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专题拓展：三角形角平分模型
知识点拨：
三角形角平分模型是指在三角形中，涉及到三角形内角或者外角的角平分线的一些几何模型。理解和记忆这些模型的结论，有助于我们快速的解决考试中的选择题和提空题，对于解答题这些结论不能直接应用，用到的时候需要加以证明.
记忆几何模型小定理，对于选择题和填空题，不仅节省时间，而且准确率又高.尽管这些小定理在解大题的时候，不可能直接用，但是可以使我们的解题思路更清晰，分析题目的速度更快.
今天讲的三角形角平分模型往往和“三角形内角和定理”、“三角形外角定理”相结合，同学们一定要认真思考总结！！！
模型解读
模型一：双内角平分线
例1.(教材原题)如图，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P，∠A＝70°，
(1)求∠BPC的度数.
(2)探讨∠BPC与∠A的关系.
解：(1)在△ABC中，由∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝70°，
得∠ABC+∠ACB＝180°-∠A＝180°-70°＝110°.
因为BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，所以∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
所以∠1+∠2＝(∠ABC+∠ACB)＝110°＝55°.
在△PBC中，由∠BPC+∠1+∠2＝180°，∠1+∠2＝55°，
得∠BPC＝180°-(∠1+∠2)＝180°-55°＝125°.
(2)∠BPC=90°+∠A.
模型二：一内角与一外角平分线
例2.如图，在△ABC中，∠A＝65°，点D在BC边的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线交于点P，
(1)求∠P的度数.
(2)写出∠P与∠A的关系.
解：(1)因为BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，所以∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD,
所以∠P＝180°-∠PCB-∠PBC＝∠PCD-∠PBC＝∠ACD - ∠ABC＝(∠ACD - ∠ABC)，
因为∠A＝180°-∠ACB - ∠ABC＝∠ACD - ∠ABC＝65°，
所以∠P＝∠A＝32.5°.
(2)∠P＝∠A
模型三：双外角平分线
例3.如图，在△ABC中，外角∠CBD的平分线与外角∠BCE的平分线相交于点P，探索∠P与∠A之间的数量关系，并说明理由.
解：∠P＝90°-∠A，理由如下：
因为BP平分∠CBD，CP平分∠BCE，所以∠PBC＝∠CBD，∠PCB＝∠BCE,
所以∠P＝180°-(∠PBC+∠PCB)＝180°-(∠CBD+∠BCE).
因为∠CBD＝180°-∠ABC，∠BCE＝180°-∠ACB，
所以∠CBD+∠BCE＝180°-∠ABC+180°-∠ACB＝360°-(∠ABC+∠ACB)＝360°(180°-∠A)＝180°+∠A，
所以∠P＝180-(180°+∠A)＝90°-∠A.
模型四：双内角平分线+双外角平分线
例4.如图，△ABC的两个内角的平分线BO,CO交于点0，两个外角的平分线BP，CP交于点P，探索∠A，∠P，∠O之间的数量关系，并说明理由.
解：∠A+∠P＝∠O，理由如下：
由例1可知：∠O=90°+∠A ①，由例2可知：∠P=90°- ∠A ②
①-②得：∠O-∠P=∠A,即∠A+∠P＝∠O.
模型五：三等分线
例5.如图，∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠ECB，试判断∠P与∠A的数量关系，并说明理由.
解：∠P＝120°-∠A理由如下：
因为∠PBC＝∠CBD，∠PCB＝∠BCE.
所以∠P＝180°-(∠PBC+∠PCB)＝180°-(∠CBD+∠BCE)
因为∠CBD＝180°-∠ABC，∠BCE＝180°-∠ACB,
所以∠CBD+∠BCE＝180°- ∠ABC+180°-∠ACB＝360°-(∠ABC+∠ACB)
＝360°-(180°-∠A)＝180°+∠A，
所以∠P＝180°- (180°+∠A)＝120°-∠A.
针对训练
1.如图，△ABC的两个内角平分线BD，CD相交于点D，两个外角平分线BO，CO相交于点0，若∠O＝50°，求∠D的度数.
