2022-2023学年北师大版八年级数学下册1.3 线段的垂直平分线 同步练习（含解析）

北师大版八下 1.3 线段的垂直平分线
一、选择题（共13小题）
1. 线段 的垂直平分线上一点 到点 的距离为 ，则点 到点 的距离
A. 等于 B. 大于 C. 小于 D. 无法确定
2. 如图， 中，，边 的垂直平分线 分别交 ， 于 ，，且 ，则 的周长为
A. B. C. D.
3. 如图，，，则
A. 垂直平分 B. 垂直平分
C. 平分 D. 以上结论都不正确
4. 在 中， 为钝角．用直尺和圆规在边 上确定一点 ．使 ，则符合要求的作图痕迹是
A. B.
C. D.
5. 通过如下尺规作图，能确定点 是 边中点的是
A. B.
C. D.
6. 如图在 中，，， 平分 ，，则以下结论错误的是
A. 点 在 的垂直平分线上 B. 点 到 的距离为
C. 点 到 的距离为 D. 点 到 的距离为
7. 如图，点 ，，，， 在一条直线上，且 ，我们知道按如图所作的直线 为线段 的垂直平分线．下列说法正确的是
A. 是线段 的垂直平分线 B. 是线段 的垂直平分线
C. 是线段 的垂直平分线 D. 是 的垂直平分线
8. 下列说法中，正确的是
A. 过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线
B. 若直线 是线段 的垂直平分线，则 也是 的垂直平分线
C. 线段 的中垂线平分线段
D. 线段 的中垂线有无数条
9. 如图，在钝角三角形 中， 为钝角，以点 为圆心， 的长为半径画弧，再以点 为圆心， 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 ，与 的延长线交于点 ．下列结论错误的是
A. 垂直平分 B. 平分
C. 是等腰三角形 D. 是等边三角形
10. 下列说法正确的是
A. 垂线段就是垂直于已知直线的线段
B. 垂线段就是垂直于已知直线并且与已知直线相交的线段
C. 垂线段是一条竖起来的线段
D. 过直线外一点向该直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段
11. 如图， 中， 垂直平分边 ，若 ，，则 的周长为
A. B. C. D.
12. 如图，点 ，，，， 在一条直线上，且 ，我们知道按如图所作的直线 为线段 的垂直平分线．下列说法正确的是
A. 是线段 的垂直平分线 B. 是线段 的垂直平分线
C. 是线段 的垂直平分线 D. 是 的垂直平分线
13. 如图，已知 （），用尺规在 上确定一点 ，使 ，则符合要求的作图痕迹是
A. B.
C. D.
二、填空题（共7小题）
14. 如图，，，点 在 的垂直平分线上，若 ，，则 的长为 ．
15. 如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，，作直线 ，交 于点 ，连接 ．若 的周长为 ，，则 的周长为 ．
16. 如图，点 在 的边 上，且 ，则点 在 的 上．
17. 如图，线段 的垂直平分线与 的垂直平分线的交点 恰好在 上，且 ，则点 到点 的距离为 ．
18. 如图，在等腰三角形 中，底边 ， 的面积是 ，腰 的垂直平分线 分别交 ， 于点 ，，点 为 边上的中点， 为 上的动点．
（）当 周长的最小时，请在图中作出满足条件的 （保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（） 周长的最小值是 ．
19. 如图，已知钝角 ，求作这个三角形底边 上的高．
下面是小戴设计的相应的尺规作图过程，并保留了作图痕迹．
步骤 ：以 为圆心， 长为半径画弧①；
步骤 ：以 为圆心， 长为半径画弧②，交弧①于点 ；
步骤 ：连接 ，交 延长线于点 ．则 即为所求．
则小戴作图的依据是：两点确定一条直线和 .
