ）设A1（x1,y1）B1（x2,y2）.由方程（2）知
同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得
由|A1B1|=|A2B2|，得|A1B1|2=5|A2B2|2.
将（5）、（6）代入上式得
解得
取时，
取时，
（25）（本小题满分12分）
已知是实数，函数当时，
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）证明：当时，
（Ⅲ）设当时，的最大值为2，求.
（Ⅰ）证明：由条件当时，，
取x=0得，即
（Ⅱ）证法一：当时，在[-1，1]上是增函数，
由此得
当时，在[-1，1]上是减函数，
由此得
当时，
综上得
证法二：由可得
当时，有
根据含绝对值的不等式的性质，得
即
（Ⅲ）因为时，在[-1，1]上是增函数，
当x=1时取最大值2，
即
因为当时，，即
根据二次函数的性质，直线x=0为的图象的对称轴，由此得
由（1）得
所以
一九九六年（文科）
一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7}集合A={1，3，5，7}，B={3，5}.则 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（2）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是 （ A ）
(A) y (B) y (C) y (D) y
o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x
（3）若，则x的取值范围是 （ D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）复数等于 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（5）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 （ C ）
（A）720种 （B）360种 （C）240种 （D）120种
（6）已知是第三象限角且，则 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（7）如果直线、与平面、、满足：和，那么必有 （ A ）
（A）且 （B）且
（C）且 （D）且
（8）当时，函数的 （ D ）
（A）最大值是1，最小值是-1
（B）最大值是1，最小值是
（C）最大值是2，最小值是-2
（D）最大值是2，最小值是-1
（9）中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是
（A） （B） （ A ）
（C） （D）
（10）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为2400，该圆锥的体积是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（11）椭圆的两个焦点坐标是 （ B ）
（A）（-3，5），（-3，-5） （B）（3，3），（3，-5）
（C）（1，1），（-7，1） （D）（7，-1），（-1，-1）
（12）将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=，则三棱锥D-ABC的体积为 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 （ C ）
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
（14）设双曲线的半焦距为c，直线过（，0），（0，）两点。已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 （ A ）
（A）2 （B） （C） （D）
（15）设是上的奇函数，，当时，，则等于 （ B ）
（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5
二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（16）已知点（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则p=__________
答：4
（17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_______个（用数字作答）
答：32
(18)的值是_______
D C
A B
F E
答：
（19）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成600的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_______
答：
三．解答题：本大题共5小题;共50分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（20）（本小题满分11分）
解不等式
解：（Ⅰ）当时，原不等式等价于不等式组：
（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组：
综上，当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
（21）（本小题满分12分）
设等比数列的前n项和为.若S3+S6=2S9，求数列的公比q.
解：q=1，则有S3=3，S6=6，S9=9.但，即得S3+S6≠2S9，与题设矛盾，故.
又依题意S3+S6=2S9可得
（22）（本小题满分12分）
已知△ABC的三个内角A，B，C满足：
A+C=2B，求的值。
解：由题设条件知：
B=600，A+C=1200
利用和差化积及积化和差公式，上式可化为
将代入上式并整理得
从而得
（23）（本小题满分12分）
【注意：本题的要求是，参照标本①的写法，在标本②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程;并解答（Ⅱ）.】
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=，CF=2
A1 C1
B1
F
E
A C
B
（Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF;
（Ⅱ）求三棱锥A1-AEF的体积。
（Ⅰ）证明：
①∵BE=，CF=2，BE∥CF，延长FE与CB延长线交于D，连结AD。
∴△DBE∽△DCF，
∴
②∵BE:CF=1:2，∴DC=2DB，∴DB=BC，
∴DB=AB.
③∵△ABD是等腰三角形，
且∠ABD=1200，∴∠BAD=300，
∴∠CAD=900，∴DA⊥AC.
④∵FC⊥面ACD，∴CA是FA在面ACD上的射影，
且CA⊥AD，∴FA⊥AD.
⑤∵FF∩AC=A，DA⊥面ACF，而DA 面ADF，
A1 G C1
B1
F
E
A C
B
D
∴面ADF⊥面ACF.∴面AEF⊥面ACF.
（Ⅱ）解：∵VA1-AEF=VE-AA1F.
在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1，
垂足为G. B1G=.
面A1B1C1⊥面A1C，
∴EBB1，而BB1∥面A1C，
∴三棱锥E-AA1F的高为.
S△A1AF=·AA1·AC=.
∴VA1-AEF=VE-AA1F=
（24）（本小题满分10分）
某地现有耕地１0000公顷。规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？
（=，=）
解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷。
依题意的不等式
化简得
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
（25）（本小题满分12分）
已知是过点P（）的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两交点，分别为A1、B1和A2、B2。
（Ⅰ）求的斜率k1的取值范围;
（Ⅱ）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值。
解：（Ⅰ）依题意，的斜率都存在。因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组
（1）
有两个不同的解。在方程组（1）中消去y，整理得
（2）
若，则方程组（1）只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。
故，即。方程（2）的判别式为
设的斜率为k2,因为过点P（）且与双曲线有两个交点，故方程组
（3）
有两个不同的解。在方程组（3）中消去y，整理得
（4）
同理有，
又因为，所以有
于是，与双曲线各有两个交点，等价于
（Ⅱ）双曲线的顶点为（0，1）、（0，-1）。
取A1（0，1）时，有
解得从而，
将代入方程（4）得
（5）
记与双曲线的两交点为A2（x1,y1）B2（x2,y2）.则
由（5）知
同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得
当取A1（0，-1）时，由双曲线关于x轴的对称性，知
所以过双曲线的一个顶点时，。
一九九七年（理科）
一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合M=，集合N=，集合 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）如果直线与直线平行，那么系数 （ B ）
（A）-3 (B)-6 (C) (D)
（3）函数在一个周期内的图象是 （ A ）
(A) (B) (C) (D)
y y y y
o x o x o x o x
（4）已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是
（A） （B） （C） （D） （ C ）
（5）函数的最小正周期是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）满足的x的取值范围是 （ D ）
（A）[-1，]（B）[，0]（C）[0，]（D）[，1]
（7）将的图象 （ D ）
（A）先向左平行移动1个单位（B）先向右平行移动1个单位
（C）先向上平行移动1个单位（D）先向下平行移动1个单位
再作关于直线对称的图象，可得到函数的图象
（8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（9）曲线的参数方程是，它的普通方程是（A） （B） （ B ）
（C） （D）
（10）函数的最小值为 （ B ）
（A）2 （B）0 （C） （D）6
（11）椭圆C与椭圆关于直线对称，椭圆C的方程是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（12）圆台上、下底面积分别为，侧面积为，这个圆台的体积是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）定义在区间的奇函数为增函数;偶函数在区间的图象与的图象重合。设，给出下列不等式： （ C ）
① ②
③ ④
其中成立的是
（A）①与④ （B）②与③ （C）①与③ （D）②与④
（14）不等式组的解集是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
（15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 （ D ）
（A）150种 （B）147种 （C）144种 （D）141种
二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（16）已知的展开式中的系数为，常数的值为_____
答：4
（17）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_______
答：
(18)的值为_______
答：
（19）已知是直线，是平面，给出下列命题：
①若垂直于内的两条相交直线，则
②若平行于，则平行于内的所有直线;
③若
④若
⑤若
其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
答：①，④
三．解答题：本大题共6小题;共69分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（20）（本小题满分10分）
已知复数复数在复平面上所对应的点分别为P，Q。证明：△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）
解：因为
因为
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| .
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形。
（21）（本小题满分11分）
已知数列都是由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且设为数列的前n项和.求
解：
分两种情况讨论：
（1）
（2）
（22）（本小题满分12分）
甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小时。，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为；固定部分为元。
（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，
全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
（Ⅱ）依题意知S，都为正数，故有
当且仅当时上式中等号成立。
若时，全程运输成本y最小
若时，有
因为
所以时等号成立，也即当时，
全程运输成本y最小。
综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为
当时行驶速度应为。
（23）（本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点。
D1 C1
A1 B1
E
D C
H F
A B
G
（Ⅰ）证明AD⊥D1F;
（Ⅱ）求AE与D1F所成的角;
（Ⅲ）证明面AED⊥面A1FD1;
（Ⅳ）设AA1=2，求三棱锥F-A1ED1的
体积VF-A1ED1.
解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，
∴AD⊥面DC1，又D1F面DC1，
∴AD⊥D1F.
（Ⅱ）取AB中点G，连结A1G，FG
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，
又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，
故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交与点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=900，即直线AE与D1F所成角为直角。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED
又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.
（Ⅳ）连结GE，GD1.
∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1，
∴体积VF-A1ED1=VG-A1ED1=VD1-A1GE，
∵AA1=2，∴面积S△A1GE=S□ABB1A1-2S△A1AG-S△GBE=
∴VF-A1ED1=VD1-A1GE=
（24）（本小题满分12分）
设二次函数，方程的两个根满足
（Ⅰ）当时，证明：
（Ⅱ）设函数的图象关于直线对称，证明：
解：（Ⅰ）令因为是方程的根，所以
（Ⅱ）依题意知
因为是方程的根，即是方程
的根
所以
（25）（本小题满分12分）
设圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1。在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线：的距离最小的圆的方程。
解法一：设圆的圆心为，半径为，则点P到x轴，y轴距离分别为
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴所得的弦长为，故
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有从而得
又点到直线的距离为
所以
当且仅当时上式等号成立，此时，从而取得最小值.
由此有解此方程组得
由于知
于是，所求圆的方程是
解法二：同解法一得
，得
将代入（1）式，整理得
把它看作的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即
所以 有最小值1，从而有最小值
将其中代入（2）式得解得
将代入
综上
由同号。
于是，所求圆的方程是
一九九七年（文科）
一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合M=，集合N=，集合 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）如果直线与直线平行，那么系数 （ B ）
（A）-3 (B)-6 (C) (D)
（3）函数在一个周期内的图象是 （ A ）
(A) (B) (C) (D)
y y y y
o x o x o x o x
（4）已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是
（A） （B） （C） （D） （ C ）
（5）函数的最小正周期是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）满足的角的一个取值区间是 （ C ）
（A）（0，] （B）[0，] （C）[，） （D）[，]
（7）设函数定义域在实数集上，则函数与
的图象关于 （ D ）
（A）直线y=0对称 （B）直线x=0对称
（C）直线y=1对称 （D）直线x=1对称
（8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（9）如果直线将圆：平分，且不通过第四象限，那么的斜率的取值范围是 （ A ）
（A）[0，2] （B）[0，1] （C）[0，] （D）[0，）
（10）函数的最小值为 （ B ）
（A）2 （B）0 （C） （D）6
（11）椭圆C与椭圆关于直线对称，椭圆C的方程是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（12）圆台上、下底面积分别为，侧面积为，这个圆台的体积是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）定义在区间的奇函数为增函数;偶函数在区间的图象与的图象重合。设，给出下列不等式： （ C ）
① ②
③ ④
其中成立的是
（A）①与④ （B）②与③ （C）①与③ （D）②与④
（14）不等式组的解集是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
（15）四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 （ B ）
（A）30种 （B）33种 （C）36种 （D）39种
二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（16）已知的展开式中的系数为，常数的值为_____
答：4
（17）已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_______
答：（4，2）
(18)的值为_______
答：
（19）已知是直线，是平面，给出下列命题：
①若垂直于内的两条相交直线，则
②若平行于，则平行于内的所有直线;
③若
④若
⑤若
其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
答：①，④
三．解答题：本大题共6小题;共69分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（20）（本小题满分10分）
已知复数求复数的模及辐角主值。
解：
故复数的模为，辐角主值为.
（21）（本小题满分11分）
设是等差数列前n项和。已知与的等比中项为，与的等差数列中项为1。求等差数列的通项.
解：设等差数列数列的首项公差为，
则通项为
前n项和为
依题意有
其中由此可得
整理得解方程组得
由此得
经验证知均适合题意。
故所求等差数列的通项为
（22）（本小题满分12分）
甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小时。，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为；固定部分为元。
（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，
全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
（Ⅱ）依题意知S，都为正数，故有
当且仅当时上式中等号成立。
若时，全程运输成本y最小
若时，有
因为
所以时等号成立，也即当时，
全程运输成本y最小。
综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为
当时行驶速度应为。
（23）（本小题满分12分）
D1 C1
A1 B1
E
D C
F
A B
G
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点。
（Ⅰ）证明AD⊥D1F;
（Ⅱ）求AE与D1F所成的角;
（Ⅲ）证明面AED⊥面A1FD1;
（Ⅳ）设AA1=2，求三棱锥E-AA1F的体积VE-AA1F.
解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，
∴AD⊥面DC1，又D1F面DC1，
∴AD⊥D1F.
（Ⅱ）取AB中点G，连结A1G，FG
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，
又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，
故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交与点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=900，即直线AE与D1F所成角为直角。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED
又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.
（Ⅳ）∵体积VE-AA1F=VF-AA1E，
又FG⊥面ABB1A1，三棱锥F-AA1E的高FG=AA1=2，
面积S△AA1E=S□ABB1A1=
∴VE-AA1F =
（24）（本小题满分12分）
已知过原点O的一条直线与函数的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的图象交于C、D两点。
（Ⅰ）证明点C、D和原点O在同一条直线上;
（Ⅱ）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。
解：（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为，
由题设知，，则点A、B纵坐标分别为
因为A、B在过点O的直线上，
所以
点C、D的坐标分别为
由于
OC的斜率OD的斜率
由此可知，
即O、C、D在同一条直线上。
（Ⅱ）由于BC平行于x轴知即得
代入得
由于
考虑
于是点A的坐标为
（25）（本小题满分12分）
设圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1;③圆心到直线：的距离为。求该圆的方程。
解法一：设圆的圆心为，半径为，则点P到x轴，y轴距离分别为
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴所得的弦长为，故
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有从而得
又点到直线的距离为，所以
即有，由此有
解方程组得于是知
所求圆的方程是
于是，所求圆的方程是
一九九八年（理科）
一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）的值是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（2）函数的图象是 （ B ）
（A） y (B) y (C) y (D) y
1
1 1
o x o x o x o x
（3）曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（4）两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件（ A ）
（A）A1A2+B1B2=0（B）A1A2-B1B2=0（C）（D）
（5）函数的反函数 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）已知点P在第一象限，则在内的取值范围是 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 （ C ）
（A）1200 （B）1500 （C）1800 （D）2400
（8）复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（9）如果棱台的两底面积分别是S，S＇，中截面的面积是S0，那么 （ A ）
y
H h
（A） （B）
（C） （D）
（10）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（11）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有 （ D ）
（A）90种 （B）180种 （C）270种 （D）540种
（12）椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上。如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的 （ A ）
（A）7倍 （B）5倍 （C）4倍 （D）3倍
（13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（ B ）
（A） （B） （C）2 （D）
（14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ B ）
（A）（B）（C）（D）
（15）在等比数列中，且前n项和满足那么的取值范围是 （ D ）
（A） （B）（1，4） （C）（1，2） （D）（1，）
二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（16）设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________
答：
（17）的展开式中的系数为______（用数字作答）
答：179
A1 D1
B1
C1
A D
B
C
(18)如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_______时，有A1C⊥B1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）
答：AC⊥CD，（或ABCD是正方形，菱形等等）
（19）关于函数，
有下列命题：
①由可得必是的整数倍;
②的表达式可改写成
③的图象关于点对称;
④的图象关于直线对称.
其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
答：②，③
三．解答题：本大题共6小题;共69分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（20）（本小题满分10分）
在△ABC中，分别是接A，B，C的对边，设A-C=求的值。以下公式供解题时参考：
解：由正弦定理和已知条件得
由和差化积公式
由A+B+C=得
又A-C=得
（21）（本小题满分11分）
如图，直线和相交于点M，⊥，点以A，B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
y
B
A
M O N x
解法一：如图建立坐标系，以为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。
设曲线段C的方程为
其中分别为A，B的横坐标，
由得
由（1），（2）两式联立解得再将其代入（1）式并由解得
因为△AMN为锐角三角形，所以故舍去
由点B在曲线段C上，得
综上得曲线段C的方程为
y
B
F
A
D
M O E N x
解法二：如图建立坐标系，
以、为x、y轴，M为坐标原点.
作AE⊥，AD⊥，BF⊥，垂足分别为E、D、F.
设
依题意有
由于△AMN为锐角三角形，故有
设点是曲线段C上任一点，得由题意知P属于集合
故曲线段C的方程为
（22）（本小题满分12分）
A
B
2
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为米，高度为米。已知流出的水中杂质的质量分数与的乘积成反比。现有制箱材料60平方米。问当各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）
解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k＞0为比例系数。依题意，即所求的值使y值最小。
根据题设，有
得
于是
当时取等号，y达到最小值
这时（舍去）
将代入（1）式得
故当为6米，为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
解法二：即所求的值使最大
由题设知
即
当且仅当时，上式取等号.
由解得
即当时，取得最大值为18.
解得
故当为6米，为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
（23）（本小题满分12分）
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C.
（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;
（Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。
A1 C1
B1
H
D
A C
E B
（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足为D，
由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，
∴∠A1AD=450为所求。
（Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.
又D是AC的中点，BC=2，AC=，
∴DE=1，AD=A1D=，
故∠A1ED=600为所求。
（Ⅲ）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。
连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.
又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，∴∠HBC=∠A1ED=600.
∴CH=BC为所求.
解法二：连结A1B.
根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C-A1AB的高h
由
即为所求.
（24）（本小题满分12分）
设曲线C的方程是将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.
