第三单元 因数与倍数（培优卷） 五年级数学下册高频易错题必刷卷（苏教版含答案）
文档属性
| 名称 | 第三单元 因数与倍数（培优卷） 五年级数学下册高频易错题必刷卷（苏教版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 101.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-03 11:32:35 | ||
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文档简介
第三单元 因数与倍数（培优卷）
五年级数学下册高频易错题必刷卷
题型 一 二 三 四 五 六 总分
分数
注意：请认真审题，做到书写端正，格式正确，卷面整洁。
一、选择题(每题2分，共16分）
1．在哥德巴赫猜想中，任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和。下面符合要求的是（ ）。
A．11＝1＋3＋7 B．15＝2＋6＋7 C．21＝3＋5＋13
2．要使4□5这个三位数是3的倍数，则□里最大可以填（ ）。
A．3 B．6 C．9
3．几个质数的积一定是（ ）
A．合数 B．奇数 C．质数
4．“哥德巴林猜想”中说：“任意一个大于2的数，都可以表示成两个质数的和。“下面的四组算式中可以验证这个猜想的是（ ）。
A．2＝1＋1，12＝5＋7B．16＝7＋9＝11＋17 C．18＝7＋11，32＝13＋19
5．一包糖，10个小朋友吃，正好能够平均分完；如果12个小朋友吃，也能正好平均分完，这包糖至少有（ ）颗。
A．50颗 B．60颗 C．120颗
6．一盒糖果，平均分给5个人，最后剩下2粒；平均分给6个人，最后还少4粒。这盒糖果最少有（ ）粒。
A．62 B．32 C．34
7．我们发现一些数有一个有趣的特点，一个数所有因数（除了它本身）的和等于它本身。比如6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是：。像6这样的数叫做完全数（也叫完美数）。那么下面的数中也有这样的特点是（ ）。
A．12 B．28 C．32
8．、是两个非零的自然数，且，已知，和的最小公倍数是（ ）。
A． B． C．
二、填空题(每题2分，共16分）
9．一个数有因数24，这个数最小是( )，将它分解质因数( )。
10．一个数的最大因数是36，这个数的因数有( )个，把这个数分解质因数是( )。
11．一个四位数，千位上是最大的一位数，百位上的数是最小的质数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最小的偶数，这个数是( )。
12．“一方有难八方支援”。在抗击新冠病毒肺炎疫情期间，河南省累计派出7批医疗队支援武汉。第二批派出人数为122人，如果分为两个小组，第一组人数为奇数，那么第二组人数为( )（请填上“奇数”或“偶数”）。
13．有两根彩带，一根长36分米，一根长45分米，把它们截成同样长的小段且没有剩余，每段长( )分米。
14．佩戴口罩可以有效防止病毒传播。某超市对一批一次性医用口罩进行包装，无论3个装一包，4个装一包还是5个装一包，都正好装完。这批口罩最少有( )个。
15．两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，如果这两个数的差是54，那么这两个数的和是 ( )。
16．甲和乙两个数都是非0自然数，而且甲÷乙＝8，甲和乙的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
三、判断题(每题2分，共8分）
17．有因数8的数一定有因数2和4。( )
18．因为，所以12和4是因数，48是倍数。( )
19．一个数的最小倍数是30，那么这个数的最大因数也是30。( )
20．两个连续正整数的最大公因数是1。( )
四、计算题(共12分)
21．(6分)先圈出质数，再将剩下的合数分解质因数。
29 45 91 17 51 28
22．(6分)求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
9和10 12和18 34和51
五、作图题(共6分)
23．(6分)请把下面的方格图分解成几个面积最大且相等的正方形，且没有剩余。
六、解答题(共42分)
24．(6分)兰花、菊花分别是花中四君子之一。兰花不竞繁华，空谷幽香；菊花隐逸远世，鬓染秋霜。兰花每12天浇一次水，菊花每8天浇一次水。张阿姨4月28日给兰花和菊花同时浇了水，下一次再给这两种花同时浇水应是几月几日？
25．(6分)有两根彩绳，一根长18米，另一根长24米，要把它们裁成同样长的小段，且没有剩余，每小段最长多少米？一共可以裁成多少小段？
26．(6分)一个班学生人数接近50人，分别按8人和12人分组，学生都正好分完。这个班共有多少人？
27．(6分)王老师把20本语文本和25本数学本平均分给第一小组的同学，结果语文本多了2本，数学本少了2本。第一小组最多有多少人？
28．(6分)星源小学陶艺社团的学生来到操场站队。如果每排8人，最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4人。陶艺社团的学生最少有多少人？
