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5.2.1 基本初等函数的导数
学习目标 把握航向 目的明确
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f(x)＝ex f ′(x)＝ex
f(x)＝xα(α∈Q*) f ′(x)＝αxα-1 f(x)＝ax(a＞0，a≠1) f ′(x)＝axln a
f(x)＝sin x f ′(x)＝cos x f(x)＝ln x f ′(x)＝
f(x)＝cos x f ′(x)＝－sin x f(x)＝logax(a＞0，a≠1) f ′(x)＝
注意点：对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f ′(x)＝.
知识点二 几个常用函数的导数
原函数 导函数 原函数 导函数
f(x)＝c f ′(x)＝0 f(x)＝x f ′(x)＝1
f(x)＝x2 f ′(x)＝2x f(x)＝x3 f ′(x)＝3x2
f(x)＝ f ′(x)＝－ f(x)＝ f ′(x)＝
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；(2)y＝sin ；(3)y＝x；(4)y＝lg x；(5)y＝；(6)y＝2cos2－1.
解：(1)y ′＝0；
(2) y ′＝0；
(3)y ′＝xln ＝－xln 3；
(4)y ′＝；
(5)∵y＝＝，∴y ′＝＝；
(6)∵y＝2cos2－1＝cos x，∴y ′＝(cos x) ′＝－sin x.
反思感悟：(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y＝可以写成y＝x－4，y＝可以写成y＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
(3)要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝2 023；(2) y＝；(3)y＝4x；(4)y＝log3x；(5)y＝sin(π－x)．
解：(1)∵y＝2 023，∴y ′＝(2 023)′＝0.
(2)∵y＝，∴y ′＝′＝(x－)′＝－x－－1＝－x－.
(3)∵y＝4x，∴y ′＝4xln 4.
(4)∵y＝log3x，∴y ′＝.
(5)∵y＝sin(π－x)＝sin x，∴y ′＝cos x.
题型二 利用导数公式解决切线问题
例2 (1)函数y＝在点处的切线方程是( )
A.y＝4x B.y＝－4x＋4 C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4
答案：B
解析：∵y ′＝′＝－x－2，∴k＝y′|x＝＝－＝－4，∴切线方程为y－2＝－4，即y＝－4x＋4.
(2)已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________.
答案：
解析：设切点坐标为(x0，y0)，由题意得y′|x＝x0＝＝k，又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝.
(3)设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
解：如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.
设直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0).
因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).
所以点P到直线y＝x的最小距离为＝.
反思感悟：利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况：①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解； (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤：
跟踪训练2 (1)求曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程；
(2)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程.
解：(1)设所求切线的斜率为k.
∵y′＝()′＝x－，k＝y′|x＝1＝，
∴曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
(2)设切点坐标为(x0，y0).
∵y′＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，
∴y′|x＝x0＝＝4，得x0＝，∴y0＝－ln 4，
∴切点为，
∴所求切线方程为y＋ln 4＝4，
即4x－y－1－ln 4＝0.
题型三 导数公式的应用
例3 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095)
解：由题意得p ′(t)＝1.1tln 1.1，
所以p ′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，
所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年．
反思感悟：由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．
跟踪训练3 从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．
解：由q＝cos t得q ′＝－sin t，
所以q ′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，
即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安．
习题精练 基础落实 强化落实
一、选择题
1.给出下列命题：①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－，故②正确；显然③，④正确．
2.(多选题)下列结论正确的是( )
A.(sin x) ′＝cos x B. ′＝cos C.(2ex) ′＝2ex D.若f(x)＝，则f ′(3)＝.
答案：AC
解析：因为(sin x)′＝cos x，A正确；sin＝，而′＝0，B错误；(2ex)′＝2ex，C正确；∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3，则f′(3)＝－，D错误，故选AC.
3.已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A.(－2，－8) B.(－1，－1)或(1,1) C.(2,8) D.
答案：B
解析：y ′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
4.直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为( )
A.2 B.ln 2＋1 C.ln 2－1 D.ln 2
答案：C
解析：因为y＝ln x的导数y′＝，所以令＝，得x＝2，所以切点为(2，ln 2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
5.曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.e B.1 C.－1 D.－e
答案：B
解析：因为y ′＝ex，所以y ′|x＝0＝e0＝1，所以切线方程为y－1＝x即y＝x＋1，令x＝0，则y＝1.
6.设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是( )
A.∪ B.[0，π) C. D.∪
答案：A
解析：∵(sin x)′＝cos x，∴kl＝cos x，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.
7.函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定
答案：B
解析：∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线.所以有2条切线.
8.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A.4x－y－3＝0 B.x＋4y－5＝0 C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0
答案：A
解析：由题意，知切线l的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0).∵y′＝4x3，∴k＝4x＝4，解得x0＝1，∴切点为(1，1)，∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
9.已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f ′(1)等于( )
A.2 B.0 C.1 D.－1
答案：C
解析：由题可知，函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f ′(1)，直线x＋y－3＝0的斜率为－1，故－f ′(1)＝－1得f ′(1)＝1，故选C.
10.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f ′(2)等于( )
A.－4 B.3 C.－2 D.1
答案：D
解析：由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1.