（Ⅰ）写出曲线C1的方程;
（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点对称;
（Ⅲ）如果C与C1有且仅有一个公共点，证明
（Ⅰ）解：曲线C1的方程为
（Ⅱ）证明：在曲线C上任取一点B1（x1,y1).设B2（x2,y2)是B1关于点A的对称点，则有
代入曲线C的方程，得满足方程：
，
可知点B2（x2,y2)在曲线C1上.
反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A对称点在曲线C上.
因此，曲线C与C1关于点A对称。
（Ⅲ）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，，所以，方程组有且仅有一组解。
消去y，整理得
这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根。
所以并且其根的判别式
（25）（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，
（Ⅰ）求数列的通项
（Ⅱ）设数列的通项，记是数列的前n项和.试比较与的大小，并证明你的结论.
解：（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意得
（Ⅱ）由知
因此要比较与的大小，可先比较
的大小。
取n=1有
取n=2有
……
由此推测 ①
若①式成立，则由对数函数性质可断定：
当时，＞.
当时，＜.
下面用数学归纳法证明①式.
（i）当n=1时已验证①式成立.
（ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即
那么，当n=k+1时，
因而
就是说①式当n=k+1时也成立。由（i）（ii）知①式对任何正整数n都成立。
因此证得：当时，＞.
当时，＜.
一九九八年（文科）
一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）的值是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（2）函数的图象是 （ B ）
（A） y (B) y (C) y (D) y
1
1 1
o x o x o x o x
（3）已知直线和圆相切，那么的值是
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2 （ C ）
（4）两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件（ A ）
（A）A1A2+B1B2=0（B）A1A2-B1B2=0（C）（D）
（5）函数的反函数 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）已知点P在第一象限，则在内的取值范围是 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 （ C ）
（A）1200 （B）1500 （C）1800 （D）2400
（8）复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（9）如果棱台的两底面积分别是S，S＇，中截面的面积是S0，那么 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（10）2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有 （ B ）
y
H h
（A）6种 （B）12种 （C）18种 （D）24种
（11）向高为H的水瓶中注水，注满
为止，如果注水量V与水深h的函数
关系的图象如右图所示，那么水瓶的
形状是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（12）椭圆的一个焦点为F1，点P在椭圆上。如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（ B ）
（A） （B） （C）2 （D）
（14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（15）等比数列的公比为，前n项和满足那么的值为 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（16）设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________
答：
（17）的展开式中的系数为______（用数字作答）
答：179
A1 D1
B1
C1
A D
B
C
(18)如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_______时，有A1C⊥B1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）
答：AC⊥CD，（或ABCD是正方形，菱形等等）
（19）关于函数，
有下列命题：
①的表达式可改写成
②是以为最小正周期的周期函数;
③的图象关于点对称;
④的图象关于直线对称.
其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
答：①，③
三．解答题：本大题共6小题;共69分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（20）（本小题满分10分）
设，解关于x的不等式
解：将原不等式化为
移项，整理后得
，即
即
解此不等式，得解集
（21）（本小题满分11分）
在△ABC中，分别是接A，B，C的对边，设A-C=求的值。以下公式供解题时参考：
解：由正弦定理和已知条件得
由和差化积公式
由A+B+C=得
又A-C=得
（22）（本小题满分12分）
如图，直线和相交于点M，⊥，点以A，B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
y
B
A
M O N x
解法一：如图建立坐标系，以为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。
设曲线段C的方程为
其中分别为A，B的横坐标，
由得
由（1），（2）两式联立解得再将其代入（1）式并由解得
因为△AMN为锐角三角形，所以故舍去
由点B在曲线段C上，得
综上得曲线段C的方程为
y
B
F
A
D
M O E N x
解法二：如图建立坐标系，
以、为x、y轴，M为坐标原点.
作AE⊥，AD⊥，BF⊥，垂足分别为E、D、F.
设
依题意有
由于△AMN为锐角三角形，故有
设点是曲线段C上任一点，得由题意知P属于集合
故曲线段C的方程为
（23）（本小题满分12分）
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C.
（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;
（Ⅲ）求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离。
A1 C1
B1
D F
A C
E B
（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足为D，
由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角.∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，
∴∠A1AD=450为所求。
（Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.
又D是AC的中点，BC=2，AC=，
∴DE=1，AD=A1D=，
故∠A1ED=600为所求。
（Ⅲ）作BF⊥AC，F为垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1
∵B1B∥面A1ACC1
∴BF的长是B1B和平面A1ACC1的距离。
连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.
在Rt△ABC中，
∴为所求。
（24）（本小题满分12分）
A
B
2
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为米，高度为米。已知流出的水中杂质的质量分数与的乘积成反比。现有制箱材料60平方米。问当各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）
解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k＞0为比例系数。依题意，即所求的值使y值最小。
根据题设，有
得
于是
当时取等号，y达到最小值
这时（舍去）
将代入（1）式得
故当为6米，为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
解法二：即所求的值使最大
由题设知
即
当且仅当时，上式取等号.
由解得
即当时，取得最大值为18.
解得
故当为6米，为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
（25）（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，
（Ⅰ）求数列的通项
（Ⅱ）设数列的通项，记是数列的前n项和.试比较与的大小，并证明你的结论.
解：（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意得
（Ⅱ）由知
因此要比较与的大小，可先比较
的大小。
取n=1有
取n=2有
……
由此推测 ①
若①式成立，则由对数函数性质可断定：
＞.
下面用数学归纳法证明①式.
（i）当n=1时已验证①式成立.
（ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即
那么，当n=k+1时，
因而
就是说①式当n=k+1时也成立。
由（i）（ii）知①式对任何正整数n都成立。
因此证得＞.
一九九九年（理科）
一．选择题：本题共14个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（14）题每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）如图,I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是，则 （ C ）
（A）（MP）S
（B）（MP）S
（C）（MP）
（D）（MP）
（2）已知映射其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且对任意的，在B中和它对应的元素是，则集合B中元素的个数是（ A ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（3）函数的反函数是，则等于（A） （B） （C） （D） （ A ）
（4）函数在区间上是增函数，且，，则函数上 （ C ）
（A）是增函数 （B）是减函数
（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M
（5）若是周期为的奇函数，则可以是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）在极坐标系中，曲线关于 （ B ）
（A）直线轴对称 （B）直线轴对称
（C）点中心对称 （D）极点中心对称
（7）若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm。若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ B ）
（A）cm （B）6cm （C）cm （D）cm
（8）若
的值为 （ A ）
（A）1 （B）-1 （C）0 （D）2
（9）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
（A） （B） （C） （D） （ C ）
E F
D C
A B
（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则多面体的体积为 （ D ）
（A） （B）5 （C）6 （D）
（11）若 （ B ）
（A）（，）（B）（，0）（C）（0，）（D）（，）
（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积比为1:2，那么R= （ D ）
（A）10 （B）15 （C）20 （D）25
（13）已知两点M（1，）、N（-4，-），给出下列曲线方程：
① ② ③ ④
在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 （ D ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 （ C ）
（A）5种 （B）6种 （C）7种 （D）8种
二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（15）设椭圆的右焦点为F1，右准线为。若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到的距离，则椭圆的离心率是__________
答：
（16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共用______种（用数字作答）
答：12
（17）若正数满足，则的取值范围是_______
答：
（18）是两个不同平面，是平面之外的两条不同直线，给出四个论断：
① ② ③ ④
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________
答：，，或，，
三．解答题：本大题共6小题;共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（19）（本小题满分10分）
解不等式
解：原不等式等价于
由(1)得由(2)得
由(3)得由此得
当时得所求的解集是;
当时得所求的解集是
（20）（本小题满分12分）
设复数求函数最大值以及对应的值。
解:由
由得
故
当且仅当时,即时,上式取等号.
所以当时,函数取最大值
由内正切函数是递增函数,
函数y也取最大值.
（21）（本小题满分12分）
如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,点E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC与底面ABCD所成的角为450,AB=.
