云南省昆明市第五高级中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试卷（含解析）

昆明市第五高级中学2022-2023学年高一下学期开学考试
数学
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．函数的图象关于（ ）
A．轴对称 B．轴对称
C．坐标原点对称 D．直线轴对称
2．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
3．若函数，则（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
4．若函数在区间上存在最小值-2.则非零实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
6．若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
7．命题“”的否定是
A． B．
C． D．
8．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的最大值为
B．直线是图象的一条对称轴
C．在区间上单调递减
D．的图象关于点对称
10．函数的图象是由函数的图象经过变换得到，则这个变换可以是（ ）
A．先将图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍
B．先将图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍
C．先将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再将图象向左平移个单位
D．先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移个单位
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数且的图象恒过定点
B．若关于的不等式的解集为或，则
C．函数的最小值为6
D．若，则
12．已知角为锐角，则（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．已知，则的最大值是____________.
14．已知函数为奇函数，当时，，若，则___________.
15．设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为______.
16．已知函数有三个零点，且的图像关于直线对称，则__________；的最大值为__________.
四、解答题
17．判断下列函数的奇偶性，并求函数的值域．
（1）
（2）．
18．设集合，集合，求.
19．已知函数）为奇函数，
(1)求实数m的值；
(2)，使得f）在区间]上的值域为]，求实数a的取值范围.
20．已知函数.
（1）当时，求函数的定义域;
（2）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论.
21．指出下列集合之间的关系：
，．
22．设，其中且，比较与的大小，并证明.
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参考答案：
1．B
【分析】先看函数的定义域，再看函数的奇偶性，结合函数的奇偶性，来研究函数的图象的对称性．
【详解】函数f（x）的定义域是实数集R，关于原点对称，
，
是偶函数，
∴函数f（x）图象关于y轴对称，
故选：B．
2．B
【分析】利用诱导公式由求解.
【详解】因为，
所以，
故选：B.
3．D
【分析】把自变量代入解析式求值即可.
【详解】因为，所以.
故选：D.
【点睛】本题考查求函数值. 把自变量代入解析式求值.
若是分段函数求值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．
4．C
【解析】分和两种情况，结合三角函数的性质即可得出结论．
【详解】解：由已知可得：
①当时，
函数在区间上存在最小值-2，
，可得；
②当时，，
函数在区间上存在最小值-2，
，可得：；
综上所述，非零实数的取值范围；
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．
5．C
【分析】根据给定的分段函数式，依次代入计算即可作答.
【详解】因函数，则，
所以.
故选：C
6．C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
7．D
【解析】根据特称命题的否定，可直接得出结果.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
【点睛】本题主要考查特称命题的否定，只需改量词否结论即可，属于基础题型.
8．C
【解析】由题意可得，设，要求的最大值，设，运用向量的加减法运算得，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可求得直线的斜率的最大值.
【详解】解：由题意可得，设，
显然当时，；当时，；
要求的最大值，设，
由于是线段上的点，且，则，
则，
即：，
可得，
当且仅当时取得等号，
即：直线的斜率的最大值为.
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线方程的运用以及直线的斜率最大值，运用了基本不等式和向量的加减法运算，考查运算能力.
9．ABC
【分析】利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到，根据余弦型函数最值可知A正确；利用代入检验法，结合余弦函数性质，依次验证BCD正误即可.
【详解】；
对于A，，A正确；
对于B，当时，，是的一条对称轴，B正确；
对于C，当时，，此时单调递减，C正确；
对于D，，不是的对称中心，D错误.
故选：ABC.
10．ABC
【分析】利用三角函数图象变换逐项判断即得.
【详解】对于A，先将图象向左平移个单位得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到函数的图象，故A正确；
对于B，先将图象向右平移个单位函数的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到函数的图象，故B正确；
对于C，先将图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到函数的图象，再将图象向左平移个单位得到函数的图象，故C正确；
对于D，先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图象，再将图象向左平移个单位得到函数的图象，故D错误.
故选：ABC.
11．BD
【分析】根据指数幂的运算性质，结合一元二次不等式的性质、基本不等式、不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，函数且的图象恒过定点，故错误.
对于，关于的不等式的解集为或，故必有
，进而得到，故B正确.
对于，当且仅当时取等号，
方程无解，等号不成立，故C错误.
对于，所以，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点睛：判断运用基本不等式时要考虑等号成立的条件是解题的关键.