二、填空题
11.曲线y＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝______.
答案：1
解析：y′＝，∴y′|x＝a＝＝1.∴a＝1.
12.若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
答案：10ln 10
解析：y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.
13.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
答案：e2
解析：∵y′＝(ex)′＝ex，∴在点(2，e2)处的切线斜率为k＝e2，∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S△＝×1×＝e2.
14.若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ．
答案：4
解析：因为y′＝，所以切线方程为y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，所以a＝4.
15.已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，则关于x的不等式f ′(x)＋g ′(x)≤0的解集为 ．
答案：
解析：∵f ′(x)＝－sin x，g ′(x)＝1，由f ′(x)＋g ′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，即sin x≥1，则sin x＝1，解得x＝＋2kπ，k∈Z，∴其解集为.
三、解答题
16.求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝log2x2－log2x；(3)y＝；(4)y＝－2sin .
解：(1)y′＝()′＝＝x－1＝x＝.
(2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝.
(3)法一：y′＝＝cos x＋(cos x)′＝cos x－sin x＝－xcos x－sin x＝－－sin x＝－－sin x＝－.
法二：y′＝＝＝＝－
＝－.
(4)∵y＝－2sin ＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝(sin x)′＝cos x.
17.已知抛物线y＝x2，求过点且与抛物线相切的直线方程．
解：设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝k，
因为y′＝2x，所以k＝2x0，
又点(x0，x)在切线上，
所以x＋2＝2x0，
所以x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，
所以直线方程为y＋2＝2或y＋2＝－4，
即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.
18.已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．
解：不存在，理由如下：
由于y1＝sin x，y2＝cos x，所以y′1＝cos x，y′2＝－sin x.
设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，
∴两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为
k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若两条切线互相垂直，则cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，∴sin 2x0＝2，显然不成立，
∴这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直．
19.已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x.
(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程.
(2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)设切点为(m，log2m)(m>0).
因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝.
由题意可得＝，解得m＝e，
所以切线方程为y－log2e＝(x－e)，即y＝x.
(2)过点A，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝.
假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，设P(n，log2n)，≤n≤2，
则有＝，得n＝.
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高中数学(新RJ·A)选择性必修第二册5.2.1 基本初等函数的导数 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
5.2.1 基本初等函数的导数
学习目标 把握航向 目的明确
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f(x)＝ex f ′(x)＝ex
f(x)＝xα(α∈Q*) f ′(x)＝αxα-1 f(x)＝ax(a＞0，a≠1) f ′(x)＝axln a
f(x)＝sin x f ′(x)＝cos x f(x)＝ln x f ′(x)＝
f(x)＝cos x f ′(x)＝－sin x f(x)＝logax(a＞0，a≠1) f ′(x)＝
注意点：对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f ′(x)＝.
知识点二 几个常用函数的导数
原函数 导函数 原函数 导函数
f(x)＝c f ′(x)＝0 f(x)＝x f ′(x)＝1
f(x)＝x2 f ′(x)＝2x f(x)＝x3 f ′(x)＝3x2
f(x)＝ f ′(x)＝－ f(x)＝ f ′(x)＝
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；(2)y＝sin ；(3)y＝x；(4)y＝lg x；(5)y＝；(6)y＝2cos2－1.
解：
反思感悟：(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y＝可以写成y＝x－4，y＝可以写成y＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
(3)要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝2 023；(2) y＝；(3)y＝4x；(4)y＝log3x；(5)y＝sin(π－x)．
解：
题型二 利用导数公式解决切线问题
例2 (1)函数y＝在点处的切线方程是( )
A.y＝4x B.y＝－4x＋4 C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4
(2)已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________.
(3)设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
反思感悟：利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况：①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解； (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤：
跟踪训练2 (1)求曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程；
(2)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程.
解：
题型三 导数公式的应用
例3 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095)
解：
反思感悟：由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．
跟踪训练3 从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．
解：
习题精练 基础落实 强化落实
一、选择题
1.给出下列命题：①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(多选题)下列结论正确的是( )
A.(sin x) ′＝cos x B. ′＝cos C.(2ex) ′＝2ex D.若f(x)＝，则f ′(3)＝.
3.已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A.(－2，－8) B.(－1，－1)或(1,1) C.(2,8) D.
4.直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为( )
A.2 B.ln 2＋1 C.ln 2－1 D.ln 2
5.曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.e B.1 C.－1 D.－e
6.设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是( )
A.∪ B.[0，π) C. D.∪
7.函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定
8.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A.4x－y－3＝0 B.x＋4y－5＝0 C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0
9.已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f ′(1)等于( )
A.2 B.0 C.1 D.－1
10.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f ′(2)等于( )
A.－4 B.3 C.－2 D.1
二、填空题
11.曲线y＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝______.
12.若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
13.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
14.若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ．
15.已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，则关于x的不等式f ′(x)＋g ′(x)≤0的解集为 ．
三、解答题
16.求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝log2x2－log2x；(3)y＝；(4)y＝－2sin .
解：
17.已知抛物线y＝x2，求过点且与抛物线相切的直线方程．
解：
18.已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．
解：
19.已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x.
(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程.
(2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
解：
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