D1 C1
A1 B1
E
P
Q
D C
O
A B
（Ⅰ）求截面EAC的面积;
（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离;
（Ⅲ）求三棱锥B1-EAC的体积。
（Ⅰ）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，
∴∠EOD=450。DO=
故
（Ⅱ）解：由题设ABCD- A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，
A1A⊥AC。又A1A⊥A1B1，
∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线。
∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO，∴D1B∥EO。
又O是DB的中点，∴E是D1D的中点，D1B=2EO=2。
∴D1D=
异面直线A1B1与AC间的距离为
（Ⅲ）解：连结D1B1。∵D1D=DB=，∴BDD1B1是正方形。
连结B1D交D1B于P，交EO与Q
∵B1D⊥D1B，EO∥D1B，∴B1D⊥EO。
又AC⊥EO，AC⊥ED。∴AC⊥面BDD1B1，∴B1D⊥AC，∴B1D⊥面EAC
∴B1Q是三棱锥B1-EAC的高。
由DQ=PQ，得B1Q=
所以三棱锥B1-EAC的体积是
（22）（本小题满分12分）
右图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。
（Ⅰ）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？
（一对轧辊减薄率=）
（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm。若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点间距为Lk。为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）
轧辊序号k 1 2 3 4
疵点间距Lk(单位:mm) 1600
解：（Ⅰ）厚度为的带钢经过减薄率均为的n对轧辊后厚度为
，为使输出带钢的厚度不超过，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足
即对上式两端取对数得
因此，至少需要安装不小于的整数对轧辊。
（Ⅱ）解一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为
而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为
因宽度相等，且不考虑损耗，由体积相等得
即由此得
L3=2000（mm）,L2=2500(mm),L1=3125(mm)
填表如下：
轧辊序号k 1 2 3 4
疵点间距Lk(单位:mm) 3125 2500 2000 1600
解二：第三对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有
所以，同理：
填表如下：
轧辊序号k 1 2 3 4
疵点间距Lk(单位:mm) 3125 2500 2000 1600
（23）（本小题满分14分）
已知函数的图象是自原点出发的一条折线。当时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义。
（Ⅰ）求x1、x2和xn的表达式;
（Ⅱ）求的表达式，并写出其定义域;
（Ⅲ）证明：的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。
解：（Ⅰ）依题意函数的图象是斜率为的线段，故由
又由的图象是斜率为的线段，
故由
记由函数图象中第n段线段的斜率为故得
由此知数列为等比数列，其首项为1，公比为
由，得
即
（Ⅱ）当从（Ⅰ）可知y=x，即当时，
当时，即当时，由（Ⅰ）可知
为求函数的定义域，须对进行讨论
当时，
当时，也趋向于无穷大。
综上，当时，的定义域为
当时，的定义域为
（Ⅲ）证一：首先证明当，时，恒有成立。
用数学归纳法证明：
(i) 由（Ⅱ）知当n=1时，在上，
所以成立。
（ii)假设n=k时在上，恒有成立。
可得
在上，
所以也成立。
由(i)与(ii)知对所有自然数n在上都有成立
即时,恒有
其次,当,仿上述证明,可知当时,恒有成立.
故的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。
证二：首先证明当，时，恒有成立。
对任意的，存在，使，此时有
又
即有成立
其次，当,仿上述证明,可知当时,恒有成立.
故的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。
（24）（本小题满分14分）
如图，给出定点A（0）（）和直线B是直线上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C。求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。
y
B
C
O A x
解：依题意，记B（-1，），
则直线OA和OB的方程分别为
设点C（x,y）则有，
由OC平分∠BOA，知点C到OA、OB距离相等。根据点到直线所距离公式得
①
依题设，点C在直线AB上，故有
由得 ②
将②式代入①式得
整理得
若，则
若，则，∠BOA=，点C的坐标为（0，0）满足上式
综上得点C的轨迹方程为
(i)当时，轨迹方程化为 ③
此时，方程③表示抛物线弧段;
(ii)当时，轨迹方程化为
④
所以，当时，方程④表示椭圆弧段;
当时，方程④表示双曲线一支的弧段。
一九九九年（文科）
一．选择题：本题共14个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（14）题每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）如图,I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是，则 （ C ）
（A）（MP）S
（B）（MP）S
（C）（MP）
（D）（MP）
（2）已知映射其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且对任意的，在B中和它对应的元素是，则集合B中元素的个数是（ A ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（3）函数的反函数是，则等于（A） （B） （C） （D） （ A ）
（4）函数在区间上是增函数，且，，则函数上 （ C ）
（A）是增函数 （B）是减函数
（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M
（5）若是周期为的奇函数，则可以是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）曲线关于 （ B ）
（A）直线轴对称 （B）直线轴对称
（C）点中心对称 （D）点中心对称
（7）若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm。若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ B ）
（A）cm （B）6cm （C）cm （D）cm
（8）若
的值为 （ A ）
（A）1 （B）-1 （C）0 （D）2
（9）直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
（A） （B） （C） （D） （ C ）
E F
D C
A B
（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则多面体的体积为
（A） （B）5 （C）6 （D） （ D ）
（11）若 （ B ）
（A）（，）（B）（，0）（C）（0，）（D）（，）
（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积比为1:2，那么R= （ D ）
（A）10 （B）15 （C）20 （D）25
（13）已知两点M（1，）、N（-4，-），给出下列曲线方程：
① ② ③ ④
其中与直线有交点的所有曲线是 （ D ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 （ C ）
（A）5种 （B）6种 （C）7种 （D）8种
二．填空题：本大题共4小题;每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（15）设椭圆的右焦点为F1，右准线为。若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到的距离，则椭圆的离心率是__________
答：
（16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共用______种（用数字作答）
答：12
（17）若正数满足，则的取值范围是_______
答：
（18）是两个不同平面，是平面之外的两条不同直线，给出四个论断：
① ② ③ ④
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________
答：，，或，，
三．解答题：本大题共6小题;共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（19）（本小题满分10分）
解方程
解：设，则原方程化为
解得
因为，所以将舍去。
由得
所以
经检验，为原方程的解。
（20）（本小题满分12分）
数列的前n项和记为。已知求的值。
解：由
又由已知
于是
所以由
所以，数列是首项，公比的等比数列。
由此知数列是首项，公比的等比数列。
（21）（本小题满分12分）
设复数求函数最大值以及对应的值。
解:由
由得
故
当且仅当时,即时,上式取等号.
所以当时,函数取最大值
（22）（本小题满分12分）
如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,点E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC与底面ABCD所成的角为450,AB=.
D1 C1
A1 B1
E
P
Q
D C
O
A B
（Ⅰ）求截面EAC的面积;
（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离;
（Ⅲ）求三棱锥B1-EAC的体积。
（Ⅰ）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，
∴∠EOD=450。DO=
故
（Ⅱ）解：由题设ABCD- A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，
A1A⊥AC。又A1A⊥A1B1，
∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线。
∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO，∴D1B∥EO。
又O是DB的中点，∴E是D1D的中点，D1B=2EO=2。
∴D1D=
异面直线A1B1与AC间的距离为
（Ⅲ）解：连结D1B1。∵D1D=DB=，∴BDD1B1是正方形。
连结B1D交D1B于P，交EO与Q
∵B1D⊥D1B，EO∥D1B，∴B1D⊥EO。
又AC⊥EO，AC⊥ED。∴AC⊥面BDD1B1，∴B1D⊥AC，∴B1D⊥面EAC
∴B1Q是三棱锥B1-EAC的高。
由DQ=PQ，得B1Q=
所以三棱锥B1-EAC的体积是
（23）（本小题满分14分）
右图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。
（Ⅰ）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？
（一对轧辊减薄率=）
（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm。若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点间距为Lk。为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）
轧辊序号k 1 2 3 4
疵点间距Lk(单位:mm) 1600
解：（Ⅰ）厚度为的带钢经过减薄率均为的n对轧辊后厚度为
，为使输出带钢的厚度不超过，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足
即对上式两端取对数得
因此，至少需要安装不小于的整数对轧辊。
（Ⅱ）解一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为
而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为
因宽度相等，且不考虑损耗，由体积相等得
即由此得
L3=2000（mm）,L2=2500(mm),L1=3125(mm)
填表如下：
轧辊序号k 1 2 3 4
疵点间距Lk(单位:mm) 3125 2500 2000 1600
解二：第三对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有
所以，同理：
填表如下：
轧辊序号k 1 2 3 4
疵点间距Lk(单位:mm) 3125 2500 2000 1600
（24）（本小题满分14分）
如图，给出定点A（0）（）和直线B是直线上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C。求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。
y
B
C
O A x
解：依题意，记B（-1，），
则直线OA和OB的方程分别为
设点C（x,y）则有，
由OC平分∠BOA，知点C到OA、OB距离相等。根据点到直线所距离公式得
①
依题设，点C在直线AB上，故有
由得 ②
将②式代入①式得
整理得
若，则
若，则，∠BOA=，点C的坐标为（0，0）满足上式
综上得点C的轨迹方程为
，轨迹方程化为
③
由此知，当时，方程③表示椭圆弧段;
当时，方程③表示双曲线一支的弧段。
①
②
①
②
①
②
1
357第一章 幂函数、指数函数与对数函数
考试内容：
集合.子集、交集、并集、补集.
映射.函数(函数的记号、定义域、值域).
幂函数.函数的单调性.函数的奇偶性.
反函数.互为反函数的函数图象间的关系.
指数函数.对数函数.换底公式.简单的指数方程和对数方程.
二次函数.
考试要求：
(1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.
(2)了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关的概念掌握互为反函数的函数图象间的关系.
(3)理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象.
(4)掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的概念及其图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程.