29．(6分)端午节是中国首个入选世界非物质文化遗产的节日。今年端午节，星光社区的志愿者包了一些粽子送给常态化疫情防控的工作人员。这些粽子的个数在180~200之间，5个5个地数多3个，6个6个地数多3个，这些粽子一共有多少个？
30．(6分)两个自然数只含有质因数2、5，它们的最大公约数是50，且其中一个数有12个约数，另外一个数有10个约数，那么这两个数的差是多少？
参考答案
1．C
【分析】根据题意，对比每个选项的奇数是不是写成了三个质数的和，然后选择出正确选项。
【详解】A．11＝1＋3＋7中，1不是质数，不符合哥德巴赫猜想；
B．15＝2＋6＋7，6不是质数，不符合哥德巴赫猜想；
C．21＝3＋5＋13，是把奇数21写成了三个质数3、5、13的和，符合哥德巴赫猜想。
故答案为：C
【点睛】此题学生熟练掌握质数的概念，并能灵活的运用。
2．C
【分析】根据3的倍数的特征：一个数各位上的数字和是3的倍数。
【详解】4＋5＋9＝18
18是3的倍数，所以最大能填9。
故答案为：C
【点睛】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。
3．A
【分析】根据质数与合数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身两个因数还有别的因数，这样的数叫做合数；因此解答。
【详解】根据质数与合数的意义，质数只有1和它本身两个因数，合数至少有3个因数，几个质数的积，除了1和积它本身以外，还有这两个质数也是这几个质数之积的因数；
如：2×3＝6，6的因数有：1，2，3，6，6是合数；因此，几个质数之积一定是合数。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查质数与合数的意义，根据质数与合数的意义解决这类问题。
4．C
【分析】根据质数的意义：一个数只有1和它本身，没有其他因数的数是质数，合数：一个数除了1和它本身，还有其他因数的数是合数，1既不是质数也不是合数，由此即可逐项分析。
【详解】A．2＝1＋1，12＝5＋7，由于1既不是质数也不是合数，不符合题意；
B．16＝7＋9＝11＋17；9是合数，不符合题意；
C．18＝7＋11，32＝13＋19，7、11、13、19都是质数，符合题意。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查质数和合数的意义，熟练掌握它们的意义并灵活运用。
5．B
【分析】根据题意，一包糖，10个小朋友吃，正好能够平均分完；如果12个小朋友吃，也能正好平均分完，这包糖数量就是10和12的最小公倍数，求出10和12的最小公倍数，即可解答。
【详解】10＝2×5
12＝2×2×3
10和12的最小公倍数是：2×5×2×3＝60
这包糖至少有60颗。
故答案为：B
【点睛】求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积就是这两个数最小公倍数。
6．B
【分析】平均分给5个人，最后剩下2粒；平均分给6个人，最后少4粒，可以转化为平均分给6个人，最后多6－4＝2粒；进而可知这盒糖果的数量比5和6的公倍数多2，要求这盒糖果最少有多少粒，就是求比5和6的最小公倍数多2的数。据此解答。
【详解】5和6的最小公倍数是：5×6＝30
30＋2＝32（粒）
故答案为：B
【点睛】本题考查最小公倍数的知识点，运用最小公倍数知识，结合实际解决问题。
7．B
【分析】根据完全数的特点，先分别求出各个选项的因数，再逐项分析即可。
【详解】A．12的因数有1、2、3、4、6、12，1＋2＋3＋4＋6＝16，不是完全数；
B．28的因数有1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，是完全数；
C．32的因数有1、2、4、8、16、32，1＋2＋4＋8＋16＝31，不是完全数。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查学生对于完全数的理解及运用。
8．A
【分析】求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：如果两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；如果两个数是倍数关系，则最小公倍数为较大的数。
【详解】、是两个非零的自然数，且，因为，可知，是的3倍，属于倍数关系， 所以和最小公倍数是。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查成倍数关系的两个数的最小公倍数，观察得出两数为倍数关系是解答此题的关键。
9． 24 24＝2×2×2×3
【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。则一个数有因数24，求这个数最小是多少，即求24的最小倍数是多少。分解质因数就是把一个合数写成几个质数连乘积的形式，一般先从较小的质数试着分解，再把24分解质因数即可。
【详解】一个数有因数24，这个数最小是24。
24＝2×2×2×3
【点睛】本题考查把合数分解质因数的方法，一般先从较小的质数试着分解。
10． 9 36＝2×2×3×3
【分析】根据一个数的因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；求出这个数，再根据求1个数的因数方法，求出这个数的因数；