20. 如图，已知 中，，，，斜边 的垂直平分线 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ．则 的长为 ．
三、解答题（共7小题）
21. 如图，在四边形 中，，，，．分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，交 于点 ，点 是 的中点．
（1）求证：；
（2）求 的长．
22. 如图， 的顶点在正方形网格的格点上．
（）画 关于直线 对称的 （不写画法）；
（）作 中 边上的中线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
23. 如图，在 中，， 为三角形外一点，且 ．
（1）求证： 垂直平分 ；
（2）若点 在 上，求证：．
24. 已知 中，．
（1）尺规作图：作 的垂直平分线，交 于点 （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（）的条件下，，．求 的周长．
25. 如图，在四边形 中， 的垂直平分线与 的垂直平分线交于点 ，且 ．求证：点 一定在 的垂直平分线上．
26. 如图，已知 比 长 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ， 的周长是 ，求 和 的长．
27. 如图，已知线段 和点 ．
（1）过点 画直线 的垂线，垂足为点 ．
（2）用直尺、圆规作线段 的垂直平分线，垂足为点 ．
答案
1. A
【解析】 点 在线段 的垂直平分线上，
．
2. A
【解析】 是线段 的垂直平分线，
，
3. B
【解析】由已知条件 ，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点 在 的垂直平分线上，同理，点 也在 的垂直平分线上，所以 垂直平分 ．
4. B
【解析】 且 ，
．
当点 是线段 的垂直平分线与 的交点时，．
设 的垂直平分线与 交于点 ．
在 与 中
，
．
当点 是线段 的垂直平分线与 的交点时，有 ．
5. A
【解析】作线段 的垂直平分线可得线段 的中点．由此可知选项A符合条件．
6. C
7. A
【解析】如图，
A选项， 直线 为线段 的垂直平分线，
，．
，
，即 ，
为线段 的垂直平分线，故此选项正确；
B选项，，
不是线段 的垂直平分线，故此选项错误；
C选项，，
不是线段 的垂直平分线，故此选项错误；
D选项， 为直线， 不能平分直线 ，
不是 的垂直平分线，故此选项错误．故选A．
8. C
9. D
【解析】由题意可得 ，，
直线 是 的垂直平分线，即 垂直平分 ，故A选项结论正确；
，，
，即 平分 ，故B选项结论正确；
，
是等腰三角形，故C选项结论正确；
与 不一定相等，
不一定是等边三角形，故D选项结论错误．
10. D
11. B
12. A
【解析】设直线 与 交于点 ，
直线 为线段 的垂直平分线，
，．
，
，即 ，
为线段 的垂直平分线，故选项A正确．
13. D
14.
【解析】因为 ，，
所以 ．
又因为点 在 的垂直平分线上，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
15.
【解析】由已知得， 垂直平分 ，
，
16. 垂直平分线
【解析】由 ，得 ，
点 在 的垂直平分线上．
17.
【解析】连接 ，
由题干可得 ，
，
．
18. （）如图所示， 即为所求．
（）
【解析】（）连接 交 于点 ，连接 ，
垂直平分线段 ，
，
点 是 的中点，
，
，
，
当点 在线段 与 的交点处时， 的周长最小，
即为所求．
（）
，
周长的最小值为 ．
19. 到线段两个端点距离相等点在这条线段的垂直平分线上
【解析】，，
点 ，点 在线段 的垂直平分线上，
直线 垂直平分线段 ．
故答案为：到线段两个端点距离相等点在这条线段的垂直平分线上．
20.
【解析】设 ，
是线段 的垂直平分线且 ，
，
，
，
在 中，
，
，
解得：，
．
故填 ．
21. （1） ，
，
，，
，
．
（2） 连接 ，
易证 垂直平分 ，
，
由（）知 ，
，．
在 中，
，
，
，
．
22. （）如图， 就是 关于直线 对称的图形．
（）如图， 就是 中 边上的中线．
23. （1） ，，
点 ，点 在线段 的垂直平分线上，
又 两点确定一条直线，
垂直平分 ．
（2） 垂直平分 ，点 在 上，
．
24. （1） 如图，点 为所作．
（2） 由作法得 ，
所以 的周长 ．
25. 如图，连接 ，．
因为点 是 ， 的垂直平分线的交点，
所以 ，，
又因为 ，
所以 ，
所以点 一定在 的垂直平分线上．
26. 的垂直平分线交 于点 ，
所以 ，
因为 的周长是 ，
所以 ，即 ，
则
解得，，．
27. （1） 略
（2） 略