一、选择题
1. 在下面给出的函数中，哪一个既是区间(0，)上的增函数，又是以π为周期的偶函数(85(3)3分)
A.y＝x2 B.y＝|sinx| C.y＝cos2x D.y＝esin2x
2. 函数y＝(0.2)－x＋1的反函数是(86(2)3分)
A.y＝log5x＋1 B.y＝logx5＋1 C.y＝log5(x－1) D.y＝log5x－1
3. 在下列各图中，y＝ax2＋bx与y＝ax＋b的图象只可能是(86(9)3分)
A. B. C. D.
4. 设S，T是两个非空集合，且SS，令X＝S∩T，那么S∪X＝(87(1)3分)
A.X B.T C.Φ D.S
5. 在区间(－∞，0)上为增函数的是(87(5)3分)
A.y＝－log0.5(－x) B.y＝ C.y＝－(x＋1)2 D.y＝1＋x2
6. 集合{1，2，3}的子集总共有(88(3)3分)
A.7个 B.8个 C.6个 D.5个
7. 如果全集I＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，则＝(89(1)3分)
A.φ B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
8. 与函数y＝x有相同图象的一个函数是(89(2)3分)
A.y＝ B.y＝ C.y＝a(a＞0且a≠1) D.y＝log(a＞0且a≠1)
9. 已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)(89(11)3分)
A.在区间(－1，0)上是减函数 B.在区间(0，1)上是减函数
C.在区间(－2，0)上是增函数 D.在区间(0，2)上是增函数
10. 方程2的解是(90(1)3分)
A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝9
11. 设全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则＝(90(9)3分)
A.φ B.{(2，3)} C.(2，3) D.{(x，y)|y＝x＋1}
12. 如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是(90(10)3分)
A. B. C. D.
13. 函数f(x)和g(x)的定义域为R，“f(x)和g(x)均为奇函数”是“f(x)与g(x)的积为偶函数”的(90上海)
A.必要条件但非充分条件 B.充分条件但非必要条件
C.充分必要条件 D.非充分条件也非必要条件
14. 如果loga2＞logb2＞0，那么(90广东)
A.1＜a＜b B.1＜b＜a C.0＜a＜b＜1 D.0＜b＜a＜1
15. 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(91(13)3分)
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
16. 设全集为R，f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，M＝{x|f(x)≠0}，N＝{x|g(x)≠0}，那么集合{x|f(x)g(x)＝0}等于
A. B.∪N C.∪N D.
17. 等于(92(1)3分)
A. B.1 C. D.2
18. 图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线c1，c2，c3，c4的n依次是(92(6)3分)
A.－2，－，2 B.2，，－2
C.－，－2，2， D.，2，－2，－
19. 函数y＝的反函数(92(16)3分)
A.是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数 B.是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数
C.是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数 D.是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数
20. 如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(92(17)3分)
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
21. F(x)＝[1＋]f(x)，(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x)(93(8)3分)
A.是奇函数 B.是偶函数
C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数
22. 设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么(93(16)3分)
A. B. C. D.
23. 设全集I＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，则＝(94(1)4分)
A.{0} B.{0，1} C.{0，1，4} D.(0，1，2，3，4}
24. 设函数f(x)＝1－(－1≤x≤0)，则函数y＝f－1(x)的图象是(94(12)5分)
A. y B. y 1 C. y D. y 1
1 x 1 O x
－1 －1
－1 O x O 1 x
25. 定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，如果f(x)＝lg(10x＋1)，x∈R，那么(94(15)5分)
A.g(x)＝x，h(x)＝lg(10x＋10－x＋1) B.g(x)＝，h(x)＝
C.g(x)＝，h(x)＝lg(10x＋1)－ D.g(x)＝－，h(x)＝
26. 当a＞1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图像只可能是(94上海)
A. y B. y C. y D. y
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
27. 如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是(94上海)
A.(1－a)＞(1－a) B.log(1－a)(1＋a)＞0 C.(1－a)3＞(1＋a)2 D.(1－a)1＋a＞1
28. 已知I为全集，集合M，NI，若M∩N＝N，则(95(1)4分)
A. B.N C. D.N
29. 函数y＝－的图象是(95(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
O 1 x －1 O x O 1 x －1 O x
30. 已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是(95(11)5分)
A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.[2，＋∞)
31. 已知全集I＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，则(96(1)4分)
A.I＝A∪B B.I＝∪B C.I＝A∪ D.I＝
32. 当a＞1时，同一直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax的图象是(96(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
1 1 1 1
O 1 x O 1 x O 1 x O 1 x
33. 设f(x)是(－∞，∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1，f(x)＝x，则f(7.5)＝( ) (96(15)5分)
A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5
34. 如果loga3＞logb3＞0，那么a、b间的关系为(96上海)
A.0＜a＜b＜1 B.1＜a＜b C.0＜b＜a＜1 D.1＜b＜a
35. 在下列图像中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图像只可能是(96上海)
A. B. C. D.
36. 设集合M＝{x|0≤x＜2}，集合N＝{x|x2－2x－3＜0}，集合M∩N＝(97(1)4分)
A.{x|0≤x＜1} B.{x|0≤x＜2} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}
37. 将y＝2x的图象
A.先向左平行移动1个单位 B.先向右平行移动1个单位
C.先向上平行移动1个单位 D.先向下平行移动1个单位
再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象.(97(7)4分)
38. 定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)重合.设a＞b＞0，给出下列不等式:
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
其中成立的是(97(13)5分)
A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④
39. 三个数60.7，0.76，log0.76的大小关系为(97上海)
A.0.76＜log0.76＜60.7 B.0.76＜60.7＜log0.76
C.log0.76＜60.7＜0.76 D.log0.76＜0.76＜60.7
40. 函数y＝a|x|(a＞1)的图像是(98(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
1 1 1
o x o x o x o x
41. 函数f(x)＝(x≠0)的反函数f－1(x)＝(98(5)4分)
A.x(x≠0) B.(x≠0) C.－x(x≠0) D.－(x≠0)
42. 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩ D.(M∩P)∪(99(1)4分)
43. 已知映射f:AB，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(99(2)4分)
A.4 B.5 C.6 D.7
44. 若函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，f(a)＝b，ab≠0，则g(b)＝(99(3)4分)
A.a B.a－1 C.b D.b－1
45. 设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么是(2000安徽(2)4分)
A.Φ B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
46. 函数y＝lg|x|(2000安徽(7)4分
A.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
47. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如右图，则(2000安徽(14)5分)
A.b∈(－∞，0) B.b∈(0，1) C.b∈(1，2) D.b∈(2，＋∞)
48. 设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是(2000⑴5分)
A.2 B.3 C.4 D.5
49. 函数y＝－xcosx的部分图象是(2000⑸5分)
50. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分别累进计算.
全月应纳税所得额 税率
不超过500元的部分 5%
超过500元至2000元的部分 10%
超过2000元至5000元的部分 15%
… …
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于(2000⑹5分)
A.800～900元 B.900～1200元 C.1200～1500元 D.1500～2800元
51. 若集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T是(2000上海(15)4分)
A.S B.T C.Φ D.有限集
二、填空题
1. 设函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(x2)的定义域为________.(85(10)4分)
2. 已知圆的方程为x2＋(y－2)2＝9，用平行于x轴的直线把圆分成上下两个半圆，则以上半圆(包括端点)为图像的函数表达式为_____________(85广东)
3. 方程的解是__________.(86(11)4分)
4. 方程9－x－2·31－x＝27的解是_________.(88(17)4分)
5. 函数y＝的反函数的定义域是__________.(89(15)4分)
6. 函数y＝的值域为_______________(89广东)
7. 方程＝3的解是___________.(92(19)3分)
8. 设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为__________.(92(21)3分)
9. 已知函数y＝f(x)的反函数为f－1(x)＝－1(x≥0)，那么函数f(x)的定义域为_________(92上海)
10. 设f(x)＝4x－2x＋1(x≥0)，f－1(0)＝_________.(93(23)3分)
注:原题中无条件x≥0，此时f(x)不存在反函数.
11. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…an，共n个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1，a2，…an推出的a＝_______.(94(20)4分)
12. 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的关系式为___________(96上海)
13. 方程log2(9x－5)＝log2(3x－2)＋2的解是x＝________(96上海)
14. 函数y＝的定义域为____________(96上海)
15. 函数f(x)＝ax(a＞0,a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝______(98上海)
16. 函数y＝log的定义域为____________(2000上海(2)4分)
17. 已知f(x)＝2x＋b的反函数为y＝f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像经过点Q(5，2)，则b＝_______(2000上海(5)4分)
18. 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需要_________年(2000上海(6)4分)
(按：1999年本市常住人口总数约1300万)
19. 设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图像为如图所示的线段AB，则在区间[1，2]上，f(x)＝_____(2000上海(8)4分)
三、解答题
1. 解方程 log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1).(85(11)7分)
2. 设a，b是两个实数，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n是整数}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m是整数}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}是xoy平面内的集合，讨论是否存在a和b使得①A∩B≠φ，②(a，b)∈C同时成立.(85(17)12分)
3. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:①CA∪B，且C中含有3个元素，②C∩A≠φ(φ表示空集)(86(20)10分)
4. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝(x∈R且x≠)，证明:
①经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴；
②这个函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.(88(24)12分)
5. 已知a＞0且a≠1，试求使方程loga(x－ak)＝loga2(x2－a2)有解的k的取值范围.(89(22)12分)
6. 设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，已知当x∈I0时，f(x)＝x2.(89(24)10分)
①求f(x)在Ik上的解析表达式；
②对自然数k，求集合Mk＝{a|使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根}
7. 设f(x)＝lg，其中a是实数，n是任意给定的自然数，且n≥2.