分解质因数利用相乘法：写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。
【详解】这个数是36，36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36一共有9个；
36＝2×2×3×3
一个数的最大因数是36，这个数的因数有9个，把这个数分解质因数是36＝2×2×3×3。
【点睛】根据这个数的最大因数求出这个数，并掌握分解质因数的方法是解答题目的关键。
11．9240
【分析】最大的一位数是9，最小的质数是2，最小的合数是4，最小的偶数是0；从右数，分别是个位、十位、百位、千位，据此写出此数。
【详解】一个四位数，千位上是最大的一位数，百位上的数最小的质数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最小的偶数，这个数是9240。
【点睛】本题考查了质数、合数、偶数的认识，要熟练掌握这些特殊的数。
12．奇数
【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数。已知122是偶数，第一组人数为奇数，根据第二组人数＝第二批总人数－第一组人数，可知第二组的总人数为奇数。据此回答。
【详解】第二批派出人数为122人，如果分为两个小组，第一组人数为奇数，那么第二组人数为奇数。
例如第一组人数为65人，
122－65＝57（人）
57为奇数。
【点睛】本题考查了奇数和偶数的认识以及它们的运算性质。
13．1、3、9
【分析】一根长36分米，一根长45分米，把它们截成同样长的小段且没有剩余，就是求36和45的公因数，据此解答即可。
【详解】36＝2×2×3×3
45＝3×3×5
所以36和45的公因数有1，3，9，所以每段长1分米、3分米或9分米。
【点睛】熟练掌握公因数的求法是解决此题的关键。
14．60
【分析】据题意可知，这批口罩的数量既是3的倍数，又是4和5的倍数，题目要求最少有多少个，就是求3、4、5的最小公倍数是多少，又因为3、4、5这三个数两两互质，所以求出这三个数的乘积即为它们的最小公倍数。
【详解】佩戴口罩可以有效防止病毒传播。某超市对一批一次性医用口罩进行包装，无论3个装一包，4个装一包还是5个装一包，都正好装完。这批口罩最少有：3×4×5＝60（个）。
【点睛】此题重点考查最小公倍数在实际生活中的灵活运用。
15．126
【分析】两个数独有的质因数的乘积是：180÷18＝10，10＝1×10＝2×5，如果是18×1＝18和18×10＝180，180－18＝162，就和这两个数的差是54相矛盾，因此这两个数只能是：18×2＝36，18×5＝90，再相加即可求解。
【详解】因为180÷18＝10
所以两个数独有的质因数的乘积是10
因为10＝2×5＝1×10
这两个数的差是54
所以不可能是1和10
则这两个数只能是：18×2＝36，18×5＝90
36＋90＝126
即这两个数的和是126。
【点睛】本题考查了数的整除性问题，它实际是考查了求最小公倍数方法的逆用，关键理解最小公倍数＝最大公因数×两个数独有的质因数这一关系。
16． 乙 甲
【分析】根据求两个数最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积，就是这两个数的最大公因数；两个数最小公倍数：两个数的公有质因数和每一个独有质因数的连乘积，就是这两个数的最小公倍数；如果两个数为互质数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；最小公倍数为较大的数，据此解答。
【详解】甲和乙两个是都是非0自然数，而且甲÷乙＝8，甲和乙为倍数关系；
最大公因数为乙；最小公倍数为甲。
甲和乙两个数都是非0自然数，而且甲÷乙＝8，甲和乙的最大公因数是乙，最小公倍数是甲。
【点睛】此题考查了最大公因数和最小公倍数的求法，注意两个数的特殊关系。
17．√
【分析】根据题意知：一个数有因数8，那这个数一定是8的倍数。因为8是2和4的倍数，所以一个数是8的倍数，一定也是2和4的倍数，即这个数就一定有因数2和4，据此判断即可。
【详解】因为8是2和4的倍数，所以一个数有因数8，就一定有因数2和4。
原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查了倍数和因数的关系。理解“一个数是另一个数的因数，那么这个数中所有的因数一定也是另一个数的因数”是解答本题的关键。
18．×
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可。
【详解】因为48÷12＝4，所以可以说4和12是48的因数，48是4和12的倍数；因数和倍数不能单独存在，所以本题说法错误；
故答案为：×
【点睛】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在。
19．√
【分析】根据“一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身”进行解答即可。
【详解】一个数的最小倍数是30，这个数就是30本身，那么30的最大因数还是30。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】解答此题根据因数和倍数的意义，认真分析，进而得出结论。
20．√
【分析】两个连续的正整数互质，互质的数的最大公因数为1，据此即可判断。