解：由上面模型讲解可知∠O=90°-∠A=50°，解得：∠A=80°
又∠D=∠A+∠0，所以∠D=80°+50°=130°.
2.(“8”字形与角平分线)如图，∠A＝∠D＝100°，AC和BD交于点E，∠ABD和∠DCA的平分线交于点F，求∠F的度数.
解：由题意可知，∠AEB＝∠DEC，
因为∠A+∠ABD+∠AEB＝180°，∠D+∠DCE+∠DEC＝180°，
所以∠A+∠ABD＝∠D+∠DCA，
因为∠A＝∠D，
所以∠ABD＝∠DCA，
因为∠ABD和∠DCA的平分线交于点F，
所以∠ABF＝∠DBF，∠DCF＝∠ACF，
因为∠ABD＝∠DCA，
所以∠ABF＝∠ACF，
所以∠F＝∠A＝100°.
3.如图，点D，E分别在射线BA，BC上，CP是∠ACE的平分线，CP的反向延长线与∠BAC的平分线交于点O.
(1)若∠ABC＝90°，∠PCE＝70°，则∠AOC的度数为__45__°；
(2)试判断∠AOC与∠ABC之间的数量关系，并说明理由.
解：(1)45；
(2)∠A0C＝∠A8C，理由如下：
因为A0平分∠BAC，所以∠OAC＝∠BAC，
因为CP平分∠ACE，所以∠ACP＝ACE=（∠ABC+∠BAC）=∠ABC + ∠BAC.
又因为∠ACP=∠AOC+∠OAC，所以∠AOC=∠ACP -∠OAC=∠ABC + ∠BAC -∠BAC=∠ABC
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专题拓展：三角形角平分模型
知识点拨：
三角形角平分模型是指在三角形中，涉及到三角形内角或者外角的角平分线的一些几何模型。理解和记忆这些模型的结论，有助于我们快速的解决考试中的选择题和提空题，对于解答题这些结论不能直接应用，用到的时候需要加以证明.
记忆几何模型小定理，对于选择题和填空题，不仅节省时间，而且准确率又高.尽管这些小定理在解大题的时候，不可能直接用，但是可以使我们的解题思路更清晰，分析题目的速度更快.
今天讲的三角形角平分模型往往和“三角形内角和定理”、“三角形外角定理”相结合，同学们一定要认真思考总结！！！
模型解读
模型一：双内角平分线
例1.(教材原题)如图，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P，∠A＝70°，
(1)求∠BPC的度数.
(2)探讨∠BPC与∠A的关系.
模型二：一内角与一外角平分线
例2.如图，在△ABC中，∠A＝65°，点D在BC边的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线交于点P，
(1)求∠P的度数.
(2)写出∠P与∠A的关系.
模型三：双外角平分线
例3.如图，在△ABC中，外角∠CBD的平分线与外角∠BCE的平分线相交于点P，探索∠P与∠A之间的数量关系，并说明理由.
模型四：双内角平分线+双外角平分线
例4.如图，△ABC的两个内角的平分线BO,CO交于点0，两个外角的平分线BP，CP交于点P，探索∠A，∠P，∠O之间的数量关系，并说明理由.
模型五：三等分线
例5.如图，∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠ECB，试判断∠P与∠A的数量关系，并说明理由.
针对训练
1.如图，△ABC的两个内角平分线BD，CD相交于点D，两个外角平分线BO，CO相交于点0，若∠O＝50°，求∠D的度数.
2.(“8”字形与角平分线) 如图，∠A＝∠D＝100°，AC和BD交于点E，∠ABD和∠DCA的平分线交于点F，
求∠F的度数.
3.如图，点D，E分别在射线BA，BC上，CP是∠ACE的平分线，CP的反向延长线与∠BAC的平分线交于点O.
(1)若∠ABC＝90°，∠PCE＝70°，则∠AOC的度数为___________°；
(2)试判断∠AOC与∠ABC之间的数量关系，并说明理由.
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