①如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围；
②如果a∈(0，1]，证明2f(x)＜f(2x)当x≠0时成立.(90(24)10分)
8. 已知f(x)＝lg，其中a∈R，且0＜a≤1(90广东)
①求证：当x≠0时，有2f(x)＜f(2x)；
②如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围
9. 根据函数单调性的定义，证明函数f(x)＝－x3＋1在R上是减函数.(91(24)10分)
10. 已知函数f(x)＝(91三南)
⑴证明：f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数；
⑵证明：对不小于3的自然数n都有f(n)＞
11. 已知关于x的方程2a2x－2－7ax－1＋3＝0有一个根是2，求a的值和方程其余的根.(92三南)
12. 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:
P＝1000(x＋t－8) (x≥8，t≥0)
Q＝500 (8≤x≤14)
当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格.
①将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
②为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元 (95(25)12分)
13. 已知二次函数y＝f(x)在x＝＋1处取得最小值－(t＞0),f(1)＝0(95上海)
⑴求y＝f(x)的表达式；
⑵若任意实数x都满足等式f(x)g(x)＋anx＋bn＝xn＋1(其中g(x)为多项式，n∈N),试用t表示an和bn；
⑶设圆Cn的方程为：(x－an)2＋(y－bn)2＝rn2,圆Cn与圆Cn＋1外切(n＝1,2,3…)，{rn}是各项都为正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn和Sn.
14. 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程f(x)－x＝0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜.
Ⅰ.当x∈(0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1；
Ⅱ.设函数f(x)的图象关于直线x＝x0对称，证明:x0＜.(97(24)12分)
15. 设函数f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)，证明：ab＜1(2000安徽(21)12分)
16. 已知函数f(x)＝其中f1(x)＝－2(x－)2＋1，f2(x)＝－2x＋2.(2000安徽(24)14分)
(I)在下面坐标系上画出y＝f(x)的图象；
(II)设y＝f2(x)(x∈[，1])的反函数为y＝g(x)，a1＝1，a2＝g(a1)，……，an＝g(an－1)，求数列{an}的通项公式，并求；
(III)若x0∈[0，)，x1＝f(x0)，f(x1)＝x0，求x0.
17. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.(2000(21)12分)
⑴写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P＝f(t)；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
⑵认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/10kg，时间单位：天)
18. 已知函数:f(x)＝，x∈[1，＋∞)(2000上海(19)6＋8＝14分)
⑴当a＝时，求函数f(x)的最小值；
⑵若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围
1
y2
0 1 2 x
y
y
y
y
0
1 2
x
y
I
S
M
P
1
.
.
－1
1.
－1.
x
o
c3
c4
c2
c1
y
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
B
A十九 函数高考试题选编
一、选择、填空题：
1、（94年上海）设I是全集，集合P、Q满足，则下面的结论中错误的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、（97年全国理）如果函数对任意实数都有，那么（ ）
A、 B、
C、 D、
3、（91年上海）设函数的图象关于直线x=1对称，若当时，，则当x<1时，y= 。
4、（91年三南）设的定义域是（n是自然数），那么的值域中共有 个整数。
5、（96年全国文理）设是上的奇函数，，当时，，则= 。
6、（97年全国文）设函数定义在R上，则函数与的图象关于（ ）
A、直线y=0对称 B、直线x=0对称
C、直线y=1对称 D、直线x=1对称
7、已知f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间上递增，则a范围是 。
8、（90年上海）已知，令，，，则（ ）
A、a9、（98年全国理）向高为H的水瓶内注水注满为止，如果注水量V与水澡h的函数关系如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）
10、（98年上海）函数在[1，2]中的最大值比最小值大，则a的值为 。
二、解答题：
1、（96年上海）在直角坐标系中，运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程（a<0)，D=(6，7)是x轴上的给定区间。⑴为使物体落在D内，求a的取值范围；⑵若物体运动又经过点P(2，8.1)，问它是否落在D内？并说明理由。
2、（96年全国理）某地现有耕地10000公顷规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数）
3、（96年全国理）已知a、b、c为实数，函数 ，当时，。①证明；②证明：当时，；③设a>0，当时，的最大值为2，求。
4、（98年全国文理）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀流出的水中该杂质的质量分数量小（A、B孔的面积忽略不计）。
三、作业：
1、（95年全国理）已知I为全集，集合M、，若，则（ ）
A、 B、 C、 D、
2、（95年上海）如果，，那么（ ）
A、 B、 C、 D、
3、f(x)=loga(2-ax)在[0，1]上单调减，则a范围是 。
4、(90年全国文)已知且，那么等于（ ）
A、-26 B、-18 C、-10 D、10
5、（95年全国理）函数的图象是（ ）
A B C D
6、（94年上海）函数的反函数是 。
7、（96年上海）在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是（ ）
A B C D
8、（91年上海）若全集I=R，，，则是 。
9、（94年全国）设函数，则函数的图象是：
A B C D
10、（92年全国文理）方程的解是 。
11、（95年全国文）解方程
12、（92年三南）已知关于x的方程有一个根是2，求a的值和方程其余的根。
2003年全国各地高考模拟数学试题分类选编(续)
排列组合二项式定理部分
一、选择题：每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(西安)4个男生与3个女生站成一排，如果两端不站女生且3个女生必须相邻的排法有( )。
(A)144种 (B)288种 (C)432种 (D)576种
2.(海淀)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为( )。
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
3.(郑州)高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组成方式的种数是( )。
(A)16 (B)24 (C)28 (D)36
4.(湖南)从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有( )。
(A)180种 (B)240种 (C)300种 (D)360种
5.(西城)某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男女队员各一人组成一对双打组合。由于在男队员中有两人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒兵球队中男队员的人数为( )。
(A)10人 (B)8人 (C)6人 (D)12人
6.(东北三校)在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴上有3个点，将x轴上的5个点和y轴上的3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有( )。
(A)30个 (B)35个 (C)20个 (D)15个
7.(泉州)某企业现有外语人员7人，其中3人只会英语，2人只会日语，还有2人既会英语又会日语，现该企业要举行商务活动，需要从中抽调3名英语，2名日语翻译，共有多少种选法。( )。
(A)60 (B)45 (C)42 (D)27
8.(天津)用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的共有( )。
(A)360个 (B)180个 (C)120个 (D)24个
9.(南宁)用1、2、3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻地出现，这样的四位数有( )。
(A)6个 (B)9个 (C)18个 (D)36个
10.(黄冈)如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有( )。
(A)8种 (B)12种 (C)16种 (D)20种
11.(海淀)(x-)7展开式的第四项等于7，则x 等于( )。
(A)-5 (B)- (C) (D)5
12.(杭州)若二项式(+)n(n>0且n∈N)的展开式中含有常数项，那么指数n必为( )。
(A)奇数 (B)偶数 (C)3的倍数 (D)6的倍数
13.(福州)(+)n展开式的各项系数和大于8且小于32，则展开式中系数最大的项是( )。
(A) (B) (C) (D)或
14.(石家庄)将(x+y+z)10展开后，则展开式中含x5y3z2项的系数为( )。
(A) (B) (C) (D)
15.(辽宁)在(4x2+3x+2)5的展开式中x的系数是( )。
(A)160 (B)240 (C)360 (D)800
16.(武汉)若(x-)3=a0+a1x+a2x2+a3x3，则(a0+a2)2-(a1+a3)3的值为( )。
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
17.(成都)若n∈N且n为奇数，则6n+6n-1+6n-2+…+6-1被8除所得的余数是( )。
(A)0 (B)2 (C)5 (D)7
18.(重庆)设(5-)n的展开式的各项系数和为M，而二项式系数之和为N，且M-N=992。则展开式中x2项的系数为( )。
(A)250 (B)-250 (C)150 (D)-150
19.(西安)已知(2x-)9的展开式的第7项为，则(x+x2+x3+…+xn)的值是( )。
(A) (B) (C)- (D)-
二、填空题：把答案填在题中的横线上。
1.(福州)从5名男生和4名女生中，选出3个分别承担三项不同的工作，要求3人中既有男生又有女生，则不同的选配方法共有_____(用数字作答)种。
2.(黄冈)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同的选法有16种，则小组中的女生数目为____。
3.(郑州)有5列客车停在某车站并行的5条火车轨道上。若快车A不能停在第3道上，慢车B不能停在第1道上，则5列客车的停车方法共有_____种(用数字作答)。
4.(重庆)某区对口支援西部贫困山区教育，需从本区三所重点中学抽调5名教师，每所学校至少抽调1人到山区5所学校支援，每校一人，则有_____种支教方案。
5.(沈阳)若直线方程Ax+By=0的系数A，B可以从0，1，2，3，6，7这六个数字中取不同的数而得到，则这样的方程表示的不同直线的条数是_____。
6.(东北三校)已知(x+1)6·(ax-1)2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为_____。
7.(湖北)(1-x3)·(1+x)10的展开式中含x4的项的系数为_____(用数字作答)。
8.(湖南)若在(-)n的展开式中，第4项是常数项，则n=_____。
9.(广州)若(1+2x)6展开式中第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是_____。
10.(南京)已知二项式(1-3x)n的展开式中所有项的系数之和等于64，那么这个展开式中含x2项的系数是____。
11.(南昌)若(x2+)ｎ的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是_____。
12.(合肥)已知an为(1+x)n的展开式中含x2的项的系数，则(++…+)=____。
三、解答题
1.规定，其中x∈R，m是正整数，且=1，这是组合数(n、m是正整数，且m≤n)的一种推广。
(I)求的值。
(II)组合数的两个性质；
①；②。是否都能推广到(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(III)已知组合数是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，∈Z。