【详解】两个连续正整数它们的最大公因数是1， 说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题考查了最大公因数的求法，另外注意如果两个数是倍数关系，则最大公因数是较小数。
21．见详解
【分析】除了1和它本身不再有其它的因数的数叫做质数；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
【详解】
45＝5×3×3
91＝13×7
51＝3×17
28＝2×2×7
【点睛】熟练掌握质数的概念以及合数分解质因数的方法是解题的关键。
22．9和10的最大公因数是1，最小公倍数是90；
12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36；
34和51的最大公因数是17，最小公倍数是102。
【分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可。
【详解】9和10是互质数，所以9和10的最大公因数是1，最小公倍数是9×10＝90；
12＝2×3×2，18＝2×3×3，所以12和18的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×2×3＝36；
34＝17×2，51＝17×3，所以34和51的最大公因数是：17，最小公倍数是：17×2×3＝102；
【点睛】熟练掌握求两个数最大公因数和最小公倍数的方法是解决此题的关键。
23．
【分析】根据所给图示，由小正方形拼成的大长方形长为9，宽为6，要想把方格图分解成几个面积最大且相等的正方形，且没有剩余，正方形的边长为9和6的最大公因数，据此解答求出正方形边长，再作图即可。
【详解】9＝3×3
6＝2×3
所以9和6的最大公因数是3，即正方形边长最大为3；
据此作图如下：
【点睛】明确正方形的边长是9和6的最大公因数是解答本题的关键。
24．5月22日
【分析】兰花每12天浇一次水，菊花每8天浇一次水，可知张阿姨给兰花和菊花同时浇了水的日子是6的倍数也是8的倍数，即是6和8的公倍数的时间，要求至少就是求6和8的最小公倍数，据此解答即可。
【详解】12＝2×2×3
8＝2×2×2
所以12和8的最小公倍数是
2×2×2×3
＝4×2×3
＝8×3
＝24
2＋22＝24（天）
答：下一次再给这两种花同时浇水应是5月22日。
【点睛】这道题主要考查最小公倍数在实际问题中的运用。
25．6米；7段
【分析】根据“裁成同样长的小段，且没有剩余，每小段最长多少米？”可知，就是求18和24的最大公因数；再用两根彩绳的长度分别除以每小段彩绳的长度即可求出两根彩绳分别裁成的段数，再相加即可。
【详解】18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
18和24的最大公因数是2×3＝6
每小段最长是6米。
18÷6＋24÷6
＝3＋4
＝7（段）
答：每小段最长是6米，一共可以截成7段。
【点睛】熟练掌握两个数的最大公因数的求法：两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积。
26．48个
【分析】先求8和12的最小公倍数，把8和12分别分解质因数，它们的公有质因数和独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，据此找出两数的公倍数，找出最近的50，且小于50的公倍数即可。
【详解】8＝2×2×2，
12＝2×2×3，
8和12的最小公倍数是：2×2×2×3＝24；
8和12的公倍数有：24、48、72…；
其中接近50人的是48，所以这个班有48人。
答：这个班有48个人。
【点睛】此题属于公倍数问题，主要根据求两个数的公倍数的方法解决问题。
27．9人
【分析】根据题意可知，分给第一小组的语文本为（20－2）本，数学本为（25＋2）本，要求第一小组有多少名同学，就是求分给第一小组语文、数学本数的最大公因数。
【详解】20－2＝18（本）
25＋2＝27（本）
18＝2×3×3
27＝3×3×3
所以18和27的最大公因数是3×3＝9。
答：第一小组最多有9人。
【点睛】先求出分给第一小组的语文、数学的本数，再求语文、数学本数的最大公因数即可解答。
28．46人
【分析】根据题意可知，如果每排8人，最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4人，即最后一排是6人；求出8和10的最小公倍数，再加上6，就是陶艺社团的学生最少的人数。
【详解】8＝2×2×2
10＝2×5
8和10的最小公倍数：2×2×2×5＝40
40＋6＝46（人）
答：陶艺社团的学生最少有46人。
【点睛】根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。
29．183个
【分析】根据已知条件，这些粽子的个数是5和6的公倍数，且在180~200之间，再加上多的三个即为这些粽子的总数。
【详解】[5，6]＝30
30×6＝180（个）
180＋3＝183（个）
答：这些粽子一共有183个。
【点睛】解答本题的关键是理清这些粽子的个数减去3个就是5和6的公倍数。
30．1050
【分析】50＝2×5×5，又因为A有12个约数，B有10个约数，所以B只能是，也只能是，所以B－A＝2×5×5× （5×5－2×2） ，据此解答即可。
【详解】