12．BCD
【分析】先根据题意确定，再逐一判断选项中的角所在的象限和对应三角函数值的正负即可.
【详解】因为角为锐角，即，所以，为第二象限角，则，选项A错误；
同理，，为第三象限角，则，B正确；
，为第四象限角，则，C正确；
，为第三象限角，则，D正确．
故选：BCD．
13．
【解析】先化简原式为，再换元设得原式，再换元设得原式可化为，再利用函数单调性得到函数的最大值.
【详解】，设，
所以原式=，
令
所以原式=.
(函数在上单调递增)
故答案为：
【点睛】(1)本题主要考查基本不等式，考查函数y=+的图像和性质，考查换元法的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化的能力及数形结合的思想方法；(2)解答本题的关键是两次换元，第一次是设，第二次是设，换元一定要注意新元的范围.
14．##
【分析】由奇函数的性质求解得，代入解析式求解.
【详解】因为函数为奇函数，，所以，
又，所以，
解得
故答案为：.
15．
【分析】作出函数的图象，令，分析可知关于的方程在内有两个不同实数根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】画出函数的图象如下图所示，
令，则方程可化为.
由图可知：当时，与有个交点，
要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同实数根，所以，，
解得，因此，实数的取值范围为.
故答案为：.
16． 1 3
【分析】，从而得到，故的图像关于直线对称，求出，，显然为函数的零点，故有两个根，由求出，得到的最大值.
【详解】，则，
定义域为R，且，
故的图像关于直线对称，故，
，
显然为函数的零点，故有两个根，
所以，解得：，
当时，，有三个相等的零点，
故答案为：，3.
【点睛】思路点睛：函数的对称性，
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称.
17．（1）非奇非偶函数，值域为（2）偶函数，值域为
【分析】结合函数奇偶性的定义及基本初等函数的值域可分别求解．
【详解】（1）∵的定义域为，定义域不关于原点对称，
∴为非奇非偶函数，
∵，∴的值域为；
（2）∵的定义域为，且，
∴是偶函数，∵，∴，
∴的值域为．
【点睛】解决函数的奇偶性时，一定要注意定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，属于基础题．
18．
【解析】根据并集定义直接求解即可.
【详解】由并集定义可知：
【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
19．(1)
(2)（0）
【分析】（1）根据奇函数的定义列等式求解参数即可；
（2）根据（1）中所得函数解析式确定函数的解析式，并运用函数单调性确定其单调性，再根据单调性和值域列等式，将问题转化为函数与方程问题，最后求解出参数的取值范围.
【详解】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴…
∴在定义域内恒成立，
即在定义域内恒成立，
整理，得在定义域内恒成立.
∴
解得
当时，的定义域为，关于原点对称，
当时，的定义域为，不关于原点对称，舍去.
综上， ；
（2）任取，且，令
则ln
易知
∴
∴H（x）在（0，+∞）上单调递减.
∵H（x）在区间上的值域为[
∴，即
令
易知，关于b的方程在（1，+∞）上有两个不等实数根b1，，
等价于关于x的方程在（1，+∞）有两个不等实数根.
令，对称轴
解得，
∴a的取值范围是（0）.
20．（1）.（2）增函数.见解析
【解析】（1）根据解析式的限制条件，列出不等式，转化为求指数不等式，即可求解；
（2）根据函数单调性定义，即可证明结论.
【详解】解：（1）当时，函数，
要使根式有意义，只需，
所以，化简得，解得，
所以函数的定义域为.
（2）函数在定义域上为增函数.
证明：在上任取，且，
则
，
由，可知，则，
又因为，，
所以，即.
所以在定义域上为增函数.
【点睛】本题考查函数的定义域和单调性，考查指数不等式，属于中档题.
21．
【解析】由题意知集合表示的是直线上的一些孤立的点的集合，集合表示的是直线上所有的点的集合，可以判断它们的关系.
【详解】集合表示的是直线上的一些孤立的点的集合，
而集合表示的是直线上所有的点的集合，
因此 .
【点睛】本题主要考查的是集合与集合间的关系，观察出集合所表示的含义是解决本题的关键，是基础题.
22．，证明见解析.
【解析】利用作差比较法，结合函数的解析式，运用配方法，最后判断出大小关系.
【详解】解：，当且仅当时取“=”.
证明如下：，
，
，当且仅当时取“=”.
【点睛】本题考查了指数式之间的比较大小，考查了配方法，考查了作差比较法，考查了数学运算能力.