参考答案
说明：由于新老教材对于排列数的符号规定不一致，这里P与A通用，如。
一、选择题：
1.C。两端排男生有，把女生看做一个整体和剩下两个男生全排列有，故不同的排法有。(新教材：。)
2.A。设女生有x名，则x≤3，且当x=3，其方法数不等于16，故x≤2，不同的选法有，=16，解得x=2。
3.D。不同的组成方法有=28+8=36。
4.B。选甲不选乙：=27，不选甲、乙有=24，选乙不选甲：=72。甲、乙都选上有=72，故共有72+72+72+24=240。
5.A。设有男生x人，则女生(18-x)人。
∴=64。
∴(18-x)(x-2)=64，解之x=10。
6.A。为使线段的交点在第一象限，则需在x轴上任找两点和y轴上任找2个点，这四个点对应着两线段在第一象限的一个交点，故交点最多个数有=30(个)。
7.D。以既会英语又会日语的人进行分类：这两个人有1人参加英语翻译，2人都参加英语翻译，2人都不参加英语翻译，因此不同的选法有=27(种)。
8.D。四位数的四个数字之和能被9整除，则这个四位数能被9整除。∵3+4+5+6=18，能被9整除，∴不同的四位数有=24(个)。
9.C。由三个数字组成四位数，且每个数字都用上，因此必有一个数字被重复使用，当不重复使用数字排首位时，这样的四位数有，当重复数字排首位时有，故共有不同的四位数有=18(个)。
10.C。四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有-4=16(种)。
11.B。T4=(-1)3x7-3()3=-x=7，
∴x=-7，x=-。
12.C。Tr+1= ()r=，
令n-3r=0，∴n为3的倍数时才出现常数项。
13.A。展开式的各项系数和为2n，由8<2n<32，得3 14.B。(x+y+z)10展开后含x5y3z2项的系数等于从含x+y+z的10个括号中，五个括号中选x，有种选法，三个括号中取y，有种，剩下两个括号中取z，有种选法，故共有。
15.B。在展开式的五个括号中，四个括号中取2，有，剩下的一个括号取3x，故含x项的系数为×3×24=240。
16.A。∵(a0+a2)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3)(a1-a1+a2-a3)=(-)3(--)3=-[ ()2-()2]3=-(3-2)3=-1。
17.C。原式=(6+1)n-2=7n-2=(8-1)n-2=8n-8n-1+8n-2-…+8-1-2=8(8n-1-8n-2+…+)-3，∴余数为8-3=5。
18.B。令x=1，得M=4n=22n，又N=2n，
∴由M-N=992得22n-2n-992=0，∴2n=32，∴n=5。∴Tr+1=(-1)r(5)5-r()r=(-1)r55-r。令=2，解得r=3。
∴(-1)355-3=-250。
19.C。由已知得(2x)3(-)6=，解之得x=-。∴(x+x2+…+xn)= 。
二、填空题
1.420。不同的选配方法有=420。
2.2。设女生有x人，则男生有6-x，显然x<3。∴=16，解之得x=2。
3.78。慢车B在3道上，快车A在1道上有种方法，慢车、快车都不在1、3道上，有种方法，故共有=78(种)。
4.720。∵5=1+1+3=1+2+2两种情况，每种情况有3种分法，共6种抽法，分到5所学校每校一人，共有种方法，故不同的支教方案有6=720(种)。
5.18。取0时，有2条，不取0时有(-4)条，故所求直线有-4+2=18条。
6.-1或6。(x+1)6(ax-1)2=(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)(a2x2-2ax+1)，∴x3项的系数为·1+(-2a)+·a2=56。即a2-5a-6=0，解之a=-1或a=6。
7.200。∵(1-x3)(1+x)10=(1-x3)(1+x+x2+x3+x4+…)，
∴x4的系数为+(-1)=200。
8.18。T4=()n-3(-)3=-x-3=-。令=0，∴n=18。
9.x∈(，)。T2=2x=12x，T3=(2x)2=60x2，∵T2>T3，∴12x>60x2，∴x<。又由T2>T1，得12x>1，x>，∴ 10.135。令x=1，得(-2)n=64，∴n=6。含x2的项是第3项，T3=(-1)2(3x)2=135x2。
11.20。∵T4的系数最大，∴+1=4，n=6。
∴展开式中的常数项为第4项，T4=(x2)3()3==20。
12.2。an==2。
三、解答题
(I)。
(II)性质①不能推广。例如当x=时，有定义，但无意义；
性质②能推广，它的推广形式是
，x∈R，m是正整数，事实上
当m=1时，有，
当m≥2时，
。
(III)当x≥m时，组合数∈Z。
当0≤x 当x<0时，∵-x+m-1>0，
∴。天骄之路高考网
1990——2002年高考立体几何试题汇编
(90全国) 如图,在三棱锥SABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.
（91全国）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．
（92理）两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d。在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m，AF=n
（93全国）如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.
(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A1到直线l的距离.
（94全国）如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.
(1)证明AB1∥平面DBC1；
(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.
（95全国）如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的周长上，AF⊥DE，F是垂足。
(1)求证：AF⊥DB
(2)如果AB=a，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于3π，求点E到截面ABCD的距离
（96全国）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.
(Ⅰ)求证:BE=EB1;
(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.
注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).
(Ⅰ)证明:在截面A1EC内,过E作EG⊥A1C,G是垂足.
① ∵__________________________________
∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,
② ∵___________________________________
∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.
③ ∵ __________________________________
∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,
④ ∵_________________________________
∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,
⑤ ∵_________________________
(Ⅱ)解:
（97全国）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
(Ⅰ)证明AD⊥D1F;
(Ⅱ)求AE与D1F所成的角;
(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1;
（98全国）已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C。
（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。
（99全国）如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a
（Ⅰ）求截画EAC的面积；
（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离；
（Ⅲ〕求三棱B1—EAC的体积。
（00广东、全国）如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，
（Ⅰ）证明：C1C⊥BD；
（Ⅱ）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明。
（00两省一市）如图，直三棱柱ABC-，底面ΔABC中，CA=CB=1，BCA=，棱=2，M、N分别是、的中点。
（I）求的长；
（II）求，的值；
（III）求证
（01广东、全国）如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中，
∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD， SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝．
(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；
(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
（01两省一市）如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC,Oy∥AB.E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a,高为h
(Ⅰ)求cos<,>;
(Ⅱ)记面BCV为，面DCV为，若BED是二面角的平面角，求BED
（02全国）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上移动，点在上移动，若（）
（1）求的长；
（2）为何值时，的长最小；
（3）当的长最小时，求面与面所成二面角的大小。
（02两省一市）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为，侧棱长为。
（1） 建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；
（2） 求AC1与侧面ABB1A1所成的角
（02广东）四棱锥的底面是边长为的正方形，平面。
（1）若面与面所成的二面角为，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化。面与面所成的二面角恒大于
参考答案
（90）解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC底边SC的中线,所以SC⊥BE.
又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.
又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上, ∴SA⊥BD.
而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.
∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,
∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.
设SA＝a,
又因为AB⊥BC,
∴∠ACS＝30°.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.
解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.
又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,
∴SC⊥BD.
由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.
∵DE面BDE,DC面BDC,
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
以下同解法一.
（91）解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O． 因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．
BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离． ——4分
∵ BD⊥AC， ∴ EF⊥HC．
∵ GC⊥平面ABCD，∴ EF⊥GC，
∴ EF⊥平面HCG．
∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线． ——6分
作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离． ——8分
∵ 正方形ABCD的边长为4，GC=2，
∴ AC=4，HO=，HC=3．
∴ 在Rt△HCG中，HG=．
由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．
∴ OK=．
即点B到平面EFG的距离为． ——10分
（92） 解法一:设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1的平面为β,α∩β=c,则c∥a.因而b,c所成的角等于θ,且AA1⊥c(如图)。
∵ AA1⊥b, ∴ AA1⊥α.