因为有12个约数，B有10个约数，所以B只能是，也只能是。
所以B－
＝50×（25－4）
＝1250－200
＝1050
答：这两个数的差是1050。
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【点睛】此题主要考查公因数问题，根据两个数的最大公因数和约数的个数确定两个数是多少。
五年级数学下册高频易错题必刷卷
题型 一 二 三 四 五 六 总分
分数
注意：请认真审题，做到书写端正，格式正确，卷面整洁。
一、选择题(每题2分，共16分）
1．在哥德巴赫猜想中，任何不小于7的奇数都可以写成三个质数的和。下面符合要求的是（ ）。
A．11＝1＋3＋7 B．15＝2＋6＋7 C．21＝3＋5＋13
2．要使4□5这个三位数是3的倍数，则□里最大可以填（ ）。
A．3 B．6 C．9
3．几个质数的积一定是（ ）
A．合数 B．奇数 C．质数
4．“哥德巴林猜想”中说：“任意一个大于2的数，都可以表示成两个质数的和。“下面的四组算式中可以验证这个猜想的是（ ）。
A．2＝1＋1，12＝5＋7B．16＝7＋9＝11＋17 C．18＝7＋11，32＝13＋19
5．一包糖，10个小朋友吃，正好能够平均分完；如果12个小朋友吃，也能正好平均分完，这包糖至少有（ ）颗。
A．50颗 B．60颗 C．120颗
6．一盒糖果，平均分给5个人，最后剩下2粒；平均分给6个人，最后还少4粒。这盒糖果最少有（ ）粒。
A．62 B．32 C．34
7．我们发现一些数有一个有趣的特点，一个数所有因数（除了它本身）的和等于它本身。比如6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是：。像6这样的数叫做完全数（也叫完美数）。那么下面的数中也有这样的特点是（ ）。
A．12 B．28 C．32
8．、是两个非零的自然数，且，已知，和的最小公倍数是（ ）。
A． B． C．
二、填空题(每题2分，共16分）
9．一个数有因数24，这个数最小是( )，将它分解质因数( )。
10．一个数的最大因数是36，这个数的因数有( )个，把这个数分解质因数是( )。
11．一个四位数，千位上是最大的一位数，百位上的数是最小的质数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最小的偶数，这个数是( )。
12．“一方有难八方支援”。在抗击新冠病毒肺炎疫情期间，河南省累计派出7批医疗队支援武汉。第二批派出人数为122人，如果分为两个小组，第一组人数为奇数，那么第二组人数为( )（请填上“奇数”或“偶数”）。
13．有两根彩带，一根长36分米，一根长45分米，把它们截成同样长的小段且没有剩余，每段长( )分米。
14．佩戴口罩可以有效防止病毒传播。某超市对一批一次性医用口罩进行包装，无论3个装一包，4个装一包还是5个装一包，都正好装完。这批口罩最少有( )个。
15．两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，如果这两个数的差是54，那么这两个数的和是 ( )。
16．甲和乙两个数都是非0自然数，而且甲÷乙＝8，甲和乙的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
三、判断题(每题2分，共8分）
17．有因数8的数一定有因数2和4。( )
18．因为，所以12和4是因数，48是倍数。( )
19．一个数的最小倍数是30，那么这个数的最大因数也是30。( )
20．两个连续正整数的最大公因数是1。( )
四、计算题(共12分)
21．(6分)先圈出质数，再将剩下的合数分解质因数。
29 45 91 17 51 28
22．(6分)求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
9和10 12和18 34和51
五、作图题(共6分)
23．(6分)请把下面的方格图分解成几个面积最大且相等的正方形，且没有剩余。
六、解答题(共42分)
24．(6分)兰花、菊花分别是花中四君子之一。兰花不竞繁华，空谷幽香；菊花隐逸远世，鬓染秋霜。兰花每12天浇一次水，菊花每8天浇一次水。张阿姨4月28日给兰花和菊花同时浇了水，下一次再给这两种花同时浇水应是几月几日？
25．(6分)有两根彩绳，一根长18米，另一根长24米，要把它们裁成同样长的小段，且没有剩余，每小段最长多少米？一共可以裁成多少小段？
26．(6分)一个班学生人数接近50人，分别按8人和12人分组，学生都正好分完。这个班共有多少人？
27．(6分)王老师把20本语文本和25本数学本平均分给第一小组的同学，结果语文本多了2本，数学本少了2本。第一小组最多有多少人？
28．(6分)星源小学陶艺社团的学生来到操场站队。如果每排8人，最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4人。陶艺社团的学生最少有多少人？
29．(6分)端午节是中国首个入选世界非物质文化遗产的节日。今年端午节，星光社区的志愿者包了一些粽子送给常态化疫情防控的工作人员。这些粽子的个数在180~200之间，5个5个地数多3个，6个6个地数多3个，这些粽子一共有多少个？
30．(6分)两个自然数只含有质因数2、5，它们的最大公约数是50，且其中一个数有12个约数，另外一个数有10个约数，那么这两个数的差是多少？
参考答案
1．C