根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α.
在平面β内作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1.并且根据两个平面垂直的性质定理,EG⊥α.连结FG,则EG⊥FG.
在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2。 ∵ AG=m, ∴在△AFG中, FG2=m2+n2-2mncosθ.
∵ EG2=d2, ∴ EF2=d2+m2+n2-2mncosθ.
如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧,则
EF2=d2+m2+n2+2mncosθ.
因此
解法二:经过点A作直线c∥a,则c、b所成的角等于θ,且AA1⊥c.
根据直线和平面垂直的判定定理,AA1垂直于b、c所确定的平面a.
在两平行直线a、c所确定的平面内,作EG⊥c,垂足为G,则EG平行且等于AA1，从而EG⊥α。
连结FG,则根据直线和平面垂直的定义,EG⊥FG.
在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2。
(以下同解法一)
（93）解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下:
根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.
由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC.
根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.
(Ⅱ)解法一: 过点A1作A1E⊥L于E,则A1E的长为点A1到l的距离.
连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.
∴ 直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.
又 l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有：AE⊥l.
由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1, ∴ l∥AC.
作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,
从而AE＝BD＝(AE×BC)/AC＝(4×3)/5＝12/5
在Rt△A1AE中, ∵ A1A=1，∠A1AE=90°,
故点A1到直线 l 的距离为13/5。
解法二: 同解法一得l∥AC.
由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE， 从而有Rt△ABC∽Rt△BEA，AE:BC=AB:AC，
∴AE＝(BC×AB)/AC
以下同解法一。
（94） (1)证明: ∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,
∴四边形B1BCC1是矩形.连结B1C,交BC1于E,则B1E=EC.连结DE.
在△AB1C中,∵AD=DC, ∴DE∥AB1,
∴AB1∥平面DBC1.
(2)解:作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1,连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.
∵AB1⊥BC1, 由(1)知AB1∥DE, ∴DE⊥BC1,
则BC1⊥EF, ∴∠DEF是二面角α的平面角.
设AC=1,则DC=1/2. ∵△ABC是正三角形,
∴在Rt△DCF中, DF=DC·sinC=/4,CF=DC·cosC=1/4
取BC中点G. ∵EB=EC, ∴EG⊥BC.
在Rt△BEF中, EF2=BF·GF,又BF=BC-FC=3/4,GF=1/4
∴EF2=(3/4)·(1/4),即EF=/4. ∴tg∠DEF=DF/EF=1 ∴∠DEF=45°.
故二面角α为45°.
（95） (1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE，
∵EB平面ABE， ∴DA⊥EB，
∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE，
∵AF平面DAE，∴EB⊥AF，
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB，
∵DB平面DEB，∴AF⊥DB。
(2)解：设点E到平面ABCD的距离为d，记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB。
由题设知 ，即d=a/2。
（96） (Ⅰ)②∵BE:CF=1:2, ∴DC=2DB, ∴DB=BC, 1分
③∵△ABD是等腰三角形, 且∠ABD=120°, ∠BAD=30°,
∴∠CAD=90°, 3分
④∵FC⊥面ACD, ∴CA是FA在面ACD上的射影,
且CA⊥AD, 5分
⑤∵FA∩AC=A, DA⊥面ACF，DA面ADF
∴面ADF⊥面ACF. 7分
(Ⅱ)解: ∵VA1-AEF=VE-AA1F 在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1,垂足为G.
BG＝a/2 面A1B1C1⊥面A1C, ∴B1G⊥面A1C,
∵E∈BB1,而BB1∥面A1C, ∴三棱柱的高为a/2 9分
S△AA1F=AA1·AC/2=a2/2 10分 ∴VA1-AEF=VE-AA1F=a4/4 12分
（97） 解:(Ⅰ)∵AC1是正方体, ∴AD⊥面DC1.
又D1F面DC1, ∴AD⊥D1F. -------------2分
(Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.
设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE, ∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,
即直线AE与D1F所成角为直角. -------------5分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1, 所以 面AED⊥面A1FD1. -------------7分
（Ⅳ)连结GE,GD1. ∵FG∥A1D1, ∴FG∥面A1ED1,
∵AA1=2,
（98） 解：（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，
∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角。……2分
∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C，∴∠A1AD＝45°为所求。 ……4分
（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB。
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。 ……6分
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC。又D是AC的中点， BC＝2，AC＝2， ∴DE＝1，AD＝A1D＝，
tgA1ED＝A1D/DE=。故∠A1ED＝60°为所求。 ……8分
（Ⅲ）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。 …10分
连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB。 又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED， ∴∠HBC＝∠A1ED＝60°。
∴CH＝BCsin60°＝为所求。 ……12分
解法二：连结A1B。 根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C－A1AB的高h。 ……10分
由V锥C－A1AB＝V锥A1－ABC得1/2S△AA1Bh＝1/2S△ABCA1D，
即 1/3×2h=1/3×2×，∴h=为所求。 ……12分
（99）（1）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。
∵底面ABCD是正方形 ∴DO⊥AC。 又∵ED⊥底面AC，
∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角， －－－－2分
∴ ∠EOD＝45°。 DO＝(2)1/2/2a, AC=(2)1/2a, Eo=[(2)1/2a·sec45°]/2=a.
故 S△EAC=(2)1/2×a2/2 4分
（II）解：由题设ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC， A1A⊥AC。
又 A1A⊥A1B1， 1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线。 －－－－6分
∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO， ∴ D1B∥EO。
又 O是DB的中点， ∴E是D1D的中点， D1B＝2ED＝2a。
异面直线A1B1与AC间的距离为(2)1/2a。 －－－－8分
(III)解法一：如图，连结D1B1。 ∵D1D＝DB＝(2)1/2a，
∴BDD1B1是正方形。 连结B1D交D1B于P，交EO于Q。
∵B1D⊥D1B。 EO∥D1B， ∴B1D⊥EO
又 AC⊥EO， AC⊥ED， ∴AC⊥面BDD1B1
∴B1D⊥AC ∴B1D⊥面EAC。
∴B1Q是三棱锥B1－EAC的高。 －－－－10分
由DQ＝PQ，得B1Q＝3B1D/4＝3a/2。
∴VB1－EAC＝(1/3)·[(2)1/2a2/2]·(3/20=(2)1/2·a3/4.
所以三棱锥了－EAC的体积是(2)1/2·a3/4. －－－－12分
解法二：连结B1O，则VB1－EAC＝2VA－EOB1
∵AO⊥面BDD1B1， ∴AO是三棱锥A－EOB1的高，AO＝(2)1/2·a/2
在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点（如右图），
则S△EOB1=3a2/4.
∴VB1-EAC=2×(1/30×(3a2/4)×[(2)1/2a/2}=(2)1/2·a3/4.
所以三棱锥B1－EAC的体积是(2)1/2·a3/4.－－－－12分。
（00广东）（Ⅰ）证明：连结、和交于，连结。
∵四边形ABCD是菱形，∴⊥，=。
又∵∠=∠，=，
∴，∴B=D，
∵∴， 3分
但，∴平面。
又平面，∴。 …………6分
（Ⅱ）当时，能使平面。
证明一：∵，∴，又，
由此可推得。∴三棱锥是正三棱锥。 …………9分
设与相交于。∵，且：：1，
∴：=2：1。
又是正三角形的边上的高和中线，∴点是正三角形的中心，
∴平面，即平面。 …………12分
证明：由（Ⅰ）知，平面，
∵平面，∴。 …………9分
当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同的正法可得。
又，∴平面。 …………12分
（00两省一市）如图，以C为原点建立空间直角坐标系O。
（I）解：依题意得B，N，
∴ ——2分
（II）解：依题意得，B，C，。
∴ ，。
。， ——5分
∴ ——9分
（III）证明：依题意得，M ， ，
∴ ，∴ ——12分
（01广东）解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是M底面=
= 2分
∴四棱锥S—ABCD的体积是 4分
(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱? 6分
∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ
∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ
∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线.
又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，∴CS⊥ＳＥ，
所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角? 10分
∵ＳＢ＝
∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝，即所求二面角的正切值为
（01两省一市）
（02全国）解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，
依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。
∴MN=PQ由已知， CM=BN=a,CB=AB=BE=1,
∴即
∴（2）由（1）
（3）取MN的中点G，连接AG、BG，
∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，∴∠AGB即为二面角α的平面角。
又，所以由余弦定理有
。故所求二面角。
（02两省一市）解：（1）如图，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系。
由已知，得
------------4分
（2）坐标系如上。取的中点M，于是有,连有
,且
由于
所以，
∴
（02广东）解（1）∵平面，∴是在面上的射影，∴
∴是面与面所成二面角的平面角，
而是四棱锥的高，
∴
（2）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面与恒为全等三角形．
作，垂足为，连结，则．
∴，，故是面与面所成的二面角的平面角．
设与相交于点，连结，则．
在△中，
所以，面与面所成的二面角恒大于