【分析】根据题意，对比每个选项的奇数是不是写成了三个质数的和，然后选择出正确选项。
【详解】A．11＝1＋3＋7中，1不是质数，不符合哥德巴赫猜想；
B．15＝2＋6＋7，6不是质数，不符合哥德巴赫猜想；
C．21＝3＋5＋13，是把奇数21写成了三个质数3、5、13的和，符合哥德巴赫猜想。
故答案为：C
【点睛】此题学生熟练掌握质数的概念，并能灵活的运用。
2．C
【分析】根据3的倍数的特征：一个数各位上的数字和是3的倍数。
【详解】4＋5＋9＝18
18是3的倍数，所以最大能填9。
故答案为：C
【点睛】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。
3．A
【分析】根据质数与合数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身两个因数还有别的因数，这样的数叫做合数；因此解答。
【详解】根据质数与合数的意义，质数只有1和它本身两个因数，合数至少有3个因数，几个质数的积，除了1和积它本身以外，还有这两个质数也是这几个质数之积的因数；
如：2×3＝6，6的因数有：1，2，3，6，6是合数；因此，几个质数之积一定是合数。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查质数与合数的意义，根据质数与合数的意义解决这类问题。
4．C
【分析】根据质数的意义：一个数只有1和它本身，没有其他因数的数是质数，合数：一个数除了1和它本身，还有其他因数的数是合数，1既不是质数也不是合数，由此即可逐项分析。
【详解】A．2＝1＋1，12＝5＋7，由于1既不是质数也不是合数，不符合题意；
B．16＝7＋9＝11＋17；9是合数，不符合题意；
C．18＝7＋11，32＝13＋19，7、11、13、19都是质数，符合题意。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查质数和合数的意义，熟练掌握它们的意义并灵活运用。
5．B
【分析】根据题意，一包糖，10个小朋友吃，正好能够平均分完；如果12个小朋友吃，也能正好平均分完，这包糖数量就是10和12的最小公倍数，求出10和12的最小公倍数，即可解答。
【详解】10＝2×5
12＝2×2×3
10和12的最小公倍数是：2×5×2×3＝60
这包糖至少有60颗。
故答案为：B
【点睛】求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积就是这两个数最小公倍数。
6．B
【分析】平均分给5个人，最后剩下2粒；平均分给6个人，最后少4粒，可以转化为平均分给6个人，最后多6－4＝2粒；进而可知这盒糖果的数量比5和6的公倍数多2，要求这盒糖果最少有多少粒，就是求比5和6的最小公倍数多2的数。据此解答。
【详解】5和6的最小公倍数是：5×6＝30
30＋2＝32（粒）
故答案为：B
【点睛】本题考查最小公倍数的知识点，运用最小公倍数知识，结合实际解决问题。
7．B
【分析】根据完全数的特点，先分别求出各个选项的因数，再逐项分析即可。
【详解】A．12的因数有1、2、3、4、6、12，1＋2＋3＋4＋6＝16，不是完全数；
B．28的因数有1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，是完全数；
C．32的因数有1、2、4、8、16、32，1＋2＋4＋8＋16＝31，不是完全数。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查学生对于完全数的理解及运用。
8．A
【分析】求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：如果两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；如果两个数是倍数关系，则最小公倍数为较大的数。
【详解】、是两个非零的自然数，且，因为，可知，是的3倍，属于倍数关系， 所以和最小公倍数是。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查成倍数关系的两个数的最小公倍数，观察得出两数为倍数关系是解答此题的关键。
9． 24 24＝2×2×2×3
【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。则一个数有因数24，求这个数最小是多少，即求24的最小倍数是多少。分解质因数就是把一个合数写成几个质数连乘积的形式，一般先从较小的质数试着分解，再把24分解质因数即可。
【详解】一个数有因数24，这个数最小是24。
24＝2×2×2×3
【点睛】本题考查把合数分解质因数的方法，一般先从较小的质数试着分解。
10． 9 36＝2×2×3×3
【分析】根据一个数的因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；求出这个数，再根据求1个数的因数方法，求出这个数的因数；
分解质因数利用相乘法：写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。
【详解】这个数是36，36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36一共有9个；
36＝2×2×3×3
一个数的最大因数是36，这个数的因数有9个，把这个数分解质因数是36＝2×2×3×3。
【点睛】根据这个数的最大因数求出这个数，并掌握分解质因数的方法是解答题目的关键。
11．9240
【分析】最大的一位数是9，最小的质数是2，最小的合数是4，最小的偶数是0；从右数，分别是个位、十位、百位、千位，据此写出此数。
【详解】一个四位数，千位上是最大的一位数，百位上的数最小的质数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最小的偶数，这个数是9240。
【点睛】本题考查了质数、合数、偶数的认识，要熟练掌握这些特殊的数。
12．奇数
【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数。已知122是偶数，第一组人数为奇数，根据第二组人数＝第二批总人数－第一组人数，可知第二组的总人数为奇数。据此回答。
【详解】第二批派出人数为122人，如果分为两个小组，第一组人数为奇数，那么第二组人数为奇数。
例如第一组人数为65人，
122－65＝57（人）
57为奇数。
【点睛】本题考查了奇数和偶数的认识以及它们的运算性质。
13．1、3、9
【分析】一根长36分米，一根长45分米，把它们截成同样长的小段且没有剩余，就是求36和45的公因数，据此解答即可。
【详解】36＝2×2×3×3
45＝3×3×5
所以36和45的公因数有1，3，9，所以每段长1分米、3分米或9分米。
【点睛】熟练掌握公因数的求法是解决此题的关键。
14．60
【分析】据题意可知，这批口罩的数量既是3的倍数，又是4和5的倍数，题目要求最少有多少个，就是求3、4、5的最小公倍数是多少，又因为3、4、5这三个数两两互质，所以求出这三个数的乘积即为它们的最小公倍数。
【详解】佩戴口罩可以有效防止病毒传播。某超市对一批一次性医用口罩进行包装，无论3个装一包，4个装一包还是5个装一包，都正好装完。这批口罩最少有：3×4×5＝60（个）。
【点睛】此题重点考查最小公倍数在实际生活中的灵活运用。
15．126
【分析】两个数独有的质因数的乘积是：180÷18＝10，10＝1×10＝2×5，如果是18×1＝18和18×10＝180，180－18＝162，就和这两个数的差是54相矛盾，因此这两个数只能是：18×2＝36，18×5＝90，再相加即可求解。
【详解】因为180÷18＝10
所以两个数独有的质因数的乘积是10
因为10＝2×5＝1×10
这两个数的差是54
所以不可能是1和10
则这两个数只能是：18×2＝36，18×5＝90
36＋90＝126
即这两个数的和是126。
【点睛】本题考查了数的整除性问题，它实际是考查了求最小公倍数方法的逆用，关键理解最小公倍数＝最大公因数×两个数独有的质因数这一关系。
16． 乙 甲
【分析】根据求两个数最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积，就是这两个数的最大公因数；两个数最小公倍数：两个数的公有质因数和每一个独有质因数的连乘积，就是这两个数的最小公倍数；如果两个数为互质数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；最小公倍数为较大的数，据此解答。
【详解】甲和乙两个是都是非0自然数，而且甲÷乙＝8，甲和乙为倍数关系；
最大公因数为乙；最小公倍数为甲。
甲和乙两个数都是非0自然数，而且甲÷乙＝8，甲和乙的最大公因数是乙，最小公倍数是甲。
【点睛】此题考查了最大公因数和最小公倍数的求法，注意两个数的特殊关系。
17．√
【分析】根据题意知：一个数有因数8，那这个数一定是8的倍数。因为8是2和4的倍数，所以一个数是8的倍数，一定也是2和4的倍数，即这个数就一定有因数2和4，据此判断即可。
【详解】因为8是2和4的倍数，所以一个数有因数8，就一定有因数2和4。
原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查了倍数和因数的关系。理解“一个数是另一个数的因数，那么这个数中所有的因数一定也是另一个数的因数”是解答本题的关键。
18．×
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可。
【详解】因为48÷12＝4，所以可以说4和12是48的因数，48是4和12的倍数；因数和倍数不能单独存在，所以本题说法错误；
故答案为：×
【点睛】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在。
19．√
【分析】根据“一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身”进行解答即可。
【详解】一个数的最小倍数是30，这个数就是30本身，那么30的最大因数还是30。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】解答此题根据因数和倍数的意义，认真分析，进而得出结论。
20．√
【分析】两个连续的正整数互质，互质的数的最大公因数为1，据此即可判断。
【详解】两个连续正整数它们的最大公因数是1， 说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题考查了最大公因数的求法，另外注意如果两个数是倍数关系，则最大公因数是较小数。
21．见详解
【分析】除了1和它本身不再有其它的因数的数叫做质数；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
【详解】
45＝5×3×3
91＝13×7
51＝3×17
28＝2×2×7
【点睛】熟练掌握质数的概念以及合数分解质因数的方法是解题的关键。
22．9和10的最大公因数是1，最小公倍数是90；
12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36；
34和51的最大公因数是17，最小公倍数是102。
【分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可。
【详解】9和10是互质数，所以9和10的最大公因数是1，最小公倍数是9×10＝90；
12＝2×3×2，18＝2×3×3，所以12和18的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×2×3＝36；
34＝17×2，51＝17×3，所以34和51的最大公因数是：17，最小公倍数是：17×2×3＝102；
【点睛】熟练掌握求两个数最大公因数和最小公倍数的方法是解决此题的关键。
23．
【分析】根据所给图示，由小正方形拼成的大长方形长为9，宽为6，要想把方格图分解成几个面积最大且相等的正方形，且没有剩余，正方形的边长为9和6的最大公因数，据此解答求出正方形边长，再作图即可。
【详解】9＝3×3
6＝2×3
所以9和6的最大公因数是3，即正方形边长最大为3；
据此作图如下：
【点睛】明确正方形的边长是9和6的最大公因数是解答本题的关键。
24．5月22日
【分析】兰花每12天浇一次水，菊花每8天浇一次水，可知张阿姨给兰花和菊花同时浇了水的日子是6的倍数也是8的倍数，即是6和8的公倍数的时间，要求至少就是求6和8的最小公倍数，据此解答即可。
【详解】12＝2×2×3
8＝2×2×2
所以12和8的最小公倍数是
2×2×2×3
＝4×2×3
＝8×3
＝24
2＋22＝24（天）
答：下一次再给这两种花同时浇水应是5月22日。
【点睛】这道题主要考查最小公倍数在实际问题中的运用。
25．6米；7段
【分析】根据“裁成同样长的小段，且没有剩余，每小段最长多少米？”可知，就是求18和24的最大公因数；再用两根彩绳的长度分别除以每小段彩绳的长度即可求出两根彩绳分别裁成的段数，再相加即可。
【详解】18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
18和24的最大公因数是2×3＝6
每小段最长是6米。
18÷6＋24÷6
＝3＋4
＝7（段）
答：每小段最长是6米，一共可以截成7段。
【点睛】熟练掌握两个数的最大公因数的求法：两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积。
26．48个
【分析】先求8和12的最小公倍数，把8和12分别分解质因数，它们的公有质因数和独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，据此找出两数的公倍数，找出最近的50，且小于50的公倍数即可。
【详解】8＝2×2×2，
12＝2×2×3，
8和12的最小公倍数是：2×2×2×3＝24；
8和12的公倍数有：24、48、72…；
其中接近50人的是48，所以这个班有48人。
答：这个班有48个人。
【点睛】此题属于公倍数问题，主要根据求两个数的公倍数的方法解决问题。
27．9人
【分析】根据题意可知，分给第一小组的语文本为（20－2）本，数学本为（25＋2）本，要求第一小组有多少名同学，就是求分给第一小组语文、数学本数的最大公因数。
【详解】20－2＝18（本）
25＋2＝27（本）
18＝2×3×3
27＝3×3×3
所以18和27的最大公因数是3×3＝9。
答：第一小组最多有9人。
【点睛】先求出分给第一小组的语文、数学的本数，再求语文、数学本数的最大公因数即可解答。
28．46人
【分析】根据题意可知，如果每排8人，最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4人，即最后一排是6人；求出8和10的最小公倍数，再加上6，就是陶艺社团的学生最少的人数。
【详解】8＝2×2×2
10＝2×5
8和10的最小公倍数：2×2×2×5＝40
40＋6＝46（人）
答：陶艺社团的学生最少有46人。
【点睛】根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。
29．183个
【分析】根据已知条件，这些粽子的个数是5和6的公倍数，且在180~200之间，再加上多的三个即为这些粽子的总数。
【详解】[5，6]＝30
30×6＝180（个）
180＋3＝183（个）
答：这些粽子一共有183个。
【点睛】解答本题的关键是理清这些粽子的个数减去3个就是5和6的公倍数。
30．1050
【分析】50＝2×5×5，又因为A有12个约数，B有10个约数，所以B只能是，也只能是，所以B－A＝2×5×5× （5×5－2×2） ，据此解答即可。
【详解】
因为有12个约数，B有10个约数，所以B只能是，也只能是。
所以B－
＝50×（25－4）
＝1250－200
＝1050
答：这两个数的差是1050。
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【点睛】此题主要考查公因数问题，根据两个数的最大公因数和约数的个数确定两个数是多少。